Полная версия научной работы 714 КБ

ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА О ДИЕТЕ
Ушакова С.А.
Донской Государственный Технический Университет
Ростов-на-Дону, Россия
THE OPTIMIZATION PROBLEM OF THE DIET
Ushakova S.A.
Don State Technical University
Rostov on Don, Russia
Цель работы: овладеть навыками решения оптимизационной задачи о диете в
среде ЭТ MS Excel и математического пакета Mathcad.
Краткая теория
Диета – специально подобранный по количеству, химическому составу,
энергетической ценности (калорийности) и способы кулинарной обработки рацион, а
также режим питания. В соответствии с диетой она должна удовлетворить потребности
человека в основных питательных веществах (жиры, белки, углеводы), а также в
незаменимых компонентах (витамины, микро- и макроэлементы). Они должны поступать
в организм человека в оптимальном количестве, которое зависит от множества факторов:
возраст, пол, вид работы, состояние здоровья, телесной массы и т.д.
Пусть имеется m видов продуктов P1,P2,…….,Pm, содержащих питательные
вещества и незаменимые компоненты B1, B2,…….,Bn. Известны величины aij – количество
i питательного вещества в 100г продукта Pj. Кроме того известны величины bi –
ежесуточная минимальная потребность организма в Bi питательном веществе. Также
известны величины Sj и ej – стоимость и энергетическая ценность 100г продукта Pj
соответственно.
Оптимизационную задачу о диете можно сформулировать двумя способами.
1ый вариант
Разработать диету с минимальной стоимостью, которая бы при этом обеспечивала
минимальную суточную потребность человека в питательных веществах, при этом
посчитать полученную калорийность.
2ой вариант
Рассчитать диету с заданной калорийностью, обеспечивающую минимальную
суточную потребность, после чего найти ее стоимость.
Все данные сведем в следующую таблицу.
Минимальные Минимальная
вещества и
суточная
незаменимые
потребность
компоненты
B1
b1
B2
b2
…
…
Bn
bn
Стоимость 100г продукта
Калорийность 100г продукта
Содержание питательных веществ в 100г
продукта
P1
P2
…
Pm
a11
a21
…
an1
S1
e1
a12
a22
…
an2
S2
e2
…
a1m
a2m
…
anm
Sm
em
…
…
…
...
Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.
Математическая модель задачи
1.
Определим неизвестные и их количества:
Обозначим xj (j=1,m) – количество (грамм) продукта Pj, вошедшего в диету.
2.
Запишем целевую функцию:
I.
, , … , =
∙ ∙ ⋯ ∙
опт = опт , опт , … , ="
II.
, , … , = ∑
+=
3.
опт опт , опт , … , = ∑
1
% ∙ опт
100
∙ ∙ → ∙ % ∙ = заданное
="
1
∙ ∙ опт
100
Ограничения:
3.1.
3.2.
3.3.
/ ∙ + / ∙ + ⋯ + / ∙ ≥ 2 7
100
5
/ ∙ + / ∙ + ⋯ + / ∙ , :
≥ 2 штукограничений
100
6
…
/3 ∙ + /3 ∙ + ⋯ + /3 ∙ 5
,3 :
≥ 23 4
100
Неотрицательность:
Минимальная суточная потребность:
, :
≥ 0
Пределы функции:
@3 ≤ ≤ B
Таким образом целевые функции I и II и ограничения 3.1-3.3 образуют задачу о
диете.
Постановка задачи
Пусть имеются n видов продуктов Р1,Р2,...,Рn, содержащих питательные вещества и
незаменимые компоненты В1,В2,…,Вm. В 100 граммах продукта Рj содержится известное
aij количество питательного вещества или незаменимого компонента Вi. Кроме того,
известны: bi – ежесуточная минимальная потребность организма в веществах Вi
(i=1,2,…,m), sj и еj – стоимость и энергетическая ценность (в килокалориях) 100 грамм
продукта Рj (j=1,2,…,n).
Требуется:
1. Выполнить математическую постановку задачи линейного программирования
(ЗЛП);
2. Решить ЗЛП в среде электронных таблиц MS Excel и пакета MathСad.
Питатель
Мин.
ные
суточная
вещества, потребно
г
сть, г
90
Белки, г
55
Жиры, г
Углевод
330
ы, г
Ретинол
0,00017
(вит А)
Каротин
0,0059
(вит А)
0,0013
В1, мг
0,0017
В2, мг
0,018
РР, мг
0,08
С,мг
Стоимость 100 г
продукта (руб.)
Энергетическая
ценность 100 г
продукта (Ккал.)
Содержание питательных веществ в 100 г продукта
Твор
Колб
Хлеб
Крупа Мясо
Мас
ог
аса
Ябло Морк
ржан
гречне свин
ло
жирн
варен
ки
овь
ой
вая
ное
ый
ая
6,6
1
14
12,6
14,3
12,1
0,4
1,3
1,2
82,5
18
3,3
33,3
13,5
0,4
0,1
34,2
0,9
2,9
62,1
0
0
9,8
7,2
0
0,54
0,2
0,3
0,1
0
0,1
0
0
0,38
0,07
0,01
0
0
0,03
9
0,18
0,08
0,67
0
0
0,1
0,05
0
0,06
0,4
0,3
0,3
0,43
0,2
4,19
0
0,4
0,1
2,2
0
0,06
0,13
0
0
0,03
0,02
0,3
165
0,06
0,07
1
5
2,9
21
10
3,8
12
17
8
3,5
181
748
245
335
485
170
43
34
Решение с помощью пакета ЭТ MS Excel
Для решения необходимо:
1. Набрать таблицу математической постановки добавив в нее столбец “фактическое
суточное потребление”. В этот столбец записываются формулы левой части
ограничения 3.1, после того как будет сформирована таблица 2.
2. Сформировать
вторую
таблицу,
где
перечислены
продукты,
переменные
математической модели и количества каждого продукта, вошедшего в диету.
3. Записать целевую функцию I для составления диеты с минимальной потребностью.
4. Составить таблицу 3 с ограничением 3.3 с максимальным и минимальным
количеством вошедшего продукта.
5. Записать калорийность полученной диеты.
6. Вызвать надстройку “Поиск решения”. Выполнить необходимые установки.
7. На следующем листе Excel сформулировать задачу разработки диеты с заданной
калорийность. Подсчитать цену полученной диеты.
Решение с помощью пакета MathСad
Встроенные функции MathСad не позволяют сформулировать оптимизационную
задачу с заданной калорийностью, поэтому решается только задача с минимальной
стоимостью полученной диеты.
Для решения задачи в среде пакета MathСad:
1. Зададим исходные данные.
2. Присвоим переменным начальные нулевые значения.
3. Определим целевую функцию – суммарную прибыль предприятия.
4. Введем служебное слово Given и, после него, систему ограничений.
5. Найдем оптимальное решение с помощью функции Minimize.
6. Вычислим минимальное значение и энергетическую ценность.