Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Семинар 1
Алгебра
Обыкновенные дроби
Разминка
1. Вспомните, где вы встречались с дробями в реальной жизни.
2. Сколько времени показывают часы, если вам сказали, что на часах:
а) половина шестого;
б) без четверти одиннадцать.
3. Если Михаил съел половину пирога, Данила четвертую часть, а Акакий только восьмую, то кто в итоге остался больше всех голоден?
План занятия
Цели занятия
• Понятие обыкновенной дроби
• Правильные и неправильные дроби
• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Смешанные числа и их перевод в
неправильную дробь
• Приведение к общему знаменателю
• Сокращение дробей
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Умножение дробей
• Деление дробей
• Сравнение дробей
• Уметь приводить дроби к общему
знаменателю и сокращать их
• Научиться складывать и вычитать
дроби
• Узнать, как умножать и делить дроби
• Моя цель:
Понятие обыкновенной дроби
Обыкновенная дробь — это два числа, записанные через горизонтальную
черту. То число, которое стоит сверху, называется числителем дроби; то,
которое стоит снизу — знаменателем.
числитель
1
2
знаменатель
Черточка в записи дроби — это всего лишь знак деления, просто по-другому записанный.
10
Поэтому, когда мы пишем
, мы имеем в виду: «десять разделить на пять».
5
9
Университет Иннополис
10
= 2, ведь черта — это знак деления, а 10 ÷ 5 = 2.
Кстати, именно поэтому можно написать
5
Запомните это важное свойство дробей. Из него сразу видно, что любое целое число — это
тоже дробь, у которой в знаменателе стоит единица!
Например:
5
5= ;
1
−3 =
−3
;
1
1
1= ;
1
62 =
62
;
1
−31 =
−31
.
1
Упражнения
1. Найдите среди записей обыкновенную дробь:
а)
14
;
11
б) 5;
2. Назовите числитель и знаменатель:
−1
11
;
б)
;
а)
6
7
в) 64 ;
г)
12
.
12
15
;
9
г)
33
.
−11
в)
3. Запишите дробь с числителем и знаменателем, равными:
а) 3 и 5;
б) 2 и 3;
в) −4 и 6;
г) 5 и 3.
Правильные и неправильные дроби
5 17 32
Дроби, у которых числитель больше знаменателя, носят название неправильных. , ,
3 4 1
5 2
— это все неправильные дроби. А вот , — это уже правильные дроби.
8 7
Правильная дробь — обыкновенная дробь, у которой числитель по модулю
меньше знаменателя.
Неправильная дробь — обыкновенная дробя, не являющаяся правильной.
Упражнения
1. Найдите среди представленных дробей правильные:
а)
7
;
118
9
б) − ;
8
в)
4
;
7
г)
11
.
9
10
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями
Чтобы сложить (вычесть) две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, надо:
1) сложить (вычесть) числители;
2) знаменатель оставить прежний.
Например:
7−4
3
7 4
− =
= ;
8 8
8
8
2 1
2+1
3
б) + =
= .
7 7
7
7
а)
Упражнения
1. Сложите:
1 1
а) + ;
3 3
б)
1 2
+ ;
4 4
в)
5 3
+ ;
7 7
г)
6 9
+ .
3 3
в)
7
4
− ;
19 19
г)
1 2
− .
7 7
2. Произведите вычитание:
а)
3 2
− ;
7 7
б)
8
3
− ;
11 11
Смешанные числа и их перевод в неправильную дробь
Не намного сложнее сложить обыкновенное число и какую-нибудь дробь:
Пример:
2
15 2
17
3+ =
+ = .
5
5
5
5
15
, а потом просто сложили две дроби с одинаковым
5
1
2
2
10 + слишком долго и некрасиво,
знаменателем. Кстати, постоянно писать 3 + , 5 + ,
5
6
7
2
1
поэтому математики договорились пропускать знак «плюс». Лучше просто писать 3 , 5 ,
5
6
2
2
10 . Помните, что 10 — это не десять умножить на две седьмых, а десять плюс две
7
7
седьмых. Такая запись называется «смешанное число».
Здесь мы использовали то, что 3 =
Смешанное число — запись, содержащая целую и дробную части.
Университет Иннополис
11
1
9
Пример 1.1. Представьте числа 3 и −1
в виде непра2
13
вильной обыкновенной дроби.
Решение.
3·2+1
7
1
= .
3 =
2
2
2
9
1 · 13 + 9
22
−1 = −
=− .
13
13
13
17
Обратите внимание, что неправильные дроби (такие, как
) всегда можно записать в виде
5
суммы числа и правильной дроби. Делается это так.
17
Пример 1.2. Представьте неправильную дробь
в виде сум5
мы числа и правильной дроби.
Решение.
1. Сначала разбиваем число семнадцать на две части: первая
часть должна без остатка делиться на знаменатель нашей
дроби — пять, а вторая получится сама по себе.
2. Возможные разбиения: 5 + 12, 10 + 7, 15 + 2. Из них мы
выбираем то, которое содержит самое большое число, делящееся на 5. Это 15 + 2.
3. Записывем наше разбиение:
15 + 2
17
=
.
5
5
4. Разделяем нашу дробь на две, как бы «разорвав» её на
знаке +:
15 2
15 + 2
=
+ .
5
5
5
5. Теперь вспоминаем, что знак черты дроби — это всего
лишь деление и получаем:
15 2
2
+ =3+ .
5
5
5
6. Ну а теперь записываем нашу дробь так, как принято у
математиков, — в виде смешанного числа, опустив знак
«плюс»:
2
2
3+ =3
5
5
2
Ответ: 3 .
5
12
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Упражнения
1. Представьте в виде неправильной дроби:
1
б) 2 ;
3
1
а) 1 ;
2
в) 2
1
;
30
г) 2
11
.
30
2. Представьте в виде смешанного числа:
а)
11
;
10
б)
15
;
13
в)
7
;
3
г)
20
.
9
Приведение к общему знаменателю
Теперь давайте разберем одну интересную особенность дробей.
Если числитель и знаменатель дроби домножить или разделить на одно и то
же число, то значение дроби не изменится.
Пример 1.3.
5·3
15
14
14 ÷ 2
7
5
=
= ;
б)
=
= .
8
8·3
24
18
18 ÷ 2
9
Первое свойство нужно нам, чтобы привести две дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это такое минимальное число, которое делится и на знаменатель первой
дроби, и на знаменатель второй. Если вы знаете, что такое НОК (наименьшее общее кратное),
то можно сказать проще: общий знаменатель двух дробей — это НОК их знаменателей.
а)
Пример 1.4. Привести дроби
7 5
и к общему знаменателю.
8 6
Решение.
Смотрим на знаменатели: 8 и 6. Их НОК равно 24 (еще раз напомним, что НОК — это такое наименьшее число, которое делится и на первое, и на второй число). Приводим дроби к знаменателю 24. Числитель и знаменатель первой дроби домножаем
на 3, а второй — на 4.
7·3
21
5
5·4
20
7
=
= ;
=
= .
8
8·3
24
6
6·4
24
Таким образом, дроби приведены к общему знаменателю. От21
20
вет:
,
.
24
24
13
Университет Иннополис
Упражнения
1. Приведите к знаменателю 24:
а)
1
;
4
б)
1
;
3
в)
1
;
6
г)
3
.
12
в)
1 1
и ;
4 8
г)
1 1
и .
6 8
2. Приведите к общему знаменателю:
а)
1 1
и ;
2 3
б)
1 1
и ;
5 6
Сокращение дробей.
Мы уже успели немного познакомиться с таким понятием, как сокращение дробей. Теперь
давайте рассмотрим подробнее, что же это такое.
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель дроби
на одно и то же число (отличное от единицы). Дроби, числитель и знаменатель
которых может быть разделен на одинаковое число, называют сократимыми,
а те, у которых это сделать нельзя, — несократимыми. Рассмотрим примеры:
Пример 1.5. Сократите дроби:
14
;
21
4·3
;
9·2
4+2
.
6+2
Решение.
14
14 ÷ 7
2
а)
=
= ;
21
21 ÷ 7
3
4·3÷3
4
4÷2
2
4·3
=
=
=
= ;
б)
9·2
9·2÷3
3·2
3·2÷2
3
4+2
6
6÷2
3
в)
= =
= .
6+2
8
8÷2
4
Обратите внимание, что мы не можем просто так зачеркнуть двойки, потому что мы
должны сокращать числитель и знаменатель целиком на одно и то же число. А если мы
зачеркнем двойки, то, значит, мы ничего не сделали с четверкой и шестеркой. И ответ получится неправильный:
4+62
4+2
6=
.
6+2
6+62
Нельзя просто так зачеркнуть двойки, тогда получится:
4÷2
2
= .
6÷2
3
А должно получиться, как мы помним,
3
.
4
14
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Упражнения
Сократите дроби:
2
а) ;
6
б)
5
;
10
в)
4
;
16
г)
2+4
.
6+4
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Сложим теперь две обыкновенные дроби с разными знаменателями.
Чтобы сложить две обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:
1)Привести дроби к общему знаменателю;
2)Сложить числители получившихся дробей;
3)Знаменатель поставить общий, который вы уже нашли.
Вычитание производится точно так же.
Пример 1.6. Выполните действие:
2 3
+ .
5 4
Решение.
1. Смотрим на знаменатели наших дробей: 5 и 4.
2. Ищем наименьшее число, которое делится на 5 и 4. Это
20.
3. Домножаем числитель и знаменатель первой дроби на 4,
а второй — на 5
2 3
2·4 3·5
8
15
+ =
+
=
+ .
5 4
5·4 4·5
20 20
4. Складываем две дроби с одинаковым знаменателем
8
15
8 + 15
23
+
=
= .
20 20
20
20
5. Пишем ответ —
Ответ:
23
.
20
23
.
20
Упражнения
1. Выполните действия:
1 1
1 1
а) + ;
б) + ;
2 4
6 4
в)
2 3
+ ;
6 4
г)
23 12
− .
24 16
15
Университет Иннополис
Умножение дробей
Как все уже, наверное, догадались, дроби можно не только складывать и вычитать. На них
еще можно умножать и делить. Для начала разберемся с умножением обыкновенных дробей.
Если надо перемножить две обыкновенные дроби, то надо перемножить их числители и записать результат в числитель, затем перемножить их знаменатели
и, соответственно, получившееся число записать в знаменатель.
Пример 1.7. Выполнить действия:
а)
5 8
· ;
7 11
б)
12 9
· .
25 5
Решение.
а)
5·8
40
5 8
·
=
= ;
7 11
7 · 11
77
б)
12 9
12 · 9
108
· =
=
.
25 5
25 · 5
125
Иногда случается такое, что, перед тем как производить умножение, можно сократить дробь,
то есть разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число. Тем самым мы
упростим себе жизнь, потому что теперь нам придётся перемножать не такие большие числа.
Пример 1.8. Выполнить действия:
а)
15 12
· ;
16 25
б)
28 15
· .
75 49
Решение.
а)
15 12
3·3
9
15 · 12
3 · 12
·
=
=
= ;
=
16 25
4·5
20
16 · 25
16 · 5
б)
28 15
4 · 15
28 · 15
4·1
4
=
·
=
=
= .
75 49
5·7
35
75 · 49
75 · 7
Упражнения
Выполните действия:
2 8
3 7
б)
· ;
а) · ;
5 11
13 3
в)
2 3
· ;
3 7
г)
4 1
· .
13 2
16
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Деление дробей
Теперь давайте делить. На самом деле, если мы научились умножать дроби, то делить их мы
уже тоже умеем, только еще не знаем об этом.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на
перевёрнутую вторую.
Например, при делении какой-то дроби или числа на
5
6
, нужно просто умножить его на .
6
5
35
Пример 1.9. Разделить обыкновенную дробь
на обыкно6
7
венную же .
8
Решение.
7
8
Деление на равносильно умножению на , т. е.
8
7
35 8
5·4
20
35 7
: =
· =
= .
6 8
6 7
3·1
3
Пример 1.10. Вычислите:
5
6
3
4
Решение.
Как мы уже говорили, дробная черта по сути является знаком
деления:
5
6 = 5 ÷ 3.
3
6 4
4
3
4
Деление на равносильно умножению на , тогда:
4
3
5 3
5 4
5· 4
5·2
10
: = · =
=
= .
6 4
6 3
3·3
9
6 ·3
Упражнения
Выполните действия:
3
7
а) ÷ ;
5 11
2
8
б)
÷ ;
13 3
6
3
в)
÷ ;
11 7
1
г) 33 .
2
17
Университет Иннополис
Сравнение дробей
Сейчас мы разберёмся, как сравнить между собой две дроби. И это тоже простейшее действие. Если у двух дробей есть целые части, то больше та дробь, целая часть которой больше.
10
5
К примеру, 3 > 2 . Если же в дробях нет целых частей, то нужно привести их к обще8
11
му знаменателю (если он ещё не одинаковый), а затем сравнить их числители. Та дробь, у
которой числитель больше, будет и сама больше.
Пример 1.11. Сравните дроби:
а)
1 2
и ;
7 7
б)
6 7
и ;
8 8
в)
5
1
и
;
22 22
г)
5
2
и2 .
9
9
Решение.
Поскольку знаменатель у этих дробей одинаковый, то в первых
трёх случаях всё просто: больше та дробь, у которой числитель
больше:
2
1
7
6
5
1
а)
> ; б)
> ; в)
> .
7
7
8
8
22
22
В последнем случае у нас есть две записи правильных дробей,
поэтому больше та, у которой больше целая часть:
5
2
г)2 > .
9
9
Пример 1.12. Сравните дроби:
2 3
и .
7 8
Решение.
1) Ищем общий знаменатель этих дробей: самое маленькое число, которое делится и на 7, и на 8, — НОК(7, 8)=56.
2) Приводим дроби к общему знаменателю:
2
2·8
16
=
=
7
7·8
56
и
3
3·7
21
=
= .
8
8·7
56
3) Сравниваем числители: 21 > 16, значит,
3
2
< .
7
8
Обратите внимание, что если перед дробью стоит знак минус, то больше будет та дробь,
5
10
числитель которой меньше: −3 < −2 .
8
11
Кстати, сравнивать дроби с одинаковым числителем так же просто, как и с одинаковым
знаменателем.
1) Из двух дробей с одинаковым числителем больше будет та, у которой
знаменатель меньше.
2) Положительная дробь всегда больше отрицательной.
3) Если перед обеими дробями стоит знак минус, то действует правило «все
наоборот» — больше та, у которой знаменатель больше.
18
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Упражнения
Сравните дроби:
1 2
а) и ;
6 6
б)
17 11
и
;
19 19
в)
3 3
и ;
7 8
г)
7
15
и
.
11 22
Контрольные вопросы
1. Чем отличается правильная дробь от неправильной?
2. Как определить, какая из двух дробей больше, если известно, что обе они
меньше нуля, а знаменатель у них одинаковый?
3. Как сложить две дроби с одинаковыми знаменателями?
4. Как сложить две дроби, если у них разные знаменатели?
5. Могут ли две дроби, знаменатели которых 18 и 24, быть равны?
6. Как разделить одну дробь на другую?
7. Как умножить число на дробь?
8. Если мы 3 разделим на
1
, то что получим в результате?
3
9. Возможно ли сократить дробь, если ее знаменатель равен 13?
10. Изменится ли дробь, если к ее числителю и знаменателю прибавить по двойке?
Если их умножить на два?
19
Университет Иннополис
Задачи для решения в классе
I
Задача 1.1. Приведите неправильную дробь к смешанному числу:
7
17
5
б) ;
в)
;
а) ;
3
4
5
Задача 1.2. Приведите смешанное число к неправильной дроби:
1
2
3
а) 1 ;
б) 1 ;
в) 3 ;
5
9
7
Задача 1.3. Вычислите:
1 1
2 2
а) + ;
б) + ;
3 3
5 5
13
8
3
1
+ ;
е)
+ ;
д)
19 19
13 13
Задача 1.4. Вычислите:
5 4
8 3
б) − ;
а) − ;
9 9
6 6
3
7
3
11
− ;
е)
− ;
д)
21 21
17 17
Задача 1.5. Приведите к
1 1
б)
а) и ;
3 9
2 1
д) и ;
е)
8 4
1 6
+ ;
9 9
8 3
ж) + ;
9 9
в)
3 1
− ;
7 7
5 2
ж) − ;
9 9
в)
общему знаменателю:
1
3
2
1
и
;
в) и
;
4 16
5 25
3 1
1 1
и ;
ж) и ;
9 3
6 4
Задача 1.6. Сократите дроби:
2
3
а) ;
б) ;
4
9
5
14
д)
;
е)
;
35
63
Задача 1.7. Вычислите:
2
1
1 1
б) + ;
а) + ;
4 2
5 10
1 3
5
3
д) + ;
е) + ;
9 7
8 10
Задача 1.8. Вычислите:
2 1
1 1
б) − ;
а) − ;
2 6
3 6
2 1
1 3
е) − ;
д) − ;
2 7
3 8
Задача 1.9. Выполните действия:
1 1
1 1
а) · ;
б) · ;
3 4
6 2
5 3
4 1
д) · ;
е) · ;
3 2
5 7
г)
34
.
7
г) 6
9
.
11
3 3
+ ;
7 7
5
17
з)
+ .
21 21
г)
9
5
− ;
19 19
30 29
з)
− .
97 97
г)
7
1
и
;
8 16
1
1
з) и
.
8 12
г)
6
;
16
9
ж)
;
24
4
;
8
12
з)
.
18
1 2
+ ;
9 3
1 1
ж) + ;
2 9
3
5
+ ;
7 14
5
7
з)
+ .
12 13
в)
в)
2
1
− ;
9 18
3
1
ж) − ;
4 11
г)
г)
7
3
− ;
11 22
7
5
з)
− .
12 13
в)
г)
3 3
· ;
4 7
3 7
ж) · ;
4 5
2 4
· ;
3 7
9 7
з)
· .
10 8
в)
г)
20
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Задача 1.10. Выполните действия:
1 1
1 1
б) ÷ ;
а) ÷ ;
3 4
6 2
4 1
5 3
е) ÷ ;
д) ÷ ;
3 2
5 7
3 3
÷ ;
4 7
3 7
ж) ÷ ;
4 5
Задача 1.11. Какая дробь больше?
4
1
2
1
а) или ;
б) или 1 ;
9
9
5
5
2
5
6
1
е) 8
или 8 ;
д) 5 или 3 ;
2
9
97
97
2
5
или 4 ;
19
18
5
2
ж) или ;
9
9
2 4
÷ ;
3 7
9
7
з)
÷ .
10 8
в)
г)
в) 3
10
9
или
;
17
17
30
29
з)
или
.
97
97
г)
Задача 1.12. Какое число надо записать вместо буквы, чтобы было верным равенство:
а)
x
14
= ;
21
3
б)
m
5
= ;
18
9
в)
17
1
= ;
51
n
г)
33
z
= ?
66
33
II
Задача 1.13. Сократите дроби:
а) 1
27
;
33
3
б) −2 ;
9
в) 4
16
.
20
Задача 1.14. Выполните действия:
5
7
1
3 1
1
+
в)
+
− ;
+ ;
а)
12 8
12
12 8
6
1
4
17 2
1 1
1
;
г)
+ 1 −1
.
−
−
б) −
4
2 3
5 15
20
20
Задача 1.15. Вычислите:
1
1
а) 10 · 1 ;
2 15
3
2
б) −6 · 10 ;
10
3
1
в) −5 :
5
1
−3 .
3
Задача 1.16. Выполните действия:
5
1 1 1
3 12
+
в)
+
·1 ;
· ;
а)
6 3
3
12 8
19
1
3 1
5
15 1 4 ÷ 1 −
;
г) 3 − 2
: 1 −
.
б)
16
9 9
12
4
6 12
Задача 1.17. Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями и с
помощью него сравните дроби:
а)
23 23
и
;
34 45
б)
15 15
и
;
19 16
в) 1
7
1
и1 .
11
17
Университет Иннополис
Задача 1.18. Вычислите:
1
1
4+1
1+
5;
2;
б)
а)
1
1
1−
4−1
5
2
21
1
5.
в)
1
2−
5
2+
2
Задача 1.19. Возраст Серёжи составляет возраста отца. Серёже 12 лет. Через сколько лет
7
отец будет в три раза старше сына?
Задача 1.20. Выполните действия:
7
3
5
а) 5 · 0 : 1 ;
7 10
5
3
1 2 3 5 1
б) 2 : 1 −
+
+
:3 ;
4
2 5
4 6
6
1
2
2
1 1
в) 3 : 4 + 4 : 3
·4 .
2
3
3
2
5
Задача 1.21. Дима читает 2 книги в неделю, а Маша читает по одной книге за три дня. Кто
из них читает книги быстрее? Во сколько раз?
1
Задача 1.22. Вася и Петя пошли в поход. В первый день они прошли маршрута, во второй
4
1
1
день они прошли маршрута, в третий день они прошли . Какая часть маршрута осталась
3
6
ребятам на четвёртый день?
III
Задача 1.23. Найдите простой способ вычисления и воспользуйтесь им для подсчета суммы:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
.
1 · 2 2 · 3 3 · 4 4 · 5 5 · 6 6 · 7 7 · 8 8 · 9 9 · 10
Задача 1.24. Найдите значение выражения:
2 3 1
1 ·2 ·2
а) 7 5 4 ;
2 6 1
5 ·1 ·
5 7 4
б)
10
10
: 12 1
11
·6 .
21
2
2
22
Задача 1.25. Сократите дроби:
а)
27 272 727
;
81 818 181
б)
109 109 109
.
218 218 218
Задача 1.26. Пончик и Незнайка взяли шоколадку и начали играть в «жадину». По правилам игры мальчики по очереди отламывают по кусочку шоколадки и съедают его, а проигрывает тот, кто не смог отломить и съел последний кусочек. Пончик сразу съел половину
2
шоколадки, Незнайка не растерялся и взял от оставшейся части, тогда Пончик отломил
3
1
один квадратик (
шоколадки). Незнайка подумал, что проигрывать не так плохо, и съел
15
оставшийся кусочек. Какую часть шоколадки съел Незнайка?
22
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Логические задачи
Задача 1.27. Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Один учитель может проверить их
за 15 ч, другой — за 10 ч, третий — за 6 ч. За сколько часов они проверят тетради втроем?
Задача 1.28. Василий Петрович, убегая с мешком соседских яблок от соседского пса Пол9
кана, преодолел полтора километра за
часа. С какой скоростью бегает старый больной
28
Василий Петрович? Выразите ответ сначала смешанной дробью, а потом приближенно десятичной, округлив результат до десятых.
1
Задача 1.29. Некто взял из сокровищницы
часть золотых монет. Из того, что осталось,
11
1
другой взял
часть. Осталось же в сокровищнице 150 золотых монет. Мы хотим узнать,
16
сколько было в сокровищнице первоначально.
Задача 1.30. У богатого отца было 17 верблюдов и три сына. Умирая, отец оставил верблюдов в наследство и поделил: старшему сыну завещал половину, среднему —– одну треть, а
младшему –— девятую часть от всех верблюдов. Сыновья долго ломали голову и никак не
могли поделить: 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. Позвали они мудреца, и он сразу же
легко поделил верблюдов, точно как завещал отец. Как он их поделил?
Домашнее задание
I
Задача 1.31. Приведите неправильную дробь к смешанному числу:
3
11
43
7
б) ;
в)
;
г)
.
а) ;
5
2
2
4
Задача 1.32. Приведите смешанное число к неправильной дроби:
1
3
1
б) 1 ;
в) 1 ;
а) 2 ;
3
11
13
5
г) 7 .
9
Задача 1.33. Вычислите:
8 3
5 4
а) + ;
б) + ;
9 9
6 6
11
3
7
3
д)
+ ;
е)
+ ;
21 21
17 17
9
5
+ ;
19 19
30 29
з)
+ .
97 97
Задача 1.34. Выполните действия:
2 2
1 1
б) − ;
а) − ;
3 3
5 5
1
13
8
3
д)
− ;
е)
− ;
19 19
13 13
3 1
+ ;
7 7
5 2
ж) + ;
9 9
в)
1 6
− ;
9 9
8 3
ж) − ;
9 9
в)
Задача 1.35. Приведите к общему знаменателю:
1 1
4
1
1 3
б) и ;
в) и
;
а) и ;
4 9
5 6
5 25
2 1
3
1
1
1
д) и ;
е)
и
;
ж)
и ;
8 9
22 11
17 2
г)
3 3
− ;
7 7
5
17
з)
− .
21 21
г)
3 1
и ;
7 8
7
1
з) и
.
8 13
г)
23
Университет Иннополис
Задача 1.36. Сократите дробь:
6
4
б)
;
а) ;
8
18
Задача 1.37. Вычислите:
1 1
5 3
а) + ;
б) + ;
3 6
8 4
7
7
9
12
− ;
е)
− ;
д)
13 26
17 34
Задача 1.38. Выполните действия:
1 2
1 1
а) · ;
б) · ;
3 3
2 5
9
3
11 2
д)
÷ ;
е)
÷ ;
10 2
5
7
Задача 1.39. Какая дробь больше?
4
1
2
1
а) или ;
б) или 1 ;
9
9
5
5
2
в) 3 ;
6
3
9
+ ;
7 11
2
1
ж) − ;
9 11
в)
3 3
· ;
5 2
3 2
ж) ÷ ;
4 5
в)
в) 3
2
5
или 4 ;
19
18
г)
15
.
27
1
3
+ ;
13 5
7
1
з)
− .
16 3
г)
1
5
9
з)
8
г)
г)
4
· ;
7
3
÷ .
8
10
9
или
.
17
17
Задача 1.40. При каком значении переменной верно равенство:
а)
x
15
= ;
35
7
б)
x
40
= ;
6
48
в)
26
2
= ?
65
x
II
Задача 1.41. Вычислите:
1
2;
а)
1
3+
2
3−
1
3;
б)
1
1+
3
1−
1
4.
в)
1
5+
4
5−
Задача 1.42. Вычислите:
18
2
а)
:2 ;
25
5
2 1
б) 5 · −1 ;
5
9
в) 63
1
21
:5 .
100
4
Задача 1.43. Выполните действия:
7
2
+
− ;
а)
6 15
15
5
1
17
;
−
+
б)
24
5 24
1
1 11
5
в) 1 :
−
;
6
18 12
7
11 3
10 г) 6 − 5
· 1 −
.
12
15
17 17
Задача 1.44. Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями и с
помощью него сравните дроби:
а)
18
18
и
;
457 349
б)
32 32
и
;
45 49
в) 2
3
5
и2 .
18
17
24
Семинар 1 Алгебра Обыкновенные дроби
Задача 1.45. Нападающие Коля и Никита во время баскетбольного матча принесли своей
5
3
всех очков. Сколько очков набрала за матч команда, если Коля набрал на
команде и
7 14
7 очков больше, чем Никита?
Задача 1.46. Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из
которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре
кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
Задача 1.47. Выполните действия:
1
3 2
а) 4 : 6 · 2 ;
2
4 5
2
7 30
1 5
+
−2:2 · ;
·
б)
15 12
43
2 32
5
21 2
в) 11 − 8
:1 .
11
22
3
III
Задача 1.48. Найдите значение выражения:
4
1
2
1
4 3
8:2
2
12 · 3 − 4 · 4
5 4
11 8 ;
5 : 7 .
б)
а)
2 7
1
8
11 :
5
4:
3 18
4
9
Задача 1.49. Сократите дроби:
15 151 515
;
а)
54 545 454
б)
609 609 609
.
203 203 203
Университет Иннополис
25
Интересные факты
Дроби приходится часто использовать на дне рождения. Представьте: собрались друзья отпраздновать день рождения своего товарища. Набралось их ни много ни мало 12 человек.
Дошло дело до дележки торта — тут, вроде бы, проблем нет. Торт прямоугольный, поделить
его оказалось нетрудно:
Теперь условный Вася подходит и забирает кусок пирога. Как и любой нормальный человек,
1
.
мы с вами скажем, что он взял двенадцатую часть пирога. Можно записать это дробью:
12
Теперь, если Вася серьезный парень и друзья опасаются иметь с ним дело, он может самым
бессовестным образом забрать еще один кусок:
2
Тогда получится, что Вася взял два куска из двенадцати. А если записать дробью —
.
12
5
пирога.
Если Вася уже совсем обнаглеет и возьмет еще три кусочка, то у него будет
12
Этим примером легко обьясняется то, почему при сложении дробей мы складываем только
числители, а знаменатель не трогаем. Теперь мы предлагаем вам самим на примере Васи и
пирога определить, почему верно то, что две двенадцатых пирога и одна шестая пирога — это
одно и то же. Для этого нарисуйте два пирога, поделенные на 12 и на 6 частей, и посмотрите
2
1
сами, что такое
, а что такое .
12
6