Математическая логика и логическое программирование

Математическая логика
и логическое программирование
Лектор:
Подымов Владислав Васильевич
e-mail:
valdus@yandex.ru
2016, весенний семестр
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
I
интерпретация состоит из множества предметов и . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
I
интерпретация состоит из множества предметов и . . .
I
теорема компактности Мальцева: если Γ — множество . . . ,
то для любого конечного подмножества . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
I
интерпретация состоит из множества предметов и . . .
I
теорема компактности Мальцева: если Γ — множество . . . ,
то для любого конечного подмножества . . .
I
машина Тьюринга — это конечное множество . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
I
интерпретация состоит из множества предметов и . . .
I
теорема компактности Мальцева: если Γ — множество . . . ,
то для любого конечного подмножества . . .
I
машина Тьюринга — это конечное множество . . .
I
арифметическая интерпретация — это множество
натуральных чисел и . . .
Вступление
I
сигнатура — это множество . . . и множество . . . и . . .
I
семантическая таблица — это пара множеств . . .
I
интерпретация состоит из множества предметов и . . .
I
теорема компактности Мальцева: если Γ — множество . . . ,
то для любого конечного подмножества . . .
I
машина Тьюринга — это конечное множество . . .
I
арифметическая интерпретация — это множество
натуральных чисел и . . .
А что такое “множество”?
Наивная теория множеств
Термин “множество” придумал Георг Кантор во второй половине
XIX века1
1
Именно так: до XIX века этого термина в принципе не существовало!
Наивная теория множеств
Термин “множество” придумал Георг Кантор во второй половине
XIX века1 и позже2 остановился на таком определении:
множество S — это “коллекция многих определённых
и различимых объектов, которые
только можно помыслить, объединённых в единое целое;
эти объекты называются “элементами” S”
1
2
Именно так: до XIX века этого термина в принципе не существовало!
1915. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre
Наивная теория множеств
Термин “множество” придумал Георг Кантор во второй половине
XIX века1 и позже2 остановился на таком определении:
множество S — это “коллекция многих определённых
и различимых объектов, которые
только можно помыслить, объединённых в единое целое;
эти объекты называются “элементами” S”
Иногда множеству даётся такое определение:
(ещё хуже)
множество — это неопределяемое понятие теории множеств3
1
2
3
Именно так: до XIX века этого термина в принципе не существовало!
1915. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre
Как, например, точка — неопределяемое понятие геометрии
Наивная теория множеств
Термин “множество” придумал Георг Кантор во второй половине
XIX века1 и позже2 остановился на таком определении:
множество S — это “коллекция многих определённых
и различимых объектов, которые
только можно помыслить, объединённых в единое целое;
эти объекты называются “элементами” S”
Иногда множеству даётся такое определение:
(ещё хуже)
множество — это неопределяемое понятие теории множеств3
Некоторое время будем придерживаться определения, данного
Кантором
1
2
3
Именно так: до XIX века этого термина в принципе не существовало!
1915. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre
Как, например, точка — неопределяемое понятие геометрии
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
I
в том числе задать пустое множество ∅:
∅ = {x | false}
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
I
I
в том числе задать пустое множество ∅:
∅ = {x | false}
сравнить множества между собой
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
I
I
в том числе задать пустое множество ∅:
∅ = {x | false}
сравнить множества между собой:
I
S1 ⊆ S2 ⇔ каждый элемент S1 является элементом S2
(и тогда S1 — подмножество множества S2 )
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
I
I
в том числе задать пустое множество ∅:
∅ = {x | false}
сравнить множества между собой:
I
I
S1 ⊆ S2 ⇔ каждый элемент S1 является элементом S2
(и тогда S1 — подмножество множества S2 )
S1 = S2 ⇔ S1 ⊆ S2 и S2 ⊆ S1
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
I
определить принадлежность элемента x множеству S:
либо x ∈ S,
либо x ∈
/S
задать множество через свойство его элементов:
S = {x | P(x)}
I
I
в том числе задать пустое множество ∅:
∅ = {x | false}
сравнить множества между собой:
I
I
I
S1 ⊆ S2 ⇔ каждый элемент S1 является элементом S2
(и тогда S1 — подмножество множества S2 )
S1 = S2 ⇔ S1 ⊆ S2 и S2 ⊆ S1
S1 ⊂ S2 ⇔ S1 ⊆ S2 и S1 6= S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций:
объединение:
S1 ∪ S2
= {x | x ∈ S1 или x ∈ S2 }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций:
объединение:
S1 ∪ S2
= {x | x ∈ S1 или x ∈ S2 }
пересечение:
S1 ∩ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈ S2 }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций:
объединение:
S1 ∪ S2
= {x | x ∈ S1 или x ∈ S2 }
пересечение:
S1 ∩ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈ S2 }
разность:
S1 \ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈
/ S2 }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций:
объединение:
S1 ∪ S2
= {x | x ∈ S1 или x ∈ S2 }
пересечение:
S1 ∩ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈ S2 }
разность:
S1 \ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈
/ S2 }
произведение: S1 × S2
= {(x, y ) | x ∈ S1 и y ∈ S2 }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
получить новые множества из имеющихся с помощью
специальных (теоретико-множественных) операций:
объединение:
S1 ∪ S2
= {x | x ∈ S1 или x ∈ S2 }
пересечение:
S1 ∩ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈ S2 }
разность:
S1 \ S2
= {x | x ∈ S1 и x ∈
/ S2 }
произведение: S1 × S2
степень:
...
2S
= {(x, y ) | x ∈ S1 и y ∈ S2 }
= {x | x ⊆ S}
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Если множества S1 , S2 конечны, то сравнить их мощности
несложно
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Если множества S1 , S2 конечны, то сравнить их мощности
несложно:
I если множества содержат одинаковое число элементов, то
они равномощны
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Если множества S1 , S2 конечны, то сравнить их мощности
несложно:
I если множества содержат одинаковое число элементов, то
они равномощны
I если множество S1 содержит больше элементов, чем S2 , то
оно мощнее
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Если множества S1 , S2 конечны, то сравнить их мощности
несложно:
I если множества содержат одинаковое число элементов, то
они равномощны
I если множество S1 содержит больше элементов, чем S2 , то
оно мощнее
А как сравнить количество элементов в бесконечных множествах?
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных
неотрицательных чисел N(2)
чисел
N
и
чётных
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
N(2) = {
2
,
4
,
6
, . . . , 2n , . . . }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Эти множества оказались “одинаково бесконечны”
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Эти множества оказались “одинаково бесконечны”
При этом N(2) ⊂ N
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой
Пример
Сравним множества натуральных чисел N и чётных
неотрицательных чисел N(2)
N
= { 1 , 2 , 3 ,..., n ,...}
l
l
l
l
N(2) = { 2 , 4 , 6 , . . . , 2n , . . . }
Эти множества оказались “одинаково бесконечны”
При этом N(2) ⊂ N
А N и множество действительных чисел “по-разному бесконечны”
(все же знают, что континуум мощнее счётного множества)
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
I
обозначение: S1 S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
обозначение: S1 S2
|S1 | < |S2 | ⇔ S1 S2 и S1 S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
обозначение: S1 S2
|S1 | < |S2 | ⇔ S1 S2 и S1 S2
I
и тогда множество S2 мощнее множества S1 : S1 ≺ S2
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
обозначение: S1 S2
|S1 | < |S2 | ⇔ S1 S2 и S1 S2
I
и тогда множество S2 мощнее множества S1 : S1 ≺ S2
Конечное множество — это множество, равномощное одному из
множеств ∅, {1, 2, . . . , n}, где n ∈ N
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
обозначение: S1 S2
|S1 | < |S2 | ⇔ S1 S2 и S1 S2
I
и тогда множество S2 мощнее множества S1 : S1 ≺ S2
Конечное множество — это множество, равномощное одному из
множеств ∅, {1, 2, . . . , n}, где n ∈ N
Остальные множества бесконечны
Наивная теория множеств
Как работать с множествами?
Например, можно
I
сравнить мощности множеств между собой:
I
|S1 | = |S2 | ⇔ существует биекция f : S1 → S2
I
I
I
I
такие множества равномощны: S1 ∼ S2
|S1 | ≤ |S2 | ⇔ существует множество S, такое что S ⊆ S1 и
S ∼ S2
обозначение: S1 S2
|S1 | < |S2 | ⇔ S1 S2 и S1 S2
I
и тогда множество S2 мощнее множества S1 : S1 ≺ S2
Конечное множество — это множество, равномощное одному из
множеств ∅, {1, 2, . . . , n}, где n ∈ N
Остальные множества бесконечны
Но что же это за объект — мощность множества?
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Доказательство.
Рефлексивность
Симметричность
Транзитивность
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Доказательство.
Рефлексивность: тождественная функция — биекция
Симметричность
Транзитивность
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Доказательство.
Рефлексивность: тождественная функция — биекция
Симметричность: для любой биекции существует обратное
отображение, также являющееся биекцией
Транзитивность
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Доказательство.
Рефлексивность: тождественная функция — биекция
Симметричность: для любой биекции существует обратное
отображение, также являющееся биекцией
Транзитивность: если f : X → Y и g : Y → Z — биекции, то
H
композиция gf : X → Z — также биекция
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
1
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
1
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
0 = |∅|, n = |{1, 2, . . . , n}|
1
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
0 = |∅|, n = |{1, 2, . . . , n}|, ℵ0 = |N|,
1
2
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
2
ℵ — “алеф”, первая буква еврейского алфавита
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
0 = |∅|, n = |{1, 2, . . . , n}|, ℵ0 = |N|,
1
2
ℵi+1 = |2S |, где |S| = ℵi
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
2
ℵ — “алеф”, первая буква еврейского алфавита
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
0 = |∅|, n = |{1, 2, . . . , n}|, ℵ0 = |N|,
2
ℵi+1 = |2S |, где |S| = ℵi
Если |S| = ℵ0 , то множество S счётно-бесконечно
1
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
2
ℵ — “алеф”, первая буква еврейского алфавита
Кардинальные числа
Утверждение
Отношение равномощности множеств — это отношение
эквивалентности
Тогда можно определить мощность множества так:
мощность (или кардинальное число1 ) |S| множества S — это
класс эквивалентности отношения равномощности множеств,
порождаемый множеством S
А какие значения может принимать мощность множества?
0 = |∅|, n = |{1, 2, . . . , n}|, ℵ0 = |N|,
2
ℵi+1 = |2S |, где |S| = ℵi
Если |S| = ℵ0 , то множество S счётно-бесконечно
Если |S| = ℵ1 , то множество S континуально
1
англ. cardinality — число элементов; лат. cardinalis — прил. от cardo:
стержень, основная часть
2
ℵ — “алеф”, первая буква еврейского алфавита
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Рассмотрим такое множество: M = {x | x ∈ S и x ∈
/ f (x)}
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Рассмотрим такое множество: M = {x | x ∈ S и x ∈
/ f (x)}
Так как f — биекция, найдётся элемент y множества S, такой
что f (y ) = M
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Рассмотрим такое множество: M = {x | x ∈ S и x ∈
/ f (x)}
Так как f — биекция, найдётся элемент y множества S, такой
что f (y ) = M
Если y ∈ M,
Если y ∈
/ M,
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Рассмотрим такое множество: M = {x | x ∈ S и x ∈
/ f (x)}
Так как f — биекция, найдётся элемент y множества S, такой
что f (y ) = M
Если y ∈ M, то y ∈
/ f (y ) = M
Если y ∈
/ M,
Кардинальные числа
А как соотносятся между собой числа 1, 2, . . . , ℵ0 , ℵ1 , . . . ?
И есть ли ещё кардинальные числа?
Теорема Кантора
Для любого множества S верно: S 2S
Доказательство.
Предоположим, что это не так
Тогда существует биекция f : S → 2S
Рассмотрим такое множество: M = {x | x ∈ S и x ∈
/ f (x)}
Так как f — биекция, найдётся элемент y множества S, такой
что f (y ) = M
Если y ∈ M, то y ∈
/ f (y ) = M
Если y ∈
/ M, то y ∈ f (y ) = M
H
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Доказательство.
От противного предположим, что существует элемент S
неограниченного по мощности множества S, такой что S 6≺ ∪S
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Доказательство.
От противного предположим, что существует элемент S
неограниченного по мощности множества S, такой что S 6≺ ∪S
Тогда будет верно хотя бы одно из двух:
S 6 ∪S
S ∼ ∪S
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Доказательство.
От противного предположим, что существует элемент S
неограниченного по мощности множества S, такой что S 6≺ ∪S
Тогда будет верно хотя бы одно из двух:
S 6 ∪S, что невозможно, так как S ⊆ S
S ∼ ∪S
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Доказательство.
От противного предположим, что существует элемент S
неограниченного по мощности множества S, такой что S 6≺ ∪S
Тогда будет верно хотя бы одно из двух:
S 6 ∪S, что невозможно, так как S ⊆ S
S ∼ ∪S, и тогда существует элемент S 0 множества S, такой что
∪S ∼ S ≺ S 0
Кардинальные числа
Семейство множеств S неограничено по мощности, если для
любого его элемента S существует элемент S 0 , такой что S ≺ S 0
S
∪S =
S
S∈S
Теорема
Если S — семейство множеств, неограниченное по
мощности, то для любого элемента S этого семейства
верно: S ≺ ∪S
Доказательство.
От противного предположим, что существует элемент S
неограниченного по мощности множества S, такой что S 6≺ ∪S
Тогда будет верно хотя бы одно из двух:
S 6 ∪S, что невозможно, так как S ⊆ S
S ∼ ∪S, и тогда существует элемент S 0 множества S, такой что
H
∪S ∼ S ≺ S 0 , что невозможно, так как S 0 ⊆ ∪S
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . .
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si ))
(i ≥ 0)
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si ))
(i ≥ 0)
Si
M
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si ))
(i ≥ 0)
Si
M
g −1 (Si )
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si ))
(i ≥ 0)
Si
M
Si+2
g −1 (Si )
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si )),
(i ≥ 0)
и последовательность C1 , C2 , C3 , . . . , где Ci = Si \ Si−1
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si )),
(i ≥ 0)
и последовательность C1 , C2 , C3 , . . . , где Ci = Si \ Si−1
Тогда такое отображение h : S → S1 является биекцией:
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si )),
(i ≥ 0)
и последовательность C1 , C2 , C3 , . . . , где Ci = Si \ Si−1
Тогда такое отображение
S → S1 является S
биекцией:
( −1 h :−1
f (g (x)), если x ∈
Ci
i≥1
h(x) =
x,
иначе
Кардинальные числа
Пусть f : S → M и S1 ⊆ S
Тогда f (S1 ) = {f (x) | x ∈ S1 }
Теорема Кантора-Бернштейна
Если S M и M S, то S ∼ M
Доказательство.
Существуют биекции f : S1 → M и g : M1 → S, где S1 ⊆ S и
M1 ⊆ M
Рассмотрим последовательность множеств S0 , S1 , S2 , S3 , . . . ,
где S0 = S и Si+2 = f −1 (g −1 (Si )),
(i ≥ 0)
и последовательность C1 , C2 , C3 , . . . , где Ci = Si \ Si−1
Тогда такое отображение
S → S1 является S
биекцией:
( −1 h :−1
f (g (x)), если x ∈
Ci
i≥1
h(x) =
x,
иначе
Значит, S ∼ S1 ∼ M
H
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < ...
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < . . . < ℵ0
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < . . . < ℵ0 < ℵ1 < . . .
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < . . . < ℵ 0 < ℵ 1 < . . . < ℵ ℵ0
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < . . . < ℵ0 < ℵ1 < . . . < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
Кардинальные числа
Следствие. Отношение ≤ на множестве кардинальных
чисел, определяемое соотношением
|S| ≤ |M| ⇔ S M,
является нестрогим частичным порядком
Если
α0 = |S0 |, α1 = |S1 |, . . . , αn = |Sn |, . . . ,
то αℵ0 = |∪ {S0 , S1 , . . . , Sn , . . .}|
Следствие. Справедлива следующая цепочка
неравенств:
0 < 1 < . . . < ℵ0 < ℵ1 < . . . < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
И в этой цепочке перечислены далеко не все кардинальные
числа
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Утверждение
Любое бесконечное подмножество счётно-бесконечного
множества счётно-бесконечно
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Утверждение
Любое бесконечное подмножество счётно-бесконечного
множества счётно-бесконечно
Доказательство.
Достаточно показать, что любое бесконечное подмножество S
множества N счётно-бесконечно
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Утверждение
Любое бесконечное подмножество счётно-бесконечного
множества счётно-бесконечно
Доказательство.
Достаточно показать, что любое бесконечное подмножество S
множества N счётно-бесконечно
Следующая функция f : N → S является биекцией:
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Утверждение
Любое бесконечное подмножество счётно-бесконечного
множества счётно-бесконечно
Доказательство.
Достаточно показать, что любое бесконечное подмножество S
множества N счётно-бесконечно
Следующая функция f : N → S является биекцией:
I f (1) — это наименьшее число в S
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Утверждение
Любое бесконечное подмножество счётно-бесконечного
множества счётно-бесконечно
Доказательство.
Достаточно показать, что любое бесконечное подмножество S
множества N счётно-бесконечно
Следующая функция f : N → S является биекцией:
I f (1) — это наименьшее число в S
I f (i + 1) — это наименьшее число в множестве
S \ {f (1), . . . , f (i)}
(i ≥ 1)
H
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуального
множества либо счётно-бесконечно, либо континуально
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуального
множества либо счётно-бесконечно, либо континуально
Насколько это утверждение правдоподобно?
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуального
множества либо счётно-бесконечно, либо континуально
Насколько это утверждение правдоподобно?
Оказывается1 , что в некотором смысле
это утверждение нельзя ни опровергнуть, ни доказать
1
К этому мы вернёмся в следующей лекции после попытки
формализовать теорию множеств на языке логики предикатов
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуального
множества либо счётно-бесконечно, либо континуально
Насколько это утверждение правдоподобно?
Оказывается1 , что в некотором смысле
это утверждение нельзя ни опровергнуть, ни доказать
Получается, мы можем пользоваться двумя разными теориями
множеств, в одной из которых эта гипотеза верна, а в другой
неверна?
1
К этому мы вернёмся в следующей лекции после попытки
формализовать теорию множеств на языке логики предикатов
Кардинальные числа
0 < 1 < · · · < ℵ0 < ℵ1 < · · · < ℵℵ0 < ℵℵ0 +1 < . . .
А можно ли уточнить эту цепочку неравенств?
Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуального
множества либо счётно-бесконечно, либо континуально
Насколько это утверждение правдоподобно?
Оказывается1 , что в некотором смысле
это утверждение нельзя ни опровергнуть, ни доказать
Получается, мы можем пользоваться двумя разными теориями
множеств, в одной из которых эта гипотеза верна, а в другой
неверна?
Ответить на этот вопрос оставляю вам самим
1
К этому мы вернёмся в следующей лекции после попытки
формализовать теорию множеств на языке логики предикатов
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
1
= 0 ∪ {0}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
1
= 0 ∪ {0}
= {∅}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
1
= 0 ∪ {0}
2
= 1 ∪ {1}
= {∅}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
1
= 0 ∪ {0}
2
= 1 ∪ {1}
= {∅}
= {∅, {∅}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
=
1
=
2
=
3
=
∅
0 ∪ {0}
1 ∪ {1}
2 ∪ {2}
= {∅}
= {∅, {∅}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
=
1
=
2
=
3
=
∅
0 ∪ {0}
1 ∪ {1}
2 ∪ {2}
= {∅}
= {∅, {∅}}
= {∅, {∅, {∅}}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
=
1
=
2
=
3
=
...
n+1 =
...
∅
0 ∪ {0}
1 ∪ {1}
2 ∪ {2}
n ∪ {n}
= {∅}
= {∅, {∅}}
= {∅, {∅, {∅}}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
натуральные числа
0
= ∅
1
= 0 ∪ {0} = {∅}
2
= 1 ∪ {1} = {∅, {∅}}
3
= 2 ∪ {2} = {∅, {∅, {∅}}}
...
n + 1 = n ∪ {n}
...
(а также любые счётные совокупности объектов)
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
...
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
...
= ∅
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
(x)
...
= ∅
= {{()} , {(), x}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
(x)
...
= ∅
= {{()} , {(), x}}
= {{∅} , {∅, x}}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
(x)
(x, y )
...
=
=
=
=
∅
{{()} , {(), x}}
{{∅} , {∅, x}}
{{(x)} , {(x), y }}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
(x)
(x, y )
...
=
=
=
=
=
∅
{{()} , {(), x}}
{{∅} , {∅, x}}
{{(x)} , {(x), y }}
{{{{∅} , {∅, x}}} , {{{∅} , {∅, x}} , y }}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
кортежи
()
(x)
(x, y )
=
=
=
=
=
∅
{{()} , {(), x}}
{{∅} , {∅, x}}
{{(x)} , {(x), y }}
{{{{∅} , {∅, x}}} , {{{∅} , {∅, x}} , y }}
...
(x, y , . . . , u, v ) = {{(x, y , . . . , u)} , {(x, y , . . . , u), v }}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X }
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
где (x, f (x)) — это кортеж размера 2 (пара)
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
где (x, f (x)) — это кортеж размера 2 (пара)
графы
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
где (x, f (x)) — это кортеж размера 2 (пара)
графы
Граф — это пара (V , E )
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
где (x, f (x)) — это кортеж размера 2 (пара)
графы
Граф — это пара (V , E ), где V — множество
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
функции
Пусть f : X → Y
Тогда
f = {(x, f (x)) | x ∈ X },
где (x, f (x)) — это кортеж размера 2 (пара)
графы
Граф — это пара (V , E ), где V — множество и E — множество
пар элементов V
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
сигнатуры логики предикатов
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
сигнатуры логики предикатов
Сигнатура логики предикатов — это кортеж
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
сигнатуры логики предикатов
Сигнатура логики предикатов — это кортеж, состоящий из
I
множества констант
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
сигнатуры логики предикатов
Сигнатура логики предикатов — это кортеж, состоящий из
I
I
множества констант
множества пар, состоящих из функционального символа и
натурального числа (местности)
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
сигнатуры логики предикатов
Сигнатура логики предикатов — это кортеж, состоящий из
I
I
I
множества констант
множества пар, состоящих из функционального символа и
натурального числа (местности)
множества пар, состоящих из предикатного символа и
натурального числа (местности)
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Интерпретация — это кортеж
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Интерпретация — это кортеж, состоящий из
I
множества D
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Интерпретация — это кортеж, состоящий из
I
I
множества D
функции, отображающей множество констант в элементы D
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Интерпретация — это кортеж, состоящий из
I
I
I
множества D
функции, отображающей множество констант в элементы D
функции, отображающей кортежи элементов D в элементы
D
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
интерпретации в логике предикатов
Интерпретация — это кортеж, состоящий из
I
I
I
I
множества D
функции, отображающей множество констант в элементы D
функции, отображающей кортежи элементов D в элементы
D
функции, отображающей кортежи элементов D в
множество из двух натуральных чисел: {0, 1}
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
множества, заданные на естественном языке
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
множества, заданные на естественном языке:
I
множество студентов, сидящих в этой комнате
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
множества, заданные на естественном языке:
I
I
множество студентов, сидящих в этой комнате
множество людей, живущих на Солнце
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
множества, заданные на естественном языке:
I
I
I
множество студентов, сидящих в этой комнате
множество людей, живущих на Солнце
множество действительных решений уравнения
x 2 − 2x + 1 = 0
Кардинальные числа
А как много всего можно определить, используя только
понятие множества и операции ∪, ∩, \?
Например,
множества, заданные на естественном языке:
I
I
I
I
множество студентов, сидящих в этой комнате
множество людей, живущих на Солнце
множество действительных решений уравнения
x 2 − 2x + 1 = 0
множество всех чисел, оканчивающихся на букву “н”
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Хорошо это или плохо?
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Хорошо это или плохо?
I
Устранить парадоксы — одна из основных задач логики
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Хорошо это или плохо?
I
I
1
Устранить парадоксы — одна из основных задач логики
“Сущность математики состоит именно в её свободе” 1,2
Кантор. 1883. Mathematische Annalen, 21
Имеется ли в виду, что в парадоксах нет ничего страшного? Ответа на
этот вопрос я не привожу
2
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Хорошо это или плохо?
I
I
Устранить парадоксы — одна из основных задач логики
“Сущность математики состоит именно в её свободе” 1,2
Но каковы бы ни были мнения на этот счёт, факт наличия
парадоксальных заключений в наивной теории множеств
остаётся
1
Кантор. 1883. Mathematische Annalen, 21
Имеется ли в виду, что в парадоксах нет ничего страшного? Ответа на
этот вопрос я не привожу
2
Кардинальные числа
А любое ли описание множества
на естественном языке корректно что-либо задаёт?
Оказывается, это не так: определение множества,
сформулированное Кантором, позволяет определять
парадоксальные множества, которых “не может существовать”
Хорошо это или плохо?
I
I
Устранить парадоксы — одна из основных задач логики
“Сущность математики состоит именно в её свободе” 1,2
Но каковы бы ни были мнения на этот счёт, факт наличия
парадоксальных заключений в наивной теории множеств
остаётся
Приведём несколько примеров таких заключений
1
Кантор. 1883. Mathematische Annalen, 21
Имеется ли в виду, что в парадоксах нет ничего страшного? Ответа на
этот вопрос я не привожу
2
Парадоксы теории множеств
Парадокс Рассела
(теперь формализованный в терминах
наивной теории множеств)
Парадоксы теории множеств
Парадокс Рассела
(теперь формализованный в терминах
наивной теории множеств)
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | x ∈
/ x}
Парадоксы теории множеств
Парадокс Рассела
(теперь формализованный в терминах
наивной теории множеств)
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | x ∈
/ x}
Верно ли, что Ω ∈ Ω?
Парадоксы теории множеств
Парадокс Рассела
(теперь формализованный в терминах
наивной теории множеств)
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | x ∈
/ x}
Верно ли, что Ω ∈ Ω?
I
Если Ω ∈ Ω, то по заданию этого множества Ω ∈
/Ω
Парадоксы теории множеств
Парадокс Рассела
(теперь формализованный в терминах
наивной теории множеств)
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | x ∈
/ x}
Верно ли, что Ω ∈ Ω?
I
I
Если Ω ∈ Ω, то по заданию этого множества Ω ∈
/Ω
Если Ω ∈
/ Ω, то по заданию этого множества Ω ∈ Ω
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Это множество всех множеств
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Это множество всех множеств
А какова мощность множества Ω?
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Это множество всех множеств
А какова мощность множества Ω?
Предположим, что |Ω| = α
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Это множество всех множеств
А какова мощность множества Ω?
Предположим, что |Ω| = α
Тогда по теореме Кантора верно: |2Ω | > |Ω|
Парадоксы теории множеств
Парадокс Кантора
Рассмотрим такое множество:
Ω = {x | true}
Что это за множество?
Это множество всех множеств
А какова мощность множества Ω?
Предположим, что |Ω| = α
Тогда по теореме Кантора верно: |2Ω | > |Ω|
Но при этом 2Ω ∈ Ω, а значит, |2Ω | ≤ |Ω|
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
Тристрам Шенди однажды обнаружил, что ему понадобился
целый год жизни, чтобы изложить события первого дня его
жизни
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
Тристрам Шенди однажды обнаружил, что ему понадобился
целый год жизни, чтобы изложить события первого дня его
жизни
Ещё один год понадобился, чтобы изложить события второго
дня
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
Тристрам Шенди однажды обнаружил, что ему понадобился
целый год жизни, чтобы изложить события первого дня его
жизни
Ещё один год понадобился, чтобы изложить события второго
дня
Представим себе, что Тристрам будет жить вечно, и что все его
дни настолько же насыщенны, как и первые два
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
Тристрам Шенди однажды обнаружил, что ему понадобился
целый год жизни, чтобы изложить события первого дня его
жизни
Ещё один год понадобился, чтобы изложить события второго
дня
Представим себе, что Тристрам будет жить вечно, и что все его
дни настолько же насыщенны, как и первые два
Тогда каждый день его жизни будет изложен
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Тристрама Шенди1
Тристрам Шенди однажды обнаружил, что ему понадобился
целый год жизни, чтобы изложить события первого дня его
жизни
Ещё один год понадобился, чтобы изложить события второго
дня
Представим себе, что Тристрам будет жить вечно, и что все его
дни настолько же насыщенны, как и первые два
Тогда каждый день его жизни будет изложен
Значит ли это, что Тристрам Шенди проживёт столько же дней,
сколько и лет?
1
Это герой юмористического романа Л.Стерна
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
Мы можем разместить одного постояльца
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
Мы можем разместить одного постояльца: достаточно
переселить каждого гостя из комнаты N в комнату N + 1 —
и одно место освободится
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
I
Мы можем разместить одного постояльца: достаточно
переселить каждого гостя из комнаты N в комнату N + 1 —
и одно место освободится
Мы можем разместить любое конечное число постояльцев
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
I
Мы можем разместить одного постояльца: достаточно
переселить каждого гостя из комнаты N в комнату N + 1 —
и одно место освободится
Мы можем разместить любое конечное число постояльцев:
достаточно разместить их одного за одним
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
Мы можем разместить счётно-бесконечное число
постояльцев
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
Мы можем разместить счётно-бесконечное число
постояльцев: достаточно переселить каждого гостя из
комнаты N в комнату 2N — и освободится бесконечное
число комнат
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
I
Мы можем разместить счётно-бесконечное число
постояльцев: достаточно переселить каждого гостя из
комнаты N в комнату 2N — и освободится бесконечное
число комнат
Более того, если к нам приедет счётно-бесконечное число
автобусов, и в каждом будет сидеть счётно-бесконечное
число пассажиров, мы всё так же сможем их разместить
Парадоксы теории множеств
Парадокс Гранд-отеля
Представьте себе отель со счётным числом комнат в самый
разгар сезона: все комнаты заняты постояльцы
Сколько новых постояльцев мы сможем разместить в этом
отеле?
I
I
Мы можем разместить счётно-бесконечное число
постояльцев: достаточно переселить каждого гостя из
комнаты N в комнату 2N — и освободится бесконечное
число комнат
Более того, если к нам приедет счётно-бесконечное число
автобусов, и в каждом будет сидеть счётно-бесконечное
число пассажиров, мы всё так же сможем их разместить
Попробуйте сами придумать, как это сделать —
это не очень сложно
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
За 15 секунд до полудня мы кладём ещё 10 шаров и снова
вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
За 15 секунд до полудня мы кладём ещё 10 шаров и снова
вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
За 260N секунд до полудня мы кладём в вазу ещё 10 шаров и
опять вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
За 15 секунд до полудня мы кладём ещё 10 шаров и снова
вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
За 260N секунд до полудня мы кладём в вазу ещё 10 шаров и
опять вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
Сколько шаров окажется в вазе к полудню?
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
За 15 секунд до полудня мы кладём ещё 10 шаров и снова
вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
За 260N секунд до полудня мы кладём в вазу ещё 10 шаров и
опять вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
Сколько шаров окажется в вазе к полудню?
I
В вазе будет бесконечное число шаров, потому что мы
бесконечное число раз добавляем в неё 9 шаров
Парадоксы теории множеств
Парадокс Росса-Литтлвуда
За минуту до полудня перед нами стоит пустая ваза и лежит
бесконечное число шаров
За 30 секунд до полудня мы кладём в неё 10 шаров и вынимаем
1, лежащий в вазе дольше всех
За 15 секунд до полудня мы кладём ещё 10 шаров и снова
вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
За 260N секунд до полудня мы кладём в вазу ещё 10 шаров и
опять вынимаем 1, лежащий в вазе дольше всех
...
Сколько шаров окажется в вазе к полудню?
I
I
В вазе будет бесконечное число шаров, потому что мы
бесконечное число раз добавляем в неё 9 шаров
Ваза будет пуста, потому что каждый опущенный в вазу
шар обязательно будет вынут
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
(это число 6 )
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
(это число 6 )
Рассмотрим множество Ω всех натуральных чисел, которые
можно описать менее чем одиннадцатью словами
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
(это число 6 )
Рассмотрим множество Ω всех натуральных чисел, которые
можно описать менее чем одиннадцатью словами
Число осмысленных фраз из менее чем одиннадцати слов
конечно, а значит, множество Ω конечно
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
(это число 6 )
Рассмотрим множество Ω всех натуральных чисел, которые
можно описать менее чем одиннадцатью словами
Число осмысленных фраз из менее чем одиннадцати слов
конечно, а значит, множество Ω конечно
При этом |N| = ℵ0 , а значит, существуют числа, которые не
входят в Ω, и среди них есть наименьшее
Парадоксы теории множеств
Парадокс Берри
Каждое число можно описать фразой на русском языке,
например:
I
I
наибольший общий делитель чисел “двенадцать” и “девять”
(это число 3 )
наименьшее совершенное число
(это число 6 )
Рассмотрим множество Ω всех натуральных чисел, которые
можно описать менее чем одиннадцатью словами
Число осмысленных фраз из менее чем одиннадцати слов
конечно, а значит, множество Ω конечно
При этом |N| = ℵ0 , а значит, существуют числа, которые не
входят в Ω, и среди них есть наименьшее
Чему равно наименьшее натуральное число, которое
нельзя описать менее чем одиннадцатью словами?
Парадоксы теории множеств
Можно ли избежать всех парадоксов, если достаточно хорошо
описать понятие “множества”?
Парадоксы теории множеств
Можно ли избежать всех парадоксов, если достаточно хорошо
описать понятие “множества”?
Нет, потому что парадоксальность вывода не обязательно
означает его ошибочность
Парадоксы теории множеств
Можно ли избежать всех парадоксов, если достаточно хорошо
описать понятие “множества”?
Нет, потому что парадоксальность вывода не обязательно
означает его ошибочность
При этом в наивной теории множеств всё же существуют
парадоксы, основанные на некорректном определении и
использовании основных понятий теории
Парадоксы теории множеств
Можно ли избежать всех парадоксов, если достаточно хорошо
описать понятие “множества”?
Нет, потому что парадоксальность вывода не обязательно
означает его ошибочность
При этом в наивной теории множеств всё же существуют
парадоксы, основанные на некорректном определении и
использовании основных понятий теории
Такие парадоксы можно попытаться устранить, используя для
этого аппарат аксиоматических теорий
Конец лекции 13