activ-elems-resalloc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
М.Х. Прилуцкий
К.И. Дикарев
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ В МНОГОУРОВНЕВЫХ
ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК
для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки
090403 «Прикладная информатика»
Нижний Новгород
2014
УДК 519.85
П-76
П-76 Прилуцкий М.Х., Дикарев К.И. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ В
МНОГОУРОВНЕВЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С АКТИВНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород:
Нижегородский госуниверситет, 2014. – 26с.
Рецензент: д. т. н., профессор Федосенко Ю.С.
В учебно-методическом пособии рассматриваются задачи распределения
ресурсов в многоуровневых иерархических системах, которые формализуются
как задачи математического программирования. Приводятся примеры
указанных задач, строится общая математическая модель, которая адаптируется
для случаев конкретных технических систем топливно-энергетического и
производственного комплексов. Описана математическая постановка задач
оптимизации и диалоговая программная система, реализующая алгоритмы их
решения. В качестве примера рассмотрена задача поиска оптимального режима
компрессорного цеха газотранспортного предприятия.
Пособие предназначено для студентов факультета ВМК направления
подготовки «Прикладная информатика», изучающих курс «Теория систем и
системный анализ».
Ответственный за выпуск:
зам. председателя методической комиссии факультета ВМК ННГУ,
к.т.н., доцент В.М. Сморкалова
УДК 519.85
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2014
©Прилуцкий М.Х., Дикарев К.И.
Содержание
1. Содержательная постановка задач распределения ресурсов в многоуровневых иерархических системах с
активными элементами ............................................................................................................................................... 4
1.1. Общая проблема оптимального распределения ресурсов в иерархических системах с активными
элементами .................................................................................................................................................................... 4
1.2. Задачи оптимального согласования входных и выходных параметров для участка газотранспортной
системы .......................................................................................................................................................................... 5
1.3. Задачи поиска оптимальных режимов функционирования производственной системы с многорежимным
оборудованием .............................................................................................................................................................. 6
2. Математические модели распределения ресурсов в иерархических системах с активными элементами ....... 7
2.1. Общая математическая модель ............................................................................................................................. 7
2.1.1. Исходные параметры математической модели ............................................................................................ 7
2.1.2. Варьируемые параметры математической модели ...................................................................................... 8
2.1.3. Ограничения математической модели .......................................................................................................... 9
2.2. Математическая модель транспорта природного газа в газотранспортных системах .................................... 9
2.2.1. Варьируемые параметры математической модели ...................................................................................... 9
2.2.2. Варьируемые параметры математической модели .................................................................................... 10
2.2.3. Ограничения математической модели ........................................................................................................ 11
2.3. Математическая модель функционирования производственной системы с многорежимным
оборудованием ............................................................................................................................................................ 11
2.3.1. Исходные параметры математической модели .......................................................................................... 11
2.3.2. Варьируемые параметры математической модели .................................................................................... 13
2.3.3. Ограничения математической модели ........................................................................................................ 14
3. Постановка оптимизационных задач .................................................................................................................... 15
3.1. Общая постановка задачи оптимального распределения ресурсов в иерархических системах ................... 15
3.2. Постановка задачи оптимизации режимов транспорта природного газа ....................................................... 16
3.3. Постановка задачи поиска оптимальных режимов функционирования для производственной системы ... 17
4. Алгоритмы решения оптимизационных задач ..................................................................................................... 18
4.1. Алгоритм решения оптимизационной задачи для отдельного активного элемента газотранспортной
системы ........................................................................................................................................................................ 19
4.2. Алгоритм решения задачи оптимального планирования работы для производственной системы с
многорежимным оборудованием .............................................................................................................................. 20
5. Пример оптимизации для активного элемента газотранспортной системы ...................................................... 22
6. Диалоговая программная система ......................................................................................................................... 23
Литература................................................................................................................................................................... 25
3
1. Содержательная постановка задач распределения ресурсов
в многоуровневых иерархических системах с активными
элементами
Существует широкий класс прикладных задач, формализация которых
приводит к задачам оптимального распределения ограниченных ресурсов в
рамках иерархических систем и структур. Типичными примерами являются
задачи оптимального согласования входов и выходов газотранспортных систем
по критерию минимизации финансовых затрат, а также задачи поиска
оптимальных режимов работы производственных систем с многорежимным
оборудованием.
1.1. Общая проблема оптимального распределения ресурсов в
иерархических системах с активными элементами
Пусть имеется многоуровневая иерархическая система, содержащая
активные и пассивные элементы. «Иерархичность» системы выражается в том,
что между элементами системы имеются связи, благодаря которым она может
быть представлена в виде графа, в котором для каждого элемента имеется
предшествующие ему и последующие для него элементы. «Многоуровневость»
системы выражается в том, что каждый ее элемент является агрегированной
единицей, и представляет собой также иерархическую систему, которая может
быть легко включена в структуру исходной системы.
Некоторые из элементов системы являются входными и выходными. Под
ними подразумеваются элементы, которые не имеют предшествующих
элементов и последующих элементов соответственно.
Задачей системы в целом является распределение некоторого
ограниченного ресурса, то есть получение регламентированного количества
ограниченного ресурса на ее выходных элементах в заданный период работы.
На выходных элементах системы регламентируются количества ограниченного
ресурса, которые система должна обеспечить в соответствии со своим
назначением. На входных элементах системы заданы доступные значения
распределяемого ограниченного ресурса.
Активные элементы системы имеют вход, выход, а также могут получать
извне управляющее воздействие. Элемент преобразует ресурс на своем входе
для реализации заданного количества ресурса на выходе. Количество ресурса
на выходе активного элемента, и стоимость реализации данного режима
являются функцией подаваемого на активный элемент управляющего
воздействия.
Пассивные элементы системы имеют вход и выход. Пассивный элемент
реализует ресурс на своем входе для обеспечения заданного количества ресурса
на выходе, как и в случае активного элемента. При этом, значение количества
4
распределяемого ресурса на выходе пассивного элемента является функцией
только внутренних параметров, и не зависит от каких-либо внешних
управлений.
Все значения распределяемого системой ограниченного ресурса на
входах и выходах пассивных и активных элементов, могут иметь интервальные
ограничения, связанные с техническими особенностями реальных аппаратов и
машин, моделируемых данными элементами.
При описанных условиях требуется определить такую стратегию
управления активными элементами системы, чтобы она обеспечивала
требуемые количества распределяемого ограниченного ресурса на всех своих
выходах, при соблюдении ограничений на значения ресурса как на входах и
выходах системы, так и на входах и выходах каждого ее элемента. При этом
суммарные стоимости реализованных режимов активных элементов должны
быть минимальными.
1.2. Задачи оптимального согласования входных и выходных
параметров для участка газотранспортной системы
Газотранспортная система представляет собой набор линейных частей
магистральных газопроводов, разделенных компримирующими мощностями.
Линейные части представляют собой протяженные (до 150 км) участки,
состоящие обычно из нескольких параллельных трубных ниток,
прокладываемых в одном коридоре.
Компримирующие мощности представляют собой компрессорные
станции, в которых организовано компримирование (то есть политропное
сжатие) газа до нужного давления в компрессорных газоперекачивающих
агрегатах (ГПА). Компримирование газа в рамках компрессорных станций
выполняется компрессорными цехами, каждый из которых «обслуживает» одну
из ниток газотранспортной системы. В цехе поток газа, разделяется на
несколько параллельных потоков, каждый из которых компримируется
отдельным газоперекачивающим агрегатом, или группой агрегатов. Рабочее
колесо ГПА вращается через вал посредством газотурбинного или
электрического привода, с возможностью регулирования частоты и,
соответственно, изменения количества потребляемой энергии.
Температура газа повышается при политропном сжатии в центробежных
нагнетателях, и далее снова понижается при прохождении АВО и
магистральных газопроводов.
На входах разветвленной газотранспортной системы известны
коммерческий расход, температура, давление, относительная плотность
(концентрация), и теплотворная способность газа. На выходах задаются
значения коммерческого расхода газа, и значения давления газа, определяемые
контрактными
обязательствами.
Варьируемыми
параметрами,
или
допустимыми
управлениями
для
обеспечения
нужного
режима
5
функционирования газотранспортной сети являются значения частот вращения
валов нагнетателей газоперекачивающих агрегатов.
Задача согласования параметров для участков газотранспортной системы
состоит в нахождении для всех газоперекачивающих агрегатов таких значений
частоты вращения валов, чтобы были согласованы заданные значения
параметров газа на входах и выходах сети, то есть, чтобы при заданных
параметрах транспортируемого газа, на выходах получались их требуемые
значения. При этом суммарные затраты, включающие затраты топливного газа
для всех турбинных приводов газоперекачивающих агрегатов, и затраты на
эксплуатацию объектов газотранспортной сети, должны быть минимальны.
В случае газотранспортных систем роль активных элементов играют
компрессорные станции, а пассивные элементы – это линейные участки сети,
без компримирующих мощностей.
1.3. Задачи поиска оптимальных режимов функционирования
производственной системы с многорежимным оборудованием
Предположим, что производственная система представляет собой
совокупность производственных единиц, или элементов, расположенных в
определенной последовательности, и соединенных между собой линиями
транспортировки полуфабрикатной продукции заданной связности. При этом
полная производственная система имеет единственный входной элемент, через
который исходное сырье поступает в систему, и единственный выходной
элемент, через который законченное изделие покидает систему.
Производственные единицы системы, в качестве которых выступают
агрегаты, станки, транспортировочные линии, подразделяются на активные и
пассивные элементы. Пассивные элементы выполняют переработку
полуфабрикатной продукции в заданное
время, затрачивая при этом
определенное количество производственных ресурсов. Активные элементы
позволяют реализовывать различные скорости переработки полуфабриката,
затрачивая при этом различное количество некоторого производственного
«ресурса». Режимы активных элементов реализуются посредством подачи на
элементы управляющих воздействий, например, изменением скорости
вращения валов, и т. п.
Готовое изделие на выходе системы должно быть произведено к
определенному времени. За отклонение от данного срока, причем как в сторону
его сокращения, так и в сторону увеличения, на предприятие накладываются
штрафные санкции, величина которых зависит от величины нарушенных
сроков.
Задача оптимального распределения производственных ресурсов состоит
в нахождении таких оптимальных управлений для всех активных элементов
системы, при применении которых штрафные санкции за нарушение
директивных сроков изготовления изделия, а также суммарные затраты
6
финансовых ресурсов на функционирование активных элементов принимают
минимальные значения.
В случае производственных систем роль активных элементов играет
многорежимное оборудование, а пассивные элементы – это линии
транспортировки полуфабрикатной продукции, а также оборудование,
реализующее один единственный режим.
2. Математические модели распределения ресурсов
иерархических системах с активными элементами
в
2.1. Общая математическая модель
Рассматривается совокупность элементов, которая определяет сетевую
иерархическую
систему
и
моделируется
связным
взвешенным
ориентированным графом без петель и контуров. Вершины графа определяют
элементы системы, а дуги – связи между ними. Веса графа соответствуют
характеристикам
вершин,
различаются
«входные»
и
«выходные»
характеристики. Для элементов системы применяются «управления» из
допустимой области, преобразующие входные характеристики в выходные с
определенными «затратами». В общем случае граф, моделирующий сложную
систему, может иметь вершины, полустепени исходов которых равны нулю
(«выходные» элементы), полустепени заходов и исходов большие или равные
единице («промежуточные элементы), полустепени заходов равны нулю
(«входные» элементы). Для каждого входного элемента и каждого выходного
элемента определены граничные условия, характеризующие функционирование
системы.
2.1.1. Исходные параметры математической модели
Пусть
G  (V , A) , A  V 2 – ориентированный граф без петель и
контуров, множество вершин V которого соответствует элементам системы,
множество дуг A – связям между ними; K (v) – множество элементов,
непосредственно предшествующих элементу v , Q(v) – множество элементов
непосредственно следующих за элементом v , v V ; V вх и V вых – множества
входных
и
выходных
V вых  v Q(v)  , v V ;
элементов,
V вх  v K (v)  , v V  ,
I – множество характеристик системы; U v
–
множество допустимых управлений для элемента v , v V ; wv – вектор,
определяющий значения характеристик на входе v -го элемента системы, v V ,
7
I
wv  R ; Wi v и Qi v - минимальные и максимальные возможные значения
характеристики i на входе v -го элемента системы, а H i v и Si v – минимальные
и максимальные возможные значения характеристики i на выходе v -го
элемента системы, 0  Wi v  Qvi , 0  H i v  S vi , i  I , v V ; q v – заданные
значения характеристик для входного элемента v, v V вх ; g v – заданные
I
I
значения характеристик для выходного элемента v, v V вх , q v  R , g v  R .
Введение множества допустимых управлений U v подразумевает, что
иерархическая система формализуется в виде совокупности активных V a и
пассивных V p элементов, V a  V , V p  V , V a V p  V , V a V p   .
Применение того или иного управления для активного элемента при заданных
входных параметрах по-разному реализует выходные параметры, с различными
затратами. Пассивные элементы автоматически преобразуют входные
параметры в выходные, и для них управления недопустимы.
2.1.2. Варьируемые параметры математической модели
Варьируемыми параметрами математической модели являются вектор
v
w , определяющий значения характеристик на входе v -го элемента системы,

I
v V , wv  R ; а также u v – вектор допустимых управлений, применяемых к
v
v
элементу v , u U , v V .
На основании введенных варьируемых параметров определим:
 ( wv , u  , ) вектор-функцию,
преобразующую
входные
характеристики элемента v в его выходные характеристики под воздействием
v
I
допустимых управлений u ,  ( wv , u  , )  R , причем  параметр, принимает
a
значение 1, если  V , и значение 0 – если  V p , u v U v , v V ;
f  ( ( ws , u s , ), s  K ()) – вектор-функцию, в соответствии с которой
вычисляются входные характеристики элемента v
по выходным
характеристикам всех элементов, непосредственно предшествующих v , v V ;
 ( wv , u v ) - функцию, определяющую затраты, которые получит система,
при применении к элементу v вектора допустимых управлений u v , u v U v ,
v V .
8
2.1.3. Ограничения математической модели
Интервальные ограничения для характеристик системы на входах элементов:
Wiv  wiv  Qiv , i  I , v V .
(2.1)
Заданные значения характеристик на входных элементах:
wv  q v , v V вх ;
(2.2)
Интервальные ограничения для характеристик на выходах элементов:
(2.3)
Hiv  i ( wiv , u  , )  Siv ,   0,1, i  I , v V ;
Заданные значения характеристик на выходных элементах:
 ( wv , u  , )  g v ,   0,1, v  (V вых
V p) ;
(2.4)
Соотношение баланса между входными характеристиками промежуточного
элемента системы и выходными характеристиками непосредственно
предшествующих ему элементов:
wv  f v ( ( ws , u s , ),   0,1, s  K ()), v  (V \ V вх ) .
(2.5)
Система ограничений (2.1)-(2.5) определяет общую математическую
модель распределения ресурсов в иерархических системах с активными
элементами. В силу произвольной структуры введенных функций, проверка
существования допустимого решения для построенной математической модели
относится к классу NP – трудных задач.
2.2. Математическая модель
газотранспортных системах
транспорта
природного
газа
в
На основе приведенной в п.2.1 математической модели строится частная
подмодель транспорта природного газа в газотранспортных системах. При
этом, в качестве активных элементов выступают компрессорные станции, а в
качестве пассивных элементов – линейные части магистральных газопроводов.
2.2.1. Варьируемые параметры математической модели
Для газотранспортной системы варьируемыми параметрами являются
вектор входных характеристик ее элемента wv , и вектор допустимых
управлений u v , определяемые следующим образом:
9



w v  Pvвх , Pvвых , J vвых , v V a ;
u v  (u1v , u2v ,..., u v
(v )
) , v V a .
Здесь Pvвх , Pvвых – входное и выходное давление газа для активного
элемента газотранспортной системы, соответственно; J vвых – выходной расход
газа для активного элемента газотранспортной системы; uiv – допустимое
управление (частота вращения вала цехового ГПА), i (v) ; (v) - множество
ГПА v -го компрессорного цеха, u v U v , v V a .
Используя введенные варьируемые параметры, в рамках общей модели
построена частная подмодель, описывающая функционирование участков
газотранспортных систем.
Частная модель конкретизирована для важного практического случая
отдельного активного элемента газотранспортной системы (компрессорного
цеха). Исходными параметрами указанной частной подмодели являются i  1, m
– номера групп газоперекачивающих агрегатов компрессорного цеха; j  1, n –
номера подинтервалов дискретизации возможных объемов перекачиваемого
газа для всех групп агрегатов; mi и mi – соответственно минимально
возможное и максимально допустимое число агрегатов i -ой группы, которое
может быть использовано, i  1, m ; J ij и J ij , – соответственно минимально
возможный и максимально допустимый коммерческий объем газа, который
может быть перекачен i -ым агрегатом, если производительность агрегата будет
соответствовать j -ому интервалу, 0  J ij  J ij , i  1, m , j  1, n ; aij и bij –
коэффициенты линейной функции, определяющей зависимость потребляемой
при функционировании агрегатов мощности от объема компримируемого газа;
J vвых – плановый коммерческий объем газа, который цех должен «перекачать».
2.2.2. Варьируемые параметры математической модели
Варьируемыми параметрами частной подмодели являются: xi количество агрегатов i -ой группы , которые работают в планируемом периоде
в компрессорном цехе, i  1, m ; yi - объем газа, который перекачивается
агрегатом i -ой группы, i  1, m ; zij  1 , если агрегат i -ой группы работает в j ом интервале допустимых объемов производительности, и zij  0 , в противном
случае, i  1, m , j  1, n .
На основе введенных параметров строится приведенная ниже
математическая модель функционирования отдельного компрессорного цеха.
10
2.2.3. Ограничения математической модели
Плановый объем газа для компрессорной станции должен быть выполнен:
m
вых
 xi yi  J v .
(2.6)
i 1
Ограничения по возможному количеству используемых агрегатов:
(2.7)
mi  xi  mi , i  1, m .
Ограничения на возможные объемы перекачиваемого газа для каждого
агрегата:
n
n


 zij J ij  yi   zij J ij , i  1, m .
j 1
(2.8)
j 1
Для каждого агрегата выбирается только один «рабочий» интервал
производительности:
n
 zij  1 , i  1, m .
(2.9)
j 1
Естественные условия на переменные:
xi  целые , i  1, m ;
zij 0,1 , i  1, m , j  1, n .
(2.10)
(2.11)
2.3. Математическая модель функционирования производственной
системы с многорежимным оборудованием
2.3.1. Исходные параметры математической модели
Рассмотрим конкретизацию математической модели распределения
ресурсов в иерархических системах (2.1)-(2.5) на случай системы производства
продукции с многорежимным оборудованием, в рамках которой ставится
бикритериальная задача оптимального распределения производственных
ресурсов по критериям минимизации затрат на выпуск продукции и
минимизации штрафных санкций за нарушение сроков ее изготовления. В
рассматриваемой модели роль активного элемента играет многорежимное
оборудование, выбор режима работы которого (управления активными
элементами) по-разному определяет характеристики этого элемента.
Не уменьшая общности (за счет введения фиктивных элементов) будем
считать, что рассматриваемая частная система имеет один единственный
11
 
входной и единственный выходной элементы V вх  V вых  1 ; V вх  v вх ,
 
V вых  vвых .
Пусть имеются две основные характеристики производственной системы:
время выполнения производственной операции tv и ресурсоемкость операции
Gv (например: нормо-часы, условные тонны, рубли), tv  R , v V . Таким
образом, получаем «двухресурсную» систему, для которой I  2 .
Рассмотрим элемент v , который определяет процесс выполнения
конкретной операции, v V . Тогда вектор, определяющий значения
характеристик на входе данного элемента, определяется следующим образом:


wv  tvinl , Gvinl , v V , wv  R 2 .
Здесь tvinl , Gvinl - значения соответственно суммарного времени
выполнения и суммарной ресурсоемкости всех операций, предшествующих
операции v , v V , причем tvinl  0 , если v  vвх .
Границы интервала ограничений для компонентов вектора wv для
рассматриваемой модели отсутствуют, т.е. Wi v  0 , Qiv   , i 1,2 , v V .
Вектор-функция
 ( wv , u v , ) , преобразующая значения компонент
вектора входных характеристик wv , в значения его выходных характеристик
при функционировании с интенсивностью u  U v , определяется следующим
образом:


 ( wv , u  , )  1v ( wv , u  , ), v2 ( wv , u  , ) , v V .
В этом выражении компоненты вектора выходных характеристик имеют
следующие значения:
 
1v ( wv , u  ,1)  w1v  v u  ,
1v ( wv , u  ,0)  w1v  t ,
v2 ( wv , u  , )  w2v  Gv ,  0,1 , v V .
  - время выполнения операции для активного элемента v ,
Здесь v u 
при условии, что операция выполняется с интенсивностью u  , u  U v , v V a .
Минимальная и максимальная границы интервала ограничений для
вектор-функции  ( wv , u  , ) , то есть H i v
технологических и организационных условий:
12
и
Si v ,
определяются
из
 
H1v  tvinl , S1v  D , H 2v  0 , S2v   Gv ,  V \ v вых , H1v
vV
S1v
вых
вых
 D  1 ,
 D  2 .
Здесь D - директивный срок окончания изготовления изделия (время
завершения выполнения работы v вых ), 1,  2 - величины возможного
отклонения времени завершения изготовления изделия от заданного
директивного срока.
Вектор-функцию, определяющую входные характеристики элемента v по
выходным характеристикам всех элементов, непосредственно ему
предшествующих, будем обозначать через

f  ( ( ws , u s , ), s  K ())  f1v ( ( ws , u s , ), s  K ()),
f 2v ( ( ws , u s , ), s  K ())
, где
f1v ( (ws , u s , ), s  K ())  max (1s ( ws , u s , )) ;
sK ()
f 2v ( ( ws , u s , ), s  K ()) 
2s ( ws , u s , ) Q(s)  , v V .

sK ()

Заданные значения характеристик для входного элемента vвх принимают
для рассматриваемой «двухресурсной» системы следующие значения:
q вх   0, 0  . (Предполагается, что значения времени выполнения операций и
ресурсоемкость операций на входе в систему имеют нулевые значения).
Заданные значения характеристик для выходного элемента v  vвых
принимают для рассматриваемой системы следующие значения:


g вых   D  1,2 ,  Gv  .
(2.12)
vV


В ограничении (2.12) предполагается, что время выполнения операций на
выходе системы должно принимать значение из интервала  D  1, D   2  , а
ресурсоемкость операций на выходе системы принимает значение, равное
суммарной ресурсоемкости всех операций производственной системы.
2.3.2. Варьируемые параметры математической модели
Варьируемыми параметрами математической модели являются вектор
v
w , определяющий значения характеристик на входе v -го элемента системы,
v V a , wv  R 2 ; а также u v – допустимое управление, применяемое к элементу
v , и определяющее режим функционирования оборудования (интенсивность
потребления ресурса), u v U v , v V a .
13

Таким образом, при конкретизации введенных обозначений, общая
математическая модель (2.1)-(2.5) преобразуется в приведенную ниже частную
подмодель, формализующую проблему функционирования производственной
системы с многорежимным оборудованием в качестве активных элементов.
2.3.3. Ограничения математической модели
Вектор входных характеристик для элемента системы


wv  tvinl , Gvinl , v V , wv  R 2 ;
(2.13)
Вектор выходных характеристик для элемента системы


 ( wv , u  , )  1v ( wv , u  , ), v2 ( wv , u  , ) ,  0,1 , v V ;
(2.14)
Первый компонент вектора выходных характеристик для активного элемента
системы
 
1v ( wv , u  ,1)  w1v  v u  , v V a ;
(2.15)
Первый компонент вектора выходных характеристик для пассивного
элемента системы
1v ( wv , u  ,0)  w1v  tv , v V p ;
(2.16)
Второй компонент вектора выходных характеристик для элемента системы
(2.17)
v2 ( wv , u  , )  w2v  Gv ,  0,1 , v V ;
Ограничения на первый компонент вектора выходных характеристик для
элемента системы
tvinl  1v ( wv , u  , )  D ,  0,1 , v V ;
(2.18)
Ограничения на второй компонент вектора выходных характеристик для
элемента системы
0  v2 ( wv , u  , )   Gv ,  0,1 , v V ;
(2.19)
vV
Заданные значения характеристик на входных элементах системы
q вх   0, 0  ;
(2.20)
Заданные значения характеристик на выходных элементах системы


g вых   D  1,2 ,  Gv  ;
(2.21)
vV


Условия баланса между входами и выходами элементов системы

s s s
f  ( ( ws , u s , ), s  K ())   max 1s ( ws , u s , )  ,
 2 ( w , u , ) Q( s)
 sK () 
 sK ()

,
 0,1 , v V .
(2.22)

14





Система
ограничений
(2.13)-(2.22)
определяет
двухресурсную
иерархическую математическую модель с активными элементами. Нетрудно
предложить эффективную схему проверки совместности системы ограничений,
определяющей построенную математическую модель. Определим времена
выполнения операций в предположении, что для всех активных элементов
соответствующие им операции выполняются с максимально возможной
интенсивностью, т.е. операции выполняются за минимально возможное время.
При этих условиях для системы возможны следующие ситуации:
вых
вых
вых
вых
вых
вых
вых
вых
вых
1.
1v (wv , u  , )   D  1, D  2  – тогда система ограничений
(2.13)-(2.22) – является совместной;
2.
1v ( wv , u  , )  D   2 – тогда система ограничений (2.13)(2.22) – является несовместной;
1v ( wv , u  , )  D  1 – тогда,
3.
 если при заданных минимальных интенсивностях для активных
элементов (когда времена выполнения операций максимальные)
вых
вых
вых
1v ( wv , u  , )  D  1 , то система несовместна, (ситуация
3.1),
 в противном случае – система (2.13)-(2.22) – совместна, (ситуация
3.2).
Следует отметить, что в приведенной выше частной подмодели,
распределяемая в производственной системе характеристика ресурсоемкости
операций Gv , v V не является функцией управлений активных элементов
системы, и постоянна для каждой операции. Вследствие этого, неизменной
является и суммарная ресурсоемкость изделия,  Gv . Распределение
vV
ресурсоемкости в системе дает возможность в каждый период
функционирования отображать текущий процент готовности изделия, который
характеризуется диапазоном изменения ресурсоемкости от 0 (нет выполненных
работ), до  Gv (выполнены все работы).
vV
3. Постановка оптимизационных задач
3.1. Общая постановка задачи оптимального распределения ресурсов
в иерархических системах
Общая постановка задачи оптимального распределения ресурсов в
иерархических системах с активными элементами на основе общей
математической модели, приведенной в п. 2.1, заключается в нахождении
15
стратегии управления активными элементами системы, обеспечивающей
согласование параметров элементов системы с минимальным значением
функции затрат на управления. Критерий в задаче оптимального согласования
запишется таким образом:
  
  ( w , u )  min .
vV
(3.1)
a
Здесь  ( wv , u v ) - функция затрат системы, в случае применения для
активного элемента системы v заданных допустимых управлений u  , v V a .
3.2. Постановка
природного газа
задачи
оптимизации
режимов
транспорта
В случае оптимизации режимов газотранспортных систем, описываемых
математической моделью п. 2.2, функция  ( w , u  ) , определяющая затраты
элемента указанной системы v , учитывает как затраты, связанные с
эксплуатационным обслуживанием элемента, так и затраты, связанные с
расходом топливного газа на функционирование приводов нагнетателей ГПА:
v
v
 ( wv , u v )  Rэксп
 Rтоп
, u v U v , v V a .
v
Здесь Rэксп
- затраты, связанные с эксплуатационным обслуживанием
компрессорного цеха газотранспортного предприятия, представляемого
активным элементом v V a ;
v
Rтоп
- затраты, связанные с расходом топливного газа на
функционирование приводов нагнетателей в рамках рассматриваемого
компрессорного цеха, представляемого активным элементом v , v V a .
При этом эксплуатационная составляющая затрат в соотношении для
функции затрат не зависит от применяемых управлений, и может быть
исключена из рассмотрения.
Принимая во внимание тот факт, что расход топливного газа является
линейной функцией потребляемой на валах газоперекачивающих агрегатов
мощности, функцию затрат можно переписать в терминах мощности, которую
необходимо минимизировать. Также учитывая, что потребляемая на валах
нагнетателей мощность слабо зависит от входного и выходного давлений,
соотношение для функции затрат можно переписать в следующем виде:
 ( wv , u v ) 
v v
 Ni (u ) ,
i ( )
где Niv (u v ) - значение мощности, потребляемой на валу
нагнетателя, i (v) ;
16
i -ого
(v) - множество агрегатов v -го компрессорного цеха, u v U v , v V a .
В качестве критерия оптимальности используются условия минимизации
объема топливного газа, затрачиваемого на работу турбинных приводов всех
функционирующих газоперекачивающих агрегатов компрессорной станции.
Так как объем потребляемого топливного газа является линейной функцией от
мощности, потребляемой на валу нагнетателя газоперекачивающего агрегата,
то суммарная мощность, потребляемая при работе всех агрегатов
компрессорного цеха должна иметь минимальное значение:
v v
 Ni (u )  min .
i ( )
Для случая отдельного активного элемента газотранспортной системы
(описываемого моделью (2.6)-(2.11)) задача выражается в нахождении таких
значений варьируемых переменных, чтобы суммарная потребляемая мощность
для всех ГПА в цехе была минимальной:

i 1 j 1
m n

F  x , y, Z     aij yi  bij zij xi  min .
3.3.
Постановка
задачи
поиска
оптимальных
функционирования для производственной системы
(3.2)
режимов
Задача представляет собой проблему поиска стратегии управления
производственной системой с активными элементами, которая описывается
математической моделью (2.13)-(2.22). Под такой стратегией понимается
функция () ,  V a , со значениями из множества управлений U  ,
определяющая для каждого активного элемента «интенсивность», с которой
будет выполняться соответствующая операция, связанная с данным элементом.
Пусть S - множество всех возможных стратегий. Задача ставится как
бикритериальная проблема минимизации компонент вектора-функции
((), D)  (1((), D), 2 ((), D)) по всевозможным стратегиям () ,  V a ,
из множества S :
1((), D)  min , 2 ((), D)  min .
(3.3)
Здесь D – директивный срок окончания изготовления изделия;
1((), D) – функция, определяющая штрафные санкции, связанные с
возможными нарушениями директивного срока D ; 2 ((), D ) – функция,
определяющая суммарные затраты на функционирование активных элементов
системы.
17
4. Алгоритмы решения оптимизационных задач
Алгоритм решения оптимизационной задачи в общей постановке
представляет собой стратегию фронтального протягивания характеристик от
входных элементов системы до ее выходных элементов, с учетом налагаемых
на характеристики интервальных ограничений математической модели (2.1)(2.5).
Алгоритм
позволяет
определять
квазиоптимальные
режимы
функционирования иерархической системы с активными элементами, для
которых находятся управления с оценкой получаемого решения по суммарным
потребляемым затратам на работу активных элементов.
Содержательно алгоритм фронтального протягивания основывается на
последовательном «продвижении» характеристик системы, заданных на ее
входных элементах, через все элементы системы – к выходным элементам. В
рамках каждого отдельного элемента протягивание заключается в
преобразовании характеристик на его входе – в характеристики на выходе при
помощи функции  ( wv , u  , ) элемента v V , сопровождающемся проверкой
на удовлетворение заданным диапазонам допустимых значений. При выходе
значений протягиваемых характеристик за пределы заданных диапазонов
выполняется их корректировка, сводящаяся к дихотомическому поиску
управлений, обеспечивающих допустимые значения характеристик, либо к
возврату на предыдущие элементы системы, для выполнения аналогичных
операций.
Протягивание выполняется последовательно за конечное количество
шагов, на каждом из которых рассматривается преобразование
распределяемого ресурса только в тех элементах системы, которые отстоят на
одно и то же число уровней от входных элементов (они составляют «фронт
протягивания» на текущем шаге).
В случае, когда на текущем шаге фронта рассматривается несколько
элементов, имеющих один общий предшествующий элемент на предыдущем
шаге фронта, выходные характеристики указанного (предшествующего)
элемента распределяются между текущими элементами равномерно. В случае
нарушения характеристиками одного или нескольких элементов текущей
группы своих интервальных ограничений для данных элементов определяются
предельно допустимые режимы, а соответствующие неувязки характеристик
распределяются равномерно между остальными элементами текущей группы,
для которых характеристики не находятся на границе допустимых интервалов.
В случае получения в рамках указанной группы новых элементов с выходом
значений характеристик за пределы допустимых интервалов описанная
процедура циклически повторяется.
Алгоритм циклически повторяется для всех элементов иерархической
системы с учетом возможного применения процедуры дихотомии по
интервалам допустимых управлений элементов V вх при условии, что для
18
каждого элемента системы v ,  V a , величина затрат на их функционирование
( wv , u v ) , является непрерывной монотонно возрастающей функцией,
определенной на непрерывной области допустимых управлений элемента.
4.1. Алгоритм решения оптимизационной задачи для отдельного
активного элемента газотранспортной системы
Рассмотрим конкретизацию алгоритма решения общей задачи на случай
отдельного активного элемента газотранспортной системы – компрессорного
цеха [1].
При решении подобной задачи (2.6) – (2.11), (3.2) для компрессорного
цеха необходимо учитывать функциональную зависимость, связывающую
потребляемую приводом газоперекачивающего агрегата мощность с
коммерческим расходом перекачиваемого газа при условии, что все прочие
параметры фиксированы. Решение поставленной задачи определяет, какие
газоперекачивающие агрегаты и с какой производительностью должны
работать в каждом компрессорном цехе. Такая задача относится к классу NPтрудных, для которых не существует точных алгоритмов, в общем случае
отличных от полного перебора. Анализ значений параметров реальных
компрессорных станций показывает, что для решения таких задач, учитывая
современное состояния средств вычислительной техники, можно находить
точные решения, используя приведенный ниже переборный алгоритм.
Для решения поставленной задачи необходимо проверить на
m
совместность N  2m  nm   (mi  mi  1) наборов, и из совместных наборов
i 1
выбрать тот, на котором достигается минимальное значение критерия (3.2).
Здесь n – число интервалов, на которое мы разбиваем значения коммерческого
объема газа между минимально возможным и максимально допустимым, m –
число различных групп агрегатов. Пусть k1, k2 ,..., km – произвольный
допустимый набор, где ki – количество агрегатов i -ой группы, которые будут
использованы в планируемом периоде, i  1, m . Тогда для этого набора решаем
следующую задачу:
m
вых
 ki  yi  J
;
(4.1)
i 1
n
n


 zij  J ij  yi   zij  J ij , i  1, m ;
(4.2)
j 1
j 1
19
n
 zij  1, i  1, m ;
(4.3)
j 1
zij {0,1}, i  1, m,
j  1, n ;
(4.4)
m n
F ( y, Z )    (aij  yi  bij ) zij ki  min .
(4.5)
i 1 j 1
Эту задачу предлагается решать перебором всевозможных наборов
значений
z ij {0,1}, i  1, m,
наборов будет
j  1, n . Количество таких различных
равно n m . Т.е. необходимо решить n m задач линейного
программирования с номерами s  1,2...nm , следующего вида:
m
m
вых


 ki  yi  J
, J ijs  yi  J ij , i  1, m. F ( y)  (  aijs yi  bijs )k i  min.
s
i 1
i 1
(4.6)
Для решения каждой такой задачи достаточно рассмотреть 2m точек,
"подозрительных" на допустимость, для каждой точки проверить ее на
допустимость (подставив значения координат точки в уравнение баланса
m
вых
 ki  yi  J
), и среди допустимых точек найти точку с минимальным
i 1
значением критерия.
4.2. Алгоритм решения задачи оптимального планирования работы
для производственной системы с многорежимным оборудованием
Рассмотрим конкретизацию алгоритма решения общей задачи на случай
оптимального планирования работы для производственной системы [3].
Будем предполагать, что математическая модель (2.13)-(2.22),
формализующая рассматриваемую производственную систему, совместна, т.е.
имеют место ситуации 1 или 3.2 (см. Раздел 2.3). Для рассматриваемых
производственных систем первичными
являются условия, связанные с
выполнением директивного срока изготовления изделия, т.к. эти условия
относятся к «внешним» условиям системы и определяются на основе
заключенных
договоров.
Ввиду
сказанного
здесь
предлагается
лексикографическая схема свертки поставленной бикритериальной задачи
(2.13)-(2.22), (3.3), которая заключается в последовательном решении двух
оптимизационных задач.
20
Задача 1 – поиск стратегии 0 ( ) , для которой выполняются условия
(2.13)-(2.22), и минимизируется функционал 1( ( ), D) ;
Задача 2 – реализация стратегии, для которой выполняются условия
1( ( ), D)  1(0 ( ), D) ,
(2.13)-(2.22),
дополнительное
условие
и
минимизируется функционал 2 ( ( ), D) .
Алгоритм решения задачи 1
Определим минимально возможные длительности выполнения активных
операций (максимальные интенсивности). Пусть имеет место:

вых
1(0 ( ), D)   (

вых
вых
ситуация 1 из Раздела 2.3 и 1v ( wv , u ,1)  D , тогда задача 1
решена, стратегия 0 ( ) определяется максимальными интенсивностями
для всех активных элементов, и значение критерия определяется как
1v
вых
( wv
вых
, u
D
вых
,1)  D
вых
 100) ;
вых
вых
ситуация 1 из Раздела 2.3 и 1v ( wv , u ,1)  D , тогда определим
максимально возможные длительности выполнения активных операций,
вых
вых
вых

и, если 1v ( wv , u ,1)  D , тогда задача 1 решена, стратегия 0 ( )
находится при условиях, что значение критерия 1(0 ( ), D)  0 ;
ситуация 3.2. из Раздела 2.3 и при максимально возможных

длительностях операций выполняется 1v ( wv , u ,1)  D , тогда
задача 1 решена, стратегия 0 ( ) находится при условиях, что значение
критерия 1(0 ( ), D)  0 ;
ситуация 3.2. из Раздела 2.3 и при максимально возможных
вых
вых
вых
вых
вых
вых
длительностях операций выполняется 1v ( wv , u ,1)  D , тогда
задача 1 решена, стратегия 0 ( ) находится при условиях, что значение
критерия 1(0 ( ), D)   (
D  1v
вых
вых
( wv
D
, u
вых
,1)
 100) .
Алгоритм решения задачи 2
Алгоритм решения задачи 2 основан на расчете временных характеристик
сетевых графиков, соответствующих рассматриваемой сетевой модели.
Рассчитаем временные характеристики сетевого графика, соответствующего
оптимальной стратегии, найденной при решении задачи 1. Для операций с
нулевыми резервами времени (операции критического пути) сохраним
интенсивности, определяемые найденной оптимальной стратегией. Для каждой
операции с ненулевым резервом времени выберем интенсивность так, чтобы
затраты на ее использование были минимальны из возможных интенсивностей,
при которых длительность выполнения операции не увеличится более, чем на
21
величину критического пути. Найденная стратегия и определяет оптимальное
решение поставленной задачи.
5. Пример оптимизации
газотранспортной системы
для
активного
элемента
Рассмотрим конкретный пример, параметры которого соответствуют
реальному компрессорному цеху [1]. В компрессорном цехе функционируют 5
полнонапорных газоперекачивающих агрегатов: с двумя центробежными
нагнетателями типа PCL-1002 , и с тремя нагнетателями типа 235-21-1.
Характеристики нагнетателей каждого типа достаточно близки, поэтому число
групп газоперекачивающих агрегатов для рассматриваемого компрессорного
цеха будет m  2 . Давление на входе компрессорного цеха составляет
Pvвх  5,472
Pvвых  7,114
МПа. Требуемое выходное давление для цеха составляет
МПа. Известно также, что
компрессорный цех должен
«перекачивать» газ в количестве, равном J вых  90 млн. м3/сут. Для
рассматриваемого примера примем число интервалов для диапазона расходов
n  5 . Ограничения по возможному количеству использованных агрегатов для
каждой группы следующие: m1  0 , m2  0 , m1  2 , m2  3 .
Тогда для решения задачи необходимо проверить на совместность
N  1200 вариантов, то есть выполнить 1200 проверок.
Построим все наборы, определяющие различные допустимые варианты
m
работы агрегатов. Их будет  (mi  mi  1)  (2  0  1)  (3  0  1)  12 . Это
i 1
наборы:
0-0, 0-1, 0-2, 0-3
1-0, 1-1, 1-2, 1-3
2-0, 2-1, 2-2, 2-3.
Для каждого набора со значениями k1  k2 решается задача (4.1)-(4.5).
Тогда минимальное значение функционала на допустимом решении задачи
среди всех 12-ти вариантов, определит оптимальное решение всей задачи.
Для нашего примера различных наборов значений zij будет nm  52  25 .
Таким образом, надо решить 25 задач линейного программирования (4.6)
с номерами s  1,2,...,25 .
Рассмотрим для примера допустимый набор k1  2 , k2  1.
Для газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями
типа PCL-1002/40 при заданных значениях давлений на входе и выходе цеха
допустимые значения коммерческих расходов газа лежат в интервале
[31.144;48.054] млн. м3/сут. Аналогично, при заданных значениях Pvвх и Pvвых
22
для агрегатов с нагнетателями типа 235-21-1 значения коммерческих расходов
транспортируемого газа лежат в интервале значений [13.15;28.29] млн. м3/сут.
Данным интервалам значений коммерческих расходов соответствуют интервал
рабочих частот вращения валов [3616;4073] об/мин для газоперекачивающих
агрегатов с центробежными нагнетателями типа PCL-1002/40, и [3945;5390]
об/мин для газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями
типа 235-21-1, соответственно. Вне указанных диапазонов для заданных
значений входного и выходного давлений находятся недопустимые рабочие
точки. Каждый из указанных интервалов дискретизируется на n  5
подинтервалов. Получаем следующую задачу линейного программирования
для одной из комбинаций интервалов:
2  y1  1  y2  90 ; 31,14  y1  35,71; 17, 42  y2  20,71;
F  y1, y2   2   332,776  y1  309,372    438,027  y2  1527,408  min .
Проверяем 22  4 точки на допустимость – подставляя их в первое
уравнение.
y1 =31,14, тогда y2 =27,72 (  20,71) – данная точка не является
допустимой,
y1 =35,71, тогда y2 =18,57 (  20,71) – получили первую допустимую
точку,
y2 =17,42, тогда y1 =36,29 (  35,71) – данная точка не является
допустимой,
y2 =20,71, тогда y1 =34,65 (  35,71) – получили вторую допустимую точку.
Для первой допустимой точки F  y1, y2   34047,175 , а для второй
допустимой точки F  y1, y2   34279,068 . Таким образом, лучшая для данного
варианта точка (35,71; 18,57).
6. Диалоговая программная система
Программная система реализована на объектно-ориентированном языке
MS Visual C# v.3.0 в среде программирования Microsoft Visual Studio, и должна
функционировать в среде .NET Framework v.3.0 под управлением операционной
системы MS WINDOWS XP SP2+.
В рамках диалоговой программной системы реализован алгоритм
решения задач оптимального согласования входных и выходных параметров
для иерархических систем по критерию минимизации затрат. Программная
система обладает дружественным и интуитивно-понятным интерфейсом для
определения топологии рассматриваемой иерархической системы, исходных
параметров и граничных условий. В ходе функционирования программная
23
система выводит пользователю всю необходимую информацию о ходе решения
оптимизационной задачи, и диагностические сообщения.
Главными особенностями программной системы являются:
 максимальное удобство задания и просмотра, как исходных
данных, так и результатов решения;
 возможность решения как задач оптимального согласования
входных и выходных параметров систем, так и задач
ситуационного анализа, оптимального проектирования и
модернизации фрагментов иерархических систем;
 генерация отчетов по результатам решения задач.
24
Литература
1.
Прилуцкий, М.Х. Оптимизационные задачи согласования
параметров для участков газотранспортной системы [Текст] / М.Х.
Прилуцкий, К.И. Дикарев // Системы Управления и Информационные
Технологии. – Воронеж: Научная книга, 2011 – № 3.1(45) – С.185-189.
2.
Прилуцкий, М.Х. Распределение ресурсов в иерархических
системах с активными элементами [Текст] / М.Х.Прилуцкий, К.И.
Дикарев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.
– Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. – № 5(2).
– С. 181-189.
3.
Прилуцкий, М.Х. Бикритериальная задача распределения ресурсов
в сетевых структурах с активными элементами [Текст] / М.Х.Прилуцкий,
К.И. Дикарев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.
Лобачевского. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета,
2012. – № 6. – С. 153-158.
4.
Дикарев,
К.И.
Математические
модели
распределения
материальных ресурсов в графовых системах заданной структуры [Текст]
/ К.И. Дикарев // Промышленные АСУ и контроллеры. – М.: Изд-во
«НАУЧТЕХЛИТИЗДАТ», 2012 – № 9– С.14-18.
5.
Прилуцкий, М.Х. Распределение ресурсов в многоуровневых
иерархических системах с активными элементами [Электронный ресурс] /
М.Х. Прилуцкий, К.И. Дикарев // Электронный журнал «Исследовано в
России». – 2012. – № 028. – С.377-402.
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2012/028.pdf
25
Михаил Хаимович Прилуцкий
Константин Игоревич Дикарев
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ В МНОГОУРОВНЕВЫХ
ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С АКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования «Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.