o некоторых свойствах функций выбора в теории принятия

⎡ ∂ ln f r ∂ ln t ⎤ r
t ( u j ) f r ( u rj ) = const ,
+
⎢
r
r ⎥
∂
u
∂
u
⎢⎣
j
j ⎥
⎦
∂f r
= const , j = 1, q r , r = 1, p ,
∂ u rj
то имеет место равенство
∂E 1
∂E 1
νr
∂f r
∂f h
.
:
=
ν h ∂E h ∂f h ∂E r ∂f r
∂ f h ∂ u hj ∂ f r ∂ u rj
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Манукян Л.А. О проектировании автоматизированной обучающей системы и ее применении // Моделирование,
оптимизация, управление: Сб. научн. тр.
/ ГИУА.- Ереван, 1999.- С. 139-143.
2. Манукян Л.А. Диалоговые средства тестирования в динамической обучающей системе // Моделирование,
оптимизация, управление: Сб. научн. тр. / ГИУА.- Ереван, 1999.- С. 184-189.
3. Манукян Л.А., Аггашян Р.В., Манукян А.Э., Аракелян А.А. К вопросу проектирования АОС
алгоритмических языков программирования // Computer science and information technologies: Тез.докл.науч.практ. конф. - Ереван, 1999.- С. 339-342.
ГИУА
07.01.1999
Изв. НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. 2000. Т. LIII, № 1.
УДК 519.6
АВТОМАТИЗАЦИЯ И
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
M.A. АЛАМЕДДИН
O НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ВЫБОРА В ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ
Դիտարկվում է ֆունկցիաների և նրանց ծնող բինար հարաբերությունների
հատկությունների հետազոտման անհրաժեշտությունը խնդիրներում, որոնք առաջանում են բաշխված տվյալների բազաների ստեղծմամբ և արհեստական բանականության համակարգերում:
103
Рассматривается проблема изучения свойств функций выбора и порождающих их отношений в
задачах, связанных с созданием распределенных баз данных, а также в исследовании систем
искусственного интеллекта.
Ил. 1. Библиогр.: 3 назв.
The problem of the study of choice functions and relations generated by these functions is
considered. Such a type of problems provides consideration of distributed databases and artificial
intelligence systems.
Ill 1. Ref. 3
Введение. Основой всякой задачи принятия решений является бинарное отношение,
заданное на множестве альтернатив. В большинстве практических задач оценка решения
производится по одному критерию. Однако известны случаи, когда оценку решения
необходимо производить по нескольким аспектам или критериям [1,2]. Модели, в которых
оценка решения производится по нескольким критериям, рассматриваются в теории выбора и
принятия решений .
Проблема изучения свойств функций выбора и порождающих их отношений возникает в
задачах, связанных с созданием распределенных баз данных, а также в исследовании систем
искусственного интеллекта [3].
Данная работа посвящена изучению свойств функций выбора, связанных со свойствами
порождающих их отношений предпочтения.
1. Определения и обозначения. Пусть задано некоторое множество Ω элементов
произвольной природы и ρ - отношение предпочтения, заданное на Ω . Пару ( Ω , ρ ) будем
называть задачей принятия решений.
Функцией выбора будем называть такое отображение C: Ω → Ω , которое каждому
подмножеству Х ⊂ Ω ставит в соответствие множество С(Х) ⊆ Х. Если между элементами х и
y ∈ Х ⊂ Ω определено отношение ρ , то будем писать (х,y) ∈ ρ .
Определим функцию выбора Cρ (X ) = {x ∈ X ( y, x ) ∉ ρ для любой y ∈ X } , которую назовем
блокировкой.
Определим следующие классы функций выбора [2]:
Условие наследования (H): если X′ ⊆ X , то C(X′) ⊇ C(X ) ∩ X′ .
Условие согласия (C):
I C(x ) ⊆ C(∪ x ) .
i
i
i
i
Условие слабой сумматорности (CCM):
C(X1 ∪ X 2 ) ⊆ C(X1 ) ∪ C(X 2 ) .
Условие слабой мультипликативности (CMП):
C(X1 ∩ X 2 ) ⊆ C(X1 ) ∩ C(X 2 ) .
Условие монотонности (M): X1 ⊆ X2 влечет C(X1) ⊆ C(X2).
Пусть даны бинарные отношения ρ i ⊂ ΩxΩ , i =1,…,n. Под суперпозицией отношений
ρ i , i=1,…,n будем понимать отношение ρ = ρ 1 o ρ 2 o … o ρ n, определенное следующим
образом:
104
(x,y) ∈ ρ 1 o ρ 2 o … o ρ n тогда и только тогда, когда существуют такие
{zi } i=1,n-1 ⊂ Ω , что (x,z) ∈ ρ 1 &(z1,z2) ∈ ρ 2 &…& (zn-1,y) ∈ ρ n .
Под суперпозицией функций выбора блокировки C ρ и C σ будем понимать функцию
выбора C, определенную следующим образом:
(z,x) ∈ C ρ o C σ тогда и только тогда, когда существует такое x ∈ X , что (z,y) ∈ C ρ , (z,x)
∈C σ .
2. Свойства функций выбора блокировки
Теорема 1. Функция выбора блокировки обладает свойствами наследования, согласия,
слабой сумматорности, слабой мультипликативности и немонотонности.
Доказательство. Докажем, что функция выбора блокировки имеет
свойство
наследования. Пусть X ' ⊆ X . Покажем, что C ρ (X) ∩ X ′ ⊆ C ρ (X ′) . Пусть x ∈ C ρ (X ) ∩ X ′ .
Тогда (y,x) ∉ ρ для любого y∈x. Следовательно, (y,x) ∉ ρ для любого y∈ X ′ . Отсюда и из x∈ X ′
следует x∈Cρ( X ′ ).
Докажем, что функция выбора блокировки имеет
свойство согласия. Пусть
x ∈ C ρ (X i ) . Отсюда x∈Cρ(Xi) для любого i. Следовательно, x∈Xi, (y,x)∉ρ для любого i.
I
i
Отсюда x ∈
UX
i
i
и (y,x)∉ρ для любого y ∈
UX
i
. Следовательно, x ∈ C ρ (
i
UX ) .
i
i
Докажем, что функция блокировки имеет свойство слабой сумматорности. Пусть
x ∈ C (X 1 ∪ X 2 ) . Тогда либо x∈X1, либо x∈X2 и (y,x)∉ρ для любого y∈X1∪X2. Отсюда
x∈Cρ(X1) и либо x∈Cρ(X2), либо
x∈Cρ(X1) ∪ Cρ(X2).
Следовательно, Cρ(X1∪X2)⊆ Cρ(X1) ∪ Cρ(X2). Нетрудно привести пример,
показывающий, что функция выбора блокировки не обладает свойством сумматорности.
Докажем, что функция выбора блокировки имеет
свойство слабой
мультипликативности. Если x∈Cρ(X1) и x∈Cρ(X2), то (y,х)∉ρ для любого y∈X1 и y∈X2 , т. е.
для любого y∈X1 ∩ X2. Следовательно, (y,x) ∉ ρ для любого y∈X1 ∩ X2. Отсюда
C(X 1 ) ∩ C(X 2 ) ⊆ C(X 1 ∩ X 2 ) .
Докажем, что функция выбора блокировки может не обладать свойством монотонности.
Пусть x∈ C ρ (X 1 ) и существует такой y∈X2\X1 , что (y,x) ∈ ρ . Тогда х ∉ C ρ (X 2 ) .
Аналогично можно доказать, что функция выбора блокировки может не обладать
свойством сумматорности, т.е.
C ρ ( X 1 ) ∩ C ρ ( X 2 ) = C( X 1 ∪ X 2 ) ,
и свойством мультипликативности
C(X 1 ∩ X 2 ) = C(X 1 ) ∩ C(X 2 ) .
ρ
105
Теорема 2. Пусть ρ i -бинарные отношения, заданные на Ω, i=1,...,n; C
функции выбора блокировки. Тогда C
Доказательство.
y,{z k }k =1,n −1 ⊂ X , что
Пусть
ρn
ρn
, C ρ1 o...oρn -
( X ) ⊂ C ρ1 o...o ρ n ( X ) для любого Х ⊂ Ω .
x∈ C ρ n (X)
и
x ∉ C ρ1 o...oρ n (X).
Тогда
существуют
такие
( y, z1 ) ∈ ρ1 & ( z1 , z 2 ) ∈ ρ 2 & ... & ( z n −1 , x) ∈ ρ n .
Следовательно, x ∉ C
ρn
( X ).
Teорема 3. Пусть ρ i - бинарные отношения, заданные на Ω , i = 1,K, n ; C
функции выбора блокировки, j = 1,…,n.
ρj
, C ρ1 o...oρn -
ρj
ρ n ( X ) ∩ C ( X ) ≠ empty, j < n , то
Тогда, если
ρ
C j ( X ) ⊂ C ρ1 o...o ρ n ( X ), j < n.
Доказательство. Пусть x∈ C
такая
ρj
(X). Так как ρn ( X ) ∩ C
ρj
(X ) ≠ empty, j<n, то существует
{z k }k =1,n −1 ⊂ X ,
последовательность
что
( y, z1 ) ∈ ρ1 & ( z1 , z 2 ) ∈ ρ 2 & ... & ( z n −1 , x) ∈ ρ n , ( y,x ) ∈ρ1 oKoρ n . Отсюда
x∈ C
ρ1 o...o ρ n
( X ).
Теорема 4. Пусть ρ i - бинарные отношения, заданные на Ω , i = 1,K, n ; C
функции выбора блокировки, j=1,…,n. Тогда, если ρ n ( X ) ∩ C
ρj
ρj
, C ρ1 o...oρ n -
( X ) = empty, j < n , то
ρ
C j ( X ) ⊂ C ρ1 o...o ρ n ( X ), j < n, X ⊆ Ω. .
ρ
Доказательство. Пусть x∈ C j (X). Если бы x ∉ C
последовательность
{zk } k=1,n−1 ⊂ X
ρ1 o...o ρ n
( X ), то существовала бы такая
и
y ∈ X , что
( y, z1 ) ∈ ρ1 & ( z1 , z 2 ) ∈ ρ 2 & ... & ( z n −1 , x) ∈ ρ n . Следовательно,
( y, x) ∈ ρ1 o ... o ρ í , x ∈ ρ n ( X ).
Отсюда
противоречие с тем, что ρ n ( X ) ∩ C
ρj
ρ
x ∈ ρn (X ) ∩ C j (X ) ,
и
мы
получили
бы
( X ) = empty, j < n .
Теорема 5. Пусть ρ , σ - бинарные отношения, заданные на Ω ; C ρ , C σ , C ρ oσ - функции
выбора блокировки. Тогда C ρ oσ ⊄ C ρ o C σ .
Доказательство. Рассмотрим бинарные
отношения ρ , σ , определенные следующим образом (рис.): ρ ={(a,d), (c,d), (a,x),(d,x), (c,b),
(b,x),(c,x)}, σ ={(e,x), (f,e), (f,x)}.
Тогда ( z , e) ∉ ρ o σ для любого z ∈ {a,b,c,d} и, следовательно, ( z , e) ∈ C ρ oσ . Однако
( z , x) ∉ C ρ , ( x, e) ∈ C σ и, следовательно, ( z , e) ∉ C ρ o C σ .
106
d
e
a
f
x
b
c
Рис.
Таким образом, изучена связь между свойствами наследования, сумматорности,
мультипликативности и монотонности функций выбора блокировки. Показано, что
суперпозиция двух функций выбора блокировки не всегда равна функции выбора блокировки,
порожденной суперпозицией бинарных отношений предпочтения.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
Аракелян А.А. Методы оптимизации диалоговых информационных систем контроля. - Ереван: Изд. АН
АрмССР, 1985. - 363 с.
Теория выбора и принятия решений / Под ред. Т. М. Виноградской.- М.: Наука, 1982. - 357 с.
Frost R. Introduction to knowledge base systems McGraw Hill Publishing Company - 1986. - 677 p.
ГИУА
28.09.1999
Изв. НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. 2000. Т. LIII, № 1.
УДК 621.391.5
РАДИОЭЛЕКТРОНИКА
А.А. САРКИСЯН
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В СОТОВОЙ СВЯЗИ
Դիտարկվում է ֆունկցիաների և նրանց ծնող բինար հարաբերությունների
հատկությունների հետազոտման անհրաժեշտությունը խնդիրներում, որոնք առաջանում են բաշխված տվյալների բազաների ստեղծմամբ և արհեստական բանականության համակարգերում:
Рассмотрены возможности использования теории массового обслуживания в сотовой системе
связи. Для случая эрлангового распределения показан технико-экономический эффект подхода.
Библиогр: 2 назв.
107