Минимальный критический объем цилиндрического гомогенного реактора

Минимальный критический объем
цилиндрического гомогенного реактора
Будем искать такое соотношение между радиусом и высотой
цилиндрического реактора (Rопт, Hопт), чтобы, с одной стороны, его
объем был минимальным, а с другой, чтобы реактор находился
в критическом состоянии.
При такой постановке задачи оптимальные радиус и высота
связаны между собой.
То есть при изменении, например, высоты радиус также будет
изменяться. Тогда R = R(H) и условие минимальности объема
реактора будет иметь вид
dR
dV d (R 2 H )
 2RH
 R 2  0

dH
dH
dH
от сюда
R
dR

2H
dH
Минимальный критический объем
цилиндрического гомогенного реактора
С другой стороны, при оптимальных размерах реактора
геометрический параметр также должен иметь экстремум.
Следовательно, необходимо потребовать, чтобы
2
2
1  02 dR  1   2
dB 2
d   0     
   3  0

       
3
2 R dH  2  H
dH dH  R   H  
Подставляем сюда полученное ранее соотношение для dR/dH

0 R
3
R 2H

2
H
3
0 
 02
H опт
2 2




2  1,847
2
2
Rопт  0
R
H
Выразим Rопт и Hопт через геометрический параметр B
 02
2 2  2
2
B  2  2  2  2 3 2
R
H
H
H
H
2
B 
2
 02
R
2
2

2
H2
 02
 02
32
 2 2
2 R2
R
2R
 H опт 
 Rопт 

B
3
0 3
B
2
Минимальный критический объем
реакторов различной формы
H опт 

3
Rопт 
0 3
B
B 2
Получим значение минимального объема цилиндрического
реактора
3
148
2 2 1
цил
2
3



Vmin  Rопт H опт 
0
2
B3 B3
Для реакторов других форм минимальный объем:
бесконечная пластина: не определяется
парал
прямоугольный параллелепипед: Vmin

сф
сфера: Vmin

130
B3
161
B3
Минимальный критический объем
цилиндрического гомогенного реактора
Вернемся к цилиндрическому реактору и его оптимальным
размерам, которые связаны с геометрическим параметром
Rопт 
0 3
B
2
H опт 

B
3
Вспомним, что в критическом реактора геометрический параметр
равен материальном, и попробуем связать оптимальные размеры
со свойствами среды.
Так как нам нужны больше качественные характеристики, не же ли
количественные, то несколько «загрубим» соотношение для
материального параметра.
k exp( 2 )  1
 
L2
2
Минимальный критический объем
цилиндрического гомогенного реактора
k exp( 2 )  1
 
L2
2
Если наш реактор достаточно большой, так чтобы его
геометрические размеры были много больше, чем пробеги
нейтронов. Тогда экспоненту можно разложить в ряд, в котором
ограничится только первым не постоянным членом
 ( 2 ) n
2
exp(   )  
 1  2
n!
n 0
Тогда
k  k2  1  2  k  1
2
 
2
2
L
 k
L
При k, близком к 1, полученное выражение еще более
упрощается
k  1 k  1
 2  2

L 
M2
где M 2 – площадь миграции нейтронов в процессе замедления и
диффузии
Минимальный критический объем
цилиндрического гомогенного реактора
Тогда для оптимальных размеров
Rопт 
получим
Rопт 
0 3
B
0 M
2
3
k  1 2
H опт 
H опт 

B
3
M
k  1
3
Соответственно, критические размеры зависит от двух
характеристик размножающей среды: коэффициента
размножения и длины миграции.
Например, в реакторе с легководным замедлителем (H2O)
M 2 = 34,7 см2, а в реакторе с тяжеловодным замедлителем (D2O)
M 2 = 11 570 см2.
Следовательно, при одном и том же k легководный реактор
будет иметь меньшие критические размеры, чем
тяжеловодный.
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для реактора конечных размеров
Для гомогенного реактора без отражателя любой формы
распределение нейтронов имеет приблизительно одинаковый
профиль.
Максимальное значение потока
всегда в центре реактора.
Поток нейтронов снижается к
периферии, что является проявлением
утечки нейтронов
Поток нейтронов становится нулевым
на экстраполированной границе.
Соответственно, распределение потока нейтронов (профиль
энерговыделения) в реакторе конечных размеров существенно
неравномерное.
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для реактора конечных размеров
Неравномерность потока нейтронов является одной из важнейших
характеристик, которая определяет распределение
энерговыделения, выгорания топлива, теплосъема и др. по
объему реактора.
Количественно неравномерность потока нейтронов
характеризуется коэффициентом неравномерности по объему
(kv).
Очевидно, что в реакторе, где поток нейтронов равномерен kv = 1
Чем больше kv, тем более неравномерно распределение потока
нейтронов.
По определению коэффициент неравномерности – это отношение
максимального потока нейтронов (в центре реактора) к
среднему по объему потоку нейтронов
0
kv 

Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для реактора конечных размеров
По аналогии с коэффициентом неравномерности по объему
вводятся коэффициенты неравномерности по отдельным
геометрическим направлениям (составляющим).
Например, коэффициентом неравномерности по радиусу (kr),
коэффициентом неравномерности по высоте (kh),
Очевидно, что в этом случае общий коэффициент неравномерности
по объему определится как произведение составляющих по
отдельным направлениям, например
kv  k r k h
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора
По сложившейся традиции рассмотрим цилиндрический реактор,
как наиболее типичную форму энергетического реактора, а затем
представим конечные результаты для других форм реактора,
которые можно получит по аналогии самостоятельно.
Максимальный поток нейтронов имеет место в центре реактора и
будем считать, что он равен Ф0.
Средний поток нейтронов будем находить по теореме о среднем
 (V )dV
V
V
Соответственно, необходимо вычислить интеграл по объему от
ранее полученного распределения потока нейтронов в
цилиндрическом реакторе
   
(r , z )   0 J 0  0 r  cos
 R  H

z

Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора
   
(r , z )   0 J 0  0 r  cos
 R  H

z

Здесь необходимо помнить, что мы работаем в цилиндрической
системе координат, в которой элементарный объем имеет
следующее представление
dV  rdrddz
Тогда
 0   

(
V
)
dV


J

 0 0  R r  cos H
V
V

z rdrddz

Вспомним, что функцию Ф(V) = Ф(r,z) мы получали методом
разделения переменных, а от угла  она вообще не зависит.
Следовательно, наш интеграл будет являться произведение трех
независимых интегралов
H 2
2
R
 0 
 

(
V
)
dV


d

cos
z
dz
rJ

  0  r dr
0 


H  0  R 
V
0
H 2
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора
2


(
V
)
dV


d

cos

0 


H
V
0
H 2
H 2
 

z dz  rJ 0  0 r dr
 0 R 
R
Первых интеграл совсем простой
2
 d  2
0
Второй также не очень сложный

cos


H
H 2
H 2
1
–1
H   H
H  

  H   2 H
z dz 
 sin

sin
sin 





H
2
H
2

H




  H 2
 
H 2
Третий может смущать только наличием функции Бесселя
y
 0 
rJ
 0  R r dr 
0
R
0
R
r , Br 
0
R
, y  Br r
dy
y
dr  , r 
Br
Br
y (0)  0, y ( R )   0
1
 2
Br
0
 yJ 0 ( y)dy
0
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора

1 0
 2  yJ 0 ( y )dy
Br 0
Известно (если не известно, то можно воспользоваться
справочником или другими доступными источниками
информации), что
dJ n ( x)
n
  J n ( x)  J n1 ( x)
dx
x
Найдем производную от функции xnJn(x)
d [ x n J n ( x)]
dJ ( x)
 nx n1 J n ( x)  x n n
dx
dx
и подставим сюда производную от функции Бесселя
 n

nx n1 J n ( x)  x n  J n ( x)  J n1 ( x)  nx n1J n ( x)  nx n1J n ( x)  x n J n1 ( x)  x n J n1 ( x)
 x

Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора
Таким образом,
d [ x n J n ( x)]
n
 x J n1 ( x)
dx
Перенесем dx в правую часть и проинтегрируем
 d[ x
n
J n ( x)]   x n J n1 ( x)dx
или
x n J n ( x)   x n J n1 ( x)dx
Поменяв правую и левую часть местами, получим формулу для
одного из частных случаев интегрирования функции, содержащую
функцию Бесселя
x
n
J n1 ( x)dx  x n J n ( x)
При n = 1
 xJ 0 ( x)dx  xJ1 ( x)
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для цилиндрического реактора
 xJ 0 ( x)dx  xJ1 ( x)
Возвращаемся к нашему интегралу
1
 2
Br
 0 J1 ( 0 )
1
1
0

 yJ 0 ( y)dy  B 2  yJ1 ( y) 0  B 2 0 J1 (0 )  0 J1 (0)
Br2
r
r
0
0
Окончательно, собирая все промежуточные результаты, получим
для величины среднего потока в цилиндрическом реакторе

 (V )dV
V
V
4 0
H  0 J1 ( 0 )
0
4 0 HR 2

J1 ( 0 )

2 2

J
(

)
1 0
2
2
 0

V
Br
R H  0
Тогда для коэффициента неравномерности по объему реактора
получим

 0 0
2,405
kv  0 

 3,63
 4 0 J 0 ( 0 ) 4 J 0 (2,405)
Коэффициент неравномерности потока
нейтронов для реакторов различной формы
Бесконечная пластина: k x 

2
 1,57
Прямоугольный параллелепипед: kv 
Цилиндр: kv 
Сфера: kv 
 0
 3,63
4 J 0 ( 0 )
2
3
 3,29
3
8
 3,87
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Мы рассмотрели физические свойства среды, размножающей
нейтроны, конечных размеров.
В самом начале мы предположили, что такая среда обладаем
следующими параметрами:
1. Среда является гомогенной и изотропной.
2. Все нейтронные источники и стоки распределены по
системе равномерно.
3. Все нейтроны в системе, включая нейтроны источников
имеют одинаковую скорость (одногрупповое
приближение)
Достаточно условно мы называли такую среду реактором.
Или более точно – гомогенным реактором в одногрупповом
диффузионном приближении.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Для такого реактора мы нашли уравнение, которое описывает
изменение пространственного распределения потока нейтронов
во времени
1
Ф(r, t )  D(r, t )   a (r, t )  S (r, t )
v t
изменение потока
нейтронов во
времени
диффузия
тепловых
нейтронов
поглощение
тепловых
нейтронов
источник
нейтронов
Для стационарного случая мы имели уравнение вида
DФ(r)   a Ф(r)  S (r)  0
Здесь важно то, что на этом этапе мы полагали, что источником
нейтронов является реакция деления.
При этом в рамках одногрупповой модели (нейтроны имеют
одинаковую энергию и скорость) нейтроны сразу рождаются
тепловыми.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Далее мы рассмотрели граничные условия для записанного
диффузионного уравнения.
Здесь мы снова использовали модельное описание некоторой
условной границы, на которой поток нейтронов обращается в
ноль.
Мы полагали, что на фактической
границе поток нейтронов должен
иметь какое-то ненулевое значение.
При этом мы продлили функцию
потока за пределы реактора
(экстраполяция) при сохранении
изменения функции (производной по
координате, градиента, угла
касательной).
Полученную точку, где поток равен нуля, мы назвали
экстраполированной границей.
Для длины экстраполяции теория диффузии дает значение
2D=2/3тр, но мы приняли уточнение, данное теорией переноса, –
0,71тр
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
За тем не удовлетворившись описанием источника нейтронов,
данным в одногрупповом диффузионном приближении, мы более
детально рассмотрели закономерности замедления нейтронов
в рамках возрастного приближения.
Мы ввели дополнительные приближения для описания
гомогенной среды конечных размеров, в частности, положили,
что:
1. Макроскопические сечения поглощения среды много
меньше макроскопических сечений рассеяния.
2. Размеры системы много больше характерных нейтронных
длин, например длины диффузии и длины замедления.
3. Рассеяние нейтронов изотропно в системе центра масс.
4. Массовая доля замедлителя существенно больше
массовой доли топлива.
5. Нейтроны замедляются непрерывно.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Далее мы ввели функцию плотности замедления q(E), как число
нейтронов в 1 см3 за 1 сек величина энергии которых при
замедлении проходит через значение энергии E.
И установили взаимосвязь между плотностью замедления q(E) и
функцией потока нейтронов Ф(E)
q
( E ) 
 s E
Это нам позволило после введения переменной
E0
s D
 s E0 
s D

(
E
)


dE

D
ln 
d  
dE


E
E
E

E
которая называется возрастом нейтронов, получить уравнение
для описания функции плотности замедления – уравнение
возраста
q
 q

НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Решение уравнения возраста для гомогенного реактора конечных
размеров позволило получить уточненное описание источника
тепловых нейтронов через функции плотности замедления
q( , r ) 
k

 a (r ) exp( 2 )
И мы получили стационарное уравнение для критического
гомогенного реактора уже в более точном диффузионовозрастном приближении
D(r)   a (r)  k a (r) exp( 2 th )  0
Очевидно, что и для нестационарного случая уравнение будет
иметь аналогичный вид
1
(r, t )  D(r, t )   a (r, t )  k  a (r, t ) exp( 2 th )
v t
Таким образом, мы получили объект для изучения физических
свойств гомогенного реактора конечных размеров.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Далее в рамках задачи изучения свойств гомогенного реактора
конечных размеров мы рассмотрели критическое уравнение
k exp( 2 th )
1
2 2
1 L 
Это уравнение справедливо для гомогенного реактора без
отражателя и применимо к тепловым нейтронам с
пространственным распределением плотности, определяемым
возрастом нейтронов.
Уравнение является трансцендентным относительно параметра
2., который мы назвали материальным параметром, подчеркивая
его зависимость только от физических свойств среды:
коэффициента размножения нейтронов для бесконечной среды;
возраста нейтронов, длинны диффузии тепловых нейтронов.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Затем мы определили физический смысл составляющих,
входящих в критическое уравнение:
exp( 2 ) – вероятность того, что нейтрон избежит утечки из
реактора конечных размеров в процессе
замедления (коэффициент утечки быстрых
нейтронов).
1
– вероятность того, что тепловой нейтрон избежит
2 2
1 L 
утечки при диффузии в реакторе конечных
размеров (коэффициент утечки тепловых
нейтронов.
Определив полной вероятностью того, что нейтроны избегут
утечки в реакторе конечных размеров за их полный жизненный
цикл как произведение этих коэффициентов
exp( 2 )
P
,
2 2
1 L 
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Определив полной вероятностью того, что нейтроны избегут
утечки в реакторе конечных размеров за их полный жизненный
цикл как произведение этих коэффициентов
exp( 2 )
P
,
2 2
1 L 
мы ввели понятие – коэффициент размножения для среды
конечных размеров (kэфф)
k эфф
k exp( 2 )
 k P 
1  L22
и потребовали равенства 1 уже эффективного коэффициента
размножения в качестве необходимого условия для
критичности реактора конечных размеров.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Тогда для обеспечения критичности:
в бесконечной среде: k = 1; P = 1
в среде конечных размеров: k > 1; P < 1; kэфф = 1
Далее мы попытались найти решение нестационарного
уравнения для гомогенного реактора
1 (r, t )
 D (r, t )   a (r, t )  k  a (r, t ) exp( 2 )
v t
которое получили в виде разложения функции потока нейтронов в
бесконечный ряд по собственным функциям n(r) относительно
собственных значений Bn

(r, t )   An n (r ) exp(nt )
где
n 0
n  (2  Bn2 )vD
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Анализ полученного решения для различных соотношений
между параметрами 2 и B2 при t позволил нам получить
условие критичности для гомогенного реактора в виде
равенства параметров 2 и B2
Мы получили, что:
если 2  B02 , то реактор находится в подкритическом состоянии;
если 2  B02 , то реактор находится в надкритическом состоянии;
если 2  B02 , то реактор находится в критическом состоянии.
Параметр B мы назвали называть его геометрическим
параметром (далее мы убедились, что он завит только от
геометрических размеров реактора).
И сформулировали условие критичности:
В гомогенном ядерном реакторе без отражателя в диффузионовозрастном приближении материальный параметр равен
геометрическому:
2  B 2
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
В завершении мы рассмотрели гомогенные реакторы
различной формы: бесконечную пластину, прямоугольный
параллелепипед, цилиндр, сферу.
Для каждого из них определили: функцию распределения
потока нейтронов; геометрических параметр; оптимальные
размеры, определяющие минимальный объем реактора в
критическом состоянии; коэффициент неравномерности
нейтронного потока по объему.
НАШИ ДОСТИЖЕНИЯ
Форма
Геометрический
параметр
Нейтронный поток
Пластина

 0 cos
H
Параллелепипед
  
 0 cos x  cos
a  b
Цилиндр
 2,405   
0 J 0 
r  cos
R

 H
Сфера
0
 
 
H 

x

R  
sin r 
r  R 
 
y  cos
 c

z


z

2
нет
     
     
a b c
2
2
 2,405    

  
 R  H 
2
 
 
R
2
2
kv
Vmin
2

2
 1,57
161
B3
3
148
B3
 0
 3,63
4 J 0 ( 0 )
130
B3
2
8
3
 3,87
 3,29