4 класс, серия нс-6, спортивная
advertisement
4 класс, серия нс-1, давно не виделись, здравствуй! 1. Иванов, Петров и Сидоров – разного возраста. Их зовут Иван, Петр и Сидор, их отцов звали так же. Определите, как полностью зовут каждого и кто кого старше, если известно, что никого не зовут так, как его отца; Иван младше Петровича, Петров младше Сидорыча, а Сидоров младше Сидора 2. Существует ли пять натуральных чисел, где каждое следующее делится на предыдущее, но имеет меньшую сумму цифр? 3. Дорога состоит из трех частей. Оказалось, что если первую часть увеличить вдвое, вторую уменьшить вдвое, а третью оставить неизменной, то все части окажутся равны по длине. Какую часть всей дороги составляет первая часть? 4. В семье есть Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Петр Сидорович, Петр Петрович. Один из них сейчас смотрит телевизор, его отец дремлет, брат читает газету, а дети ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит телевизор? 5. В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить, чтобы среди них точно две группы по 5 шариков, причем в каждой группе шарики одного цвета? 6. В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить, чтобы среди них точно нашлось 5 шариков одного цвета и 5 шариков какого-то другого цвета? 7. Иван опередил лыжника, который находился на пятой позиции, потом еще двух. На каком месте сейчас идет Иван? 8. Разрежьте нарисованные фигуры на две равные части. 9. В сказочной стране 8 городов и из каждого города выходит ровно 4 дороги. Известно, что никакие две дороги не пересекаются. Нарисуйте карту этой страны, обозначив города точками, а дороги – отрезками. 10. 21 ноября 2007 года в семье было трое детей. К 21 ноября 2013 года общий суммарный возраст детей в семье увеличился на 27 лет. Какое наименьшее число детей в семье может быть сейчас? 4 класс, серия нс-1, давно не виделись, здравствуй! 1. Иванов, Петров и Сидоров – разного возраста. Их зовут Иван, Петр и Сидор, их отцов звали так же. Определите, как полностью зовут каждого и кто кого старше, если известно, что никого не зовут так, как его отца; Иван младше Петровича, Петров младше Сидорыча, а Сидоров младше Сидора 2. Существует ли пять натуральных чисел, где каждое следующее делится на предыдущее, но имеет меньшую сумму цифр? 3. Дорога состоит из трех частей. Оказалось, что если первую часть увеличить вдвое, вторую уменьшить вдвое, а третью оставить неизменной, то все части окажутся равны по длине. Какую часть всей дороги составляет первая часть? 4. В семье есть Иван Сидорович, Сидор Иванович, Сидор Петрович, Петр Сидорович, Петр Петрович. Один из них сейчас смотрит телевизор, его отец дремлет, брат читает газету, а дети ушли гулять. Как зовут того, кто смотрит телевизор? 5. В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить, чтобы среди них точно две группы по 5 шариков, причем в каждой группе шарики одного цвета? 6. В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить, чтобы среди них точно нашлось 5 шариков одного цвета и 5 шариков какого-то другого цвета? 7. Иван опередил лыжника, который находился на пятой позиции, потом еще двух. На каком месте сейчас идет Иван? 8. Разрежьте нарисованные фигуры на две равные части. 9. В сказочной стране 8 городов и из каждого города выходит ровно 4 дороги. Известно, что никакие две дороги не пересекаются. Нарисуйте карту этой страны, обозначив города точками, а дороги – отрезками. 10. 21 ноября 2007 года в семье было трое детей. К 21 ноября 2013 года общий суммарный возраст детей в семье увеличился на 27 лет. Какое наименьшее число детей в семье может быть сейчас? 4 класс, серия нс-2, геометрия 11. Турист может посетить города Углич, Ростов, Ярославль, Кострому, Сергиев Посад. Сколько маршрутов с последовательным посещением а) всех; б) трех городов он может составить? 12. На столе стоит 10 гирь. Известно, что вес любой гири меньше, чем утроенный вес любой другой. Докажите, что для любых четырех гирь сумма весов любых трех из них больше веса четвертой. 13. Сколькими способами можно распределить 4 билета в цирк среди 20 школьников, если каждый ребенок может получить 0 или 2 билета, и все билеты считаются разными? 14. На плоскости отмечено несколько точек. Оказалось, что есть прямая, на которой лежит ровно 7 отмеченных точек, прямая, на которой лежит ровно 6 отмеченных точек, …, прямая, на которой лежит ровно 1 отмеченная точка. При каком наименьшем числе отмеченных точек возможна такая ситуация? 15. На клетчатой доске 8×8 отмечено 18 клеток. Пара соседних по стороне клеток называется хорошей, если хотя бы одна клетка из пары отмечена. Какое наибольшее количество хороших пар может быть? 16. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Могло ли оказаться так, что первое число делится на 1, второе — на 2, третье — на 3,…, девятое — на 9, а десятое — на 20? 17. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, на 4 равные части? 18. Можно ли разрезать квадрат на несколько а)прямоугольников; б) треугольников так, чтобы каждая фигура граничила по отрезку ровно с тремя другими? 19. Сколькими способами можно распределить 4 билета в цирк среди 20 школьников, если каждый ребенок может получить не более двух билетов, и все билеты - РАЗНЫЕ. 20. Шахматную доску размером 8х8 разрезали на 11 прямоугольников, стороны которых больше 1. Может ли так случиться, что среди них нет ни одного квадрата? 4 класс, серия нс-2, геометрия 11. Турист может посетить города Углич, Ростов, Ярославль, Кострому, Сергиев Посад. Сколько маршрутов с последовательным посещением а) всех; б) трех городов он может составить? 12. На столе стоит 10 гирь. Известно, что вес любой гири меньше, чем утроенный вес любой другой. Докажите, что для любых четырех гирь сумма весов любых трех из них больше веса четвертой. 13. Сколькими способами можно распределить 4 билета в цирк среди 20 школьников, если каждый ребенок может получить 0 или 2 билета, и все билеты считаются разными? 14. На плоскости отмечено несколько точек. Оказалось, что есть прямая, на которой лежит ровно 7 отмеченных точек, прямая, на которой лежит ровно 6 отмеченных точек, …, прямая, на которой лежит ровно 1 отмеченная точка. При каком наименьшем числе отмеченных точек возможна такая ситуация? 15. На клетчатой доске 8×8 отмечено 18 клеток. Пара соседних по стороне клеток называется хорошей, если хотя бы одна клетка из пары отмечена. Какое наибольшее количество хороших пар может быть? 16. Имеется 10 последовательных натуральных чисел. Могло ли оказаться так, что первое число делится на 1, второе — на 2, третье — на 3,…, девятое — на 9, а десятое — на 20? 17. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, на 4 равные части? 18. Можно ли разрезать квадрат на несколько а)прямоугольников; б) треугольников так, чтобы каждая фигура граничила по отрезку ровно с тремя другими? 19. Сколькими способами можно распределить 4 билета в цирк среди 20 школьников, если каждый ребенок может получить не более двух билетов, и все билеты - РАЗНЫЕ. 20. Шахматную доску размером 8х8 разрезали на 11 прямоугольников, стороны которых больше 1. Может ли так случиться, что среди них нет ни одного квадрата? 30. Несколько шахматистов играли однокруговой турнир (то есть каждый играет с каждым по одному разу), но два шахматиста уехали с турнира, сыграв всего по две партии. Всего было сыграно 9 партий. Успели ли уехавшие сыграть между собой? 4 класс, серия нс-3, комби на карнавале 4 класс, серия нс-3, комби на карнавале 21. Раскрасьте все натуральные числа в 2 цвета так, чтобы сумма любых трех одноцветных чисел была покрашена в тот же цвет. 21. Раскрасьте все натуральные числа в 2 цвета так, чтобы сумма любых трех одноцветных чисел была покрашена в тот же цвет. 22. а) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых присутствует цифра 9? б) В записи которых есть цифра 9 И цифра 8? в) В записи которых есть цифра 9 ИЛИ цифра 8? 22. а) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых присутствует цифра 9? б) В записи которых есть цифра 9 И цифра 8? в) В записи которых есть цифра 9 ИЛИ цифра 8? 23. Перед Гарри Поттером в ряд лежат 100 красных шариков. Одним взмахом палочки он может уничтожить левый шар, но при этом справа от каждого красного шара появится белый шар. Сможет ли Гарри уничтожить все шары? 23. Перед Гарри Поттером в ряд лежат 100 красных шариков. Одним взмахом палочки он может уничтожить левый шар, но при этом справа от каждого красного шара появится белый шар. Сможет ли Гарри уничтожить все шары? 24. У Супермена есть 8 необычных способностей, а у Лихого Джо только 7. Сколькими способами они могут обменять две способности одного на две способности другого? 24. У Супермена есть 8 необычных способностей, а у Лихого Джо только 7. Сколькими способами они могут обменять две способности одного на две способности другого? 25. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали: «Один». Сколько лжецов может сидеть за столом? 25. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали: «Один». Сколько лжецов может сидеть за столом? 26. На маскараде ежик встретил переодетых льва, шакала и жирафа. Еж знает, что шакал всегда лжет, лев — говорит правду, а жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Сначала еж получил от среднего и правого ответы на вопрос «Самый левый — шакал?», потом — от среднего и левого на вопрос «Самый правый — шакал?». По ответам ежу стало понятно, кто есть кто. Через неделю еж помнил только, что один из ответов был «нет», остальные — «да». Определите, кто шакал. 26. На маскараде ежик встретил переодетых льва, шакала и жирафа. Еж знает, что шакал всегда лжет, лев — говорит правду, а жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Сначала еж получил от среднего и правого ответы на вопрос «Самый левый — шакал?», потом — от среднего и левого на вопрос «Самый правый — шакал?». По ответам ежу стало понятно, кто есть кто. Через неделю еж помнил только, что один из ответов был «нет», остальные — «да». Определите, кто шакал. 27. Для участия в передаче «Кто хочет стать миллионером» поступило 3 заявки от девушек и 3 от юношей. Для проведения игры необходимо выбрать 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? 27. Для участия в передаче «Кто хочет стать миллионером» поступило 3 заявки от девушек и 3 от юношей. Для проведения игры необходимо выбрать 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? 28. У 15 ребят есть 8 одинаковых яблок. Разрешается резать яблоко на равные части, но не более, чем на 5 частей. Как разделить яблоки между ребятами так, чтобы каждому досталось поровну? (Разные яблоки можно резать на разное число частей). 28. У 15 ребят есть 8 одинаковых яблок. Разрешается резать яблоко на равные части, но не более, чем на 5 частей. Как разделить яблоки между ребятами так, чтобы каждому досталось поровну? (Разные яблоки можно резать на разное число частей). 29. Существует ли 5 натуральных чисел таких, что 10 их попарных разностей (каждый раз из большего числа вычитается меньшее) — это 1, 2, 3, …, 10 в некотором порядке? 29. Существует ли 5 натуральных чисел таких, что 10 их попарных разностей (каждый раз из большего числа вычитается меньшее) — это 1, 2, 3, …, 10 в некотором порядке? 30. Несколько шахматистов играли однокруговой турнир (то есть каждый играет с каждым по одному разу), но два шахматиста уехали с турнира, сыграв всего по две партии. Всего было сыграно 9 партий. Успели ли уехавшие сыграть между собой? одной конфете двум следующим за ней по часовой стрелке девочкам или двум следующим за ней против часовой стрелки девочкам. Могут ли все конфеты собраться у другой девочки? 4 класс, серия нс-4, правильные королевские ладьи 4 класс, серия нс-4, правильные королевские ладьи 31. Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами в 1 и 2 руб? 31. Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами в 1 и 2 руб? 32.На столе в ряд лежат 2012 яблок. Вася берёт каждое десятое яблоко (т. е. десятое, двадцатое, тридцатое и т. д.). После этого он берёт каждое девятое из оставшихся яблок, затем каждое восьмое из оставшихся и т. д., наконец, он берёт каждое третье из оставшихся к этому моменту яблок. Сколько яблок останется в итоге на столе? 32.На столе в ряд лежат 2012 яблок. Вася берёт каждое десятое яблоко (т. е. десятое, двадцатое, тридцатое и т. д.). После этого он берёт каждое девятое из оставшихся яблок, затем каждое восьмое из оставшихся и т. д., наконец, он берёт каждое третье из оставшихся к этому моменту яблок. Сколько яблок останется в итоге на столе? 33. Вася сбегает по эскалатору, едущему вниз, не пропуская ни одной ступеньки. Скорость Васи вдвое больше скорости эскалатора. Пока Вася ехал, он пробежал 80 ступеней. Сколько ступеней он пробежит, если будет сбегать по неподвижному эскалатору? 33. Вася сбегает по эскалатору, едущему вниз, не пропуская ни одной ступеньки. Скорость Васи вдвое больше скорости эскалатора. Пока Вася ехал, он пробежал 80 ступеней. Сколько ступеней он пробежит, если будет сбегать по неподвижному эскалатору? 34. а) Сколькими способами можно поставить на доску черную и белую ладью так, чтобы они не били друг друга? б) а если ладей три? в) а если ладей 8? 34. а) Сколькими способами можно поставить на доску черную и белую ладью так, чтобы они не били друг друга? б) а если ладей три? в) а если ладей 8? 35. Сигнальное устройство состоит из пяти одноцветных лампочек, расположенных в ряд. Сколько различных сигналов можно подать с его помощью? 35. Сигнальное устройство состоит из пяти одноцветных лампочек, расположенных в ряд. Сколько различных сигналов можно подать с его помощью? 36. А сколько, самое меньшее, надо взять лампочек, чтобы можно было подать 1000 различных сигналов? 36. А сколько, самое меньшее, надо взять лампочек, чтобы можно было подать 1000 различных сигналов? 37. Вася задумал число от 1 до 999, а Петя пытается его угадать. Для этого Петя называет натуральное число, а Вася говорит «Угадал», если оно равно задуманному, «Почти угадал», если отличается на 1, «Не совсем угадал», если отличается на 2, и «Не угадал», если отличается на 3 или больше. Помогите Пете узнать число за 200 вопросов 37. Вася задумал число от 1 до 999, а Петя пытается его угадать. Для этого Петя называет натуральное число, а Вася говорит «Угадал», если оно равно задуманному, «Почти угадал», если отличается на 1, «Не совсем угадал», если отличается на 2, и «Не угадал», если отличается на 3 или больше. Помогите Пете узнать число за 200 вопросов 38. Сколькими способами можно поставить на доску черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга? 38. Сколькими способами можно поставить на доску черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга? 39. а) На плоскости поставлено 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведены все возможные отрезки с концами в этих точках. Сколько отрезков проведено? Б) сколько диагоналей у правильного 50-угольника? 40 .За круглым столом сидят 30 девочек. У Маши есть 2013 конфет, а у остальных девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по 39. а) На плоскости поставлено 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведены все возможные отрезки с концами в этих точках. Сколько отрезков проведено? Б) сколько диагоналей у правильного 50-угольника? 40 .За круглым столом сидят 30 девочек. У Маши есть 2013 конфет, а у остальных девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете двум следующим за ней по часовой стрелке девочкам или двум следующим за ней против часовой стрелки девочкам. Могут ли все конфеты собраться у другой девочки? способами. В скольких случаях Виктор выйдет на зарядку раньше Дмитрия, а Дмитрий раньше Егора? 4 класс, серия нс-5, очевидное-невероятное 50. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей . Они могут выйти на зарядку всеми возможными способами. В скольких случаях Сергей выйдет последним, а Виктор – не первым? 41. Раз в месяц директор фирмы предлагает трем своим заместителям проголосовать за новый список своей и их зарплат. Сам директор не голосует. Те заместители, чью зарплату предлагается увеличить, голосуют за, остальные – против. Предложение принимается большинством голосов. Может ли директор за год добиться, чтобы его зарплата вдесятеро увеличилась, а зарплаты всех заместителей вдесятеро уменьшились? 42. Сколькими способами из коробки, содержащей 12 цветных карандашей, можно выбрать 3 карандаша так, чтобы а) один из них был черным? Б) ни один из них не был черным? 43. На занятии Вася, Леня и Стас решили все задачи. Может ли оказаться, что Стас большинство задач решил раньше Лени, Леня – большинство раньше Васи, а Вася – большинство раньше Стаса? 44. За столом сидят 13 человек, причем некоторые из них всегда говорят правду, а некоторые – всегда лгут. Вдруг каждый заявляет, что все кроме его и его соседей – лжецы. Сколько из присутствующих сказали правду? 45. За время математического боя часы и минуты на электронных часах поменялись местами. Кроме того, известно, что бой продолжался больше двух, но меньше трех часов. Как долго шел бой? 46. Незнайка выбрал двухзначное число, не делящееся на 10, поменял местами его цифры и вычислил разность полученных чисел. Какое самое большое число он мог получить в результате? 47. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых хотя бы одна цифра четная? 48. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей. Они могут выйти на зарядку всеми возможными способами. В скольких случаях Виктор выйдет на зарядку раньше Егора? 49. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей. Они могут выйти на зарядку всеми возможными 4 класс, серия нс-5, очевидное-невероятное 41. Раз в месяц директор фирмы предлагает трем своим заместителям проголосовать за новый список своей и их зарплат. Сам директор не голосует. Те заместители, чью зарплату предлагается увеличить, голосуют за, остальные – против. Предложение принимается большинством голосов. Может ли директор за год добиться, чтобы его зарплата вдесятеро увеличилась, а зарплаты всех заместителей вдесятеро уменьшились? 42. Сколькими способами из коробки, содержащей 12 цветных карандашей, можно выбрать 3 карандаша так, чтобы а) один из них был черным? Б) ни один из них не был черным? 43. На занятии Вася, Леня и Стас решили все задачи. Может ли оказаться, что Стас большинство задач решил раньше Лени, Леня – большинство раньше Васи, а Вася – большинство раньше Стаса? 44. За столом сидят 13 человек, причем некоторые из них всегда говорят правду, а некоторые – всегда лгут. Вдруг каждый заявляет, что все кроме его и его соседей – лжецы. Сколько из присутствующих сказали правду? 45. За время математического боя часы и минуты на электронных часах поменялись местами. Кроме того, известно, что бой продолжался больше двух, но меньше трех часов. Как долго шел бой? 46. Незнайка выбрал двухзначное число, не делящееся на 10, поменял местами его цифры и вычислил разность полученных чисел. Какое самое большое число он мог получить в результате? 47. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых хотя бы одна цифра четная? 48. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей. Они могут выйти на зарядку всеми возможными способами. В скольких случаях Виктор выйдет на зарядку раньше Егора? 49. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей. Они могут выйти на зарядку всеми возможными способами. В скольких случаях Виктор выйдет на зарядку раньше Дмитрия, а Дмитрий раньше Егора? 50. В комнате Виктор, Дмитрий, Егор, Лев и Сергей . Они могут выйти на зарядку всеми возможными способами. В скольких случаях Сергей выйдет последним, а Виктор – не первым? 4 класс, серия нс-6, спортивная 51. Квадратная таблица 33 заполнена различными цифрами так, что все трехзначные числа, которые можно прочитать в строках этой таблицы слева направо и в столбцах сверху вниз, делятся на 6. Сколько из этих шести чисел могут делиться на 5? 52. 16 теннисистов сыграли турнир. Теннисист, проигравший три матча, выбывает из дальнейшей борьбы. Турнир продолжается до тех пор, пока не останется один теннисист. Никакие двое теннисистов не могли сыграть более одного раза. Могло ли в этом турнире быть ровно 44 матча? 53. На плоскости проведено несколько красных, синих и зеленых прямых (прямые всех цветов присутствуют). Оказалось, что любая красная прямая пересекает ровно половину синих, а любая синяя — ровно половину зеленых. Докажите, что любая красная прямая пересекает ровно половину зеленых. 54. Сложим все числа, которые получаются из некоторого натурального числа вычеркиванием его первой цифры, его второй цифры, ..., его последней цифры. Может ли сумма оказаться равной 2013? А 2014? 55. Аня, Боря и Вася прошли один и тот же тест из 6 вопросов, на каждый из которых можно ответить "да" или "нет". Аня ответила "нет", "нет", "да", "да", "да", "да". Боря ответил "да", "нет", "нет", "да", "да", "да". Наконец, Вася ответил "нет", "да", "нет", "нет", "нет", "нет". Оказалось, что у Ани два неверных ответа, а у Бори только два верных. Сколько верных ответов у Васи? 56. Десять лыжников ушли со старта с интервалом в 1 минуту (в порядке возрастания номеров) и шли по дистанции с постоянными скоростями. Известно, что каждый лыжник в какой-то момент времени лидировал в гонке. В каком порядке лыжники пришли к финишу? 57. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 3/5 части всех мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 1/5 части девочек сосед по парте – тоже девочка. Какую часть от учащихся этой школы составляют девочки? 58. Вася, Петя и еще 2013 человек встали в круг, Вася и Петя не рядом. Вася выбирает любого из двух своих соседей и хлопает его по плечу. Потом это делает Петя, потом снова Вася и т.д. Тот, кого запятнали, выходит из круга. Тот из двух игроков, который хлопнет другого, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? 59. Комиссия из 9 судей оценивает троих участников соревнования. Для этого каждый из судей выставляет лучшему, по его мнению, участнику 3 балла, худшему — 1 балл, а оставшемуся — 2 балла. Оказалось, что в результате все участники набрали различное число баллов, и победитель набрал меньше всего троек, а занявший третье место — больше всего. Сколько баллов набрал победитель? 60. Три Мани, три Тани и четыре Вани хотят встать в круг так, чтобы среди любых трех подряд стоящих детей оказалось ровно два имени. Помогите им. 4 класс, серия нс-6, спортивная 51. Квадратная таблица 33 заполнена различными цифрами так, что все трехзначные числа, которые можно прочитать в строках этой таблицы слева направо и в столбцах сверху вниз, делятся на 6. Сколько из этих шести чисел могут делиться на 5? 52. 16 теннисистов сыграли турнир. Теннисист, проигравший три матча, выбывает из дальнейшей борьбы. Турнир продолжается до тех пор, пока не останется один теннисист. Никакие двое теннисистов не могли сыграть более одного раза. Могло ли в этом турнире быть ровно 44 матча? 53. На плоскости проведено несколько красных, синих и зеленых прямых (прямые всех цветов присутствуют). Оказалось, что любая красная прямая пересекает ровно половину синих, а любая синяя — ровно половину зеленых. Докажите, что любая красная прямая пересекает ровно половину зеленых. 54. Сложим все числа, которые получаются из некоторого натурального числа вычеркиванием его первой цифры, его второй цифры, ..., его последней цифры. Может ли сумма оказаться равной 2013? А 2014? 55. Аня, Боря и Вася прошли один и тот же тест из 6 вопросов, на каждый из которых можно ответить "да" или "нет". Аня ответила "нет", "нет", "да", "да", "да", "да". Боря ответил "да", "нет", "нет", "да", "да", "да". Наконец, Вася ответил "нет", "да", "нет", "нет", "нет", "нет". Оказалось, что у Ани два неверных ответа, а у Бори только два верных. Сколько верных ответов у Васи? 56. Десять лыжников ушли со старта с интервалом в 1 минуту (в порядке возрастания номеров) и шли по дистанции с постоянными скоростями. Известно, что каждый лыжник в какой-то момент времени лидировал в гонке. В каком порядке лыжники пришли к финишу? 57. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 3/5 части всех мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 1/5 части девочек сосед по парте – тоже девочка. Какую часть от учащихся этой школы составляют девочки? 58. Вася, Петя и еще 2013 человек встали в круг, Вася и Петя не рядом. Вася выбирает любого из двух своих соседей и хлопает его по плечу. Потом это делает Петя, потом снова Вася и т.д. Тот, кого запятнали, выходит из круга. Тот из двух игроков, который хлопнет другого, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? трактора отвалилось колесо, и Вася выехал только тогда, когда Борис Петрович уже проехал половину пути по шоссе. Кто первым приедет к финишу? 59. Комиссия из 9 судей оценивает троих участников соревнования. Для этого каждый из судей выставляет лучшему, по его мнению, участнику 3 балла, худшему — 1 балл, а оставшемуся — 2 балла. Оказалось, что в результате все участники набрали различное число баллов, и победитель набрал меньше всего троек, а занявший третье место — больше всего. Сколько баллов набрал победитель? 69. Малыш и Карлсон съели торт. Второй такой же торт Карлсон ел с утроенной скоростью, и хотя Малыш сбавил свою скорость в два раза, торт оказался съеден быстрее в два раза. Какую часть всей еды съел Карлсон? 60. Три Мани, три Тани и четыре Вани хотят встать в круг так, чтобы среди любых трех подряд стоящих детей оказалось ровно два имени. Помогите им. 70. Незнайка задумал число МАЙ, умножил его на другое число и получил МАРТ (здесь одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные). Докажите, что он не умеет считать. 4 класс, серия нс-7, щуки и арбузы 4 класс, серия нс-7, щуки и арбузы 61. Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться? 61. Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться? 62. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться? 62. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться? 63. 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь -дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты? 63. 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь -дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты? 64. Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.) 64. Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.) 65. Существует ли такое шестизначное число, что каждая из цифр в его записи, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр? 65. Существует ли такое шестизначное число, что каждая из цифр в его записи, кроме первой и последней, равна сумме двух соседних с ней цифр? 67. В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2014 шкатулок с содержимым. Сколько пустых? 67. В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2014 шкатулок с содержимым. Сколько пустых? 68. Бизнесмен Борис Петрович и тракторист Вася решили устроить гонки. Первая половина трассы проходит по шоссе, а вторая – по проселку. Васин трактор по любой дороге едет с одной и той же скоростью, а «Лексус» Бориса Петровича по шоссе едет вдесятеро быстрее трактора, а по проселку – вдвое медленнее. На старте у Васиного 68. Бизнесмен Борис Петрович и тракторист Вася решили устроить гонки. Первая половина трассы проходит по шоссе, а вторая – по проселку. Васин трактор по любой дороге едет с одной и той же скоростью, а «Лексус» Бориса Петровича по шоссе едет вдесятеро быстрее трактора, а по проселку – вдвое медленнее. На старте у Васиного трактора отвалилось колесо, и Вася выехал только тогда, когда Борис Петрович уже проехал половину пути по шоссе. Кто первым приедет к финишу? Винни-Пуха, если скорость трамвая равна 30 км/ч. (Временем пребывания трамвая на остановке А пренебречь.) 69. Малыш и Карлсон съели торт. Второй такой же торт Карлсон ел с утроенной скоростью, и хотя Малыш сбавил свою скорость в два раза, торт оказался съеден быстрее в два раза. Какую часть всей еды съел Карлсон? 78. Утром в понедельник на озеро приехали несколько рыболовов. Позже к ним присоединился еще один. Каждый день каждый из рыболовов вылавливал по 10 рыб. Всего с понедельника до пятницы включительно они поймали 370 рыб. В какой день недели приехал на озеро опоздавший рыболов? 70. Незнайка задумал число МАЙ, умножил его на другое число и получил МАРТ (здесь одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные). Докажите, что он не умеет считать. 79. В коробке лежат девять гирь весом 1, 2, …, 9 граммов. Какое наибольшее количество гирь можно взять из коробки так, чтобы среди взятых гирь вес любой пары отличался от веса любой другой пары. 4 класс, серия нс-8, Винни-Пух в дороге. 71. а) Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше? б) Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка? 72. Винни-Пух, пройдя половину пути к ловушке для слонопотамов, увеличил свою скорость на четверть бывшей скорости, и поэтому прибыл в к ловушке на полминуты раньше обычного. Сколько времени он двигался? 73. Бочку можно наполнить, если в нее налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра воды. А сколько только больших ведер потребуется для наполнения бочки? 74. Винни-Пух и Пятачок ели обед из двух блюд. Суп Винни съел вдвое быстрее Пятачка, а котлету ел вдвое дольше, чем Пятачок, но всё-таки закончил обед раньше. У кого на что ушло больше времени: у Винни на суп или у Пятачка на котлету? 75. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу друг другу. Каждый из них идёт с постоянной скоростью и, дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через две с половиной минуты после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? 76. Кристофер Робин, проезжая в трамвае, заметил Винни-Пуха, который шел по линии трамвая в противоположную сторону. Спустя 10 секунд (когда трамвай остановился) Кристофер Робин вышел из трамвая и пошёл догонять своего друга. Через сколько секунд он его догонит, если он идёт в 2 раза быстрее, чем Винни-Пух. и в 5 раз медленнее трамвая? 77. Не дождавшись трамвая на остановке А, Винни-Пух пошёл к следующей остановке Б. Пройдя третью часть пути, он оглянулся и увидел, что к остановке А приближается трамвай. Если Винни-Пух в этот момент побежит к остановке А или к остановке Б, то он прибежит к каждой из них одновременно с приходом туда трамвая. Найдите скорость бега 80. Можно ли разрезать 6 хвостиков Иа-Иа длиной по 1 м на 10 кусков длиной 27 см, 16 кусков длиной 15 см и 15 кусков по 6 см? 4 класс, серия нс-8, Винни-Пух в дороге. 4 класс, серия нс-9, пилот Пиркс на планете Юп. 71. а) Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше? б) Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка? 81. Когда пилот Пиркс посетил планету Юп, там было 500 государств, причем каждый год какие-то четыре государства объединяются в одно. Когда он прилетел через несколько лет, там было уже всего лишь 100 государств. Докажите, что пилот Пиркс очень плохо считает. 72. Винни-Пух, пройдя половину пути к ловушке для слонопотамов, увеличил свою скорость на четверть бывшей скорости, и поэтому прибыл в к ловушке на полминуты раньше обычного. Сколько времени он двигался? 73. Бочку можно наполнить, если в нее налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра воды. А сколько только больших ведер потребуется для наполнения бочки? 74. Винни-Пух и Пятачок ели обед из двух блюд. Суп Винни съел вдвое быстрее Пятачка, а котлету ел вдвое дольше, чем Пятачок, но всё-таки закончил обед раньше. У кого на что ушло больше времени: у Винни на суп или у Пятачка на котлету? 75. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу друг другу. Каждый из них идёт с постоянной скоростью и, дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через две с половиной минуты после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? 76. Кристофер Робин, проезжая в трамвае, заметил Винни-Пуха, который шел по линии трамвая в противоположную сторону. Спустя 10 секунд (когда трамвай остановился) Кристофер Робин вышел из трамвая и пошёл догонять своего друга. Через сколько секунд он его догонит, если он идёт в 2 раза быстрее, чем Винни-Пух. и в 5 раз медленнее трамвая? 77. Не дождавшись трамвая на остановке А, Винни-Пух пошёл к следующей остановке Б. Пройдя третью часть пути, он оглянулся и увидел, что к остановке А приближается трамвай. Если Винни-Пух в этот момент побежит к остановке А или к остановке Б, то он прибежит к каждой из них одновременно с приходом туда трамвая. Найдите скорость бега Винни-Пуха, если скорость трамвая равна 30 км/ч. (Временем пребывания трамвая на остановке А пренебречь.) 78. Утром в понедельник на озеро приехали несколько рыболовов. Позже к ним присоединился еще один. Каждый день каждый из рыболовов вылавливал по 10 рыб. Всего с понедельника до пятницы включительно они поймали 370 рыб. В какой день недели приехал на озеро опоздавший рыболов? 79. В коробке лежат девять гирь весом 1, 2, …, 9 граммов. Какое наибольшее количество гирь можно взять из коробки так, чтобы среди взятых гирь вес любой пары отличался от веса любой другой пары. 80. Можно ли разрезать 6 хвостиков Иа-Иа длиной по 1 м на 10 кусков длиной 27 см, 16 кусков длиной 15 см и 15 кусков по 6 см? 82. Пилот Пиркс составил из цифр 2, 3, 4, 9 два двузначных числа, использовав каждую цифру по одному разу, одно из которых ровно в 19 раз больше другого. Докажите, что он попрежнему не научился считать. 83. После долгого обучения пилот Пиркс составил из цифр 1, 6, 7, 8 два, но уже больших многозначных числа, одно из которых ровно в 89 раз больше другого. Докажите, что он все еще не научился считать. 84. Пилот Пиркс пошел на занятия по математике на планете Юп. Его попросили возвести в квадрат некоторое натуральное число. Пиркс выполнил задание и получил 1234567897. Учительница поставила ему двойку. Докажите, что у нее были на то основания. 85. «С чего бы это вдруг?» − подумал Пиркс, попробовал еще раз и получил 1234567895. Учительница поставила ему вторую двойку. Докажите, что и это число не является точным квадратом. 86. Попытавшись в третий раз, Пиркс получил 1234567886. Посмотрела учительница на пилота и тихонько заплакала. Докажите, что её нечем утешить. 87. В лесу, состоящем из дубов и елок, компания Пень-Инвест вырубила одну треть всех дубов и одну шестую всех елок. Докажите, что отчет экологической организации «Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина всех деревьев, содержит неверные данные. 88. На планете Юп несколько озер и рек. Каждая река вытекает из какого-то озера и впадает в какое-то другое озеро. а) После тщательных подсчетов пилот Пиркс рассказал, что из каждого озера вытекает 3 реки и в каждое озеро впадает 4 реки. Докажите, что Пиркс в чем-то ошибся. б) После более тщательных подсчетов удалось достоверно выяснить, что из каждого озера вытекает не менее трех рек. Докажите, что есть озеро, в которое впадает не менее трех рек. 89. Пилоту Пирксу выставили годовые оценки по 12 предметам. Оказалось, что его средний балл тогда равен 1,5. Он передал на Землю, что улучшит свои оценки так, что его средний балл равен 4,5. Докажите, что он все-таки не математик. 90. На контрольной работе по перекрашиванию на планете Юп юный хамелеон перекрашивался из красного цвета в желтый, из желтого – в зеленый, из зеленого − в синий, из синего − в фиолетовый, а из фиолетового − опять в красный. Хамелеон перекрасился 2014 раз и стал из зеленого синим. Известно, что он допустил одну ошибку, из-за которой покраснел, когда не должен был этого делать. Какого цвета он был перед этим покраснением? 4 класс, серия нс-9, пилот Пиркс на планете Юп. 4 класс, серия нс-10, игры и яблоки. 81. Когда пилот Пиркс посетил планету Юп, там было 500 государств, причем каждый год какие-то четыре государства объединяются в одно. Когда он прилетел через несколько лет, там было уже всего лишь 100 государств. Докажите, что пилот Пиркс очень плохо считает. 91. Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете четыре рекламных лозунга: (1) Всё дешёвое невкусно! (2) Всё невкусное дёшево! (3) Всё вкусное недёшево! (4) Не всё вкусное дёшево! Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозунга утверждают одно и то же. Какие? 82. Пилот Пиркс составил из цифр 2, 3, 4, 9 два двузначных числа, использовав каждую цифру по одному разу, одно из которых ровно в 19 раз больше другого. Докажите, что он попрежнему не научился считать. 92. Про три числа известно, что сумма любых двух из них не меньше удвоенного третьего числа, а сумма всех трех равна 300. Найдите все тройки таких (не обязательно целых) чисел. 83. После долгого обучения пилот Пиркс составил из цифр 1, 6, 7, 8 два, но уже больших многозначных числа, одно из которых ровно в 89 раз больше другого. Докажите, что он все еще не научился считать. 84. Пилот Пиркс пошел на занятия по математике на планете Юп. Его попросили возвести в квадрат некоторое натуральное число. Пиркс выполнил задание и получил 1234567897. Учительница поставила ему двойку. Докажите, что у нее были на то основания. 85. «С чего бы это вдруг?» − подумал Пиркс, попробовал еще раз и получил 1234567895. Учительница поставила ему вторую двойку. Докажите, что и это число не является точным квадратом. 86. Попытавшись в третий раз, Пиркс получил 1234567886. Посмотрела учительница на пилота и тихонько заплакала. Докажите, что её нечем утешить. 87. В лесу, состоящем из дубов и елок, компания Пень-Инвест вырубила одну треть всех дубов и одну шестую всех елок. Докажите, что отчет экологической организации «Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина всех деревьев, содержит неверные данные. 88. На планете Юп несколько озер и рек. Каждая река вытекает из какого-то озера и впадает в какое-то другое озеро. а) После тщательных подсчетов пилот Пиркс рассказал, что из каждого озера вытекает 3 реки и в каждое озеро впадает 4 реки. Докажите, что Пиркс в чем-то ошибся. б) После более тщательных подсчетов удалось достоверно выяснить, что из каждого озера вытекает не менее трех рек. Докажите, что есть озеро, в которое впадает не менее трех рек. 89. Пилоту Пирксу выставили годовые оценки по 12 предметам. Оказалось, что его средний балл тогда равен 1,5. Он передал на Землю, что улучшит свои оценки так, что его средний балл равен 4,5. Докажите, что он все-таки не математик. 90. На контрольной работе по перекрашиванию на планете Юп юный хамелеон перекрашивался из красного цвета в желтый, из желтого – в зеленый, из зеленого − в синий, из синего − в фиолетовый, а из фиолетового − опять в красный. Хамелеон перекрасился 2014 раз и стал из зеленого синим. Известно, что он допустил одну ошибку, из-за которой покраснел, когда не должен был этого делать. Какого цвета он был перед этим покраснением? 93. Два прямоугольника, пересекаясь, образуют пять прямоугольников. Оказалось, что площади всех пяти прямоугольников одинаковы. Докажите, что и периметры этих прямоугольников одинаковы. 94. Чип и Дейл играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном поле 9 9. В конце каждый получает очко за каждую строку и столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли Чип выиграть, если он ходит первым? 95. Решите ребус ABBB A CDDD , если известно, что разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым – одинаковые. Постарайтесь найти все ответы и объясните, почему других нет. 96. Ваня и Маша со своими друзьями кушали яблоки. Вместе они съели 21 яблоко, причем все девочки съели по одинаковому числу яблок, и все мальчики тоже. Известно, что Ваня съел яблок в два раза больше, чем Маша. Сколько было мальчиков и сколько было девочек в компании? 97. Словом назовем просто набор букв (даже бессмысленный и нечитаемый). Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове а) ЛИЦЕЙ; б) МОЛОКО? 98. Доминошкой назовем прямоугольник размером 2×1. Можно ли доминошками замостить а) квадрат 7×7; б) квадрат 7×7 с вырезанной угловой клеткой: в) квадрат 8×8; г) квадрат 8×8 с двумя вырезанными угловыми клетками, которые расположены на одной стороне; д) квадрат 8×8 с двумя вырезанными угловыми клетками, которые расположены по диагонали. Замостить – это значит расположить так, чтобы доминошки не накладывались друг на друга и не оставалось свободного места. 99. Докажите, что множество всех натуральных чисел можно раскрасить в два цвета так, чтобы для каждого натурального числа x числа x и 2x были раскрашены в разные цвета. 100. С натуральным числом N проводят последовательно такие операции: если оно не делится на 10, то к нему прибавляют 1, а если делится – то делят на 10. Высотой числа N назовем количество таких операций, которые нужно сделать, начав с числа N, чтобы впервые получить 1. Сколько существует натуральных чисел, высота которых равна 10? 4 класс, серия нс-10, игры и яблоки. 4 класс, серия нс-11, жизнь в деревне Вишкиль 91. Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете четыре рекламных лозунга: (1) Всё дешёвое невкусно! (2) Всё невкусное дёшево! (3) Всё вкусное недёшево! (4) Не всё вкусное дёшево! Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозунга утверждают одно и то же. Какие? 101. В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками? 92. Про три числа известно, что сумма любых двух из них не меньше удвоенного третьего числа, а сумма всех трех равна 300. Найдите все тройки таких (не обязательно целых) чисел. 93. Два прямоугольника, пересекаясь, образуют пять прямоугольников. Оказалось, что площади всех пяти прямоугольников одинаковы. Докажите, что и периметры этих прямоугольников одинаковы. 94. Чип и Дейл играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном поле 9 9. В конце каждый получает очко за каждую строку и столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли Чип выиграть, если он ходит первым? 95. Решите ребус ABBB A CDDD , если известно, что разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым – одинаковые. Постарайтесь найти все ответы и объясните, почему других нет. 96. Ваня и Маша со своими друзьями кушали яблоки. Вместе они съели 21 яблоко, причем все девочки съели по одинаковому числу яблок, и все мальчики тоже. Известно, что Ваня съел яблок в два раза больше, чем Маша. Сколько было мальчиков и сколько было девочек в компании? 97. Словом назовем просто набор букв (даже бессмысленный и нечитаемый). Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове а) ЛИЦЕЙ; б) МОЛОКО? 98. Доминошкой назовем прямоугольник размером 2×1. Можно ли доминошками замостить а) квадрат 7×7; б) квадрат 7×7 с вырезанной угловой клеткой: в) квадрат 8×8; г) квадрат 8×8 с двумя вырезанными угловыми клетками, которые расположены на одной стороне; д) квадрат 8×8 с двумя вырезанными угловыми клетками, которые расположены по диагонали. Замостить – это значит расположить так, чтобы доминошки не накладывались друг на друга и не оставалось свободного места. 99. Докажите, что множество всех натуральных чисел можно раскрасить в два цвета так, чтобы для каждого натурального числа x числа x и 2x были раскрашены в разные цвета. 100. С натуральным числом N проводят последовательно такие операции: если оно не делится на 10, то к нему прибавляют 1, а если делится – то делят на 10. Высотой числа N назовем количество таких операций, которые нужно сделать, начав с числа N, чтобы впервые получить 1. Сколько существует натуральных чисел, высота которых равна 10? 102. В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль. 103. Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен “убыток”, если метр шланга стоит 12 рублей? 104. В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать? 105. В деревне Вишкиль каждый алкоголик дружит с пятью алкоголиками и десятью трезвенниками, а каждый трезвенник дружит с девятью алкоголиками и шестью трезвенниками. Кого в деревне Вишкиль больше – алкоголиков или трезвенников? 106. Житель Вишкиля Петр вырезал из доски 44 все угловые клетки и потерял их, а теперь пытается обойти шахматным конем всю доску и вернуться на исходную клетку, побывав в каждой клетке ровно один раз. Получится ли у него это? 107. А теперь, чтобы сделать доску квадратной, Петр вообще отрезал лишние клетки и пустил их в печь. Осталась доска 3×3, на которой он пытается играть в шахматы. На верхних угловых клетках стоят черные кони, а на нижних – белые. Может ли Петр, передвигая коней по правилам, сделать так, чтобы черные кони стояли на одной диагонали, а белые – на другой? 108. В Вишкиле у любого жителя имеется один друг и один враг. Доказать: а) число жителей чётно; б) деревню можно разделить на два нейтральных района (то есть в таком районе у жителя нет ни друга, ни врага). 109. Из противоположных углов доски 10×10 вырезаны два квадрата 3×3, после чего электрик Вася пытается разрезать остаток доски на доминошки, причем так старается, что больше совсем не пьёт. Получится ли у него навсегда остаться трезвым (это если он не решит задачу) или рано или поздно он отпразднует победу? 110. Придумайте связную фигуру на шахматной доске, в которой поровну черных и белых клеток, но которую нельзя разбить на доминошки. 4 класс, серия нс-11, жизнь в деревне Вишкиль 101. В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками? 102. В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль. 103. Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен “убыток”, если метр шланга стоит 12 рублей? 104. В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать? 105. В деревне Вишкиль каждый алкоголик дружит с пятью алкоголиками и десятью трезвенниками, а каждый трезвенник дружит с девятью алкоголиками и шестью трезвенниками. Кого в деревне Вишкиль больше – алкоголиков или трезвенников? 106. Житель Вишкиля Петр вырезал из доски 44 все угловые клетки и потерял их, а теперь пытается обойти шахматным конем всю доску и вернуться на исходную клетку, побывав в каждой клетке ровно один раз. Получится ли у него это? 107. А теперь, чтобы сделать доску квадратной, Петр вообще отрезал лишние клетки и пустил их в печь. Осталась доска 3×3, на которой он пытается играть в шахматы. На верхних угловых клетках стоят черные кони, а на нижних – белые. Может ли Петр, передвигая коней по правилам, сделать так, чтобы черные кони стояли на одной диагонали, а белые – на другой? 108. В Вишкиле у любого жителя имеется один друг и один враг. Доказать: а) число жителей чётно; б) деревню можно разделить на два нейтральных района (то есть в таком районе у жителя нет ни друга, ни врага). 109. Из противоположных углов доски 10×10 вырезаны два квадрата 3×3, после чего электрик Вася пытается разрезать остаток доски на доминошки, причем так старается, что больше совсем не пьёт. Получится ли у него навсегда остаться трезвым (это если он не решит задачу) или рано или поздно он отпразднует победу? 110. Придумайте связную фигуру на шахматной доске, в которой поровну черных и белых клеток, но которую нельзя разбить на доминошки.