Вопросы к экзамену Функциональный анализ. 14.12.10

Вопросы к экзамену
Функциональный анализ. 14.12.10
гр. 9381, лектор Коточигов А.М.
1) Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств.
Полные пространства.
2) Норма, порождаемая выпуклой окрестностью нуля. Эквивалентные нормы.(дз-1,с/р-1)
3) Описание норм в l(p,n)—пространствах. Шары в l(p,2).
4) Скалярное произведение. Гильбертовы пространства и их свойства. Равенство параллелограмма.
5) Теорема о существовании ортогонального дополнения.
6) Линейные операторы в банаховом пространстве. Определение нормы оператора.
Теорема о непрерывности и ограниченности.
7) Метод вычисления норм операторов, действующих в l(1,n), l(бесконечность,n)..(дз-2,с/р-2)
8) Метод вычисления норм операторов, действующих в l(2,n).
9) Обратный оператор. Достаточные условия обратимости. (*)Метод последовательных приближений.
10) Оценка погрешность решения линейного уравнения, через число обусловленности.(дз-2,с/р-2)
11) Линейные функционалы. Сопряженные пространства. Примеры
12) (*) Неравенство Гельдера.
13) (*) Выпуклые полунормы. Теорема Хана –Банаха о продолжении линейного функционала.
14) Геометрическое описание линейных функционалов.
Теорема Хана-Банаха (геометрический вариант).
15) Построение меры Лебега на отрезке. Описание измеримых множеств. (с/р)
16) Измеримые функции. Интеграл Лебега: определение и свойства. (*)
17) (*) Задача линейной оптимизации, как задача об отделимости. Теорема об описании точек, в которых
линейный функционал достигает наименьшего значения. (*) (дз-3)
18) (*) Вспомогательное предложение о двух функционалах,( положительное полу пространство одного
совпадает с отрицательным полупространством другого.
19) (*) Теорема о почти перпендикуляре.
20) Постановка задачи аппроксимации . Теорема существования и единственности решения задачи
аппроксимации элементами линейного пространства в гильбертовом пространстве
21) Теорема о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве.
22) Определитель Грамма и линейная независимость.
23) Теорема об описании наилучшего приближения в конечномерном пространстве.
24) Алгоритм ортогонализации линейно независимой системы элементов.
25) Ортогональные многочлены и их свойства. Примеры.(с.р)
26) (*) Рекуррентная формула для ортогональных многочленов. Алгоритм формирования.
Дз-1
1) норма в линейном пространстве
2) примеры банаховых пространств
4) определение выпуклого тела; норма, порождаемая выпуклым телом
5) эквивалентные нормы, примеры
6) норма, заданная многогранником (дз-1 : ОБЪЯСНЕНИЕ алгоритма вычисления, неравенство тр-ка)
Дз-2
1) линейный оператор в банаховом пространстве; ограниченность и непрерывность
2) определение нормы в банаховом пространстве
3) теорема о связи ограниченности и непрерывности
4) достаточное условие обратимости линейного оператора
5) оценка устойчивости решения линейного уравнения; число обусловленности
6) формула для вычисления нормы оператора в l(1,n),
(связь формулы с определением нормы оператора для общего случая)
7) формула для вычисления нормы оператора l(бесконечность,n).
8) формула для вычисления нормы оператора l(2,n).
Дз-3
1) скалярное произведение в линейном пространстве; гильбертово пространство; норма в гильбертовом
пространстве
2) линейный функционал в банаховом пространстве; норма функционала;
3) свойства ядра непрерывного линейного функционала;
4) теорема об описании линейных функционалов в гильбертовом пространстве
5) теорема о продолжении линейного функционала;
6) теорема об отделимости выпуклых множеств;
7) задача линейной оптимизации; формулировка условий, при которых заданный функционал достигает
экстремума в данной точке выпуклого многогранника;
8) интерпретация условий теоремы в размерности два и три.
Ср –теория меры, интегралЛебега
) план расширения класса множеств, для которых можно определить аддитивную меру (простые и
элементарные множества)
2) переход от элементарных множеств к измеримым
3) измеримые функции; определение интеграла Лебега
4) построение меры, порожденной возрастающей функцией, на простых множествах.
Ср- ортогональные многочлены
1. Ортогональные многочлены: определение и свойства.
2. Рекуррентная формула для ортогональных многочленов. Алгоритм формирования.
3. Формулы вычисления коэффициентов разложения…
4. Задача: дано скалярное произведение, построить несколько ортогональных многочленов, вычислить
коэффициенты разложения многочлена по ортогональному базису