Е.А.Коломыцева ARG-деформации поверхностей в римановом

Е. А. К о л о м ы ц е в а (Таганрог, ТГПИ). ARG-деформации поверхностей в римановом пространстве.
Пусть R3 — трехмерное риманово пространство с координатами y β (β = 1, 2, 3)
и метрикой ds2 = aβγ dy β dy γ , где aβγ ∈ C 2,α , 0 < α < 1. Пусть далее F02 —
поверхность положительной внешней кривизны в R3 , заданная уравнениями y β =
f β (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ D, где f β ∈ C 3,α , 0 < α < 1. Будем считать, что край ∂F02
принадлежит классу C 2,α , 0 < α < 1.
Рассмотрим бесконечно малую деформацию поверхности F02 , переводящую ее в
поверхность Fε2 , заданную уравнениями yεβ = f β (x1 , x2 ) + εz β (x1 , x2 ), где ε — малый
параметр, ε ∈ {−ε0 , ε0 }, ε0 > 0, z β — тензорное поле смещения точек поверхности
F02 при ее деформации.
Бесконечно малую деформацию {Fε2 } поверхности F0β называют ARGдеформацией [1], если выполняются условия:
а) вариация δ(dσ) элемента площади dσ поверхности F02 удовлетворяет соотношению δ(dσ) = 2λHcdσ, где λ — заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, H > 0 — средняя кривизна поверхности F02 , c = aβγ z β nγ — нормальная
компонента тензорного поля z β , nβ — поле единичных векторов нормали к поверхности F02 ;
б) для любой точки поверхности F0β ее единичный вектор нормали nβ , параллельно перенесенный в R3 в смысле Леви–Чивита в направлении тензора z β в соот2
ветствующую точку поверхности Fε2 , совпадает с вектором нормали nβ
ε к Fε в этой
точке.
Зададим на краю поверхности F02 отличное от нуля векторное поле lβ класса
C 1,α , 0 < α < 1. Будем рассматривать бесконечно малые ARG-деформации поверхности F02 , подчиненные на краю ∂F02 условию aβγ lβ z γ = 0. Это условие назовем
условием обобщенной втулочной связи.
Будем говорить, что поверхность F02 является λ-жесткой в отношении ARGдеформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности λ поверхность допускает только тождественные ARG-деформации с полем смещения z β ≡ 0, в противном
случае поверхность будем называть λ-нежесткой.
Теорема. Пусть F02 — односвязная поверхность положительной внешней
кривизны в римановом пространстве R3 . Пусть далее касательная составляющая lτβ векторного поля lβ вдоль края ∂F02 сопряжена с направлением края ∂F02
β
поверхности F02 , aβγ lβ z γ 6= 0, и нормальная составляющая ln
векторного поля lβ
β
3
β
3
представима в виде ln = l n , где l < 0. Тогда при всех λ0 , за исключением точно
счетного числа значений λi , i = 1, 2, . . . , таких , что λi > −1, λi → ∞ при i → ∞,
поверхность F02 при условии обобщенной втулочной связи является λ-жесткой в
отношении ARG-деформаций с полем z β класса C 1,α , 0 < α < 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fomenko V. T. ARG-deformations of a hypersurface with a boundary in a Riemannian space. — Tensor, 1993, v. 54.