π π π π π π π π π π π π π π π

Диагностическая работа № 5 С1
⎧2 y + 2 sin x = 0
⎪
Решите неравенство: ⎨
1
⎪tgx + 1 =
cos 2 x
⎩
Заметим, что первое уравнение системы может иметь решения только при sin x < 0 .
Разберемся со вторым уравнением.
1
cos 2 x
tgx + 1 = tg 2 x + 1
tgx + 1 =
tg 2 x − tgx = 0 → tgx = 0;1 → x = πn;
С учетом условия sin x < 0 получаем:
x = πn;
π
4
+ πk ; n , k ∈ Z
5π
+ 2πk ; n , k ∈ Z
4
x = πn; n ∈ Z имеет вид 2 y = 0 - решений нет.
1
2 y − 2 = 0; → y = ;
2
Тогда первое уравнение при
При x =
5π
+ 2πk ; k ∈ Z
4
Ответ: x =
5π
+ 2πk ; k ∈ Z
4
y=
1
;
2
Диагностическая работа № 6 С1
⎧⎪4 sin y − 5 ⋅ 2 sin y + 4 = 0
⎪⎩ x + 5 cos y + 1 = 0
Решите неравенство: ⎨
=t >0
t − 5t + 4 = 0 ; → t = 1;4 → sin y = 0; sin y = 2 > 1 − не подходит
Итого sin y = 0 ⇒ y = πn , n ∈ Z ;
Заметим, что второе уравнение может иметь решения только при cos y < 0 .
Тогда y = π + 2πn , n ∈ Z ; ⇒ cos y = −1;
Решим первое уравнение, приняв 2
sin y
2
Второе уравнение:
Ответ: x = 16 ;
x − 5 + 1 = 0 ; → x = 16 ;
y = π + 2πn , n ∈ Z ;
http://alexlarin.narod.ru
Диагностическая работа № 7 С1
⎧⎪4 cos 2 x − 12 cos x + 5 = 0
Решите неравенство: ⎨
⎪⎩ y 2 − 4 y + 16 + 4 sin x = 0
Заметим, что второе уравнение может иметь корни только при sin x ≤ 0
Решим первое уравнение, приняв cos x = t .
4t 2 − 12t + 5 = 0 → t =
cos x =
1 5
; > 1 − не подходит
2 2
π
1
; → x = ± + 2πn , n ∈ Z ;
2
3
С учетом условия sin x ≤ 0 получим
x=−
π
+ 2πn , n ∈ Z ; → sin x = −
3
3
;
2
Решаем второе уравнение:
y 2 − 4 y + 16 = 2 3
y 2 − 4 y + 16 = 12;
y2 − 4y + 4 = 0 →
Ответ:
x=−
π
3
y = 2;
+ 2πn , n ∈ Z ; y = 2;
Диагностическая работа № 8 С1
⎧⎪ y + cos 2 x − 2 = cos x
Решите неравенство: ⎨
⎪⎩ y sin 2 x − sin x − 1 = 0
Заметим, что первое уравнение может иметь корни только при cos x ≥ 0
Разберемся с первым уравнением.
y + cos 2 x − 2 = cos x
y + cos 2 x − 2 = cos 2 x
y − 2 = 0 → y = 2;
Теперь решим второе уравнение, приняв
sin x = t .
1
π
π
2t 2 − t − 1 = 0 → t = 1;− ; → x = + 2πn; x = ( −1 ) n +1 + πk , n , k ∈ Z
2
2
6
Вспомним про условие cos x ≥ 0 и получим
Ответ:
x=
π
2
+ 2πn; y = 2; x = −
π
6
x=
π
2
+ 2πn; x = −
π
6
+ 2πk , n , k ∈ Z
+ 2πk , y = 2; n , k ∈ Z
http://alexlarin.narod.ru
Диагностическая работа № 9 С1
Решите неравенство:
⎧⎪4 y − 10 ⋅ 2 y + 16 = 0
⎨
⎪⎩cos x = y − 2
2y = t > 0 .
t 2 − 10t + 16 = 0 → t = 8;2 → y = 3;1
Решим первое уравнение, приняв
Теперь решим второе уравнение:
При y = 3 cos x = 1; → x = 2πn , n ∈ Z
При
y = 1 - решений нет.
Ответ:
x = 2πn , n ∈ Z ; y = 3;
http://alexlarin.narod.ru