НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

Глава 3
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И
МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА
3.1. Число и вектор Фробениуса
Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли. Так, равновесный вектор национального дохода в модели
международной торговли является вектором Фробениуса структурной матрицы международного обмена. Кроме того, один из критериев продуктивности матрицы формулируется в терминах числа
Фробениуса.
Квадратная матрица A называется неотрицательной: A ≥ 0, если ее элементы неотрицательны. Если все элементы матрицы A поr
ложительны, то она называется положительной, A > 0. Вектор x
называется положительным (неотрицательным), если все его компоненты xi > 0 (соответственно, xi ≥ 0 ).
Теорема Фробениуса−Перрона. Для любой неотрицательной матрицы A ≥ 0 существует собственное значение λA ≥ 0
(называемое числом Фробениуса) такое, что λA ≥ λ для любого собственного значения λ матрицы A. Кроме того, суr
ществует неотрицательный собственный вектор x A ≥ 0, соответствующий собственному значению λ A и называемый
вектором Фробениуса. Причем, если A > 0, то λA > 0 и
r
x A > 0.
Примеры
r
1. Найти число λ A и вектор x A Фробениуса матрицы
⎛ 2 3⎞
A=⎜
⎟.
3
2
⎝
⎠
66
Решение.
Матрица A имеет два собственных значения: число Фробениуr
T
са λ A = 5, которому соответствует собственный вектор x A = t (1, 1)
(он является вектором Фробениуса для t > 0) и собственное значеr
T
ние λ2 = −1 с собственным вектором x = t ( −1, 1) (t ≠ 0). Очевидно,
что выполняется неравенство λ A > λ2 .
r
2. Пусть x > 0 − собственный вектор матрицы A ≥ 0. Доказать,
r
что вектор x является вектором Фробениуса.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку матрицы A и AT неотрицательны и имеют одни и те же собственные значения, то λ A число
r
Фробениуса для AT . Пусть p A − вектор Фробениуса матрицы AT ,
r
r
r
r
r
т.е. AT p A = λ A p A или pTA A = λA pTA . Вектор p A называется левым вектором Фробениуса матрицы A.
r
r
r
По условию x > 0 и Ax = α x. Умножим это равенство слева на
r
r
r
r r
r r
вектор pTA . Учитывая, что pTA A = λA pTA , имеем pTA Ax = λA pTA x или
r r
r r
r r
α pTA x = λA pTA x. Поскольку p AT x > 0 (хотя бы одно из неотрицательr r
ных слагаемых в сумме p AT x положительно), то λ A = α . А это и
r
означает, что x есть вектор Фробениуса.
3. Известно, что сумма элементов любой строки (любого
столбца) положительной матрицы A равна α . Найти число Фробениуса матрицы A.
Решение.
Пусть сумма элементов любой строки матрицы A равна α . Это
можно записать в виде матричного равенства
⎛ a11 K a1n ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ α ⎞
⎛1⎞
⎜ K K K ⎟⎜ K ⎟ = ⎜ K ⎟ = α ⎜ K ⎟ .
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ a K a ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ α ⎟
⎜1⎟
nn ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ n1
Следовательно, положительный вектор (1, K, 1) является собственным вектором матрицы A, принадлежащей собственному значению α . Поэтому оно является числом Фробениуса матрицы A.
67
Упражнения
95. Проверьте, что вектор (1; 2; 3) является собственным для матT
⎛0 1 1⎞
рицы A = ⎜⎜ 2 1 2 ⎟⎟ . Найдите ее число Фробениуса λA , вектор
⎜6 0 3⎟
⎝
⎠
r
Фробениуса x A .
96. Для данной матрицы A найдите число Фробениуса λA :
⎛1 2 4⎞
⎛ 2 1 1⎞
а) A = ⎜⎜ 7 0 0 ⎟⎟ ;
б) A = ⎜⎜ 1 4 1 ⎟⎟ ;
⎜ 2 2 3⎟
⎜ 2 0 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 3 0⎞
в) A = ⎜⎜ 3 1 0 ⎟⎟ .
⎜0 0 9⎟
⎝
⎠
97. Найдите число и вектор Фробениуса данной матрицы:
⎛ 3 1 0⎞
⎛1 1 0⎞
а) ⎜⎜ 0 3 1 ⎟⎟ ;
б) ⎜⎜ 1 1 0 ⎟⎟ ;
⎜ 0 0 3⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 2 4 0⎞
в) ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ;
⎜ 2 3 2⎟
⎝
⎠
г)
⎛ 2 4 0⎞
⎜ 0 1 4 ⎟.
⎜
⎟
⎜ 2 3 2⎟
⎝
⎠
3.2. Балансовые модели Леонтьева и
продуктивность
Балансовые модели и продуктивные матрицы давно и прочно
вошли в общепризнанный традиционный инструментарий экономического моделирования. Модель Леонтьева позволяет рассчитывать объемы валового выпуска по объему конечного потребления и
наоборот. Понятия продуктивности и ее запаса позволяют оценивать границы производственных возможностей сложившихся или
планируемых технологий. Модель равновесных цен позволяет, зная
величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на
68
продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в
отдельных отраслях.
Основные сведения
Балансовый анализ отвечает на следующий макроэкономический вопрос: каким должен быть валовой объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в выпускаемом продукте.
Пусть весь производственный сектор разбит на n отраслей, каждая из которых производит однородный продукт. Рассмотрим
матрицу Леонтьева
A = ( aij ) ,
где aij =
xij
xj
− стоимость продукции отрасли i, затрачиваемой на
производство 1 руб. продукции отрасли j , xij − объем продукции
отрасли i, используемой в отрасли j , x j − валовой выпуск отрасли
j. Обозначим
r
T
x = ( x1 , x2 , K, xn ) − вектор валового выпуска всех отраслей,
r
T
d = ( d1 , d 2 , K, d n ) − вектор конечного потребления.
Тогда уравнения межотраслевого баланса (уравнение Леонтьева) в матричной форме имеют вид:
r
r r
x = Ax + d .
потребления
r Зная матрицу Леонтьева A и объемы конечного
r
d , найдем планируемые объемы валового выпуска x всех отраслей
народного хозяйства. Если матрица ( E − A ) невырождена, то из
уравнения межотраслевого баланса получим
r
r
−1
x = ( E − A) d .
Матрица H = ( E − A ) называется матрицей коэффициентов
полных затрат. Таким образом, основной результат балансового
анализа можно представить в виде матричного равенства:
r
r
x = Hd ,
r
r
где d − вектор конечного потребления, x − вектор валового выпуска.
−1
69
Двойственной к модели Леонтьева является модель равновесных цен, описываемая равенством
ur
ur r
T
p = A p + v,
ur
T
где p = ( p1 ,…,pn ) − вектор цен ( pi − цена единицы продукции i -ой
r
T
отрасли), v = ( v1 ,…,vn ) − вектор норм добавленной стоимости.
Матрица A ≥ 0 называется продуктивной, если для любого векr
r
тора y ≥ 0 существует решение x ≥ 0 уравнения Леонтьева
r
r r
x = Ax + y.
Уравнение Леонтьева можно записать следующим образом:
r r
( E − A) x = y,
где E – единичная матрица. Если матрица ( E − A ) существует, то
r
−1 r
x = ( E − A ) y.
−1
Первый критерий продуктивности. Матрица A ≥ 0 продук−1
тивна тогда и только тогда, когда матрица ( E − A ) существует
и неотрицательна.
Второй критерий продуктивности. Неотрицательная квадратная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда ее
число Фробениуса меньше единицы.
Следствие. Если для неотрицательной матрицы A и некотоr
r
r r
рого положительного вектора y ∗ уравнение x = Ax + y * имеет неr
отрицательное решение x ∗ , то матрица A продуктивна.
Пусть A ≥ 0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности
матрицы A назовем такое число α > 0, что все матрицы λ A, где
1 < λ < 1 + α , продуктивны, а матрица (1 + α ) A непродуктивна.
Примеры
1. Пусть в двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева
⎛ 0,05 0, 40 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ 0,15 0,10 ⎠
r
T
и вектор конечного потребления d = ( 75; 30 ) .
а) Найти соответствующие объемы валового выпуска каждой
отрасли.
70
б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта первой отрасли. На сколько процентов должны измениться объемы
валового выпуска каждой отрасли?
Решение.
а) Находим последовательно
⎛ 0,95 −0, 40 ⎞
E−A=⎜
⎟,
⎝ −0,15 0,90 ⎠
H = ( E − A) =
−1
1 ⎛ 0,90 0, 40 ⎞
.
0,795 ⎜⎝ 0,15 0,95 ⎟⎠
Вектор валового выпуска находится по формуле:
r
r
1 ⎛ 0,90 0, 40 ⎞⎛ 75 ⎞ ⎛ 100 ⎞
x = Hd =
⎟=⎜
⎟.
0,795 ⎜⎝ 0,15 0,95 ⎟⎜
⎠⎝ 30 ⎠ ⎝ 50 ⎠
Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 100, второй − 50.
б) Решение в этом случае отличается лишь тем, что изменяется
вектор
r
T
d = (150; 30 ) .
Поэтому
r
r
x = Hd =
1 ⎛ 0,90 0, 40 ⎞⎛ 150 ⎞ ⎛ 184,9 ⎞
⎟=⎜
⎟.
0,795 ⎜⎝ 0,15 0,95 ⎟⎜
⎠⎝ 30 ⎠ ⎝ 64, 2 ⎠
Таким образом, объем валового выпуска первой отрасли должен увеличиться примерно на 85%, второй отрасли − на 28,4%.
2. В трехотраслевой балансовой модели дана матрица Леонтьева
⎛ 0,1 0,1 0, 2 ⎞
A = ⎜⎜ 0,3 0, 2 0, 2 ⎟⎟
⎜ 0, 2 0,3 0, 2 ⎟
⎝
⎠
и вектор норм добавленной стоимости по каждой отрасли
r
v = ( 4;10; 4 ) .
а) Найти равновесные цены;
б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимости первой отрасли на 1,11. На сколько процентов возрастут
равновесные цены каждой отрасли?
71
Решение.
а) Для нахождения равновесных цен воспользуемся формулой
r
r
p = H T v,
где H − матрица полных затрат. Находим
⎛ 0, 9
−1
H = ( E − A ) = ⎜⎜ −0, 3
⎜ −0, 2
⎝
⎛ 0, 58 0, 28
1 ⎜
=
0,14 0, 68
0, 444 ⎜⎜
⎝ 0,18 0, 24
−1
−0,1 −0, 2 ⎞
0,8 −0, 2 ⎟⎟ =
−0, 3 0,8 ⎟⎠
0, 25 ⎞
0, 29 ⎟⎟ .
0, 69 ⎟⎠
Поэтому
⎛ 0,58 0,14 0,18 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ 10 ⎞
1 ⎜
0, 28 0,68 0, 24 ⎟⎜
10 ⎟⎟ = ⎜⎜ 20 ⎟⎟ .
⎜
⎟⎜
0, 444 ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0, 25 0, 29 0,69 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 15 ⎠
б) Изменив вектор нормы добавленной стоимости, находим
равновесные цены в этом случае
r
p=
⎛ 0,58 0,14 0,18 ⎞⎛ 5,11⎞ ⎛ 11, 45 ⎞
r
1 ⎜
⎟⎜ 10 ⎟ = ⎜ 20,7 ⎟ .
0,
28
0,68
0,
24
p=
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
0, 444 ⎜⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 0, 25 0, 29 0,69 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 15,625 ⎠
Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на
14,5%, второй − на 3,5%, третьей − на 4,17%. Нетрудно также, зная
объемы выпуска каждой отрасли, подсчитать инфляцию, вызванную этим повышением цен.
3. Исследовать на продуктивность матрицу
⎛ 0, 2 0,6 ⎞
A=⎜
⎟.
0,9
0,3
⎝
⎠
Решение.
Имеем:
⎛ 0,8
E−A=⎜
⎝ −0,9
72
− 0,6 ⎞
.
0,7 ⎟⎠
0,6 ⎞ ⎛ 35 30 ⎞
.
=
0,8 ⎟⎠ ⎜⎝ 45 40 ⎟⎠
Эта матрица неотрицательна, следовательно, A продуктивна
ввиду первого критерия продуктивности.
( E − A)
−1
=
1 ⎛ 0,7
0,02 ⎜⎝ 0,9
4. Показать продуктивность матрицы
0,6 ⎞
⎛ 0,1 0
A = ⎜⎜ 0, 2 0,7 0 ⎟⎟ .
⎜ 0, 4 0, 2 0,3 ⎟
⎝
⎠
Решение.
Сумма элементов каждого столбца меньше единицы, значит,
λA < 1. Значит, A продуктивна ввиду второго критерия продуктивности.
5. Выяснить, при каких значениях a > 0 матрица
⎛1 2 0⎞
À = a ⎜⎜ 2 1 0 ⎟⎟
⎜7 6 9⎟
⎝
⎠
будет продуктивной. Является ли матрица A продуктивной при
a = 0,1?
Решение.
Характеристический многочлен матрицы A будет
a−λ
A − λ E = 2a
2a
a−λ
0
0
6a
9a − λ
7a
(
=
)
= ( 9a − λ ) ( a − λ ) − 4a 2 = ( 9a − λ ) ( λ 2 − 2a λ − 3a 2 ) ,
2
а характеристическое уравнение: ( 9a − λ ) ( λ 2 − 2a λ − 3a 2 ) = 0.
Корни этого уравнения (собственные значения):
λ1 = 9a, λ2 = 3a, λ3 = − a.
Для продуктивности матрицы A, согласно второму критерию,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 9a < 1, т.е.
73
1
1
получим продуктивную матрицу
a < . Например, при a =
9
10
⎛ 0,1 0, 2 0 ⎞
A = ⎜⎜ 0, 2 0,1 0 ⎟⎟ .
⎜ 0,7 0,6 0,9 ⎟
⎝
⎠
6. Доказать, что запас продуктивности α матрицы A можно
найти по формуле α = λ A−1 − 1.
Решение.
Если μ > 0, то λμ A = μλA , поскольку Spec ( μ A ) = μ ⋅ Spec ( A ) .
Тогда для α = λA−1 − 1 имеем λ(1+α ) A = (1 + α ) λ A = λ A −1λ A = 1, т.е. матрица (1 + α ) A непродуктивна. Если λ < 1 + α , то матрица λ A продуктивна.
⎛ 0, 2 0,6 ⎞
7. Найти запас продуктивности матрицы A = ⎜
⎟.
0,9
0,3
⎝
⎠
Решение.
Найдем собственные значения матрицы 10A, которые являются
корнями ее характеристического многочлена λ 2 − 5λ − 48 :
5 ± 217
λ1,2 =
. Значит,
2
λA =
1
5 ± 217
= 0, 98655 и λA−1 =
= 1, 0136.
0, 98655
20
Тогда на основании предыдущей задачи
20
α=
− 1 = 1, 3637 × 10−2 ≈ 0, 0014.
5 + 217
Запас продуктивности матрицы A равен 0,015. Мы видим, что
матрица A находится где-то «на пределе» продуктивности.
74
Упражнения
98. Дана балансовая таблица в двухотраслевой модели
Производители
Потребители
Потребление
Валовой
выпуск
I
II
I
15
60
25
100
II
25
5
20
50
Постройте структурную матрицуrи рассчитать валовой выпуск
на новый вариант потребления: d = ( 20, 25 ) .
99. Предположим, что в предыдущей задаче мы хотим оценить
загрязнение окружающей среды с помощью введения отрасли
III, «выпуск» которой состоит в производстве загрязняющих
веществ (на единицу объема выпуска каждой отрасли) согласно следующей таблице
Производители
Потребители
Потребление
Валовой
выпуск
I
II
I
5
60
35
100
II
25
5
20
50
III
50
10
–
60
Рассчитайте выпуск загрязняющих
веществ, соответствующий
r
варианту потребления d = ( 45, 15 ) .
100. Приведите пример продуктивной матрицы A, для которой одна из отраслей нерентабельна.
101. В двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева A и вектор
r
⎛ 0, 4 0, 2 ⎞ r
T
конечного потребления d : A = ⎜
, d = ( 90; 45 ) .
⎟
⎝ 0,3 0,15 ⎠
а) Найдите соответствующие объемы валового выпуска каждой отрасли.
б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта второй
отрасли. На сколько процентов должны измениться объемы валового выпуска каждой отрасли?
75
102. Для трехотраслевой балансовой модели дана матрица Леонтьева A и вектор норм добавленной стоимости по каждой от⎛ 0, 2 0,1 0, 2 ⎞
r
r
расли v : A = ⎜⎜ 0,1 0,3 0, 2 ⎟⎟ , v = (10; 2; 6 ) .
⎜ 0, 2 0, 2 0,3 ⎟
⎝
⎠
а) Найдите равновесные цены.
б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимости первой отрасли на 1,1. На сколько процентов возрастут
равновесные цены каждой отрасли?
103. Используя первый критерий продуктивности
дуйте на продуктивность матрицу A :
⎛ 0,5 0, 2
⎛ 0,5 0,6 ⎞
;
а) A = ⎜
б) A = ⎜⎜ 0,3 0,5
⎟
⎝ 0, 4 0,5 ⎠
⎜ 0, 2 0, 4
⎝
матрицы, иссле0,3 ⎞
0, 2 ⎟⎟ ;
0,5 ⎟⎠
⎛ 0,3 0,5 0,1 ⎞
в) A = ⎜⎜ 0,5 0, 2 0,3 ⎟⎟ .
⎜ 0, 2 0, 4 0,5 ⎟
⎝
⎠
104. Используя второй критерий продуктивности,
дуктивность матрицы A :
0,5 ⎞
⎛ 0,1 0
⎛ 0,1 0,3
⎜
⎟
а) A = ⎜ 0,3 0,8 0, 2 ⎟ ;
б) A = ⎜⎜ 0,3 0, 4
⎜ 0,5 0,1 0, 2 ⎟
⎜ 0,7 0,1
⎝
⎠
⎝
установите про0,5 ⎞
0, 2 ⎟⎟ .
0,1 ⎟⎠
105. Выясните, при каких значениях a > 0 матрица A продуктивна:
⎛1 2 4⎞
A = a ⎜⎜ 3 2 5 ⎟⎟ ?
⎜0 0 6⎟
⎝
⎠
106. Найдите с точностью до 10-4 запас продуктивности α матрицы A :
⎛ 0,5 0,6 ⎞
⎛ 0,1 0, 2 ⎞
;
A
=
а) A = ⎜
б)
⎟
⎜ 0, 2 0,1 ⎟ .
⎝ 0, 4 0,5 ⎠
⎝
⎠
76
Глава 4
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
4.1. Разностные уравнения
Основная область применения разностных уравнений – приближенное решение дифференциальных уравнений. Кроме того, их
можно использовать для нахождения общего члена последовательности, заданной рекуррентным соотношением.
Основные понятия
Уравнение вида
F (n; xn ; xn+1 ;...; xn+ k ) = 0,
где k – фиксированное, а n – произвольное натуральные числа,
xn ; xn+1 ;...; xn+ k − члены некоторой неизвестной числовой последовательности, называется разностным уравнением порядка k .
Решить разностное уравнение означает найти все последовательности ( xn ) , удовлетворяющие этому уравнению.
Общим решением разностного уравнения k -го порядка называется его решение xn = ϕ (n, C1 , C2 ,..., Ck ), зависящее от k независимых произвольных постоянных C1 , C2 ,K, Ck . Количество k постоянных равно порядку разностного уравнения, а независимость
означает, что ни одно из постоянных нельзя выразить через другие.
Если в общем решении разностного уравнения произвольным
постоянным придать конкретные числовые значения, то полученное
решение называется частным решением разностного уравнения.
Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка k с постоянными коэффициентами:
ak xn+ k + ak −1 xn+ k −1 + ... + a1 xn+1 + a0 xn = f n ,
(1)
где ai ∈ R ( ak ≠ 0, a0 ≠ 0 ) и
ность.
{ f n } − заданные
числа и последователь-
77
Составим соответствующее однородное уравнение:
ak xn+ k + ak −1 xn+ k −1 + ... + a1 xn+1 + a0 xn = 0.
(2)
Теорема 1 (об общем решении неоднородного уравнения).
Общее решение xn линейного неоднородного разностного
уравнения является суммой частного решения xn* этого урав-
нения и общего решения x n соответствующего ему однородного уравнения.
Теорема 2 (об общем решении однородного уравнения).
Пусть x1n ,K, xnk − система, состоящая из k линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения.
Тогда общее решение этого уравнения задается формулой:
xn = C1 x1n + K + Ck xnk .
Множество решений линейного однородного разностного
уравнения k-го порядка образует k-мерное линейное пространство,
а любой набор x1n ,K, xnk из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом. Признаком линейной независимости решений x1n ,K, xnk однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казоратти
xn(1)
xn(1)+1
Δ=
M
xn(1)+ k
xn(2)
L xn( k )
xn(2)+1 L xn( k+1)
.
M O M
xn(2)+ k
L xn( k+)k
Однородному уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение
ak λ k + ak −1λ k −1 + ... + a1λ + a0 = 0.
(3)
Общее решение однородного разностного уравнения является,
как правило, линейной комбинацией геометрических прогрессий,
связанных с корнями характеристического уравнения.
Продемонстрируем сказанное на примере уравнения 2-го порядка
axn+ 2 + bxn+1 + cxn = 0, a ≠ 0, c ≠ 0.
(4)
78
Составим характеристическое уравнение:
(5)
aλ 2 + bλ + c = 0.
Возможны три случая.
1. D = b 2 − 4ac > 0 , тогда уравнение (5) имеет пару различных
действительных корней λ1 , λ2 . В этом случае общее решение уравнения (4) записывается в виде: xn = C1λ1n + C2 λ2n .
2. D = b 2 − 4ac = 0 , тогда уравнение (5) имеет один действительный двукратный корень λ . В этом случае общее решение уравнения (4) записывается в виде: xn = C1λ n + C2 nλ n = ( C1 + C2 n ) λ n .
3. D = b 2 − 4ac < 0 , тогда уравнение (5) имеет пару комплексно
сопряженных корней λ1,2 = a ± ib . Представим эти корни в тригоно-
метрической форме λ1,2 = r ( cos ϕ ± i ⋅ sin ϕ ) , где r = a 2 + b 2 – модуль, ϕ – аргумент. В этом случае общее решение уравнения (4) записывается в виде
xn = r n ( C1 cos(nϕ ) + C2 sin(nϕ ) ) .
Чтобы найти частное решение неоднородного линейного разностного уравнения, используется метод неопределенных коэффициентов, основанный на поиске решения, «похожего» по виду на
неоднородность f n из правой части уравнения (1). Более точно,
справедлива следующая
Теорема (о частном решении).
Если неоднородность разностного уравнения с постоянными
коэффициентами имеет вид fn = ρn(pncosnϕ + qn sinnϕ), где pn,
qn – многочлены степени ≤ d, то существует частное решение xn* = nm⋅ρn(rncosnϕ + snsinnϕ), где rn, sn – многочлены степени ≤ d, а m – кратность корня ρ (cosϕ + isinϕ) характеристического уравнения.
Примеры
1.
а)
б)
в)
Решить линейное однородное разностное уравнение:
xn+ 2 + 4 xn+1 − 5 xn = 0;
xn+ 2 − 2 xn+1 + 4 xn = 0;
xn+ 2 + 6 xn+1 + xn = 0.
79
Решение.
а ) Характеристическое уравнение λ 2 + 4λ − 5 = 0 имеет корни: λ1 = 1, λ2 = −5 . Поэтому общее решение исходного уравнения
имеет вид xn = C1 + C2 (−5) n .
б) Характеристическое уравнение λ 2 − 2λ + 4 = 0 имеет два
комплексно сопряженных корня λ1 = 1 + 3i и λ2 = 1 − 3i , которые
могут
быть
записаны
в
виде
⎛
⎝
λ1 = 2 ⎜ cos
π
3
+ i sin
π⎞
⎟,
3⎠
π
π⎞
⎛
λ2 = 2 ⎜ cos − i sin ⎟ , следовательно, общее решение имеет вид
3
3
⎝
⎠
πn
πn ⎞
⎛
xn = 2n ⎜ C1 cos
+ C2 sin
⎟.
3
3 ⎠
⎝
в) Характеристическое уравнение λ 2 + 6λ + 9 = 0 имеет единственный действительный корень λ = −3 . Следовательно, общим
решением исходного уравнения является xn = (−3) n (C1 + nC2 ).
2. Найти частное решение разностного уравнения:
xn+ 2 − 2 xn+1 − 3 xn = 5 ( (π − 1) 2 − 4 ) ⋅ π n .
Решение.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
*
xn = A ⋅ π n . Постоянную A находим подстановкой в заданное уравнение:
A (π 2 − 2π − 3) ⋅ π n = 5 ( (π − 1) 2 − 4 ) ⋅ π n ,
A ( (π − 1) 2 − 4 ) = 5 ( (π − 1) 2 − 4 ) , A = 5.
Следовательно, xn* = 5 ⋅ π n − частное решение исходного уравнения.
3. Решить линейное неоднородное разностное уравнение:
а) xn+2 + 2 xn+1 − 3 xn = 64 ⋅ 5n ;
б) xn+ 2 − 8 xn+1 + 64 xn = 49 ⋅ 3n ;
в) xn+ 2 − 8 xn+1 + 16 xn = 9n + 3.
Решение.
а) Будем искать частное решение в виде xn* = A ⋅ 5n. Подставляя
это выражение в наше уравнение, получим A(25 + 10 – 3)5n = 64⋅5n.
Следовательно, A = 2, а значит, xn* = 2 ⋅ 5n.
80
Решая характеристическое уравнение λ2 +2λ − 3 = 0, находим
λ1 = 1, λ2 = −3. Таким образом, общее решение уравнения имеет
вид:
xn = 2⋅5n + С1 + С2(−3)n.
б) Характеристическое уравнение λ 2 − 8λ + 64 = 0 имеет корни
π
π⎞
π
π⎞
⎛
⎛
λ1 = 4 + 4 3i = 8 ⎜ cos + i sin ⎟ , λ2 = 4 − 4 3i = 8 ⎜ cos − i sin ⎟ .
3
3⎠
3
3⎠
⎝
⎝
Значит, общее решение x n однородного уравнения записывается
πn
πn⎞
⎛
так: x n = 8n ⎜ C1 cos
+ C2 sin
⎟ . Частное решение неоднородного
3
3 ⎠
⎝
уравнения будем искать в виде xn* = A ⋅ 3n. Постоянную A находим
подстановкой в исходное уравнение 9 A − 8 ⋅ 3 A + 64 A = 49 , A = 1 .
Частное решение имеет вид xn* = 3n. Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения:
πn
πn⎞ n
⎛
xn = 8n ⎜ C1 cos
+ C2 sin
⎟+3 .
3
3 ⎠
⎝
в) Характеристическое уравнение λ 2 − 8λ + 16 = 0 имеет корни
λ1 = λ2 = 4 . Значит, общее решение соответствующего однородного
уравнения
xn+ 2 − 8 xn+1 + 16 xn = 0
записывается
в
виде
x n = C1 4n + C2 4n ⋅ n. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде xn* = An + B. Постоянные A и B находим подстановкой в заданное уравнение:
⎧ 9A = 9
⎧A =1
, ⎨
9 An + ( −6 A + 9 B ) = 9n + 3 , ⎨
.
−
+
=
B
=
1
6
A
9
B
3
⎩
⎩
Частное решение имеет вид xn* = n + 1. Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения xn = C1 4n + C2 4n ⋅ n + n + 1.
Упражнения
107. Решите линейное однородное разностное уравнение:
а) xn+ 2 + 2 xn+1 − 3 xn = 0;
б) 9 xn+2 + 6 xn+1 + xn = 0;
в) xn+ 2 − 6 xn+1 + 13 xn = 0.
81
108. Найдите частное решение уравнения:
а) xn+ 2 − 7 xn+1 + 10 xn = 18 ⋅ 3n ; б) xn+ 2 − xn+1 − 6 xn = 2n+1 ;
в) xn+ 2 − 4 xn+1 + 4 xn = 5;
г) xn+ 2 − 2 xn+1 − 3 xn = 4 ⋅ π − n .
109. Признак арифметической прогрессии. Проверьте, что реше⎧ xn+ 2 + xn = 2 xn+1
является арифметическая
нием задачи Коши ⎨
x
=
a
x
=
a
+
d
,
2
⎩ 1
прогрессия xn = a + d ( n − 1) , n = 1, 2,...
110. Признак геометрической прогрессии. Проверьте, что решени⎧ xn+ 2 ⋅ xn = xn2+1
ем задачи Коши ⎨
для положительных чисел
x
=
b
,
x
=
bq
2
⎩ 1
b, q является геометрическая прогрессия xn = a ⋅ q n−1 , n = 1, 2,...
111. Докажите, что задача Коши xn+ 2 = f ( xn+1 , xn ) , где f ( x, y ) –
заданная функция, x1 = a1 , x2 = a2 (начальные условия) имеет
единственное решение.
112. Числа Фибоначчи. Найдите общий член последовательности
xn+ 2 = xn+1 + xn , x1 = x2 = 1.
113. Докажите, что если xn(1) и xn(2) − решения линейного неоднородного разностного уравнения (1), то их разность xn(1) − xn(2)
является решением соответствующего однородного уравнения
(2).
114. Докажите, что если определитель Казоратти двух последовательностей xn(1) и xn(2) отличен от 0, то они линейно независимы.
4.2. Модели экономической динамики
с дискретным временем
На разностных уравнениях базируются некоторые модели экономической динамики с дискретным временем: модель Самуэльсона-Хикса, паутинная модель рынка, задача об определении текущей
стоимости купонной облигации.
Модель Самуэльсона–Хикса
Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса предполагает прямую пропорциональность объемов инвестирования приросту национального дохода (принцип акселерации), т.е.
82
I t = V ( X t −1 − X t −2 ) ,
где коэффициент V > 0 − фактор акселерации, I t − величина инвестиций в период t, X t −1 , X t −2 − величины национального дохода соответственно в (t − 1) -ом и (t − 2) -ом периодах. Предполагается также, что спрос на данном этапе Ct зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе X t −1 линейным образом
Ct = aX t −1 + b. Условие равенства спроса и предложения имеет вид
X t = I t + Ct . Тогда приходим к уравнению Хикса
X t = ( a + V ) X t −1 − VX t −2 + b.
Стационарная последовательность X t * = c = const является решением уравнения Хикса только при c = b(1 − a ) −1 ; множитель
(1 − a )
−1
называется мультипликатором Кейнса (одномерный аналог матрицы полных затрат).
Пример 1. Рассмотреть уравнение Хикса при условии, что
1
a = V = ; b = 5 . Какова динамика роста национального дохода?
2
Решение.
1
Уравнение принимает вид: X t − X t −1 + X t −2 = 5 . Его частным
2
5
= 10. Корни харешением будет стационарное решение X t * =
1 − 12
1
λ2 − λ + = 0
рактеристического
уравнения
равны
2
1± i
1 ⎛
π
π⎞
λ1,2 =
=
⎜ cos ± i sin ⎟ . Таким образом, общим решением
2
4
4⎠
2⎝
соответствующего
однородного
уравнения
является
t
tπ
tπ ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛
+
Xt =⎜
Ñ
Ñ
cos
sin
⎜
⎟ . Следовательно, общим решени⎟
1
2
4
4
⎠
⎝ 2⎠ ⎝
t
tπ
tπ ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛
cos
sin
Ñ
Ñ
ем уравнения будет X t = 10 + ⎜
+
⎟ . Значит,
⎟ ⎜
2
4
4⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 1
динамика роста носит колебательный характер с убывающей амплитудой.
83
Упражнения
115. Проверьте, что если стационарная последовательность X t * = c
является решением уравнения Хикса, то c = b(1 − a ) −1 .
116. Найдите национальный доход X t и мультипликатор Кейнса
(1 − a )
−1
для модели Самуэльсона-Хикса при данных значениях параметров a,V , b :
a) a = 0,5; V = 0,5; b = 8;
б) a = 0,11; V = 0,89; b = 8,9;
в) a = 0,75; V = 0,25; b = 4.
1
, b = 0. В зависимости
2
от фактора акселерации V опишите возможные типы динамики:
а) V = 0,01;
б) V = 1;
в) V = 3.
117. Исследуйте уравнение Хикса при a =
Паутинная модель рынка
Рассмотрим паутинную модель рынка. При этом предположим,
что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при
этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, т.е.
dt = a − bpt (функция спроса),
st = m + npt −1 (функция предложения),
где a, b, m, n − положительные действительные числа. Таким образом, считая st = dt , получаем линейное разностное уравнение
a − bpt = m + npt −1 первого порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 2. Найти последовательность цен pt в паутинной модели рынка a − bpt = m + npt −1 при a = 11; b = 5; m = 2; n = 4; укажите
равновесное состояние паутинной модели рынка, т.е. стационарное
решение pt = p* = const уравнения и опишите динамику цен.
Решение.
Уравнение принимает вид 11 – 5pt = 2 + 4 pt–1. Его частным решением будет стационарное решение p* = 1. Корень характеристического уравнения 4λ + 5 = 0 равен λ = –0,8. Таким образом, общим
решением соответствующего однородного уравнения является pt =
C(–0,8)t. Следовательно, общим решением уравнения будет
84
pt = C(–0,8)t +1. Значит, последовательность
( pt )
приближается к
равновесному состоянию p* = 1.
Упражнения
118. Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка,
pt = p* = const
уравнения
т.е. стационарное решение
a − bpt = m + npt −1 .
119. Найдите последовательность цен pt в паутинной модели рынка
a − bpt = m + npt −1 при следующих значениях параметров
a, b, m, n :
a) a = 5; b = 0,8; m = 1; n = 1,2;
б) a = 10; b = 5; m = 1; n = 4;
в) a = 13; b = 2; m = 1; n = 2.
120. Найдите общее решение уравнения 9 − 2 pt = 4 + 3 pt −1 и опишите динамику цен.
Задача об определении текущей стоимости
купонной облигации
Пусть F – номинальная стоимость купонной облигации (т.е.
денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения,
совпадающего с концом последнего купонного периода), К – величина купона (т.е. денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого
купонного периода), X n − текущая стоимость облигации в конце
n-го купонного периода, k – число купонных периодов (лет, кварталов, месяцев, если купон, т.е. оговоренный процентный доход по
облигации выплачивается регулярно в конце каждого года, или
квартала, или месяца соответственно) на которое выпускается облигация. Пусть также r – процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях (предполагается, что она неизменна в
течение всего срока обращения облигации). Вышеперечисленные
величины связаны между собой следующими соотношениями,
представляющими собой задачу Коши:
⎧ X n+1 + K = (1 + r ) X n ,
⎨
X k = F.
⎩
85
Пример 3. Найти текущую стоимость X n купонной облигации
при F = 8; К = 0,75; k = 5; r = 0,25 и определить ее динамику.
Решение.
Уравнение принимает вид Xn+1 + 0,75 = 1,25 Xn. Его частным
решением будет стационарное решение p* = K/r = 3 – текущая
стоимость бесконечной ренты. Корень характеристического уравнения λ – 1,25 = 0 равен λ = 1,25. Таким образом, общим решением
соответствующего однородного уравнения является Xn = C(1,25)n.
Следовательно, общим решением уравнения будет Xn = C(1,25)n + 3.
Значит, последовательность Xn будет возрастающей, т.к. номинальная стоимость облигации выше стоимости бесконечной ренты.
Упражнения
121. а) Найдите равновесное решение X t = p* = const задачи
⎧ X + K = (1 + r ) X n ,
Коши ⎨ n+1
X k = F.
⎩
б) Проверьте, что значение p∗ совпадает с суммой, которую
необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение
бесконечно длительного времени получать сумму K через
каждый промежуток времени t при процентной ставке r.
122. Найдите текущую стоимость X n купонной облигации при
следующих значениях параметров F , K , k , r (F – номинальная
стоимость купонной облигации, К – величина купона, k – число купонных периодов, r – процентная ставка за один купонный период, выраженная в частях):
a) F = 8; К = 0,75; k = 5; r = 0,25;
б) F = 5; К = 0,8; k = 3; r = 0,2.
⎧ X + K = (1 + r ) X n
, связанную с опре123. Решите задачу Коши ⎨ n+1
X
=
F
k
⎩
делением текущей стоимости X n купонной облигации. При
каких условиях последовательность ( X n ) является возрастающей?
86