Лекция 4. Моделирование случайных процессов МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
advertisement
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Лекция 4. Моделирование случайных процессов Цель: Ознакомить с понятиями: способы описания дискретного процесса. Примеры дискретных моделей. Дискретно-событийное моделирование; понятие случайного процесса. Случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова). Матрица переходов; случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные цепи Маркова). Понятие потока событий. Интенсивность потока. Свойства простейших потоков событий. Оглавление Дальнейшие пути имитации .....................................................................................................1 Моделирование случайных процессов ....................................................................................4 Выводы .....................................................................................................................................10 Дальнейшие пути имитации Имитировать – значит приближаться к реальным объектам с конкретными (реальными) законами поведения, добавляя в процесс случайность. Дифференциальные уравнения все усредняют начисто. Дифференциальные уравнения принципиально детерминированы. Они очень хороши, потому что дают интегральную характеристику (в целом). Но это лишь первый шаг на пути исследования реальных систем. В реальной системе исследователя интересуют частности. 1-й путь. Переход к разностным уравнениям (этот способ активно использовался для разработки численных методов решения ДУ). Метод называется дискретизация процесса. Имеем систему ДУ ; . Заменяем МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE бесконечно малый промежуток на малый. Вычисляем каждое следующее значение через предыдущие. Здесь надо иметь в виду, что коэффициенты уже имеют другую размерность (и смысл) и зависят от размера промежутка времени, через которые производится пересчет значений. Реализация дискретного процесса в среде MVS – использование узла с пустым поведением и дуг циклического перехода. Рис. 1. Реализация дискретного процесса Временн'ая диаграмма дискретного процесса имеет вид кусочно-постоянной функции со скачками (разрывами) в точках ti пересчета значений. Таким образом, мы заменили непрерывную модель дискретной с кусочнонепрерывной функцией, которая показывает скачки численности через определенные промежутки времени. 2-й путь. Описание локальных законов поведения Разделим закон изменения количества продукта на два поведения: закон убыли продукта, закон роста продукта Аналогично для ресурса МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Рис. 2. Структурная модель с локальными законами 3-й путь. Добавление случайности Чтобы ввести случайность, будем на каждой итерации вычислять новые значения коэффициентов как некие случайные числа, распределенные, в первом приближении, по нормальному закону с заданными средним (мат. ожиданием) и дисперсией. А если еще и учесть локальные поведения убыли и роста, то можно задать вероятности переходов по одному или другому закону. И за счет вероятностей мы сможем настраивать и исследовать эту модель. Таким образом, основные пути приближения модели к реальной системе: детализация структуры системы; переход к дискретным процессам; детализация поведения; переход к случайным процессам. Комбинация всех этих способов – и есть имитационное моделирование (самое настоящее). Сейчас используют моделирование. На моделирование. другое современное название самом деле это классическое – агентное статистическое Есть два подхода к моделированию. Первый: от объекта к модели (определяем состояние реальной системы в начальный момент времени и моделируем, что будет дальше). Может быть обратная ситуация: от модели к объекту (строим модель, исследуем, при каких вероятностях и начальных значениях картина будет устойчивой или неустойчивой, и выдаем рекомендации) Таким образом имеет место цикл Данные данные. Модель Обработка Новые МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE При детализации системы задаем законы не математические, а конкретные (поведенческие) или иначе говоря локальные взаимодействия частей системы между собой. На 1-м такте есть первоначальное случайное распределение вероятности нахождения элемента в том или ином состоянии. Циклически повторяем процесс. имитационное моделирование. Вот это называется агентное или При этом мы получаем дискретные (кусочно-постоянные) функции. Моделирование случайных процессов Процессы Маркова Функция Х(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе является случайной величиной. Случайная функция Х(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом. Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t0, вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние. Марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем. Классификация марковских процессов Классификация марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции Х(t) и параметра t . Различают следующие основные виды марковских случайных процессов: с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова); с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности); с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова); с непрерывным состоянием и непрерывным временем. Будем изучать процессы с дискретными состояниями, наиболее подходящие к моделированию экономических процессов. МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Граф состояний Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний, где кружками обозначены состояния Si системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Рис. 3. Граф состаояний Состояний может быть конечное число или бесконечное, но счетное. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t1, t2, …. когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2, ...,k, ... Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2), ..., S(k), ..., где S(0) - начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) – состояние системы после первого шага; S(k) – состояние системы после k-го шага... Последовательность состояний S(1), S(2), ..., S(k) можно рассматривать как последовательность случайных событий. Обозначим вероятность находиться после k-го шага в состоянии Sk. Тогда . Практический интерес представляют системы с конечным числом состояний S (i =1,…, n). Примеры конечных цепей Маркова Пример 1. Модель 4 «Гараж» i МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Автомобили в гараже могут находиться в двух состояниях: рабочее (1) и ремонт (2). Будем наблюдать за состоянием автомобилей через равные промежутки времени. Например, один раз в сутки (утром, перед началом работы) определяется состояние каждого автомобиля. При этом возможны следующие ситуации: автомобиль был исправен и остался исправным; автомобиль был неисправен и стал исправным; автомобиль был исправен и стал неисправным; автомобиль был неисправен и остался неисправным. Нарисуем граф состояний и переходов этой системы Рис. 4 p11, p12, p21, p22, – вероятности переходов из состояния в состояние. Если тип автомобилей одинаковый, то все вероятности будут одинаковы для всех автомобилей. Представим вероятности в виде матрицы P = p11 p12 p21 p22 Называется матрицей переходов. Свойства матрицы переходов 1. Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в самое себя. 2. Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние). 3. Сумма вероятностей каждой строки равна единице, т. к. переходы образуют полную группу несовместных событий. 4. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Pii того, что система не выйдет из состояния i , а останется в нем. Введем вектор – k =0,1,2,3…функция, которая вычисляет вероятность на каждом шаге (такте) оставаться в одном из двух состояний. МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Вектор вероятностей начального состояния для каждой машины . Например, можно считать, что в начальном состоянии машина достоверно исправна, то . Опишем этот процесс в виде дерева Кроме этого на первом такте добавляется (задается) вероятность начального состояния. Если зафиксировать k=const, то нам известны все конечные исходы системы. Если вероятности pij=const, то этот процесс и есть цепь Маркова. В данной модели реализуется бесконечный процесс. При длительном функционировании системы может оказаться, что вероятности состояний стремятся к некоторому числу. Эти предельные вероятности называют вероятностями установившегося процесса. При моделировании бесконечных процессов интерес представляет вычисление вероятностей установившегося процесса. Пример 2. Модель 5 «Кубик и монеты» Есть две монеты А и Б и кубик К. У одной есть герб и решка, а у другой обе решки. Игра: выбираем случайным образом монетку и кидаем. Если выпал герб бросаем кость, если выпала решка, бросаем ту же монетку снова. Нарисуем граф состояний игры МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE Пространство исходов конечно. Все вероятности фиксированы. Это цепь Маркова. В данной модели видно, что процесс рано или поздно заканчивается, если случайным образом выбрана монета А. Если же была выбрана монета Б, то процесс бесконечный. Задание для самостоятельной работы Составить матрицу переходов для данной системы. Пример 3. Модель 6 «Игра» Имеется 5 состояний. В некоторый момент частица (шарик) находится в одном из состояний Si . За каждый шаг частица может перейти только в соседнее состояние: в Si-1 с вероятностью p, в Si+1 с вероятностью q. При этом (как известно) p + q =1. Если частица попадает в концевое состояние, то там остается навсегда. Вероятности фиксированы. В состояниях Si, i=2,3,4 частица не может остаться. Построим матрицу P, в которой описаны вероятности перехода частицы из состояния Si в состояние Sj. МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE В этой модели видно, что процесс рано или поздно закончится. Таким образом эта модель представляет конечную цепь Маркова. При моделировании конечный процессов интерес представляет вычисление вероятностей окончания процесса в том или ином узле, а также средняя длительность процесса. Пример 4. Модель 7 «Обучение в вузе» Процесс обучения в вузе 4 года обучения (бакалавриат). Выделим следующие состояния S 1 – отчислен; S 2 – окончил; S 3– учится на 4-м курсе; S 4 – учится на 3-м курсе; S 5 – учится на 2-м курсе; S 6 – поступил на 1-м курс. Достоинством этой матрицы, например, является то, что она треугольная и будет оставаться треугольной всегда. Задание для самостоятельной работы Составить граф состояний процесса. Формула для марковской цепи Таким образом если мы имеем систему S с n состояниями, то с ней можем связать так называемую матрицу переходов ( переходная матрица или матрица переходных вероятностей) и вектор вероятностей нахождения на k-м шаге в состоянии Si: МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE – матрица переходов; – вектор вероятностей состояний системы. Кроме этого должен быть известен вектор вероятностей начального состояния: Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной. В теории марковских цепей доказано, что по матрице переходов можно определить конечные состояния системы, при большом количестве испытаний. В частности, для примера 3 можно определить вероятности, в какое состояние свалится шарик. Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица переходных вероятностей, то вероятности состояний системы . Можно получить также такое соотношение: Таким образом можно сказать, что матрица Pk является матрицей перехода из нулевого состояния в k -е. Вспомним, что если матрица треугольная (пример 4), то и Pk останется треугольной, если матрица блочная, что и Pk будет иметь ту же структуру. Выводы 1. Существует несколько путей приближения модели к реальной системе. 2. Экономические процессы характеризуются случайным характером наступления событий. 3. Наиболее часто экономические процессы моделируют с помощью случайных процессов Маркова. 4. Одним из примеров марковких процессов являются конечные цепи Маркова – процессы с известными вероятностями перехода из состояние в состояние и детерминированным временем. 5. Для конечных цепей Маркова разработан математический аппарат вычисления вероятностей состояний системы.
