В.Г. Астафуров. Методические рекомендации к

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Кафедра автоматизированных систем управления
УТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой АСУ
профессор, д-р. техн. наук
___________А.М. Кориков
«6» сентября 2011 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
По дисциплине «Математическое моделирование»
Уровень основной образовательной программы магистратура
Направление подготовки: Прикладная математика и информатика 010500
Магистерская программа Математическое и программное обеспечение вычислительных машин
Разработчик
Профессор кафедры АСУ
__________ В.Г. Астафуров
Томск 2011
2
Методические указания по практическим занятиям и самостоятельной работе
по дисциплине «Математическое моделирование» составлены в соответствии с
программой и включают в себя тематику практических занятий, их содержание,
список тем предложенных для самостоятельного изучения, список вопросов для
подготовки к экзамену и рекомендуемую литературу. Методические указания
предназначены для магистров по направлению 010500 «Прикладная математика и
информатика».
Практическое занятие№1 (2 часа, самостоятельная работа 5 часов)
Тема: Тестирование и сравнительный анализ датчиков случайных чисел с
равномерным распределением.
Содержание занятия:
1. Обсуждение темы «Дискретные и непрерывные случайные величины
(основные понятия, функции распределения, числовые характеристики)»,
предложенной для самостоятельного изучения.
2. Алгоритмы генераторов псевдослучайных чисел: Вичманна–Хилла,
«Виток Мерсенна»,
Парка−Миллера,
Метод
Фибоначчи с
запаздыванием.
3. Для датчиков псевдослучайных чисел в приложениях MathCad, Excel и
на языках Pascal, Borland C, Microsoft Visual C++ 6.0 вычислить оценки
среднего, дисперсии и построить гистограммы относительных частот.
Сравнить полученные оценки с точными значениями математического
ожидания m  0,5 и дисперсии D( )  1 / 12 .
4. Обсуждение полученных результатов.
Практическое занятие№2 (2 часа, самостоятельная работа 4 часа)
Тема: Моделирование на ЭВМ дискретных случайных величин с заданным
законом распределения.
Содержание занятия:
1. Реализовать алгоритмы моделирование дискретных случайных величин с
геометрическим,
отрицательно-биномиальным,
биномиальным
и
пуассоновским распределениями.
2. Получит выборки, и вычислить по ним оценки среднего, дисперсии и
построить гистограммы относительных частот. Сравнить полученные
результаты с точными значениями математического ожидания и дисперсии.
3. Получить выборки для дискретных случайных величин с пуассоновским и
отрицательно-биномиальным распределениями с помощью стандартных
функций в среде MathCad. Построить гистограммы, найти оценки среднего
и дисперсии. Сравнить с результатами п.2.
4. Обсуждение полученных результатов.
Практическое занятие№3 (2 часа, самостоятельная работа 6 часа)
Тема: Моделирование на ЭВМ непрерывных случайных величин с заданным
3
законом распределения.
Содержание занятия:
1. Обсуждение темы «Моделирование нормального распределения»,
предложенной для самостоятельного изучения.
2. Реализовать на ЭВМ алгоритм моделирования непрерывной случайной
величины с заданной плотностью вероятностей. Параметры распределений
задать самостоятельно
3. Получить выборку размером N и построить по ней гистограмму, найти
оценки среднего и дисперсии СВ, сравнить их с точными значениями.
Определить величину относительной среднеквадратической погрешности
полученных оценок.
4. Обсуждение полученных результатов.
Практическое занятие№4 (3 часа, самостоятельная работа 12 часов)
Тема: Реализация на ЭВМ алгоритмов моделирования Марковских
случайных процессов с дискретным временем.
Содержание занятия:
1. Обсуждение темы «Моделирование случайных векторов», предложенной
для самостоятельного изучения.
2. Реализовать на ЭВМ алгоритмы моделирования Марковских случайных
процессов с дискретным временем.
3. Получить реализации случайных процессов, найти оценки среднего,
дисперсии и корреляционной функции.
4. Обсуждение полученных результатов.
Практическое занятие№5 (2 часа, самостоятельная работа 9 часов)
Тема: Моделирование на ЭВМ потоков событий с заданными
характеристиками.
Содержание занятия:
1. Реализовать на ЭВМ алгоритм моделирования пуассоновского потока и
потока Эрланга заданного порядка.
2. Провести исследование статистических характеристик временных
интервалов между соседними событиями (найти оценки среднего и
дисперсии, сравнить их с исходными параметрами).
3. Обсуждение полученных результатов;
4. Обсуждение темы «Оценка собственных значений интегрального
оператора», предложенной для самостоятельного изучения.
Практическое занятие№6 (4 часа, самостоятельная работа 13 часов)
Тема: Моделирование на ЭВМ многоканальной системы массового
обслуживания (СМО).
4
Содержание занятия:
1. Реализовать на ЭВМ алгоритм метода Монте-Карло моделирования СМО,
позволяющий вычислять: относительную q и абсолютную A пропускную
способность СМО, среднюю интенсивность потока заявок, покинувших
СМО необслуженными, среднее время ожидания в очереди, средний
интервал времени между событиями выходного потока. Входной поток
заявок – поток Эрланга порядка k с параметром  . Время обслуживания
имеет экспоненциальную плотность вероятности с параметром  . Число
мест в очереди m , число обслуживающих устройств n и порядок потока
Эрланга k приведены в таблице, значения параметров  и  выбрать
самостоятельно.
2. Вычислить оценки указанных в задании характеристик СМО и определить
величину их относительной среднеквадратической погрешности.
3. Построить гистограмму величины интервала времени между событиями
выходного потока.
4. Обсуждение полученных результатов.
Варианты заданий для практического занятия 6
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
n
k
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
Практическое занятие№7 (4 часа, самостоятельная работа 14 часов)
Тема: Моделирование на ЭВМ приемного тракта оптического приемника,
работающего в режиме счета фотонов
Содержание занятия:
1. Реализовать на ЭВМ алгоритм моделирования приемного тракта
оптического приемника, работающего в режиме счета фотонов. Поток
сигнальных и шумовых одноэлектронных импульсов на выходе
фотодетектора
принять
пуассоновским.
Счетчик
фотоотсчетов
характеризуется «мертвым» временем продлевающегося типа.
2. Вычислить оценки среднего и дисперсии чисел фотоотсчетов, построить их
гистограммы и определить величину относительной среднеквадратической
погрешности полученных оценок.
3. Сравнить статистические характеристики чисел фотоотсчетов и
одноэлектронных импульсов при различных значениях средних
5
интенсивностей.
4. Обсуждение полученных результатов;
5. Обсуждение темы «Вычисление интегралов, зависящих от параметра,
методом Монте-Карло», предложенной для самостоятельного изучения.
Самостоятельная работа (162 часов)
Наименование работы
1. Проработка лекционного материала
Количество
часов
38
2. Подготовка к практическим занятиям
3. Самостоятельное изучение тем теоретической
части
63
25
4. Подготовка к экзамену
36
Форма
контроля
Опрос на
занятиях
(устно)
Отчеты
Опрос на
занятиях
(устно)
Оценка за
экзамен
Список тем, предлагаемых для самостоятельного изучения (25 час.)
1. Дискретные и непрерывные случайные величины (основные понятия, функции
распределения, числовые характеристики).
2. Методы моделирование нормального распределения.
3. Моделирование случайных векторов.
4. Оценка собственных значений интегрального оператора.
5. Вычисление интегралов, зависящих от параметра, методом Монте-Карло.
Проработка лекционного материала (38 часов)
Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой для более
глубокого и детального изучения разделов дисциплины, подготовка к их
обсуждению на практических занятиях.
Подготовка к практическим занятиям (63 часа)
Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой по темам
практических занятий, выполнение практических заданий.
1.
2.
3.
4.
5.
Подготовка к экзамену (36 часов)
Список вопросов к экзамену по курсу «Математическое моделирование»
Основные этапы построения математических моделей.
Дискретные и вероятностные математические модели (основные понятия и
определения).
Непрерывные математические модели (основные понятия и определения).
Анализ модели на чувствительность к основным параметрам и ограничениям.
Понятие метода Монте-Карло, его теоретическое обоснование и области
применения.
6
6. Анализ и интерпретация результатов численного моделирования. Оценка
точности полученных результатов.
7. Определение эмпирических законов распределения результатов эксперимента.
Критерии согласия.
8. Датчики псевдослучайных чисел с равномерным распределением, требования
предъявляемые к этим датчикам.
9. Методы тестирования датчиков псевдослучайных чисел с равномерным
распределением.
10. Методы генерация дискретных случайных величин с геометрическим,
отрицательно
биномиальным,
биномиальным
и
пуассоновским
распределениями.
11. Моделирование непрерывных случайных величин: метод обратной функции,
метод суперпозиции, метод исключения.
12. Понятие случайного процесса, численные характеристики случайного процесса,
стационарные случайные процессы в узком и широком смысле, эргодические
случайные процессы.
13. Моделирование случайных процессов: дискретная цепь Маркова с
дискретным временем, дискретная цепь Маркова с непрерывным временем.
14. Моделирование винеровского случайного процесса.
15. Потоки событий и их моделирование. Дважды стохастический пуассоновский
поток и его моделирование.
16. Вычисление многократных интегралов методом Монте-Карло. Выделение
главной части интегрируемой функции. Метод Монте-Карло с повышенной
скоростью сходимости.
17. Вычисление многократных интегралов методом Монте-Карло: случайные
квадратурные формулы, использование смещенных оценок.
18. Оценка точности вычисления многократных интегралов методом МонтеКарло. Способы повышения точности вычислений интегралов. Случайные
квадратурные формулы.
19. Решение линейных уравнений методом Монте-Карло: интегральные
преобразования, неоднородные интегральные уравнения, однородные
интегральные уравнения.
20. Решение линейных алгебраических систем методом Монте-Карло.
21. Одноканальные и многоканальные системы массового обслуживания и их
характеристики.
22. Аналитические модели систем массового обслуживания. Марковские модели
(простейшие, одноканальные и многоканальные системы массового
обслуживания с очередями).
23. Моделирование систем массового обслуживания. Методы повышения
эффективности моделирования систем массового обслуживания.
24. Приемники оптического излучения и области их применения, статистические
характеристики сигналов и шумов.
25. Понятие «мертвого времени» счетчика и искажение им статистических
характеристик входного потока, методы исследований.
26. Модель приемного тракта оптического приемника. Моделирование
оптических приемников, работающих в режиме счета фотонов.
7
Основная литература
1. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. − М.: Книжный дом
«Либроком», 2011.– 192 с. (2 экз.)
2. Шапкин А.С., Мазаева Н. П. Математические методы и модели исследования
операций: Учебник для вузов/ 4-е изд. - М. : Дашков и К°, 2007. − 395 с.
Дополнительная литература
3. Арнольд В.И.“Жесткие” и “мягкие” математические модели / 3-е изд., стереотип. –
М.: МЦНМО, 2011. – 32 с.
4. Парытка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. Учебник для вузов / 2-е
изд., испр. и доп. − М. : Форум, 2007 . − 463 с.
5. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для вузов / 2-е
изд., перераб. и доп. − М.: Высшая школа, 1998. − 319 с.
6. Мицель А.А., Грибанова Е.Б. Сборник задач по имитационному моделированию
экономических процессов. Учебное пособие для вузов. − Томск : ТУСУР, 2007. −
172 с.
7. Бендат Л., Пирсол Л. Прикладной анализ случайных данных. ─ М.: Мир, 1989.
8. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. ─ М.:
Наука, 1976.
9. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов/ 10-е изд.,
стереотип. ─ М.: Высшая школа, 2005 (2002, 1999, 1969).
10. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. ─ М.: Физматгиз, 1960.
11. Поляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных
машинах. ─ М.: Советское радио, 1971.
12. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. ─ М.:
Советское радио, 1971.
Учебно-методические пособия
13.Астафуров В.Г. Исследование операций: методические указания по
выполнению лабораторных работ. − Томск: Томский государственный
университет систем управления и радиоэлектроники, 2007. − 59 с.