ВОПРОСЫ И ТЕМЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ для групп 04-106..108, 04-115..117,... по курсу ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на 2008/2009 учебный...

ВОПРОСЫ И ТЕМЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ для групп 04-106..108, 04-115..117, 04-127
по курсу ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ на 2008/2009 учебный год
Лектор – доц. Руденко Е.А.
ТЕОРИЯ (по 2 вопроса в билете: 1 – по алгебре (1..14, 30..33), 1 – по геометрии (15..29))
1. Матрица. Виды матриц. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, перемножение, транспонирование. Формулы для элементов матриц-результатов. Свойства этих операций.
2. Определители матриц. Рекуррентное определение. Вычисление определителей порядков 2 и 3
(док-во). Минор и алгебраическое дополнение элемента. Понижение порядка определителя.
3. Свойства определителей (умножение на число, сложение, перестановка строк и т.п. – 10 штук).
Способ упрощения определителя на основании свойств.
4. Обратная матрица. Определение. Теоремы о единственности, определителе, существовании и
вычислении обратной матрицы (с доказательствами). Присоединённая матрица.
5. Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления c помощью присоединённой матрицы.
Решение простейших линейных матричных уравнений.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная форма записи.
Правило Крамера (доказательство). Условия его применения.
7. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Определение. Свойства.
Общее условие равенства нулю определителя.
8. Миноры матрицы, определение, свойство. Базисный минор матрицы (определение). Теорема о
базисном миноре. Ранг матрицы (определение). Теорема о ранге матрицы.
9. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований. Нахождение одного из базисных миноров. Условие совместности системы (теорема Кронекера-Капелли).
10. Общий метод решения совместной системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Условия единственности и множественности решений системы.
11. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Его матричная форма. Прямой и
обратный ходы метода Гаусса. Выбор базисных переменных. Получение общего решения.
12. Однородная система линейных уравнений, её свойства. Теорема о существовании линейно независимых решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
13. Связь решений соответствующих неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы.
14. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определение. Арифметический вектор.
Характеристическое уравнение матрицы (док-во). Нахождение собственных векторов как ФСР.
15. Геометрический вектор: определение, модуль. Равенство, коллинеарность и компланарность
векторов. Линейные операции над векторами: определение, свойства.
16. Системы координат на плоскости и в пространстве (аффинная, декартова). Базисы. Координаты
вектора (определение). Линейные операции над векторами в координатной форме.
17. Координаты точки (определение). Выражение координат вектора через координаты его начала
и конца (доказательство). Деление отрезка в заданном отношении (доказательство).
18. Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение. Направляющие косинусы вектора.
19. Векторное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), свойства, применение.
20. Смешанное произведение векторов. Определение, геометрический смысл, выражение через декартовы координаты сомножителей (док-во), применение, свойства.
21. Прямая линия на плоскости. Уравнения: с угловым коэффициентом, общее, параметрические,
каноническое. Расстояние от точки (док-во). Угол между прямыми, точка их пересечения.
22. Плоскость в пространстве. Уравнения: общее, компланарное. Расстояние от точки (док-во).
Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей.
23. Прямая линия в пространстве. Уравнения: общие, параметрические, канонические. Переходы
между ними. Угол между: прямыми, прямой и плоскостью. Точка пересечения с плоскостью.
24. Две прямые в пространстве. Анализ трёх типов их взаимного расположения. Расстояния: между
точкой и прямой, между параллельными прямыми, между непараллельными прямыми (док-во).
25. Кривые 2-го порядка на плоскости. Их типы, определения как геометрических мест точек (относительно фокусов), иррациональные и канонические уравнения (док-во). Построение кривых.
26. Общее уравнение кривой 2-го порядка на плоскости. Его преобразование к каноническому виду. Канонические уравнения смещённых и повёрнутых кривых.
27. Поверхности 2-го порядка: эллипсоид, конус и гиперболоиды. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.
28. Поверхности 2-го порядка: параболоиды и цилиндры. Канонические уравнения, их отличительные особенности. Исследование формы методом сечений. Эскизы.
29. Общее уравнение поверхности 2-го порядка, его приведение к каноническому виду. Определение типа и ориентации поверхности в пространстве по виду её канонического уравнения.
30. Квадратичная форма. Определение, матричный и канонический вид. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа.
31. Приведение матрицы к диагональному виду. Условия приводимости, матрица преобразования,
связь исходной и диагональной матриц. Ортогонализация системы векторов по Шмидту.
32. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования. Связь старых и новых переменных. Коэффициенты канонического вида.
33. Знакоопределенность квадратичной формы. Определение. Критерии знакоопределенности (собственных значений, Сильвестра). Их полнота и трудоёмкость.
ТЕМЫ ЗАДАЧ (в билете 3 задачи: 1 – по алгебре, 2 – по геометрии)
АЛГЕБРА
1. Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами (для проверки).
2. Вычислить обратную к матрице 3-го порядка. Сделать проверку.
3. Решить матричное уравнение с матрицами 2-го или 3-го порядка. Сделать проверку.
4. Найти ранг и базисный минор матрицы 4*4.
5. Решить систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя или 4-мя неизвестными. Указать фундаментальные решения соответствующей однородной системы. Сделать проверки.
6. Найти собственные значения и векторы матрицы 2-го или 3-го порядка. Сделать проверки.
ГЕОМЕТРИЯ
1. Вычисление и геометрические приложения трёх произведений векторов.
2. Прямая линия на плоскости: применение общего и канонического уравнений прямой.
3. Плоскость в пространстве: применение общего и компланарного уравнений плоскости.
4. Прямая линия в пространстве: применение общих и канонических уравнений прямой.
5. Привести общее уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду, определить её тип и
построить кривую. Проверить по точкам пересечения с осями координат.
6. Привести общее уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить её
тип, ориентацию в пространстве и изобразить эскиз поверхности.