Распределение Пуассона и экспоненциальное распределение

Лекция 4
Распределение Пуассона
и
экспоненциальное распределение
Развитие темы биномиального распределения
Допустим, вероятность наступления события исключительно мала, а число договоров очень велико. Налицо вероятностная неопределенность типа 0 · ∞
Как для этой ситуации посчитать среднее число требований, (а значит и средний размер иска), и, конечно, дисперсию?
Решение
Запишем формулу Бернулли:
!
!
!
Из биномиального распределения мы знаем, что Сделаем замену ≡
Из →∞
следует, что lim →∞
1
→∞
…
1
и lim →∞
!
.
и вычислим предел lim
lim
1
и 1
,поэтому:
!
!
1
!
1
1
!
lim
→∞
1
1
Итак, необходимо вычислить:
lim
!
→∞
lim
→
1
1
Для этого вспомним второй замечательный предел:
1
lim 1
→∞
1
Если положить ≡
, то Поэтому предел, стоящий в числителе, равен:
lim 1
→∞
lim
→∞
1
lim
→∞
1
1
lim
→∞
1
Предел, стоящий в знаменателе, очевидно равен 1:
lim 1
1
→∞
Итого:
lim
→∞
!
lim
→
Это и есть распределение Пуассона:
!
1
1
!
1
Характеристики распределения Пуассона
!
Для решения исходной задачи нужно вычислить матожидание сл. в. .
Построим производящую функцию:
∞
∞
0
0
!
!
Теперь нужно вспомнить формулу Тейлора и ряд Маклорена:
∞
2
1
1!
⋯
2!
0
Таким образом:
!
1
!
Следовательно, матожидание:
′
1
′
И дисперсия:
′′
2
′
2
2
1
′′
1
2
1
1 1
1
2
1
2
2
0
Пример: Колесников, с. 87
Число требований по страховой выплате составило 65% от общего числа проданных полисов. Какова вероятность:
А) того, что произвольно выбранный клиент ни разу не обратится за выплатой? Б) Один раз обратится за выплатой? В) Два и более раз обратится за выплатой?
Решение
Поскольку n велико, а p мало, то логично предположить, что мы имеем дело с распределением Пуассона. Пусть N – общее число проданных полисов, а n1 – число обращений 1 раз, n2 – число обращений 2 раза и т. д. Тогда общее число обращений равно
⋯
1
В таком случае понятно, что
1
2
2
⋯
0,65
При увеличении среднее стремится к математическому ожиданию, а у распределения Пуассона . Следовательно, можно считать, что 0,65.
Это означает, что
0,650 0.65
0
0,5220
!
0!
0,651 0.65
1
0,3393
1!
0,652 0.65
2
0,1102
2!
Два и более раз:
2, 3, …
1
0
1
1 0,5220 0,1102
0,3676
Экспоненциальное распределение
Распределение Пуассона определяет вероятность того, что за некоторый промежуток времени произойдет случайное количество событий. Интересно, каково среднее время ожидания между двумя соседними событиями?
Решение
В распределении Пуассона:
– интенсивность потока, !
то есть это среднее число событий за единицу времени, поэтому можно записать:
Если , то вероятность появления хотя бы одного события за промежуток времени равна:
0
0
1
1
0!
Или в привычных обозначениях
1
Это интегральная функция распределения, поэтому плотность вероятности ее будет равна
′
Это и есть показательное распределение:
,
0,
при
при
0
0
Характеристики экспоненциального распределения
Итак, показательное распределение:
,
0,
при
при
0
0
Случайной величиной в показательном распределении является время между двумя событиями потока. Среднее время между двумя событиями потока – это мат.ожидание
показательного распределения:
∞
∞
∞
0
0
0
Применим формулу интегрирования по частям, получим:
Дисперсия:
∞
2
1
0
Теперь рассмотрим «задачу про газопровод»
Задача про газопровод, с. 129
На участке газопровода аварии случаются в среднем 8 раз в год. С момента последней аварии прошел 1 месяц. А) Какова вероятность того, что авария не произойдет в течение следующего месяца? Б) Следующих двух месяцев?
Решение
,
при
0
0,
при
Логично предположить , что интенсивность потока аварий равна
8
0,6667
12
Пусть случайная величина ‐ время безотказной работы газопровода, тогда в пункте А нас интересует следующая геометрическая вероятность:
2
2 1
1
2
1
∞ ∞
1
2
∞
1
1
∞
1
∞
|
2
∞
|
1
·
1
1
Вероятность еще 1 месяца безаварийной работы:
Вероятность 2 месяцев безаварийной работы:
1
·
·
1
1
1
∙
∙
1
·
1
1
1
1
·
1
2,71 ,
0,59646
1
0,59646
0,3557
0
Развитие темы:
2 задачи:
1. Как найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, например , ?
Решение приводит к появлению функции Лапласа и далее – к нормальному распределению 2. Очень часто событие бывает одно, а влечет за собой ущербов – 2, 3 и т.д. причем число событий есть одна случайная величина, а число ущербов – другая, то есть распределенная по совсем другому закону. Так получается сначала ГАММА‐РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, а затем и все обобщенные распределения.
Следующая тема – Нормальное и все прочие распределения )))
Увидимся через неделю )