Николаев Ю.В.Численный расчет решения задачи Крайко.

Дифференциальные и интегральные уравнения
1
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРАЙКО
Николаев Ю.В.
Проблема управляемого термоядерного синтеза приводит к необходимости решения задач о безударном сильном сжатии первоначально однородного
и покоящегося газа. Одной их таких задач является задача об изэнтропическом переходе идеального газа из однородного состояния покоя в другое
однородное состояние покоя с большим значением плотности, задача предложенная А.Н. Крайко [2]. Решение построено для плоских, цилиндрических
и сферических слоев идеального газа. Сжимающие течения возникают под
действием двух поршней, один из которых неподвижная стенка.
Детальное исследование задачи Крайко, проведенное С.П. Баутиным [1],
привело к постановке трех начально-краевых задач для системы уравнений
газовой динамики, последовательное решение которых дает решение задачи Крайко. Решение первой задачи непрерывно примыкает к фоновому течению, описывающему несжатый газ. Решение второй задачи состыкуется
с решением первой задачи через характеристику и удовлетворяет условию
непротекания на неподвижной стенке, т.е. скорость вдоль стенки равна нулю. Решение третьей задачи с одной стороны примыкает к решению второй
задачи, с другой стороны к течению описывающему сжатый покоящийся газ.
В работе [1] показано существование локально-аналитических решений,
но доказанные теоремы не позволяют определить массу газа и плотность
сжатого газа, для которых возможно существование решения задачи Крайко.
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью численных методов.
В данном сообщении рассказывается о решении задачи Крайко, полученном с помощью численного алгоритма расчета течений, в основе которых
лежит известный метод характеристик, позволяющий достаточно точно рассчитывать одномерные нестационарные течения газа. Рассчитаны течения
возникающие при изэнтропическом переходе газа из первоначально однородного и покоящегося с плотностью ρo = 1 в однородный покоящийся газ с
плотностью ρ = ρ∗ .
Рассматривается политропный газ с уравнением состояния p=ργ /γ, где p давление; γ = const > 1. Для описания одномерных изэнтропических течений
идеального политропного газа в исследуемой задаче Крайко рассматривается
система уравнений газовой динамики для скорости газа u и скорости звука
c = ρ(γ−1)/2
(
νu
ct + ucr + (γ−1)
2 c(ur + r ) = 0,
(1.1)
2
ut + (γ−1) ccr + uur = 0.
Математическое исследование решения задачи Крайко [1] показало, что
в рассчитываемом течении особенность возникнет на поршне в момент сильного сжатия . А именно, в этой точке будет скачок по плотности от ρ∗ до 0
(задача об истечении газа в вакуум). Течение в некоторой ненулевой окрест-
2
Труды XXXIII Молодежной школы-конференции
ности этой точки является обобщением центрированной волны Римана, а в
самой точке имеет место связь(см.[3]):
γ−1
u,
2
Рассматривается случай сжатия снаружи. Получены конкретные значения
массы газа при ρ∗ = 104 −105 , для которых возможно решение задачи Крайко.
Расчеты проводились для газа с показателем политропы γ = 1.4 и γ = 53 .
c=1+
Список литературы
[1]. Баутин С.П. О существовании решений задачи А.Н. Крайко. - Прикладная математика и механика, 2000, т. 41, N 3, 48-55.
[2]. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979.
[3]. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. - Наука, Новосибирск, 1997.