Тензорная алгебра Реферат на тему:

Реферат на тему:
Тензорная алгебра
План:
Введение





1 Определение
2 Функториальность
3 Некоммутативные многочлены
4 Факторалгебры
5 Вариации и обобщения
Введение
Тензорной алгеброй линейного пространства V (обозначается T(V)) называется алгебра
тензоров любого ранга над V с операцией тензорного умножения.
Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то
есть раздел, занимающийся тензорами, определёнными над одним линейным
пространством, в отличие от тензорного анализа, занимающегося тензорными полями,
заданными на касательном расслоении многообразия и дифференциальными
соотношениями для этих полей).
1. Определение
Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k
определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз:
Таким образом, TkV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T0V — это
основное поле K (одномерное векторное пространство над собой).
Определим T(V) как прямую сумму TkV для всех k = 0,1,2,…
Умножение в T(V) определяется задаваемым тензорным произведением каноническим
изоморфизмом:
который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает
тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру.
2. Функториальность
Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Тензорная
алгебра является наиболее общей алгеброй пространства V, то есть любое линейное
отображение
пространства V в алгебру A над K может быть продолжено
единственным образом до гомоморфизма
коммутативной диаграммой:
. Это утверждение выражается
где i — каноническое вложение V в T(V). Тензорную алгебру можно определить как
единственную (с точностью до изоморфизма) алгебру, обладающую таким свойством,
хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует.
Таким образом, тензорная алгебра функториальна, то есть T — это функтор из категории
K-Vect векторных пространств над K в категорию K-Alg K-алгебр.
3. Некоммутативные многочлены
Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как
алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. Базисным векторам V
соответствуют некоммутативные переменные, причем их умножение будет
ассоциативным, дистрибутивным и K-линейным.
Заметим, что алгебра многочленов над V — это не T(V), а T(V * ): однородная линейная
функция на V является элементом сопряженного пространства V * .
4. Факторалгебры
В силу общности тензорной алгебры многие другие важные алгебры пространства V
можно получить, накладывая определенные ограничения на образующие элементы
тензорной алгебры, то есть строя факторалгебры от T(V). Например, так можно построить
внешнюю алгебру, симметрическую алгебру и алгебру Клиффорда.
5. Вариации и обобщения
Конструкция тензорной алгебры над линейным пространством естественно обобщается до
тензорной алгебры над модулем M над коммутативным кольцом. Если R —
некоммутативное кольцо, можно построить тензорное произведение для любых Rбимодулей над M. Для обычных R-модулей оказывается невозможным построить кратное
тензорное произведение.