Вирусы и бактерии

ВИРУСЫ И БАКТЕРИИ – ОБЪЕКТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИСЛЕДОВАНИЙ
Андриасян Алина Валерьевна,
МБОУ СОШ №28, 9 в класс, г. Томск
Руководитель Е.И. Анопова
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение.
1. Вирусы и бактерии
1.1. Строение и геометрическое расположение вирусов и бактерий в пространстве
1.2. Рост численности бактерий и вирусов
2. Некоторые математические сведения
2.1. Икосаэдры и додекаэдры
2.2. Некоторые виды симметрии
2.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
3. Исследование численности вирусов и бактерий
Выводы.
Список литературы.
ВВЕДЕНИЕ.
В прошлом учебном году наш класс столкнулся с очень серьёзной проблемой.
Сначала в школу пришёл один заболевший ученик, через неделю болели уже около трети
всех учеников, а через десять дней - больше половины класса. В итоге ОРЗ и ОРВИ
переболели все одноклассники в той или иной степени.
Так как в будущем я планирую связать свою профессию с медициной, меня
заинтересовала сложившаяся ситуация. У меня возникли вопросы, на которые в то время
ответов не было. То, что возбудителями многих болезней являются вирусы и бактерии, я
конечно знала. Но почему болезни распространяются так стремительно, для меня оставалось
загадкой.
Из уроков математики я знаю, что некоторые объекты неживой природы очень схожи
по своему строению с некоторыми геометрическими фигурами и телами, которые в свою
очередь обладают определёнными свойствами. Также при изучении арифметической и
геометрической прогрессий, я познакомилась с тем фактом, что последовательность членов
геометрической прогрессии, меняется гораздо интенсивнее, чем арифметической.
Тогда я предположила, что скорость распространения болезней зависит не только от
способов распространения, но и от строения, расположения вирусов и бактерий в
пространстве, а также, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется некоторым
математическим законам.
Возникла тема работы: «Вирусы и бактерии – объекты математических
исследований».
Целями моей работы стали:
1)
изучение понятий вирусы и бактерии с медицинской точки зрения;
2)
изучение особенностей строения вирусов и бактерий, а также их расположения
в пространстве;
3)
объяснение некоторых моментов течения болезней с точки зрения математики.
Задачи, которые я поставила перед собой для достижения этих целей:
1)
изучить специальную литературу для ознакомления с терминами «вирус» и
«бактерия»;
2)
рассмотреть некоторые свойства геометрических тел в пространстве;
3)
доказать, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законам
геометрической прогрессии.
1.
ВИРУСЫ И БАКТЕРИИ
1.1.Строение и геометрическое расположение вирусов и бактерий в пространстве
Бактерии - это мельчайшие организмы, обладающие клеточным строением. Диаметр
бактериальной клетки в среднем составляет 1 мкм. Размеры клеток варьируют в переделах от
0,1 до 10 мкм. Поэтому их можно рассмотреть только под микроскопом. Отсюда и называние
- микробы или микроорганизмы.
Бактерии освоили самые разнообразные среды обитания: они живут в почве, пыли,
воде, воздухе, на внешних покровах животных и растений и внутри организма. Их можно
обнаружить даже в горячих источниках, где они живут при температуре около 60оС или
выше. Численность бактерий трудно определить: в 1 г плодородной почвы может находиться
до 100 млн., а в 1 см3 парного молока - 3000 млн. бактерий. Жизнедеятельность
микроорганизмов имеет важное значение для всех остальных живых существ, т.к. бактерии и
грибы разрушают органическое вещество и участвуют в круговороте веществ в природе. К
тому же бактерии приобретают все большее значение в жизни людей, и не потому, что они
вызывают различные заболевания, а потому, что их можно использовать для получения
многих необходимых продуктов.
Строение типичной бактериальной клетки показано на рисунке1.
Рисунок 1. Обобщенная схема строения клетки бактерии.
Многие бактерии подвижны, и эта подвижность обусловлена наличием у них одного
или нескольких жгутиков. Жгутики состоят из одинаковых сферических субъединиц белка
флагеллина (похожего на мышечный актин), которые расположены по спирали и образуют
полый цилиндр диаметром около 10-20 нм. Несмотря на волнистую форму жгутиков, они
довольно жестки.
Жгутики приводятся в движение посредством уникального механизма. Основание
жгутика, по-видимому, вращается так, что жгутик как бы ввинчивается в среду, не совершая
беспорядочных биений, и таким образом продвигает клетку вперед. Это, очевидно,
единственная известная в природе структура, где используется принцип колеса.
Жгутики легче всего рассмотреть в электронном микроскопе, применив технику
напыления металлом.
Существуют четыре основных типа клеток: кокки (сферические), спириллы (
спиралевидные), бациллы (палочковидные), вибрионы ( короткие палочки, всегда изогнутые
в виде запятой) (см. рисунок 2).
Рисунок 2. Четыре основных типа клеток
Вирусы - это мельчайшие живые организмы, размеры которых варьируют в пределах
примерно от 20 до 300 нм; в среднем они раз в пятьдесят меньше бактерий. Вирусы нельзя
увидеть с помощью светового микроскопа (так как их размеры меньше полудлины световой
волны), и они проходят через фильтры, которые задерживают бактериальные клетки.
Вирусы могут воспроизводить себя только внутри живой клетки, поэтому они
являются облигатными паразитами. Обычно они вызывают явные признаки заболевания.
Попав внутрь клетки-хозяина, они "выключают" (инактивируют) хозяйскую ДНК и,
используя свою собственную ДНК или РНК, дают клетке команду синтезировать новые
копии вируса (см. ниже). Вирусы передаются из клетки в клетку в виде инертных частиц.
Вирусы устроены очень просто. Они состоят из фрагмента генетического материала,
либо ДНК, либо РНК, составляющей сердцевину вируса, и окружающей эту сердцевину
защитной белковой оболочкой, которую называют капсидом. Полностью сформированная
инфекционная частица называется вирионом. У некоторых вирусов, таких как вирусы
герпеса или гриппа, есть еще и дополнительная липопротеидная оболочка, которая возникает
из плазматической мембраны клетки-хозяина. В отличие от всех остальных организмов
вирусы не имеют клеточного строения.
Оболочка вирусов часто бывает построена из идентичных повторяющихся
субъединиц - капсомеров. Из капсомеров образуются структуры с высокой степенью
симметрии, способные кристаллизоваться. Это позволяет получить информацию об их
строении как с помощью кристаллографических методов основанных на применении
рентгеновских лучей, так и с помощью электронной микроскопии. Как только в клеткехозяине появляются субъединицы вируса, они сразу же проявляют способность к самосборке
в целый вирус. На рисунке ниже представлена упрощенная схема, которая показывает общее
строение вирусов:
Рисунок 3. Схематический разрез вируса, имеющего капсомерное строение.
Нуклеокапсид вирусов
Комплекс капсида и вирусного генома называют нуклеокапсидом. Он повторяет
симметрию капсида, то есть обладает спиральной либо кубической симметрией
соответственно.
У подобных вирусов нуклеиновая кислота окружена капсомерами, образующими
фигуру икосаэдра. К вирусам с подобной структурой относят аденовирусы, реовирусы,
иридови-русы, герпесвирусы и пикорнавирусы. Организация по принципу кубической
симметрии придаёт вирусам сферическую форму. Принцип кубической симметрии - самый
экономичный для формирования замкнутого капсида, так как для его организации
используются сравнительно небольшие белковые блоки, образующие большое внутреннее
пространство, в которое свободно укладывается нуклеиновая кислота.
Икосаэдры и додекаэдры (например, у аденовирусов, вируса полиомы/папилломы,
вируса полиомиелита). У икосаэдра имеется 20 треугольных граней, 12 вершин и 30 ребер.
Правильный икосаэдр показан на рисунке ниже (А). Как видно из рисунка ниже (В), у
аденовируса каждая из 20 граней состоит из нескольких капсомеров.
Рисунок 4. А.Геометрическая модель икосаэдра. В.Рисунок, сделанный с трехмерной
модели аденовируса.
В сумме число капсомеров составляет 252 (240 шестиугольных и 12 пятиугольных по
вершинам икосаэдра).
У разных вирусов это число варьирует. Так, например, у бактериофага φХ174 оно
равно 12, у вируса герпеса - 162, у вируса полиомы - 42. У всех этих вирусов по 12
пятиугольных капсомеров, при этом у бактериофага шестиугольных капсомеров нет вообще,
и образуется структура, которая называется додекаэдром.
СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. В нуклеокапсиде взаимодействие нуклеиновой
кислоты и белка осуществляется по одной оси вращения. Каждый вирус со спиральной
симметрией обладает характерной длиной, шириной и периодичностью нуклеокапсида.
Нуклеокапсиды большинства патогенных для человека вирусов имеют спиральную
симметрию (например, коронавирусы, рабдовирусы, пара- и ортомиксовирусы, буньявирусы
и ареновирусы). К этой группе относят и вирус табачной мозаики. Организация по принципу
спиральной симметрии придаёт вирусам палочковидную форму. При спиральной симметрии
белковый чехол лучше защищает наследственную информацию, но требует большого
количества белка, так как покрытие состоит из сравнительно крупных блоков.
Лучшей иллюстрацией спиральной симметрии может служить вирус табачной
мозаики (ВТМ), содержащей РНК (см. рисунок ниже).
Рисунок 5. Строение палочковидного вируса табачной мозаики (на рисунке
изображена часть этого вируса). В основу рисунка положены данные по дифракции
рентгеновских лучей и результаты биохимических и электронно-микроскопических
исследований.
2130 одинаковых белковых субъединиц составляют вместе с РНК единую целостную
структуру - нуклеокапсид. У некоторых вирусов, например у вирусов свинки и гриппа,
нуклеркапсид окружен оболочкой.
Двойная симметрия. Вирусы, которые нападают на бактерий, образуют группу так
называемых бактериофагов. Некоторые бактериофаги имеют двойную симметрию: головка
организована по принципу кубической симметрии, отросток - по принципу спиральной
симметрии (см. рисунок ниже).
Рисунок 6. Строение бактериофага.
1.2. Рост численности бактерий и вирусов
В благоприятных условиях бактерии растут очень быстро. Большинство бактерий
размножаются путём деления, которому предшествует рост бактерии, то есть увеличение
массы её клетки. Отношение поверхность/объем у бактериальных клеток очень велико. Это
способствует быстрому поглощению питательных веществ из окружающей среды за счет
диффузии и активного транспорта. Обычно палочковидные бактерии в длину увеличиваются
в двое, и после достижения ими определённого размера посередине клетки возникает
поперечная перегородка, состоящая из цитоплазматической мембраны и клеточной стенки.
Такой способ деления называется поперечным. Образовавшиеся дочерние клетки по своим
свойствам полностью подобны материнской клетке, из которой они возникли.
Первый этап репликации вирусов связан с проникновением вирусной нуклеиновой
кислоты в клетку организма-хозяина. Этому процессу могут способствовать специальные
ферменты, входящие в состав капсида или внешней оболочки вириона, причем оболочка
остается снаружи клетки или вирион теряет ее сразу после проникновения внутрь клетки.
Вирус находит подходящую для его размножения клетку, контактируя отдельными
участками своего капсида (или внешней оболочки) со специфическими рецепторами на
поверхности клетки по типу «ключ – замок». Если специфические («узнающие») рецепторы
на поверхности клетки отсутствуют, то клетка не чувствительна к вирусной инфекции: вирус
в нее не проникает.
Для того чтобы реализовать свою генетическую информацию, проникшая в клетку
вирусная ДНК транскрибируется специальными ферментами в мРНК. Образовавшаяся мРНК
перемещается к клеточным «фабрикам» синтеза белка – рибосомам, где она заменяет
клеточные «послания» собственными «инструкциями» и транслируется (прочитывается), в
результате чего синтезируются вирусные белки. Сама же вирусная ДНК многократно
удваивается (дуплицируется) при участии другого набора ферментов, как вирусных, так и
принадлежащих клетке.
Синтезированный белок, который используется для строительства капсида, и
размноженная во многих копиях вирусная ДНК объединяются и формируют новые,
«дочерние» вирионы. Сформированное вирусное потомство покидает использованную
клетку и заражает новые: цикл репродукции вируса повторяется. Некоторые вирусы во время
отпочковывания от поверхности клетки захватывают часть клеточной мембраны, в которую
«заблаговременно» встроились вирусные белки, и таким образом приобретают оболочку. Что
касается клетки-хозяина, то она в итоге оказывается поврежденной или даже полностью
разрушенной.
2.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1.Икосаэдры и додекаэдры
Додекаэдр — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных
пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является
вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине
равна 324°.
Рисунок 7. Додекаэдр.
Если за длину ребра принять , то площадь поверхности додекаэдра:
Объём додекаэдра:
Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.
Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии
проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных
треугольников. Каждая из 12 вершин икосаэдра является вершиной 5 равносторонних
треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°.
Рисунок 8. Икосаэдр
Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер
икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра
внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут
совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут
совмещены с центрами граней додекаэдра.
Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a вычисляются по
формулам:
площадь:
объём:
Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют
собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр плотнее всего прижимается к своей вписанной
сфере, додекаэдр максимально заполняет свою описанную сферу.
2.2. Некоторые виды симметрии
Симметрия (от греч. συμμετρία) - неизменность при каких-либо преобразованиях.
Есть два типа:
1.
Математическая симметрия (симметрия объектов) - свойство объекта, обладая
которым, тот не изменяется при одном или нескольких геометрических преобразованиях
2.
Физическая симметрия (симметрия физических явлений и законов природы)
Такое разграничение учёные ввели потому, что всё, что может обладать математической
симметрией, можно назвать объектом, а всё, что может обладать физической симметрией,
нельзя назвать объектом.
Однако это разделение весьма условно, так как при описании любого физического
закона при помощи графика, физическая симметрия тут же заменяется на математическую.
Если перевести законы физики на математический язык, то получается, что благодаря
симметрии существуют многие законы сохранения, например, закон сохранения энергии,
являющийся следствием симметрии относительно сдвига во времени (однородности
времени), или закон сохранения импульса, являющийся следствием симметрии относительно
параллельного переноса в пространстве (однородности пространства).
Спиральная симметрия. Это вид симметрии, при котором часть живого организма
«скопирована», а получившиеся «копии» уложены по спирали. Винтовая симметрия есть
симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси
поворота, т.е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта.
2.3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Определение арифметической прогрессии
Последовательность
, каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической
прогрессией. Число d - разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия
есть последовательность, заданная рекуррентно равенством
Разность арифметической прогрессии:

Если
, то
- возрастающая
.

Если
, то
- убывающая

Если
, то
- постоянна
Последовательность
является арифметической прогрессией тогда и только тогда,
когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим
предшествующего и последующего членов, то есть
.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
Определение геометрической прогрессии.
Последовательность
, первый член которой отличен от нуля и каждый член,
начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля
число q, называется геометрической прогрессией. Число q - знаменатель прогрессии. Таким
образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно
равенством
, где
.
Отношение любого члена геометрической прогрессии и ему предшествующего члена,
равно одному и тому же числу q:

Если

Если
, то
, то
- монотонна
- постоянна
Последовательность
является геометрической прогрессией тогда и только тогда,
когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним
членов, то есть
.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии:
, где
Формулы суммы n членов геометрической прогрессии:
1.
2.
3.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
равна
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ВИРУСОВ И БАКТЕРИЙ
В первой главе мы подробно рассмотрели строение некоторых видов бактерий и
вирусов. Остановимся более подробно на тех, которые по моему мнению и повлияли на
распространение болезней в моём классе.
Рисунок 9. Аденовирус
Капсид аденовируса состоит из 252 капсомеров, 12 находятся по углам икосаэдра, а
240 - на гранях и ребрах. Аденовирусы - это ДНК-содержащие вирусы, которые были
выделены из клеток самых разных млекопитающих и птиц. Они поражают лимфоидную
ткань и вызывают у человека различные респираторные заболевания.
Размер аденовируса (30 нм) в диаметре. Так как икосаэдр плотнее всего прижимается
к своей вписанной сфере, рассчитаем по формуле радиуса вписанной сферы величину ребра
затем примерную площадь поверхности и объём
, a = 19,81 нм;
, S = 3394,57 (нм)²
, V = 16973,58(нм)³
При таких данных отношение поверхность/объём аденовируса есть число большое,
порядка 200000000 . Это позволяет предположить, что в имеющемся объёме имеется
довольно большое количество «строительного материала» для образования новых вирусных
частиц.
Цикл репродукции, который мы рассматривали в первой главе, продолжается 14 и
более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка
разрушается. В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся
способными к созданию других вирионов и т.д. Таким образом только один вирион через
двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд
вирионов. То есть размножение аденовируса, как и всех других, подчиняется формуле n-ого
члена геометрической прогрессии
, где
, где q = 1000.
Этим фактом можно объяснить и течение болезни, вызванной респираторным
(простудным) вирусом: на 2-3-й день к ознобу, насморку и кашлю присоединяется чувство
рези в глазах; еще через пару дней в уголках глаз появляется пленка, которой покрываются
также миндалины и горло; на шее, под нижней челюстью, в других местах можно нащупать
увеличенные лимфоузлы; они же воспаляются и в брюшной полости, из-за чего болит живот.
В процессе развития вирусное заболевание может осложняться бактериальной
инфекцией. К осложнениям относятся: бактериальные риниты, синуситы, отиты, трахеиты,
пневмония, менингит. Развитию этих болезней способствуют бактерии –кокки. Кокки – это
бактерии овальной или сферической формы, размером 0,5—1,5 мкм в диаметре.
Сотни самых разнообразных кокков окружают человека в течение всей его жизни, но
нет, пожалуй, микроба более известного, чем стафилококк.
Рисунок 10 . Стафилококк золотистый
Как простейшие одноклеточные организмы, бактерии размножаются делением.
Достигая своих максимальных габаритов, клетка начинает процесс деления. Спустя
определённое время, одна бактерия разделившись по середине, оставляет одну свою
полноценную и самостоятельную копию. В благоприятной среде процесс деления протекает
особенно динамично. Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится,
образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20
минут и возникают все новые и новые поколения бактерий.
Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из
получившегося числа бактерий: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… . Заметим, что данная
последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2.
Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2
часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член
такой прогрессии будет равен 262144 и т.д.
ВЫВОДЫ.
По подсчетам ученых если какое-то заболевание вспыхнет в каком-то месте, то уже
через 24 часа болезнь может распространиться на почти все большие города. Честно говоря
несмотря на высокий санэпидем контроль всех стран мира болезни вызываемые вирусами
распространяются очень быстро. Поэтому проблема их изучения актуальна как никогда.
Познакомившись со строением различных бактерий и вирусов, а также с
особенностями размножения этих микроорганизмов, я пришла к выводу, что:
1)
Бактерии и вирусы представляют собой некоторые геометрические тела,
поверхности которых используются с наибольшей выгодой для проникновения в клетки
человека: бактерии- сферические, спиралевидные, палочковидные клетки, снабжённые
несколькими жгутиками, что позволяет быстро передвигаться; вирусы – принимают форму
додекаэдра и икосаэдра, которые представляют собой лучшее приближение к сфере.
2)
Отношение поверхность/объём вирусов очень велико. Это позволяет
предположить, что в имеющемся объёме имеется довольно большое количество
«строительного материала» для образования новых вирусных частиц. Отношение
поверхность/объем у бактериальных клеток очень велико, что способствует быстрому
поглощению питательных веществ из окружающей среды за счет диффузии и быстрому
увеличению самой клетки.
3)
Также можно с уверенностью сказать, что скорость распространения болезней
зависит и от того, что размножение
вирусов и бактерий подчиняется законам
геометрической прогрессии.
Я считаю, что в процессе выполнения работы мне удалось ответить на поставленные
вопросы. Мне удалось найти области соприкосновению двух интересующих меня наук:
математики и медицины. Наверное, стоит предположить изменение некоторых
математических данных ( уменьшение знаменателя геометрической прогрессии, изменение в
геометрическом расположении в пространстве вибрионов вирусов и т.д.) повлечёт за собой и
изменение в скорости распространения некоторых болезней. Но эта тема следующей работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. А.И. Фетисов. Геометрия. Учебное пособие по программе старших классов. –
Издательство академии педагогических наук РСФСР, - Москва, 1963.
2. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. учебник для учащихся общеобразовательных учреждений /
А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др.; под ред. А.Г. Мордковича. – 12-е изд. – М.:
Мнемозина,2010.- 223с.
3. Березов Т.Т., Коровкин Б.Ф. Биологическая химия. – М.: «Медицина», 2004. – 704 с
4. Борисов Л.Б. Микробиология, иммунология, вирусология. М.: МИА, 2005. – 736с., С. 603.
5. Вилляреал Л. Вирус: существо или вещество? // В мире науки. 2005. - №3.
6. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.
Бутузов и др., 13-е изд. – М.: Просвещение, 2004. -206с.
7. Заренков Н.А. Биосимметрика 2009. 320 с.
8. Николаев А.Я. Биологическая химия. – М.: МИА, 2004. – 566 с.
9. Прозоркина Н. В., Рубашкина Л. А. П 78 Основы микробиологии, вирусологии и
иммунологии: Учебное пособие для средних специальных медицинских учебных
заведений. — Ростов нД: Феникс, 2002. -416с.
10. Кобринович Ю.О. Вирусы. [http://zhurnal.lib.ru 13.02.09]
11. http://ru.wikipedia.