Условия задач очного тура 2014/2015 уч. г.

Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2014 год
7–8 класс
1. Александр Сергеевич и Маша обсуждали задачу из математической олимпиады. Александр
Сергеевич утверждал, что ответ целый и больше 5. Маша — что ответ натуральный и меньше
7. Оказалось, что ответ положительный и его можно записать в виде дроби со знаменателем
2, а Александр Сергеевич и Маша в своих суждениях ошиблись ровно наполовину. Какой был
ответ в задаче? Приведите все варианты.
2. Докажите, что x2 + 3y 2 + z 2 + xz > 3xy + 3yz.
3. В набор входят 40 волшебных магнитиков. Каждый магнитик притягивается к 9 другим магнитикам, отталкивается от 7 магнитиков и не взаимодействует с остальными 23 магнитиками.
Петя выстраивает магнитики в цепочку, в которой первый магнитик притягивается ко второму,
второй к третьему, третий к четвертому и так далее, причем во всей этой цепочке нет двух отталкивающихся магнитиков. Сколько магнитиков может быть в самой длинной цепочке? (Для
разных наборов волшебных магнитиков получаются цепочки разной длины. Петя берет тот
набор, в котором получается самая длинная цепочка.)
4. Назовем последовательность 1 и −1 правильной, если для любого натурального i 6 2013 сумма
всех элементов последовательности от первого до i-го неотрицательна, а для i = 2014 сумма всех элементов последовательности от первого до i-го равна 0. Леша придумал алгоритм,
который проверяет правильность некоторой последовательности длины 2014:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
начать выполнение
i = 1
пока i не превосходит 2014
если i-ый элемент последовательности - это 1, то
запомнить элемент с пометкой ‘‘не использовался’’
в ином случае
если нет запомненных неиспользованных, то
сказать, что последовательность не правильная
закончить выполнение
в ином случае
отметить один любой запомненный неиспользованный
элемент меткой ‘‘использовано’’
увеличить i на 1
сказать, что последовательность правильная
закончить выполнение
Кирилл пытается придумать последовательность, на которой алгоритм работает некорректно.
Удастся ли ему это сделать?
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2014 год
Выводная аудитория. 7–8 класс
5. Найдите такое наименьшее натуральное k > 1, что выражение (k 210 − 1)(20112015 − 1)(472010 − 1)
делится на 210.
6. Фермер Юрий Николаевич собрал урожай — 2014 огурцов. Он хочет найти самый большой огурец, чтобы продать его на аукционе, и самый маленький — чтобы выставить в музей. Однако
единственные весы в округе принадлежат жадному Андрею Васильевичу, и за каждое взвешивание на них нужно платить, поэтому Юрий Николаевич хочет управиться за 3021 взвешивание.
Опишите, как ему следует действовать.
7. Светлая башня Кирилла Романовича, состоящая из 70 этажей, была разрушена. Тролли собрали ее обратно, но теперь она состоит из этажей в следующем порядке: 1, 3, 5, ..., 67, 69,
70, 68, ..., 4, 2. Кирилл Романович хочет придать башне изначальный вид, поэтому он обратился к магу Алексею Леонидовичу. Он умеет делать три операции, но за каждую маг требует
определенную сумму:
(a) любой этаж любой башни вынуть и переделать в первый этаж новой башни — 10 монет;
(b) переставить верхние n этажей любой башни на любую другую башню — 3n монет;
(c) перевернуть любую башню — 50 монет.
У Кирилла Романовича есть 404 монеты. Придумайте, как ему перестроить башню.
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2014 год
Выводная аудитория. 7–8 класс
5. Найдите такое наименьшее натуральное k > 1, что выражение (k 210 − 1)(20112015 − 1)(472010 − 1)
делится на 210.
6. Фермер Юрий Николаевич собрал урожай — 2014 огурцов. Он хочет найти самый большой огурец, чтобы продать его на аукционе, и самый маленький — чтобы выставить в музей. Однако
единственные весы в округе принадлежат жадному Андрею Васильевичу, и за каждое взвешивание на них нужно платить, поэтому Юрий Николаевич хочет управиться за 3021 взвешивание.
Опишите, как ему следует действовать.
7. Светлая башня Кирилла Романовича, состоящая из 70 этажей, была разрушена. Тролли собрали ее обратно, но теперь она состоит из этажей в следующем порядке: 1, 3, 5, ..., 67, 69,
70, 68, ..., 4, 2. Кирилл Романович хочет придать башне изначальный вид, поэтому он обратился к магу Алексею Леонидовичу. Он умеет делать три операции, но за каждую маг требует
определенную сумму:
(a) любой этаж любой башни вынуть и переделать в первый этаж новой башни — 10 монет;
(b) переставить верхние n этажей любой башни на любую другую башню — 3n монет;
(c) перевернуть любую башню — 50 монет.
У Кирилла Романовича есть 404 монеты. Придумайте, как ему перестроить башню.
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2014 год
9–10 класс
1. Докажите, что (x2 + y 2 )(z 2 − 43 zy + y 2 ) + 38 xy 2 z > 2xyz 2 + 2xy 3 .
2. Александр Сергеевич и Маша обсуждали задачу из математической олимпиады. Александр
Сергеевич утверждал, что ответ целый и по модулю больше 5. Маша — что ответ натуральный
и по модулю меньше 7. Оказалось, что ответ отрицательный и его можно записать в виде
дроби со знаменателем 2, а Александр Сергеевич и Маша в своих суждениях ошиблись ровно
наполовину. Какой был ответ в задаче? Приведите все варианты.
3. Дан 4ABC. Про него известно, что ∠A = 60◦ . На стороне AC отметили точку H так, что
|AH| = 21 |AB|. Затем на стороне BC отметили точку M так, что |BM | = |M C|, а на стороне
AC отметили точку O так, что M OkBH. Найдите AO, если |AB| = 12, а ∠C = 30◦ .
4. Тролль Гриша уничтожает камни, расставленные вдоль стен его пещеры. Всего камней 666.
Все камни имеют различный вес от 73 до 738 и расставлены случайным образом. Он может уничтожить несколько подряд расставленных камней и получить количество трололошек, равное
суммарному весу уничтоженных камней, деленному на количество камней. Какое максимальное количество трололошек он гарантированно сможет получить за два уничтожения?
Санкт-Петербургский Государственный
Электротехнический Университет
Олимпиада “Математика и алгоритмы”, 2014 год
Выводная аудитория. 9–10 класс
(
(x − [x])2 , [x] — четное
5. Нарисуйте график функции: f (x) =
Напомним, что [x] обозна− (x − [x])2 , [x] — нечетное.
чает целую часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
6. На координатной плоскости нарисован ромб с центром в начале координат и вершинами в
точках (0, a), (0, −a), (b, 0) и (−b, 0). (Числа a и b нам не даны.) Придумайте алгоритм определения принадлежности точки с координатами (x, y) к ромбу, если разрешено: а) ставить точку
с заданными координатами, b) измерять расстояние между точками, с) производить любые
арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и сравнения.
7. Светлая башня Кирилла Романовича, состоящая из 70 этажей, была разрушена. Тролли собрали ее обратно, но теперь она состоит из этажей в следующем порядке: 1, 3, 5, ..., 67, 69,
70, 68, ..., 4, 2. Кирилл Романович хочет придать башне изначальный вид, поэтому он обратился к магу Алексею Леонидовичу. Он умеет делать три операции, но за каждую маг требует
определенную сумму:
(a) любой этаж любой башни вынуть и переделать в первый этаж новой башни — 10 монет;
(b) переставить верхние n этажей любой башни на любую другую башню — 3n монет;
(c) перевернуть любую башню — 50 монет.
У Кирилла Романовича есть 404 монеты. Придумайте, как ему перестроить башню.