Лекция №1 • Основы физики твердого тела Трансляционная симметрия кристаллов

Основы физики твердого тела
Лекция №1
• Трансляционная симметрия кристаллов
• Обратная решетка
• Зоны Бриллюэна
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Аморфные, поликристаллические и
кристаллические твердые тела
Аморфное
состояние
Кристалл
(монокристалл)
лекция №1
Поликристалл
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
The underlying physical laws necessary
for the mathematical theory of a large
part of physics and the whole of
chemistry are thus completely known,
and the difficulty is only that the exact
application of these laws leads to
equations much too complicated to be
soluble.
P.A.M. Dirac 1902-1984
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
П.Дирак, в частности, имел в виду физику твердого тела.
Таким образом при описании свойств твердых тел приходится
пользоваться различными приближениями.
Задачу упрощает симметрия кристаллов.
• Кристаллы состоят из периодически повторяющихся в
пространстве структурных элементов
• Каждый из элементов называется базисом и может быть
атомом, молекулой, группой атомов или молекул
• Такое периодическое расположение структурных элементов обладает трансляционной симметрией, то есть при
перемещении одного из элементов на расстояние
r
r
r
r
R = n1a + n2b + n3c
r r r
где n1, n2, n3 – целые числа, а a, b, c - векторы (которые мы
определим ниже), этот элемент полностью совпадет с
абсолютно идентичным структурным элементом
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
• Если заменить структурные элементы кристалла точками, то
получим периодически расположенные в пространстве узлы, образующие кристаллическую решетку
r r r
• Вектора a, b, c в общем случае начинаются в одном из узлов и
заканчиваются на соседних к нему узлах
• В 1848 году О.Бравэ показал, что все многообразие кристаллических решеток кристаллов можно описать с помощью 7 кристаллографических классов (сингоний) и 14 типов решеток (решетки
Бравэ) если следовать следующим правилам при выборе векторов
r r r
a, b, c (в порядке приоритетности условий)
1. Построенный на этих векторах параллелепипед (элементарная
ячейка кристалла) наилучшим образом отражает симметрию
кристалла
2. Элементарная ячейка имеет максимально возможное число
прямых углов
3. Элементарная ячейка имеет наименьший
выполнения первых двух условий
объем
после
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Решетки Бравэ
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Simple
Cubic (P)
Face-Centered
Cubic (F)
Body-Centered
Cubic (I)
c
c
c
a
a
Simple
Tetragonal (P)
a
a
Body-Centered
Tetragonal (I)
c
b
a
Simple
Orthorhombic
(P)
b
a
Body-Centered
Orthorhombic
(I)
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Решетки Бравэ
c
c
c
b
b
a
a
a
Base-Centered
Orthorhombic
(C)
β
a
β
b
Simple Monoclinic
(P)
º
120
Hexagonal
(H)
Rhombohedral
(R)
c
c
a
лекция №1
a
a
a
Face-Centered
Orthorhombic
(F)
c
α
α α
b
a
Base-Centered
Monoclinic (C)
β
a
α
b
γ
Triclinic (P)
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Решетка Бравэ и кристаллическая решетка
Решетка Бравэ
+
=
Кристаллическая
решетка
Базис
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Двумерные решетки Бравэ
Имеется пять способов расположения точек на плоскости. Эти
способы называются двумерными решетками Бравэ
b’’
γ
a’’
b
γ
a
b
b’ γ
a’
(a) Решетка только с
трансляционной симметрией
b
o
60
a
(г) треугольная (a=b, γ=60o)
b
b’
a’
a
γ
a
(в) Ромбическая (a=b)
Эквивалентна центрированной
прямоугольной
(б) Прямоугольная
b
a
(д) квадратная (a=b, γ=90o)
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Альтернативный способ описания решеток Бравэ
ГЦК
Примитивная ромбоэдрическая
ячейка с векторами трансляций
a
a
a
a′ = (x̂ + ŷ); b′ = (ŷ + ẑ); c′ = (ẑ + x̂)
2
2
2
ОЦК
Примитивная ромбоэдрическая
ячейка с векторами трансляций
a
a
a′ = ( x̂ + ŷ − ẑ); b′ = (−x̂ + ŷ + ẑ);
2
2
a
c′ = ( x̂ − ŷ + x̂)
2
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
В физике твердого тела особенное значение имеет примитивная ячейка Вигнера-Зейтца, которая конструируется следующим образом
(a) Строятся линии, соединяющие ближайшие узлы решетки
(б) проводим перпендикуляры
к этим линиям в их середине
(в) получившийся многоугольник (многогранник), наименьшей
площади
(объема)
называется ячейкой ВигнераЗейтца
лекция №1
Ячейка Вигнера-Зейтца имеет ту же площадь (объем), что и обычная
примитивная ячейка и содержит только один узел решетки. Если
подвергнуть эту ячейку трансляциям, определяемым всеми векторами
решетки, то она заполнит все пространство без перекрытия и разрывов.
Отметим, что симметрия ячейки Вигнера-Зейтца такая же, как и у
соответствующей решетки Бравэ!
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Атомные плоскости
Хотя определение кристаллической решетки и базиса вполне
достаточны для описания структуры кристаллов, очень полезным
оказывается рассмотрение кристаллических плоскостей.
Принято описывать кристаллические плоскости с помощью
индексов Миллера.
Как определяют эти индексы?
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Кристаллические плоскости и индексы Миллера
во х
т
ы
йс тн
е
м лен ей
е
С ва ост
ви оск
к
э пл
b
b/4
лекция №1
Плоскость,
которой
O
a
хотим задать
a/3
индексы
Миллера
Возьмем плоскость, которая пересекает кристаллические оси
в точках с координатами 4а и 3b
Ближайшая к началу координат и параллельная заданной плоскость
пересекает оси в точках a/3 и b/4
Соответственно искомая плоскость называется плоскость (3,4) где 3
и 4 обозначают индексы Миллера
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Правила вычисления индексов Миллера
1. Определить координаты (x, y, z),
пересечения плоскости с кристаллографическими осями в единицах
параметров элементарной ячейки
(a,b,c).
2. Рассчитать обратные значения
этих координат: (1/x, 1/y, 1/z)
b
b/4
O
a
3. Умножить значения на наименьa/3
шее целое кратное к знаменателям: (h, k, l)
4. (h, k, l) – индексы Миллера, определяющие набор эквивалентных
плоскостей, отсекающих на координатных осях (a,b,c) отрезки
длиной пропорциональной 1/h, 1/k and 1/l.
Пример для 2-мерного случая
Пример для 3-мерного случая
x=4, y=3
x=5, y=3, z=1
Индексы Миллера (3,4)
1/4,1/3
1/5,1/3,1
Индексы Миллера (3,5,15)
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Примеры
z
z
z
y
y
(1,0,0)
x
x
(2,0,1)
(1,1,1)
z
y
x
x
(1,1,0)
z
y
z
y
x (2,1,0)
y
x (1,1,1)
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Обозначения
Плоскости обычно обозначаются как (h, k, l)
Семейства эквивалентных плоскостей {h, k, l}
Направления в кристаллической решетке [h, k, l]
x, y, z
Узлы решетки
Отметим, что [h, k, l] направление не
обязательно перпендикулярно к (h, k, l)
плоскости
Индексы Миллера, направления и узлы могут задаваться
отрицательными значениями, напр. 1,1,1
( )
Они могут также обладать множественностью, напр.
для кубического кристалла {1, 0, 0} имеет
множественность 6:
(1,0,0 ) (1,0,0)
лекция №1
(0,1,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,1)
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Обратная решетка
По аналогии с прямой кристаллической решеткой можем теперь
определить нормаль к плоскости (hkl) как точку в элементарной
ячейке, заданной векторами a*, b* и c*, где
[b×c]
a⋅[b×c]
[c×a]
b* = 2π⋅
a⋅[b×c]
[a×b]
c* = 2π ⋅
a⋅[b×c]
a* = 2π ⋅
лекция №1
ортогонален к b и c
ортогонален к c и a
ортогонален к a и b
Из этих определений следует, что:
a*.b = 0
a*.c = 0
a*a = 2π
b*.c = 0
b*.a = 0
b*b = 2π
c*.a = 0
c*.b = 0
c*c = 2π
Решетка, построенная на элементарных векторах трансляций a*, b* и c*,
называется Обратной Решеткой, а a*, b* и c* векторами обратной
решетки
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Построение обратной решетки
b*
b
a*
(0,1)
(1,
0)
(1,1
)
(i) проводим перпендикуляр к каждой плоскости (hkl) из узла прямой
решетки, выбранного как начало координат
a
(ii) На линии перпендикуляра ставим точку на расстоянии 1/dhkl от начала
координат
лекция №1 Таким образом кристаллографические плоскости могут быть заданы как набор точек в обратном
пространстве
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Построение обратной решетки
b*
(2,2)
(1,2)
(0,2)
(3,1)
(2,1)
a*
(1,1)
(3,0)
(0,1)
(2,0)
1/d01
(1,0)
(0,0)
1/d10
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Построение зон Бриллюэна
Строим
перпендикуляры к серединам линий, соединяющих
ближайшие узлы обратной решетки,
затем то же самое
для следующих за
ближайшими и т.д.
4th nearest
neighbour
Nearest
neighbour
2nd nearest
neighbour
3rd nearest
neighbour
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Построение зон Бриллюэна
Получившийся квадрат в центре представляет
собой
примитивную ячейку Вигнера Зейтца
для обратной решетки и называется
первой зоной Бриллюэна
4th nearest
neighbour
Двигаясь от центра
и пересекая Границы Зон Бриллюэна
мы попадаем во 2ю, 3-ю, 4-ю и т.д.
зоны Бриллюэна,
которые становятся все более фрагментированными
Nearest
neighbour
2nd nearest
neighbour
3rd nearest
neighbour
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Схема зон Бриллюэна
4th nearest
neighbour
Nearest
neighbour
2nd nearest
neighbour
3rd nearest
neighbour
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Схема зон Бриллюэна
Легко видеть, что сегменты 2-й, 3-й, 4-й и
т.д. зон Бриллюэна
могут быть спроектированы на 1-ю зону с
помощью векторов 12
примитивных трансляций обратной решетки
11
Такое проектирование
также показывает, что
все зоны Бриллюэна
имеют одинаковую
площадь (объем в 3-х
мерном случае)
Таким образом, любой
процесс, описанный в
схеме расширенной зоны
Бриллюэна (напр. в точке
А) может быть идентично
описан процессом в 1-й
лекция №1
зоне Бриллюэна.
2
3
A
3
1
1
4
2
1
A
8
2
A
4
5
3
1
2
4
7
4
A
3
6
3
6
6
5
A
5
7
2
1
10
7
4
9
A
8
8
Первая зона Бриллюэна –
есть примитивная ячейка
обратной решетки.
A
7
12 5
2
9
10
3
8
11 6
4
1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Выводы
4th nearest
neighbour
Nearest
neighbour
2nd nearest
neighbour
3rd nearest
neighbour
лекция №1
Так же как вся кристаллографическая или структурная информация
содержится в примитивной ячейке прямой кристаллической решетки,
так и вся информация о распространяющихся в кристалле волновых
колебаниях содержится в примитивной (Вигнера-Зейтца) ячейке
обратной решетки, т.е. в первой зоне Бриллюэна.
Каждая волна может быть определена через соответствующий
волновой вектор, κ=2π/λ, поэтому обратную решетку также называют
пространством волновых векторов или k-пространством.
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Все зоны Бриллюэна: Квадратная Решетка
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Первые зоны Бриллюэна: ОЦК
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
Особые точки в k-пространстве для ОЦК
Kz
X
W
L
Γ
X
U
X
Ky
K
Kx
1-я зона Бриллюэна
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
1-е зоны Бриллюэна для ГЦК, ОЦК и ГПУ решеток
реальная: ГЦК
обратная: ОЦК
реальная: ОЦК
обратная: ГЦК
лекция №1
ГПУ
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
First Brillouin Zone FCC
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005
Основы физики твердого тела
First Brillouin Zone BCC
лекция №1
© А.В.Белушкин, 2005