Учебный план

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
РТФ, 4 семестр, 32,
2004-2005 уч. год
Составил Афанасьев В.И.
ЛЕКЦИИ
1 лекция. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных
исходов. Алгебра событий. Аксиомы вероятности.
2 лекция. Классическая вероятностная модель.
Элементы комбинаторики. Геометрические вероятности.
3 лекция. Теорема сложения вероятностей.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Вероятность суммы независимых событий.
4 лекция. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Большое число испытаний Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа и Пуассона.
5 лекция. Простейший поток. Формула Пуассона.
Формулы полной вероятности и Байеса.
6 лекция. Случайные величины. Закон и функция распределения.
Дискретные случайные величины. Примеры дискретных распределений.
7 лекция. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
и ее свойства. Примеры непрерывных распределений (показательное, нормальное,
равномерное). Статистические таблицы. Функция Лапласа. Квантили, квартили,
медиана, межквартильный размах.
8 лекция. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
9 лекция. Начальные и центральные моменты случайной величины.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, асимметрия и
эксцесс. Случайные векторы. Закон и функция распределения.
10 лекция. Дискретные и непрерывные случайные векторы.
Примеры многомерных распределений (равномерное, нормальное). Центр рассеяния.
Ковариационная и корреляционная матрицы. Коэффициент корреляции и его свойства.
11 лекция. Независимые случайные величины. Математическое ожидание
произведения и дисперсия суммы независимых случайных величин.
12 лекция. Броуновское движение. Функции от случайного вектора, их
распределение и числовые характеристики. Свертка распределений.
13 лекция. Характеристическая функция и ее свойства.
14 лекция. Сходимость случайных величин по распределению. Теорема
непрерывности. Закон больших чисел в форме Хинчина, Колмогорова, Бореля.
15 лекция. Центральная предельная теорема.
Теорема Муавра-Лапласа.
16--17лекции. Предмет математической статистики. Выборка случайной
величины. Эмпирическая функция распределения, выборочные начальные моменты,
среднее, дисперсия, асимметрия и эксцесс. Вариационный ряд, выборочные
квантили, квартили, медиана и межквартильный размах. Выборка случайного
вектора. Выборочная ковариация. Выборочный коэффициент корреляции.
Свойства выборочных характеристик.
18--19 лекции. Методы моментов и максимального правдоподобия. Усиленная
состоятельность оценок по методу моментов. Асимптотическая нормальность оценок
максимального правдоподобия.
20-21 лекции. Доверительные интервалы больших выборок.
Основные распределения математической статистики. Распределение
выборочных среднего и дисперсии нормальной выборки. Доверительные интервалы
нормальных выборок.
22 лекция. Проверка статистических гипотез. Простая и сложная гипотезы.
Альтернативы. Критическая область. Статистика критерия. Уровень значимости.
Ошибки
первого и второго рода. Проверка гипотезы о значении вероятности успеха в
схеме Бернулли.
23 лекция. Статистический анализ нормальных выборок.
Проверка гипотез о значении математического ожидания и о значении дисперсии.
Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий и
дисперсий для двух независимых выборок (критерии Стьюдента и Фишера).
Проверка гипотезы о независимости.
24 лекция. Статистический анализ произвольных выборок. Проверка гипотезы
о значении медианы (критерий знаков). Проверка гипотезы об однородности двух
независимых выборок (критерии Манна-Уитни и Уилкоксона).
25 лекция. Обзор.
Практические занятия
1 занятие. 1. Действия над случайными событиями.
[3]: 14.35, 14.39.
2. Классическая вероятностная модель.
[3]: 14.66, 14.71, 14.73, 14.81, 14.91.
Задание. [3]: 14.36, 14.40, 14.68, 14.69, 14.72, 14.78, 14.90.
[4]: 1, 3, 4.
2 занятие. 1. Геометрические вероятности.
[3]: 14.139, 14.150, 14.145.
2. Условная вероятность. Независимые события.
[3]: 14.163, 14.165, 14.173, 14.176.
Задание. [3]: 14.140, 14.151, 14.159, 14.164, 14.168, 14.174, 14.177.
[4]: 5, 6.
3 занятие. Вероятности сложных событий.
[3]: 14.189, 14.191, 14.192, 14.208, 14.210, 14.214.
Задание. [3]: 14.187, 14.190, 14.204, 14.209, 14.211, 14.215.
[4]: 8-10.
4 занятие. 1. Схема Бернулли.
[3]: 14.315, 14.323, 14.325.
2. Теорема Пуассона и простейший поток.
[3]: 14.352, 14.353, 14.356.
Задание. [3]: 14.312, 14.320, 14.330, 14.354, 14.357, 14.359.
[4]: 16, 19.
5 занятие. 1. Формула полной вероятности.
[3]: 14.225, 14.227, 14.233.
2. Формула Байеса.
[3]: 14.242, 14.247.
Задание. [3]: 14.226, 14.228, 14.235, 14.248, 14.250.
[4]: 12-15.
6 занятие. Контрольная работа "Случайные события".
7 занятие. Законы распределения и числовые характеристики случайных
величин.
[3]: 14.258, 14.268, 14.284, 14.271, 14.272, 14.287.
Задание. [3]: 14.267, 14.269, 14.289, 14.294, 14.300.
[4]: 21, 22.
8 занятие. Законы распределения и числовые характеристики случайных
векторов.
[3]: 14.383, 14.404, 14.415, 14.416, 14.417, 14.421.
Задание. [3]: 14.385, 14.405, 14.418, 14.420, 14.422.
[4]: 30.
9 занятие. 1. Функции случайных величин.
[3]: 14.438, 14.448, 14.453, 14.507.
2. Характеристические функции.
[3]: 14.478, 14.487.
Задание. [3]: 14.437, 14.443, 14.454, 14.473, 14.484, 14.510.
[4]: 23--26.
10 занятие. 1. Нормальный закон распределения.
[3]: 14.361, 14.362, 14.365.
2. Центральная предельная теорема.
[3]: 14.567, 14.565, 14.569.
Задание. [3]: 14.363, 14.368, 14.560, 14.561, 14.571.
[4]: 33.
11 занятие. Контрольная работа "Случайные величины".
12 занятие. Выборочный метод.
[3]: 15.3, 15.5, 15.7, 15.9, 15.24, 15.31.
Задание. [3]: 15.4, 15.6, 15.8, 15.10, 15.25, 15.32.
13 занятие. Методы моментов и максимального правдоподобия.
[3]: 15.145, 15.146, 15.136, 15.138.
Задание. [3]: 15.144, 15.147, 15.137, 15.140.
14 занятие. Доверительные интервалы.
[3]: 15.196, 15.170, 15.172, 15.184.
Задание. [3]: 15.199, 15.171, 15.173, 15.185.
15 занятие. Проверка статистических гипотез.
[3]: 15.227, 15.238, 15.243, 15.422.
Задание. [3]: 15.228, 15.239(а), 15.244, 15.423.
16 занятие. Обзор.
ЛИТЕРАТУРА
1. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей. - М.:
Наука, 1983.
2. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. - М.:
1998.
3. Сборник задач по математике для втузов. Теория вероятностей и
математическая статистика. Под ред. Ефимова А.В. - М.: Наука, 1990.
4. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики
(типовые расчеты). - М.: Высш. шк., 1999.