Теория рассеяния для систем нескольких частиц

Аннотация курса
“Теория рассеяния для систем нескольких частиц”
Направление 510400 “Физика”
Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц является одним из основных
средств описания процессов столкновений ядер, атомов, молекул и т.д. Элементы теории
рассеяния для систем двух частиц являются частью стандартного курса квантовой механики. Целью представляемого курса является не только более глубокое изучение вопросов,
относящихся к двухчастичной тематике, но и представление существенно более трудных
результатов теории рассеяния для систем, содержащих три и более частиц. В частности, в
настоящем курсе предусматривается изложение аппарата уравнений Фаддеева для системы
трех частиц и уравнений Якубовского для системы четырех частиц.
Цель изучения дисциплины: формирование у студентов, обучающихся по учебному
плану кафедры теоретической физики, представления о основных методах описания процессов столкновений, упругого рассеяния и перестройки в системах нескольких квантовых
частиц.
Задачи курса: ознакомление студентов с основными концепциями и математическим
аппаратом квантовой теории рассеяния, изучение ими основных закономерностей в процессах рассеяния квантовых частиц.
Пререквизиты курса: необходимо знание основного курса квантовой механики, должны быть усвоены курсы линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений
и теории функций комплексной перменной; знакомство с курсом уравнений математической физики желательно, но не обязательно; также желательно (но не обязательно) знание
ряда элементов функционального анализа и теории операторов; предполагается, что все
необходимые факты из теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах будут сообщаться непосредственно при прохождении курса.
1
Программа курса
“Теория рассеяния для систем нескольких частиц”
Направление 510400 “Физика”
1. Физическая постановка задачи рассеяния. Нестационарный подход в теории рассеяния. Оператор эволюции и его свойства. Изменение векторов состояния во времени;
приходящие и уходящие состояния. Волновые операторы и их свойства. Оператор
рассеяния. Оператор рассеяния и матрица рассеяния в задаче двух частиц.
2. Стационарный постановка задачи рассеяния. Резольвента оператора Шредингера и ее
основные свойства. Импульсное и координатное представления. T -матрица. Волновые функции непрерывного спектра в импульсном представлении как ядра волновых
операторов. Оператор рассеяния и матрица рассеяния для системы двух частиц в
рамках стационарного подхода.
3. Уравнение Липпмана-Швингера для двухчастичной T -матрицы и его свойства. Оптическая теорема. Аналитическое продолжение двухчастичной T -матрицы на нефизический лист энергии. Явные представления для двухчастичных T - и S-матриц на
нефизическом листе. Связанные состояния и резонансы системы двух частиц как полюса и нули матрицы рассеяния на физическом листе.
4. Вероятность перехода в единицу времени; дифференциальное и полное сечения рассеяния в задаче двух частиц. Дифференциальное сечение рассеяния и T -матрица.
Нормировка волновых функций непрерывного спектра.
5. Функция Грина для системы двух частиц в координатном представлении. Координатные асимптотики волновых функций рассеяния для системы двух частиц.
6. Рассеяние бесспиновых частиц в центральном поле. Парциальные разложения. Парциальные амплитуды рассеяния и S-матрица в базисе из собственных функций момента импульса. Представления S-матрицы для сферически-симметричного потенциала. Фазы рассеяния. Функция спектрального сдвига и формула Бирмана-Крейна.
7. Функция Йоста для ℓ = 0, ее аналитические свойства и связь с матрицей рассеяния.
Функции Йоста для произвольных ℓ. Теорема Левинсона. Аналитические свойства
функций Йоста и парциальных матрицы рассеяния на комплексной плоскости k. Движение связанных состояний и резонансов при изменении параметров потенциала.
8. Рассеяние частицы на короткодействующем потенциале при низких энергиях. Длина
рассеяния. Приближение эффективного радиуса. Рассеяние медленных частиц на резонансном состоянии. Рассеяние на потенциалах нулевого радиуса и точечных потенциалах с внутренней структурой. Модель граничных условий и потенциал твердого
кора.
9. Резонансное рассеяние медленных частиц с произвольным моментом импульса на
сферически-симметричной прямоугольной потенциальной яме.
10. Рассеяние частицы на кулоновском потенциале. Параболические координаты. Парциальные волны. Рассеяние частицы на комбинации кулоновского и короткодействующего потенциалов.
2
11. Рассеяние частиц высокой энергии. Борновское приближение.
12. Квазиклассическое приближение в рассеянии на сферически-симметричных потенциалах. Квазиклассические особенности дифференциального сечения рассеяния: радужное рассеяние и глория.
13. Рассеяние в многоканальных системах с бинарными каналами. Многоканальные T матрица и матрицы рассеяния; амплитуды и сечения рассеяния. Риманова поверхность энергии в многоканальной задаче. Строение многоканальных T -матриц и матриц рассеяния на нефизических листах энергии. Связанные состояния и резонансы
как полюса и нули матриц рассеяния на физическом листе.
14. Кинематика в системе трех частиц. Координаты и импульсы Якоби. Нефредгольмовость уравнений Липпмана-Швингера для T -матрицы и резольвенты в задаче трех частиц. Интегральные уравнения Фаддеева для компонент резольвенты. Интегральные
уравнения Фаддеева для компонент T -матрицы. Строение T -матрицы и функции Грина для системы трех частиц с быстроубывающими взаимодействиями на основании
анализа интегральных уравнений Фаддеева в импульсном представлении. Строение
оператора и матрицы рассеяния.
15. Волновые функции непрерывного спектра для системы трех частиц в импульсном и
координатном представлении. Метод эйконала в теории потенциального рассеяния.
Аналогия между задачей рассеяния для системы нескольких частиц и задачей дифракции. Использование эйконалов при записи координатных асимптотик волновых
функций рассеяния и функций Грина. Координатные асимптотики волновых функций
рассеяния для процессов 2 → 2, 3 и 3 → 2, 3. Амплитуды и фазы упругого рассеяния,
амплитуды перестройки и развала.
16. Дифференциальные уравнения Фаддеева для компонент волновой функции в координатном представлении. Координатные асимптотики для компонент Фаддеева волновых функций системы трех частиц и краевые задачи для дифференциальных уравнений Фаддеева. Краевые задачи для дифференциальных уравнений Фаддеева в случае
потенциалов с твердым кором. Трехмерные дифференциальные уравнения Фаддеева
в представлении полного момента. Система двумерных интегро-дифференциальных
уравнений Фаддеева как результат разложения дифференциальных уравнений Фаддеева по бисферическому базису.
17. Универсальные закономерности в задаче трех квантовых частиц при ультранизких
энергиях. Эффект Томаса для системы трех частиц с потенциалами нулевого радиуса. Эффект Ефимова для системы трех бозонов с бесконечными парными длинами
рассеяния. Уравнения Скорнякова–Тер-Мартиросяна как специальный случай уравнений Фаддеева. Объяснение эффектов Ефимова и Томаса на основании уравнений
Скорнякова–Тер-Мартиросяна.
18. Кинематика в системе четырех частиц. Относительные координаты и импульсы. Разбиения 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 и 1 + 1 + 1 + 1. Цепочки разбиений и определение компонент Якубовского волновых функций и резольвенты. Вывод дифференциальных
уравнений Якубовского для системы четырех частиц. Краевые задачи для дифференциальных уравнений Якубовского в случае процессов с двумя кластерами в начальном состоянии.
3
Рекомендуемая литература
1. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А.М.Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике, М.: Наука, 1971.
2. В. Б. Беляев, Лекции по теории малочастичных систем, М.: Энергоатомиздат, 1986.
3. С. П. Меркурьв, Л. Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких
частиц, М.: Наука, 1985.
4. Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц, М.: Мир, 1969.
5. Дж. Тейлор. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений,
М.: Мир, 1975.
6. Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Лекции по квантовой механике для студентовматематиков, Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
4