ПРОГРАММА КУРСА “КВАНТОВАЯ ФИЗИКА”

ПРОГРАММА КУРСА “КВАНТОВАЯ ФИЗИКА”
1. Эксперименты, демонстрирующие корпускулярные и волновые свойства
микрочастиц.
2. Эксперименты, демонстрирующие квантование физических величин.
3. Математический аппарат квантовой механики (Операторы в гильбертовом
пространстве).
Свойства гильбертова пространства. Операторы в гильбертовом
пространстве: понятие равенства двух операторов, определения
коммутатора, антикоммутатора, обратного, линейного, эрмитовского,
антиэрмитовского,
унитарного,
ограниченного,
положительно
определённого
операторов.
Спектр
линейного
самосопряжённого
оператора.
4. Основные положения квантовой механики.
Понятие вероятности, плотности вероятности, потенциальной возможности.
Понятие состояния квантово-механической системы, чистые и смешанные
состояния. Физический смысл волновой функции. Полный набор
физических величин и операторов. Вычисление средних значений
физических величин.
Основные
положения
квантовой
механики.
Соотношение
неопределённостей. Процедура квантования.
5. Основы теории представлений.
Выражение операторов координаты и импульса в координатном и
импульсном представлениях. Выражения для операторов кинетической,
потенциальной энергии, оператора Гамильтона частицы в потенциальном
поле. Оператор эволюции. Статистический оператор. Вид статистического
оператора чистого состояния.
6. Уравнение Шредингера. Качественный вид спектра энергий для
простейших моделей. Сравнение движения квантовой и классической
частиц для простейших моделей.
Уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных
состояний. Квантовое уравнение Лиувилля. Уравнение неразрывности.
Гармонический осциллятор. Операторы рождения, уничтожения, их
коммутатор, оператор числа частиц. Выражение гамильтониана
гармонического осциллятора через операторы рождения и уничтожения.
Прямоугольный
потенциальный
барьер.
Движение
частицы
в
периодическом поле. Движение частицы в однородном поле.
7. Момент количества движения.
Коммутационные соотношения. Собственные числа операторов квадрата и
z-проекции момента количества движения. Сложение моментов.
Орбитальный момент количества движения. Матрицы Паули.
8. Центральное поле.
Движение частицы в центральном поле. Энергетический спектр. Орбитали.
Понятие электронного облака. Сферически симметричная потенциальная
яма.
Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр. Волновые функции.
Сплошной спектр.
10. Квазирелятивистская теория.
Уравнение Дирака для свободной частицы. Матрицы Дирака и их свойства.
Стационарные состояния свободной частицы. «Частицы» и «дырки». Спин.
Собственные функции операторов квадрата спина и его z-проекции.
Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле. Уравнение
Паули. Магнитный момент электрона.
11. Теория возмущений.
Невырожденный случай. Случай близких уровней. Случай вырождения.
Аномальный эффект Зеемана. Эффект Пашена-Бака. Линейный и
квадратичный эффект Штарка.
12. Квантовая теория рассеяния.
Эффективное сечение рассеяния. Временная и стационарная постановка
задачи. Стационарное уравнение Шредингера. Асимптотика решения.
Амплитуда рассеяния. Функция Грина свободной частицы. Интегральное
уравнение для волновой функции. Выражение амплитуды рассеяния через
волновую функцию. Борновское приближение. Связь первого борновского
приближения с первым порядком нестационарной теории возмущений для
постоянного возмущения. Амплитуда рассеяния в борновском приближении
для сферически симметричного потенциала. Экранированный кулоновский
потенциал. Формула Резерфорда. Рассеяние на атоме. Форм-фактор.
Метод парциальных волн в теории рассеяния. Фазовые сдвиги. Выражение
амплитуды рассеяния через фазовые сдвиги. Оптическая теорема.
Рассеяние на потенциале конечного радиуса. Рассеяние медленных
частиц. Эффект Рамзауэра.
13. Задача многих тел.
Волновая функция и оператор Гамильтона системы многих частиц.
Выделение движения центра инерции. Случай двух частиц.
14. Система тождественных частиц.
Понятие тождественности частиц. Симметрия волновой функции системы
тождественных частиц. Принцип Паули, его точная и приближённая
формулировки. Фермионы и бозоны. Полный спин многоэлектронной
системы. Одноэлектронное приближение. Метод Хартри-Фока. Обменный
оператор. Волновая функция двуэлектронной системы. Гелиоподобные
атомы. Адиабатическое приближение. Химическая связь на примере
молекулы водорода.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Основная литература:
Давыдов А.С. Квантовая механика. М., 1963, 1973.
Фок В.А. Начала квантовой механики.
Мессия А. Квантовая механика. 2 т. М., 1978-1979.
Флюгге. Сборник задач по квантовой механике. 2 т.
Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М., 1983.
Шифф Л. Квантовая механика. М., 1959.
Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., 1985.
1.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература:
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика.
Гейзенберг В. Физические принципы квантовой теории. Л.-М., 1932.
Дирак П. Принципы квантовой механики. М., 1960.
Паули В. Общие принципы волновой механики. М.-Л., 1947.
Нейман М. Математические основы квантовой механики. М., 1964.
КВАНТМИНИМУМ
Вопросы, на которые надо отвечать без подготовки. При этом надо знать
определения,
формулировки
утверждений
и
уметь
написать
соответствующие формулы. Неправильный ответ на один из этих вопросов
влечёт за собой неудовлетворительную оценку.
1. Понятие вероятности, плотности вероятности, потенциальной
возможности. Понятие состояния квантовомеханической системы,
чистые и смешанные состояния. Физический смысл волновой
функции. Полный набор физических величин и операторов.
Вычисление средних значений физических величин.
2. Формулировки четырёх основных положений квантовой механики.
3. Соотношение неопределённостей. Почему у квантовой частицы
нет траектории?
4. Операторы в гильбертовом пространстве: понятие равентства
двух операторов, определения коммутатора, антикоммутатора,
обратного,
линейного,
эрмитовского,
антиэрмитовского,
унитарного,
ограниченного,
положительно
определённого
операторов. Спектр линейного самосопряжённого оператора.
5. Процедура квантования.
6. Выражение операторов координаты и импульса в координатном и
импульсном представлениях. Выражения для операторов
кинетической, потенциальной энергии, оператора Гамильтона
частицы
в
потенциальном
поле.
Оператор
эволюции.
Статистический оператор. Вид статистического оператора чистого
состояния.
7. Уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных
состояний.
Квантовое
уравнение
Лиувилля.
Уравнение
неразрывности.
8. Качественный вид спектра энергий для каждой из простейших
моделей. Качественное сравнение движения квантовой и
классической частиц для каждой из простейших моделей.
9. Понятие туннельного эффекта, надбарьерного отражения.
Резонансы.
10. Определение
оператора
момента
количества
движения.
Коммутационные соотношения для МКД. Собственные числа
оператора квадрата и z-проекции момента количества движения.
Орбитальный момент количества движения. Спинровый момент
количества движения. Матрицы Паули.
11. Движение частицы в центральном поле и в кулоновском поле: вид
уравнения Шредингера и энергетического спектра (дискретного и
сплошного). Сферически симметричная потенциальная яма.
12. Связь квантовой механики с классической механикой.
Теоремы Эренфеста. Суть квазиклассического приближения.
Квазиклассические условия квантования.
13. Квазирелятивистская теория.
Уравнение Дирака для свободной частицы. Матрицы Дирака и их
свойства. «Частицы» и «дырки». Спин. Уравнение Дирака для
частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный
момент электрона. Спин-орбитальное взаимодействие. Зарядовое
сопряжение. Уравнение Клейна-Фока-Гордона.
14. Теория возмущений.
Аномальный эффект Зеемана. Эффект Пашена-Бака. Линейный и
квадратичный
эффект
Штарка
(качественно
знать
вид
энергетического спектра для каждого из этих случаев, уметь их
сравнивать).
Нестационарная
теория
возмущений.
Соотношение
неопределённостей энергия-время.
15. Квантовая теория рассеяния.
Эффективное сечение рассеяния. Временная и стационарная
постановка задачи. Стационарное уравнение Шредингера.
Выражение амплитуды рассеяния через волновую функцию.
Борновское приближение.
16. Задача многих тел.
Волновая функция и оператор Гамильтона системы многих частиц.
Выделение движения центра инерции.
17. Система тождественных частиц.
Понятие тождественности частиц. Симметрия волновой функции
системы тождественных частиц. Принцип Паули, его точная и
приближённая формулировки. Фермионы и бозоны. Полный спин
многоэлектронной системы. Метод Хартри-Фока (можно без
формул, уметь описать словами). Гелиоподобные атомы.
Адиабатическое приближение. Химическая связь на примере
молекулы водорода.