графические представления минимальных ds

М. А. ОВЧИННИКОВ
ГРАФИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МИНИМАЛЬНЫХ DS-ДИАГРАММ
ЛИНЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ1
Рассматриваются DS-диаграммы линзовых пространств, минимальные по
числу граней среди всех известных DS-диаграмм этих многообразий. Описано
несколько методов построения этих диаграмм в виде графов на плоскости, составленных из прямолинейных отрезков. Отмечены достоинства и недостатки каждого
из методов.
Kлючевые слова: трехмерные многообразия, линзовые пространства, спайны.
Введение
Любое замкнутое трехмерное многообразие можно представить как подходящий многогранник (3-шар с графом на краю) с отождествленными гранями.
Наиболее известными примерами таких представлений являются представление
линзового пространства как бипирамида, у которой верхние треугольные грани
отождествлены с нижними треугольными гранями, а также представление сферы Пуанкаре как додекаэдра, у которого каждые две противоположные грани
отождествлены некоторым образом.
DS-диаграмма — это сфера с трехвалентным графом и отождествлением
точек, склеивающим вершины по четыре, ребра — по три, грани — по две. Любое
замкнутое 3-многообразие получается отождествлением края шара по подходяшей DS-диаграмме. Понятие DS-диаграммы принадлежит японским математикам [1]. Название дано в честь знаменитых топологов Дена и Зайферта. Буквы
DS — это первые буквы их фамилий.
Представление замкнутого 3-многообразия как многогранника с отождествленными гранями тесно связано с понятием спайна многообразия. Спайном замкнутого 3-многообразия называется полиэдр в многообразии, если его дополнение в многообразии является открытым шаром. Поверхность многогранника
при отождествлении оказывается полиэдром, лежащим в многообразии, внутренность многогранника оказывается дополнением к этому полиэдру в многообразии, и поэтому полиэдр является спайном многообразия.
Спайн называется специальным спайном, если все его 2-компоненты являются 2-клетками и линк каждой его точки в полиэдре является связным неколлапсируемым графом, вкладываемым в полный граф с четырьмя вершинами.
Сингулярный граф специального спайна является регулярным графом с вершинами валентности четыре. DS-диаграмму можно коротко определить как многогранник с отождествлением граней, обращающим многогранник в замкнутое
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-01-96026урал).
Графические представления минимальных DS-диаграмм . . .
109
трехмерное многообразие и поверхность многогранника — в специальный спайн
многообразия.
Для каждого линзового пространства Lp,q с первым параметром p больше
трех существует специальный спайн с сингулярным графом, состоящим из двух
петель и нескольких двойных ребер. Вообще говоря, таких спайнов у любой линзы бесконечно много, но среди них есть один с минимальным числом вершин [2 —
4].
Вначале опишем DS-диаграмму, зависящую от параметров линзы. Затем
покажем, что соответствующий спайн совпадает с тем единственным для каждой
линзы специальным спайном с сингулярным графом, содержащим две петли и
несколько двойных ребер.
Есть гипотеза, что такие специальные спайны линз являются минимальными по числу вершин также и среди всех специальных спайнов линз. Гипотеза
проверена на специальных полиэдрах с числом вершин до 12 включительно. Автоматически гипотеза переносится на соответствующие DS-диаграммы [2]. Этим
объясняется именование DS-диаграмм такого вида в заглавии статьи как минимальных.
Описание DS-диаграммы. Представим параметры 0 < q < p линзы Lp,q
как значение матричного выражения, задаваемого подходящим двоичным кодом
ε0 ε1 ...εn , n > 0:
p
q
=
1 1
0 1
Y
n i=0
1
εi
1 − εi 1
1
1
.
Представим сферу как прямоугольник в координатной плоскости 0 ≤ x ≤
n + 1, −2 ≤ y ≤ 2, у которого точки границы для x < n + 1 отождествлены по
симметрии относительно оси y = 0, а для x = n + 1 отождествляются точки с
ординатами y и 2sgn(y) − y.
Для описания граней диаграммы и отождествления граней используем прямоугольники R0 и R1 . Прямоугольником R0 называем прямоугольник 0 ≤ x ≤ 1,
−2 ≤ y ≤ 2, в котором выделено 7 отрезков вида y — целое, y = x и y = x − 2.
Симметричный ему прямоугольник относительно оси y = 0 обозначаем R1 . Отличие прямоугольников только в выделенных отрезках. Прямоугольники состоят из
четырех квадратов, из которых два несмежных разбиты на треугольники параллельными диагоналями. Зададим отождествление на R0 : квадраты отождествляются по симметрии относительно прямой y = 12 , пары треугольников отождествляются аффинными преобразованиями, неподвижными на прямой y = b + x2 ,
b = − 12 и b = −1, и отображающими прямые x = const в себя с обращением
ориентации.
DS-диаграмма задается словом Rε0 Rε1 ...Rεn , т. е. получается последовательно склейкой копий прямоугольников R0 и R1 в соответствии с двоичным кодом,
соответствующим параметрам линзы. Одновременно имеем и отображение отождествления граней диаграммы.
Теорема 1. Построенная DS-диаграмма представляет данное линзовое пространство Lp,q .
110
М. А. Овчинников
1. Доказательство теоремы
Доказательство. Покажем, что соответствующий построенной DS-диаграмме
специальный спайн является тем хорошо известным единственным спайном данной линзы. Вначале приведем то построение этого спайна, которое нам предстоит
распознать в нашей DS-диаграмме.
Спайн можно получить склейкой по краю двух экземпляров некоторого полиэдра E и нескольких экземпляров некоторого полиэдра J по определенному
правилу, руководствуясь тем же самым двоичным кодом, по которому построена
DS-диаграмма [4].
Полиэдр E — это лента Мебиуса, к которой вдоль собственного неразбивающего отрезка приклеен полудиск своим диаметром.
Полиэдр J получается из полиэдра E удалением открытого диска из
2-компоненты, полученной из ленты Мебиуса, и приклеиванием полудиска своим
диаметром вдоль неразбивающей собственной дуги с концами на краю дыры и
пересекающей сингулярный отрезок полиэдра E в одной точке. Легко убедиться,
что полиэдр J определен однозначно.
Полиэдр E имеет край, состоящий из одной тэта-кривой, и полиэдр J имеет
край, состоящий из двух тэта-кривых. Оба полиэдра имеют симметрию, оставляющую ребра края на месте с обращением ориентации ребер, и симметрию,
переводящую ребра полудисков в себя, а другие два ребра тэта-кривых — друг в
друга, с сохранением ориентации. Полиэдр J также обладает симметрией, переставляющей края полиэдра.
Ребра тэта-кривых краев нумеруем цифрами 1, 2, 3. Однозначность нумерации обеспечивается соблюдением следующих условий. Если ребро входит в
полудиск, то оно имеет номер 3. Другие два ребра в полиэдре E получают номера
1 и 2. В полиэдре J при расстановке номеров 1 и 2 следим за тем, чтобы ребра с
одинаковыми номерами принадлежали краю одной 2-компоненты полиэдра. Этими условиями разметка краев полиэдров определяется однозначно с точностью
до гомеоморфизма.
Последовательно склеиваем копию полиэдра E, n − 1 копий полиэдра J и
копию полиэдра E, отождествляя тэта-кривые краев по правилу: если соответствующая цифра двоичного кода равна нулю, то отождествляем ребра 1 и 1, 2 и
3, 3 и 2. Если цифра 1, то отождествляем ребра 1 и 3, 2 и 2, 3 и 1. В силу симметрий склеиваемых полиэдров нет необходимости различать ориентации ребер
тэта-кривых краев и у полиэдра J различать его два края. Как показано в [4],
так построенный полиэдр является специальным спайном линзы с параметрами
p и q, соответствующими двоичному коду.
Покажем, что наша DS-диаграмма задает тот же спайн. Прямыми вида xполуцелое исходный прямоугольник разбивается на прямоугольники, чьи образы
в сфере являются кольцами, за исключением крайних прямоугольников, чьи образы в сфере являются дисками. Каждое кольцо разбито на четыре треугольника
и четыре шестиугольника. Непосредственно убеждаемся, что при факторизации
шестиугольники дают ленту Мебиуса с дырой, треугольники — два полудиска, пересекающиеся диаметрами в одной точке, и в целом получается полиэдр J. Крайние прямоугольники содержат по два треугольника и четыре четырехугольника,
Графические представления минимальных DS-диаграмм . . .
111
которые при факторизации обращаются в полудиски и ленты Мебиуса соответственно и в целом — в полиэдры E. В каждом кольце треугольники помечаем
цифрой 3, шестиугольники в полосах 1 < y < 2, −1 < y < 0 — цифрой 1,
в полосах 0 < y < 1, −2 < y < −1 — цифрой 2. Эта нумерация индуцирует
правильную нумерацию ребер в тэта-кривых краев полиэдров J, получающихся
факторизацией колец. Аналогично в крайних прямоугольниках помечаем цифрой
3 треугольники, цифрой 1 — четырехугольники в полосах 1 < y < 2, −1 < y < 0,
цифрой 2 — четырехугольники в полосах 0 < y < 1, −2 < y < −1. Эта нумерация индуцирует правильную нумерацию ребер в тэта-кривых краев полиэдров
E, получающихся факторизацией крайних прямоугольников. Очевидно, что соответствие номеров ребер при склейке тэта-кривых согласовано со значениями
соответствующих цифр двоичного кода. Тем самым показано, что в целом получается тот же полиэдр.
Пример. Параметры линзового пространства 32,7. Код 0001011. DS-диаграмма
R0 R0 R0 R1 R0 R1 R1 (рис. 1).
Рис. 1
Замечание 1. Для линзы L3,1 двоичный код состоит из одной цифры и соответствующая DS-диаграмма совпадает с одним элементарным прямоугольником.
Конструкция полностью справедлива и в этом случае. Для обобщения необходимо особо отмечать, что окружность является допустимым трехвалентным графом и что в DS-диаграмме точки окружности отождествляются по три.
2. Другие представления построенных DS-диаграмм
Построенное представление является наилучшим для описания отождествления граней. Однако граф можно строить другими способами:
1. Представление диаграммы, составленное из вертикальных и горизонтальных отрезков, легко получается из построенной диаграммы сдвигом центрального и крайних отрезков на единицу вперед, превращением таким образом диагоналей в вертикальные отрезки и добавлением замыкающих отрезков — одного слева
и одного справа (рис. 2). Преимущество метода в том, что используются только горизонтальные и вертикальные отрезки и отождествление прямоугольника в
сферу затрагивает граф гораздо меньше. Отождествление граней определяется
отождествлением вершин графа. Отождествляются те вершины графа, которые
получают одинаковый номер при нумерации вдоль горизонтальной прямой.
112
М. А. Овчинников
Рис. 2
Рис. 3
2. Еще одно представление: центральносимметричный граф на координатной плоскости, составленный из отрезка и двух лучей биссектрис координатных
углов и нескольких вертикальных и горизонтальных отрезков (рис. 3). Достоинство такой диаграммы в том, что граф строится весь, кроме одной, бесконечно
удаленной, точки, — без дополнительных склеиваний, как в предыдущих представлениях. В одну точку склеиваются четверки тех вершин, которые имеют одинаковый номер, если последовательно нумеровать от начала координат внутри
каждого координатного угла.
3. Все предыдущие способы построения графа требуют предварительных
вычислений двоичного кода. Есть способ прямого графического построения нужного графа. Он основан на графическом разложении дроби в непрерывную дробь
разбиением прямоугольника на квадраты.
К прямоугольнику размером p − q на q надо добавить отрезки, отсекающие
от прямоугольника полуквадраты с двух сторон, и продолжать также добавлять
отрезки к центральному прямоугольнику, пока он не станет размером 2 на 1, в котором удалить стороны длины 2 и добавить срединный отрезок длины 2. Наконец,
дугой вне исходного прямоугольника соединить середины коротких сторон прямоугольника. На рис. 4 представлена такая диаграмма для линзы L32,9 ≈ L32,7 .
Внешняя дуга представлена двумя лучами. Подразумевается, что плоскость пополнена бесконечно удаленной точкой и, таким образом, является сферой. Два
луча и бесконечно удаленная точка дают разбиение дуги на два полуинтервала
Графические представления минимальных DS-диаграмм . . .
113
Рис. 4
и точку.
Отождествление граней определяется отождествлением вершин графа.
Концы центрального ребра нумеруем цифрой 1. Ближайшие две центральносимметричные вершины также нумеруем цифрой 1. Из-за симметрии диаграммы
есть два варианта такой нумерации. Далее в каждой четверти прямоугольника
вершины графа нумеруются по мере удаления от центра прямоугольника.
Список литературы
1. Ikeda, H. Invitation to DS-diagrams / H. Ikeda, Y. Inoue // Kobe J. Math.— 1985.—
Vol. 2.— P. 169—185.
2. Matveev, S. V.
Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds /
S. V. Matveev.— Berlin ; New York : Springer-Verlag, 2007.
3. Martelli, B. 3-manifolds having complexity at most 9 / B. Martelli, C. Petronio //
Experimental Math.— 2001.— Vol. 10.— P. 207—237.
4. Овчинников, М. А. Построение простых спайнов многообразий Вальдхаузена /
М. А. Овчинников // Маломерная топология и комбинаторная теория групп : тр.
междунар. конф.— Киев : Ин-т математики, 2000.— С. 65—86.