Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный университет имени М.К. Аммосова»
Институт математики и информатики
Программа работы лаборатории «Конструктивная геометрия»
Научный руководитель:
Бубякин И.В., к.ф.-м.н., доц. каф.
алгебры и геометрии ИМИ.
Якутск 2012
Содержание
I.
Введение. Конструктивная геометрия как основа школьного курса геометрии
II. Обоснование работы лаборатории
III. Содержание программы работы лаборатории «Конструктивная геометрия »
IV. Литература
Введение
Понятие математического мышления в геометрии подразумевает в первую очередь
конструкцию и построения. Поэтому возможен такой
геометрии, что геометрические понятия
подход к методике обучения
и утверждения объясняются с помощью
чертежей, рисунков и моделей. Если математику рассматривать как
особую ветвь
обычного языка, то уместно вспомнить «Толковый словарь живого великорусского языка»
Владимира Ивановича Даля, в котором наряду с толкованием смысла слов, представлены
иллюстрации. Рисунки в этом словаре не просто дополняют толкование того или иного
понятия, они его расширяют. Наглядные изображения способствуют появлению новых
слов, установлению взаимосвязи понятий, а также статей. Как это преломляется в
математике? Очевидно, что математика может рассматриваться как язык естествознания
только потому, что языком математики является геометрия. Геометрическая терминология
буквально пронизывает всю математику и создает связь между самыми абстрактными ее
понятиями и пространственной интуицией, воображением. Так, нахождение производной,
т.е. предела отношения в математическом анализе на геометрическом языке означает
определение положения касательной к кривой. Нахождение решения системы трех
линейных неоднородных уравнений на геометрическом языке означает определение точки
пересечения трех плоскостей. Именно геометрическое интуитивное представление
помогает переносить понятия из одной области математики в другую, расширяя тем
самым их значение. Более того, многим разделам математики именно геометрия придает
смысл и значение.
Рассматриваемая методика представляется естественной, поскольку построения
геометрических фигур и способы их изображения остаются иногда в тени при изучении
геометрии и других разделов математики. Здесь нужна систематическая работа для того,
чтобы можно было хорошо представлять математические понятия с помощью геометрии,
подобно В.И. Далю, с помощью рисунков, чертежей и моделей. Такое представление
математики показало бы учащимся, что математика – это живая и интересная наука.
Роль геометрии в школьном и вузовском образовании хорошо известна. Геометрия
служит не только языком математики, но и источником развития математики. Решение
многих геометрических проблем и задач стало основой новых научных понятий и
направлений. Например:
a. Исследование Евдоксом пропорций и отношений длин отрезков положили основу
теории, эквивалентную современной теории действительных чисел;
b. Задача о построении геометрии как цельной системы основателем философской
школы – Академии Платоном привели к тому, что математику ввели в число предметов
преподавания. При этом Платон говорил, что знание математики необходимо для каждого
образованного человека;
c. Некоторые тексты Аристотеля, говорят о том, что греческие математики изучали
геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии. Они послужили основой
эллиптической и гиперболической геометрий. При этом Аристотель строил геометрию в
виде цепи предположений, которые вытекают одно из другого на основе одних лишь
правил логики;
d. Труд Евклида «Начала» долгое время служил руководством по математике.
«Начала» оказали большое влияние на дальнейшее развитие математики и на ее
преподавание. Это труд явился базой геометрического школьного образования и в
настоящее время на этой работе основывается классическая и прикладная механика.
e. Труд Аполлония «Конические сечения» положил основу
для современной
аналитической геометрии;
f.
Глубокие исследования Д.Гильберта по основаниям геометрии и математики,
привели к понятию пространства, обобщающее понятие евклидова пространства на
бесконечномерный случай;
g. Идеи Г. Вейля, что векторные пространства должны лежать в основе евклидовой
геометрии, привели к одному из обобщений векторного пространства – тензорному
исчислению;
h. Задача нахождения касательной к кривой и вычисление площади криволинейной
трапеции привели Г.Лейбница и И.Ньютона к созданию дифференциального и
интегрального исчисления;
i. Геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом
живописи и изобразительного искусства;
j. Одно из основных понятий современной алгебры – понятия группы возникло на
основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют
важную роль не только в математике, но и в физике, химии, биологии, кристаллографии;
Многочисленные социологические исследования говорят о том, что учащиеся видят
в учителе математики в первую очередь специалиста в области математики, а затем
педагога, способного донести до них достижения современной математики. Поэтому
будущий учитель математики
математики и
должен постоянно следить за развитием современной
заниматься творческой исследовательской деятельностью в области
фундаментальной или прикладной математики. Основываясь на этом,
рассмотрим
некоторые темы, заслуживающие, на наш взгляд, изучения в школьном курсе геометрии:
a. В качестве кривых в школьном курсе математики рассматриваются в основном
только графики функций. При этом основное внимание уделяется их аналитическим
свойствам. Геометрические же свойства остаются в стороне даже для таких хорошо
известных кривых как парабола, гипербола и эллипс. Знакомство с эллипсом, гиперболой
и параболой как конических сечений, изучение их свойств с помощью сфер Данделена, а
также
оптических
свойств
этих
кривых
позволит
расширить
геометрические
представления, повысить интерес к исследованиям в геометрии, создаст содержательную
основу для дальнейшего изучения математики, физики, механики и других наук.
b. В качестве поверхностей в
элементарной геометрии
рассматриваются сфера,
прямой круговой конус и прямой круговой цилиндр, а также их метрические свойства.
При этом строение этих поверхностей отодвигается на второй план. Хотя прямой
круговой конус и прямой круговой цилиндр можно построить не только как поверхность
вращения, но и как многообразие касательных прямых к сфере или как многообразие
касательных прямых к двум сферам. Вопросы, связанные с различными способами
построения поверхностей имеют существенное значение для геометрии.
Имеет смысл также изучать строение поверхностей параллельного переноса,
частными видами которых являются эллиптический и параболический параболоиды.
Построения этих поверхностей вполне доступны школьнику, поскольку в этом
построении используется хорошо известная кривая парабола, а также преобразование
параллельного переноса кривой в пространстве. Более того, эти поверхности широко
применяются в оптике и строительстве.
c. Различным способам построения геометрической фигуры с помощью циркуля и
линейки в школьном курсе геометрии уделяется минимальный объем часов. Этот раздел
школьной геометрии относится к конструктивной геометрии , который в современной
геометрии имеет большое значение для всех разделов математики.
Основательное
знакомство с задачами конструктивной геометрии и методами их решения важно для
осмысления многих геометрических фактов и понятий.
Изучение указанных тем позволили бы учащемуся
видеть
основы школьной
геометрии в конструктивной геометрии, для которой существенным элементом является
построения, чертежи и рисунки, а также плоские и пространственные модели
геометрических фигур. Авторам представляется, что обучение элементарной геометрии,
где в основе лежит конструктивная геометрия с возможностью выполнять при ее
изучении творческие работы, непременно способствовало бы повышению интереса к ее
изучению. Эти
темы и задачи могут быть положены в основу творческой
исследовательской работы школьников в области математики, подготовку докладов для
конференций, участию в различных конкурсах по математике.
Отметим, что все рассматриваемые темы имеют практическое применение.
Геометрия конических сечений, геометрия поверхностей параллельного переноса, а также
конструктивная геометрия имеют приложения в физике, механике, оптике, живописи и
строительстве.
Ознакомление
с
настоящими
приложениями
геометрии
позволит
выработать правильные представления о месте и роли геометрии в современной жизни,
повысит интерес к исследованиям в области геометрии.
В заключении заметим, что интересные темы для творческой исследовательской
деятельности в области геометрии можно найти в монографии « Геометрия» в двух томах
и сборнике задач по геометрии известного французского математика М. Берже. Эти
издания охватывают широкий круг задач классической геометрии в современном
изложении.
Обоснование работы лаборатории. Работа лаборатории направлена на создание условий
для
углубленного изучения вопросов предусмотренной программой основного курса.
Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения задач
конструктивной
геометрии,
развивающих
научно-
исследовательские
навыки
школьников. Основная методическая установка деятельности лаборатории – организация
самостоятельной работы учащихся при ведущей и направляющей роли
научного
руководителя и учителя математики. Методической основой выполнения проекта научноисследовательской работы
школьников по
конструктивной геометрии является
методическое пособие И.В. Бубякина «Некоторые методы решения задач конструктивной
геометрии». Содержание задач конструктивной геометрии расширено и при этом оно
связывает
конструктивную
и
алгебраическую
геометрии.
Предложенные
задачи
направлены на творческую научно-исследовательскую работу школьника.
Формы исследовательской работы ориентированы на возраст, соответствующий 8
и
9
классу средней образовательной школы, специфику профильного обучения и
представляет собой практические занятия, самостоятельную работу с научно- популярной
литературой.
На выполнение данного проекта отводится в 8 и 9 классах 117 академических часов:
35 часов на практические занятия; 35 часов на консультации; 35 часов на руководство
самостоятельной
исследовательской
работой
школьника
по
решению
задач
конструктивной геометрии с последующим публичным выступлением на конференции с
результатами собственных творческих исследований;
12 часов на участие в работе
научно-исследовательского семинара преподавателей и студентов математического
отделения института математики и информатики СВФУ им. М.К. Аммосова.
Для работы в лаборатории используются технология проблемного обучения,
технология поэтапного формирования
навыков научно- исследовательской
работы.
Школьникам предлагаются творческие задания по конструктивной геометрии.
По
выполнению
исследовательских
проектов,
обучающиеся
подготавливают
презентации, которые используются ими во время выступления на конференциях, где
заслушиваются
доклады
по
собственным
исследованиям
и
решению
задач
конструктивной геометрии
В течение осуществления проекта исследовательских работ планируется постоянное
участие школьников в качестве слушателей в работе научно-исследовательского семинара
преподавателей и студентов математического отделения института математики и
информатики. Школьники рассматриваются как потенциальные
студенты института
математики и информатики
Ожидаемый результат: подготовка учащихся к участию в конкурсах, конференции
«Шаг в будущее» ( школьный, городской, республиканский, всероссийский уровни),
участие в олимпиадах по математике.
Основная
цель
лаборатории
–
развитие
способностей
учащихся
к
самостоятельной математической деятельности, способствование осознанному выбору
математики как профиля, ориентирование в выборе профессиональной деятельности
после получения профильного образования, подготовка обучающихся к участию в
олимпиаде, конференциях, конкурсах.
Задачи:
1. научить учащихся работать с научно-популярной литературой по математике,
находить обоснованное решение математической задачи;
2. правильно строить свое выступление, уметь ориентироваться в современном мире
математики;
3. решать задачи повышенного уровня;
4. повышение уровня школьной математической подготовки.
Методы обучения: словесные – с целью сообщения новой информации, наглядные –
для усвоения
геометрических образцов
и
практические – для самостоятельного
овладения навыками научно- исследовательской работы в области математики.
Содержание программы работы лаборатории
«Конструктивная геометрия »
Объяснительная записка программы
Конструктивная геометрия — раздел евклидовой геометрии, изучающий построение
геометрических фигур. В задачах конструктивной геометрии циркуль и линейка
считаются идеальными инструментами, в частности: линейка не имеет делений и имеет
только одну сторону бесконечной длины, циркуль может иметь сколь угодно большой или
сколь угодно малый раствор. В задачах конструктивной геометрии рассматриваются
множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех
окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции
Выделение точки из множества всех точек:
 произвольной точки;
 произвольной точки на заданной прямой;
 произвольной точки на заданной окружности;
 точки пересечения двух заданных прямых;
 точки пересечения (касания) заданной прямой и заданной окружности;
 точки пересечения (касания) двух заданных окружностей.
С помощью линейки выделение прямой из множества всех прямых:
 произвольной прямой;
 произвольной прямой, проходящей через заданную точку;
 прямой, проходящей через две заданных точки.
С
помощью
циркуля
выделение
окружности
из
множества
всех
окружностей:
 произвольной окружности;
 произвольной окружности с центром в заданной точке;
 произвольной окружности с радиусом, равным расстоянию между двумя
заданными точками;
 окружности с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между
двумя заданными точками.
В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью
конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций
построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным
множеством.
Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:
a. Описание способа построения заданного множества.
b. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно
находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство
построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы
и другие доказанные теоремы.
c. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным
вариантам начальных условий, а также на предмет единственности решения, получаемого
описанным способом.
Неразрешимые задачи конструктивной геометрии:
Следующие три задачи на построение не разрешимы с помощью циркуля и линейки:
Задача о трисекции угла — разбить произвольный угол на три равные части;
Задача о удвоении куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем
данный куб;
Задача о квадратуре круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.
Только в XIX веке было доказано, что все три задачи не разрешимы при
использовании циркуля и линейки.
Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью
одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и
линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной
линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
невозможно даже разбить отрезок на две равные части, либо найти центр начерченной
окружности. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с
отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и
циркулем и линейкой. Это представляет собой смысл теоремы Понселе — Штейнера.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№
Тема занятия
1
Что такое конструктивная геометрия.
2
3
Основные построения конструктивной геометрии
Основные построения конструктивной геометрии. Продолжение
2
2
4
Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников
2
5
Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников.
Продолжение.
2
6
2
7
Задачи конструктивной геометрии на построение треугольников.
Продолжение.
Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное
исследование и решение задачи конструктивной геометрии
Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание
собственных презентаций
8
Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии
2
9
Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии.
Продолжение.
2
10
Метод пересечений в решении задач конструктивной геометрии.
Продолжение.
2
11
Метод геометрических преобразований
конструктивной геометрии
в
решении
задач
2
12
Метод геометрических преобразований
конструктивной геометрии. Продолжение.
в
решении
задач
2
13
Метод геометрических преобразований
конструктивной геометрии. Продолжение.
в
решении
задач
2
14
Алгебраический метод
геометрии
в решении задач конструктивной
2
15
Алгебраический метод
геометрии. Продолжение.
Алгебраический метод
геометрии. Продолжение.
в решении задач конструктивной
2
в решении задач конструктивной
2
17
Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное
исследование и решение задачи конструктивной геометрии
Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание
собственных презентаций
2
18
Примеры задач конструктивной геометрии, не разрешимых
2
16
Количество
часов
1
2
циркулем и линейкой
19
Задачи Конструктивной геометрии на построение одной линейкой
2
20
Конструктивной геометрии на построение одной линейкой.
Продолжение.
Конструктивной геометрии на построение одним циркулем
2
22
Конструктивной геометрии на построение одним циркулем.
Продолжение.
2
23
Задачи конструктивной геометрии на построение касательной к
окружности
2
24
Задачи конструктивной геометрии на построение касательной к
окружности
2
25
Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное
исследование и решение задачи конструктивной геометрии
Выполнение индивидуальных творческих заданий и создание
собственных презентаций.
2
26
27
Эллипс и его изображение на плоскости
Эллипс как геометрическая фигура конструктивной геометрии
2
2
28
Гипербола и ее изображение на плоскости
2
29
Равносторонние и сопряженные гиперболы
2
30
Парабола и ее изображение на плоскости
2
31
32
Парабола как геометрическая фигура конструктивной геометрии
Задача конструктивной геометрии на построение касательных к
эллипсу: оптическое свойство эллипса
Задача конструктивной геометрии на построение касательных к
гиперболе: оптическое свойство гиперболы
2
2
21
33
34
35
2
2
2
Задача конструктивной геометрии на построение касательных к
параболе: оптическое свойство параболы
Конференция с докладами учащихся, содержащих собственное
исследование и решение задачи конструктивной геометрии
Итого
2
70 часов (35 ч.
теоретический/
35
практический)
Литература
Основная
1. Бубякин И.В. Некоторые методы решения задач конструктивной
геометрии.- Якутск: Литограф,1996.- 34 с.
2. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984.
– Т.1 – 560с.
3. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984.
– Т.2 – 368 с.
4. Берже, М. Задачи по геометрии / М. Берже, Ж.-П. Берри, П. Пансю и [ др.]; под ред.
Л.В. Сабинина; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. –304c.
Дополнительная
1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение. - М.: Едиториал
УРСС, 2004.-176 с.
2. Арнольд В.И. Вещественная алгебраическая геометрия. - М.: МЦНМО, 2009.- 88 с.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1.- М.: КНОРУС, 2011.- 400с.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2.- М.: КНОРУС, 2011.- 424с.
5. Атанасян С.Л., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии Ч.1 М.: Эксмо, 2007.- 336 с.
6. Атанасян С.Л., Шевелева Н.В., Покровский В.Г. Сборник задач по геометрии.Ч.2.- М.:
Эксмо, 2008. – 320 с.
7. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир,
1984. – Т.1 – 560с.
8. Берже, М. Геометрия / М. Берже; под ред. И.Х. Сабитова; пер. с франц. – М.: Мир, 1984.
– Т.2 – 368 с.
9. Берже, М. Задачи по геометрии / М. Берже, Ж.-П. Берри, П. Пансю и [ др.]; под ред.
Л.В. Сабинина; пер. с франц. – М.: Мир, 1984. – 304 с.
10. Бубякин И.В. Некоторые методы решения задач конструктивной геометрии.- Якутск:
Литограф,1996.- 34 с.
11. Жафяров А.Ж. Элективные курсы по геометрии для профильной школы.Новосибирск: Сиб.унив. изд-во, 2005.- 509 с.
12 Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск:
Сиб.унив. изд-во, 2003.- 468 с.
13. Любецкий В.А. Основные понятия элементарной математики.- М.: Айрис-Пресс,
2004.- 24 с.