В магазине перед открытием на прилавок

В магазине перед открытием на прилавок выставили новую коробку с
леденцами, в которой было 20 леденцов со вкусом яблока, 20 леденцов со
вкусом клубники и 20 леденцов со вкусом апельсина. Ближе к вечеру, когда Катя
пришла в магазин, несколько леденцов из этой коробки уже купили. В коробке
осталось не больше половины леденцов со вкусом яблока, меньше половины
леденцов со вкусом клубники и ровно четверть леденцов со вкусом апельсина.
1a)
Сколько леденцов со вкусом апельсина из данной коробки купили до прихода
Кати в магазин?
1b)
Какое наибольшее возможное число леденцов могло остаться в коробке в тот
момент, когда Катя пришла в магазин?
Катя купила всего 10 леденцов: 2 леденца одного вида, 3 леденца другого вида и
5 леденцов третьего вида. После её покупки число оставшихся в коробке
леденцов различных видов было равно в каком-то порядке 2, 3 и 8.
1c)
Сколько всего леденцов на самом деле было в коробке в тот момент, когда Катя
начала брать леденцы из коробки?
1d)
Сколько леденцов со вкусом яблока купила Катя?
1e)
Сколько леденцов со вкусом клубники было в коробке, когда Катя пришла в
магазин?
Найди
2a)
наименьшее 5-значное натуральное число, все цифры которого различны и у
которого сумма любых двух рядом стоящих цифр больше числа 8;
2b)
наибольшее 6-значное натуральное число, все цифры которого различны и у
которого сумма любых двух рядом стоящих цифр меньше числа 12;
2c)
наименьшее 10-значное натуральное число, все цифры которого различны и у
которого сумма любых трёх рядом стоящих цифр больше числа 12;
2d)
наибольшее 10-значное натуральное число, все цифры которого различны и у
которого сумма любых трёх рядом стоящих цифр меньше числа 15.
TÜ Teaduskool
1
На столе лежали 5 внешне одинаковых монет, каждая из которых весила целое
число грамм, и общий вес которых был 120 грамм.
Сначала предположим, что четыре монеты имели одинаковый вес, а вес пятой
монеты был на 5 грамм меньше веса каждой другой монеты.
3a)
Сколько грамм в таком случае весила эта более лёгкая монета?
Теперь предположим, что снова 4 монеты на столе были одинакового веса, а
пятая монета отличалась по весу от остальных. Дима взял со стола четыре
монеты и взвесил их. В результате он получил 97 грамм.
3b)
Сколько грамм весила одна из четырёх монет одинакового веса?
3c)
Сколько грамм весила пятая монета, вес которой отличался от остальных?
Наконец, предположим, что на столе были монеты двух различных весов, среди
которых более тяжёлых было 3, а более лёгких было 2 монеты. Также
предположим, что ни одна из монет не весила 22 грамма. Дима взял со стола три
монеты, взвесил их и в результате получил 76 грамм.
3d)
Сколько грамм весила одна более тяжёлая монета?
3e)
Сколько грамм весила одна более лёгкая монета?
В каждый кружочек нужно записать одну из цифр 0, 1, 2, 3 или 9, а в каждый
квадратик одну из цифр 4, 5, 6, 7 или 8. В каждом задании одну и ту же цифру
можно использовать только один раз.
4a)
Найди наибольшее возможное пятизначное натуральное число, которое слева
направо может получиться после записи цифр в следующие фигурки.
4b)
Найди наименьшее возможное пятизначное натуральное число, которое слева
направо может получиться после записи цифр в следующие фигурки.
4c)
Найди наибольшую возможную сумму, которая может получиться при сложении
двух пятизначных натуральных чисел после записи цифр в следующие фигурки.
4d)
Найди наименьшее возможное значение выражения, которое может получиться
после записи цифр в следующие фигурки. Выражение состоит из пяти
произведений, сложенных между собой.
4e)
Найди четырёхзначное число, которое может получиться после записи цифр в
следующие фигурки.
TÜ Teaduskool
2
У Димы были белые и тёмные полоски одинаковой длины. Ширина белых
полосок была в 2 раза больше ширины тёмных полосок. На рисунке изображён
флаг, который он составил из восьми полосок. Длина полученного флага была
30 см, а ширина 20 см.
5a)
Сколько белых полосок должен взять Дима для того, чтобы из них составить
целиком белый флаг длиной 30 см и шириной 20 см?
5b)
Сколько тёмных полосок должен взять Дима для того, чтобы из них составить
целиком тёмный флаг длиной 40 см и шириной 30 см?
5c)
Найди периметр одной белой полоски (в сантиметрах).
5d)
Дима составил из тёмных белых полосок наполовину тёмный и наполовину
белый флаг длиной 60 см и шириной 40 см (см. рисунок). Найди общее число
полосок, которые он для этого использовал.
Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны должна быть меньше
суммы длин двух других сторон. Рассмотрим треугольник со сторонами 𝑎, 𝑏 и 𝑐,
длина каждой из которых равна целому числу сантиметров. Найди длину
стороны 𝑐 (в сантиметрах), если известно, что …
6a)
длина стороны 𝑎 равна 42 см, длина стороны 𝑏 равна 43 см, а сторона 𝑐 в два
раза длиннее одной из сторон этого треугольника;
6b)
длина стороны 𝑎 равна 44 см, длина стороны 𝑏 равна 46 см, а длина стороны 𝑐
наименьшая из возможных;
6c)
сумма длин сторон 𝑎 и 𝑏 равна 48 см, сторона 𝑐 в два раза короче одной из
сторон этого треугольника, а длина стороны 𝑐 наибольшая из возможных;
6d)
периметр этого треугольника равен 49 см, а длина стороны 𝑐 отличается и от
длины стороны 𝑎, и от длины стороны 𝑏 на 1 см;
6e)
сумма длин сторон 𝑎 и 𝑐 равна 50 см, сумма длин сторон 𝑏 и 𝑐 равна 51 см, а
длина стороны 𝑐 наибольшая из возможных.
TÜ Teaduskool
3
В данный момент табло электронных часов показывает время 23:01 (часы
работают правильно).
7a)
Через сколько минут на табло этих же часов впервые появится другой
показатель времени, состоящий из этих же цифр 0, 1, 2 и 3?
7b)
Сколько минут назад на табло этих же часов последний раз появлялся
показатель времени, состоявший из этих же цифр 0, 1, 2 и 3?
7c)
Сколько раз в сутки на табло электронных часов появляется показатель
времени, состоящий из цифр 0, 1, 2 и 3?
7d)
Найди наибольшее возможное время (в минутах), которое проходит, начиная с
какого-то показателя времени, состоящего из цифр 0, 1, 2 и 3, до следующего
показателя времени, состоящего из цифр 0, 1, 2 и 3.
Замечание. Ответы запиши в целых минутах.
На рисунке изображена клетчатая доска размером 3 клетки × 5 клеток.
Некоторые клетки этой доски нужно закрасить в тёмный цвет.
Найди наибольшее возможное число клеток, которые на данной клетчатой доске
можно закрасить в тёмный цвет так, чтобы ни в одной строчке и ни в одном
столбце этой доски не оказалось …
8a)
двух рядом стоящих клеток тёмного цвета;
8b)
трёх рядом стоящих клеток тёмного цвета.
Замечание. У рядом стоящих клеток имеется общая сторона.
Теперь дана клетчатая доска размером 7 клеток × 9 клеток. Некоторые клетки
этой доски нужно закрасить в тёмный цвет.
Найди наибольшее возможное число клеток, которые на данной клетчатой доске
можно закрасить в тёмный цвет так, чтобы ни в одной строчке и ни в одном
столбце этой доски не оказалось …
8c)
двух рядом стоящих клеток тёмного цвета;
8d)
трёх рядом стоящих клеток тёмного цвета;
8e)
четырёх рядом стоящих клеток тёмного цвета.
TÜ Teaduskool
4