""уд кJ^J{~—

ЬббобОТЗО^СПЬ
Lb6 30660060560)6 6d>6eR0300b 8 СП 6 8 5 Оэ 93, № 2, 1У,9
С О О Б Щ Е Н И Я АКАДЕМИИ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР, 93, № 2, 1979
BULLETIN of the ACADEMY of SCIENCES of the GEORGIAN SSR, 93, № 2, 1979
""уд к J ^ J { ~ —
МАТЕМАТИКА
Б. С. КАШИН
'
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРОСТРАНСТВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ, СВЯЗАННЫХ
С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ
(Представлено членом-корреспондентом Академии Л. В. Жижиашвили 16.11.1978)
Для данного п>0
определим 2п + 1-мерное нормированное пространп
СТЕО
f/2n+1 многочленов t(x) вида t(x)= "Т/^" + /
a
k
cos
^ x + bksin kx
с нормой
КХ) ||^2Л+1 =
SUp
О< г< я
^ 6 [0,2 тс]
"j/^ + /
&h c o s ^ x + bk sin &#
В настоящей заметке, являющейся продолжением работы [1], указы­
вается ряд свойств пространства {У2П+1, сходных с теми, которые бь
ли доказаны в [1] для пространства многочленов
t(x) с нормо!:
t (x)\\ciQt2n). Ниже, для данного набора чисел [Уь\1"о чеР^з t(x9 \yk}) обо2жк
означаем единственный многочлен t(x) £[/ 2 П *\ такой, что 4o~~T~i = %.
0 < k < 2/г. •
У т в е р ж д е н и е 1. Для любого набора чисел {У^Т-т '#*! ^ "-.
0 ^ k ^ 2/г найдется такой набор l&fe}!"0> 8А* = ± 1, 0 ^ k ^ 2п, что
||/(*. '{ел^))1(/2л+1 < i ^
Следствие 1. Для любых чисел
п > 0, о >» 0 и любого нзборг
{f//i}l=o> ll/fei ^ 1? 0 ^ й ^ 2я. найдется такой набор чисел {ук}1%> что
а)
У
1>(1-5).(2я+1);
б) || *(х, Ы ) l b ^ i < 4 -
к:Ук=Уи
Следствие 1 можно считать конечномерным аналогом теоремы Д. Ч.
Меньшова ('[2], стр. 448) о возможности исправления любой непре
рывной функции на множестве малой меры до функции с равномер->.•
сходящимся рядом Фурье» А. М. О л ев с к и й [3] показал, что изго­
няя даже половину чисел {ук} существенно уменьшить сумму мод;
лей коэффициентов многочлена t(x, \yk\) вообще говоря нельзя.
С1 Ниже через
К, С, с обозначаются абсолютные постоянные,
282
Б, С. К а ш и н
Из утверждения 1, с помощью рассуждений, приведенных в [1],
вытекает
У т в е р ж д е н и е 2. Объем V(B2(}Z+1) единичного шара В2/}*1 прост­
ранства U2'71*1 удовлетворяет неравенствам
пп*с™11 >У(В%+1) > п-п-С~п.
Из утверждения 2 и следствия 2 из [1] вытекает
У т в е р ж д е н и е 3. Для всякого е > 0 существует постоянная
сг > 0? такая, что в любом подпространстве L cz L 2 (0 ? 2n) коразмерно­
сти т найдется такой многочлен Т(х) ===~^+
)
йк cos kx + ^ sin kx
m
степени #^~o~*(l + s), что
a)
1 T{x) \\игп+1 < i
*l +\K\
>cs-m4*.
Приведем доказательство утверждения 1.
Л е м м а . Для любого о, 0 < о <с 1/2 и любого набора {у^'1%,
\ук | ^ 1, 0 ^ k ^ 2л найдется такой набор {sA}|=0, еА = ± 1, что при всех
О < / < /' < 2л
S(/, /',
ta})=s
/
£=/+1
5(Ь /', {eft^})
)
ЧУк^шкх
skyk cos kx
С(0,2Я)
C(0,2Jt)
<С6(?-1У
I***',
О)
< 0>(/' - /) 1 / 2 + s -
В доказательстве леммы используются следующие два факта
(первый из них.-—простое следствие экспоненциальных оценок функций
распределения полиномов по системе радемахера, а второй — след­
ствие неравенства Б е р н ш т е й н а ) : 1) для любого набора векторов
i
1
/
i^iiiLh li — {£//}/= 1» \ец\^
при 1 < i < i0
,
шах
1«7=<7(0</о
1 найдется такой набор {s/}y!Li> 8 / == ± Ь
<7
>
е
//еу
что
</c-(/oin(Wo)) 1/2 ;
/=1
2) для любой пары чисел р и p'(p<Zp') найдется не более С(р' — р)
точек х£ cz [0,2тс], таких, что для любого многочлена
Р'
Р (х) =
У
ак cos £t + bk sin &х, ||Р(х) ||С(0(2я) <
Для данного 5, 0 < 6 <С 1/2, положим г =
4 т ж
I P(xi) I-
+ 1. Не ограничивая
общности, можно считать, что число 2л имеет вид 2л = (s!)r; s —целое.
О некоторых свойствах пространства тригонометрических многочленов...
283
При l ^ v ^ s разобьем отрезок <0, 2п] на (s!/v!) r отрезков длины (v!)r.
Построим последовательность наборов (e&Jl-i? 1 ^ v ^ s (г'1 = ± 1), которая
будет такова, что
а) неравенства (1) будут выполняться для набора {в1) и таких пар
чисел (/, /'), что /?-(vl)r < / < / ' < ( / ? + l)(v!)r? 0</?<(s!/v!) r (тем самым
набор |е|} будет искомым);
б) при /?-(v!)r'<& sgl(p + l)(vl) r , 0 ^ p < ( s ! / v ! ) r будет выполняться
равенство;
4 ? + 1 - Ф Г р , где г Р = ± Ь
Будем обозначать
5V=
max
0<p<(s!/v!) r
.
..
max(S(p(vir, /', {е^А}), SO^v!/, f, №yk])).
(2)
(3)
p-(^)r<f<(P+l)(vDr
Выбирая набор {е/г!|!!0 произвольно, получаем, что B-L ^ 1. Если теперь
набор {е]£} уже выбран (и тем самым число Bv определено), то пользуясь
.приведенными. в начале доказательства леммы утверждениями 1) и 2) мож­
но построить набор Js|+1}|2o так, чтобы соотношение (2) -выполнялось, а
число Ву+Ъ определенное в (3) по набору (s| +1 ) удовлетворяло неравенству
5 v + 1 < / C - f i v - ( v + ir/ a -ln[(v + 1)!]',
Таким образом, набор
{4!
'
(4)
будет обладать тем свойством, что при
max (S(/, /', {е|*/Л}), S(/ ? Л {4%)) ) < 2 ^ Bv»
Но из (4) и неравенства Вг^\
(5)
следует,-что
£ v + 1 < [ ( v + l)4 r / 2 '# v + 1 -' , v + 1 -
п
1п(й)<С г (у|) г / а + а .
1<£<V+1
•>
Следовательно, правая часть в (5) не превосходит
C'r(q\Yl2+2 ^
1/2+д
•^ Сб(/" —/)
; лемма доказана. Для доказательства утверждения Г рас­
смотрим набор {&k\l%, построенный в лемме по набору {yh}f/iQ, какому-то
числу 6, 0 < 5 < 1/2 и оценим \\t(xf {цук})\\ц2п+ъ При О^т^п
частная
сумма Sm(y, t(x, {shyk})) в точке г/£[0,2и] равна (см. [4], стр. 16)
,
ы
*=0
1 \ ,' 2nk
sin т+ -jr I ~——r— #
Sln
"2" l ^ + l - ^
Применяя для оценки суммы (6) преобразование Абеля и пользуп
шъ неравенствами (1) и очевидной оценкой
I у
1
А>=1
ак sin (& — s) у
284
Б. С. К а ш и н
ah sin ky I + \ у
ah cos &# (s—любое число), получаем нужную»
нам оценку
k=\
Академия наук
Математический
СССР
ИНСТИТУТ
(Поступило 17.11.1978)
860Ю356СШ
ъ. дъъот
бсэдшБгаоббо^о зтс?п-Бгааог>оь ьозбвоь ът&ообою. отзоьоьоь
^о ^ ° а 3 о
дЛооо oogo-'b^oo оооБооосо j&god^ocnodjooot) Qo-cyo^oAgoooo.
MATHEMATICS
В. S. К ASH IN
ON SOME PROPERTIES OF THE SPACE OF TRIGONOMETRIC
POLYNOMIALS IN CONNECTION WITH UNIFORM
CONVERGENCE
• Summary
Some properties of the space of trigonometric polynomials of degree с^/г?
connected with uniform convergence of Fourier series? are investigated,
^0606oOT66 — ЛИТЕРАТУРА — REFERENCES
1.
2.
3.
4.
Б. С. К а ш и н. Труды МИАН? т. 145.
Н. К. Б а р и . Тригонометрические ряды. М., 1961.
A.M. О л е в с к и й. ДАН СССР, 238, № 4, 1978.
А. 3 и г м у н д. Тригонометрические ряды, т. 2. Мв? 1965,