Инспекционный контроль. Типовая задача Директор горнолыжной базы, не имея возможности постоянно присутствовать на ней, нанимает на работу администратора базы для выполнения определенного типа работ (управлять персоналом, следить за качеством сервиса и обеспечивать бесперебойную работу подъемника). Директор назначает фиксированную заработную плату администратору (f единиц рублей). Если администратор качественно выполняет порученную ему работу и затрачивает на выполнение заданий усилия в размере е рублей, то директор базы получает выручку в размере R единиц рублей. Если же администратор не выполняет свою работу (подъемник перестает работать, сервис ненадлежащего качества), то база теряет своих клиентов, а директор – прибыль. Директор, зная о такой возможности, может провести проверку. Затраты на проведение проверки составляют i единиц рублей. Заработная плата выплачивается директором во всех случаях: и при отсутствии контроля, и в случае контроля, но только если он не выявил отклонение от условий контракта. В противном случае зарплата выплачиваться не будет. Издержки контроля не зависят от результатов мониторинга. Задание 1. Изобразите матрицу игры, описывающую данное взаимодействие. 2. При каком соотношении параметров (R, e, f, i) в данном взаимодействии не установится равновесия по Нэшу в чистых стратегиях. 3. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях (при соотношении параметров, найденных в п.2). 4. От каких параметров зависит вероятность выбора той или иной стратегии администратором в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях? Вероятность выбора той или иной стратегии директором? Продемонстрируйте, как изменяется поведение игроков (выбор равновесной стратегии) при изменении какого-либо параметра. Решение 1. В общем виде матрица игры выглядит следующим образом: Директор Контролировать Администратор Работать Отлынивать f − e; R − f − i 0; − i Не контролировать f − e; R − f f;− f 2. Если директор будет «Контролировать», то наилучшим ответом администратора на такой выбор директора будет стратегия «Работать», так как выигрыш будет больше: f − e > 0 . Если директор не будет контролировать, тогда наилучшим ответом администратора на стратегию «Не контролировать» является стратегия «Отлынивать», так как: f > f − e . Если администратор контролировать» его, выбирает так «Работать», R − f > R − f − e. как: то директор Если предпочтет администратор «Не решит «Отлынивать», то для того чтобы узнать наилучший ответ директора, необходимо определить соотношение параметров i и f. С одной стороны, зарплата администратора (f) может быть меньше издержек контроля (i). Тогда директор предпочтет «Не контролировать» администратора, в результате чего установится равновесие по Нэшу в чистых стратегиях («Не контролировать» и «Отлынивать»). Но нам необходимо показать, что здесь не установится равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, а это возможно лишь при зарплате большей, чем издержки мониторинга: f > i. 3. Найдем равновесие в смешанных стратегиях графическим способом. Не контролировать Контролировать Отлынивать Работать f R− f f −e 0 R− f −i f −e q* 0 1 –i p* 1 -f Рис. 1. Поведение директора Рис. 2. Поведение администратора На рисунке 1 изображены выигрыши администратора при выборе директором стратегии либо «Не контролировать», либо «Контролировать». На вертикальных осях откладывается выигрыши администратора, а на горизонтальной оси отложена вероятность выбора той или иной стратеги директором. Если администратор выбирает стратегию «Работать», то он получит выигрыш равный (f – e) в обеих ситуациях: и когда наниматель «Контролирует» (q = 1), и когда «Не контролирует» (q = 0). Выигрыши от стратегии «Работать» откладываем на соответствующих осях и соединяем одной линией. Эта линия представляет собой комбинацию множества ожидаемых выигрышей, зависящую от вероятности выбора той или иной стратегии директором. Если администратор выбирает стратегию «Отлынивать», то с вероятностью q = 1 директор выберет стратегию «Контролировать» и администратор ничего не получит, и с вероятностью q = 0 директор выберет стратегию «Не контролировать» и администратор получит выигрыш в размере f. Соединяем выигрыши от этой стратегии одной линией. На графике видно, что эти две линии пересекаются в одной точке, образуя два подобных треугольника. По свойству подобных треугольников (отношение высот подобных треугольников, опущенных на соответствующие стороны, равно отношению этих сторон) можно найти равновесную вероятность. Таким образом, получаем: q f − ( f − e) = 1− q f −e ⇒q= e f Т.е. вероятность выбора директором стратегии «Контролировать» зависит от заработной платы и от усилий работника. Аналогичным образом находим равновесную вероятность выбора администратором той или иной стратегии (р). На рисунке 2 на вертикальных осях отображены выигрыши нанимателя при выборе администратором стратегий «Отлынивать» и «Работать». На горизонтальной оси отражена вероятность выбора администратором той или иной стратегии. Если директор выбирает стратегию «Контролировать», то он получит выигрыш равный (R – f) в ситуации, когда администратор «Работает» (p = 1), и (– i), когда тот «Отлынивает» (p = 0). Выигрыши от стратегии «Контролировать» откладываем на соответствующих осях и соединяем одной линией. Если директор выбирает стратегию «Не контролировать», то с вероятностью р = 1 он получит выигрыш равный (R – f – i), и с вероятностью р = 0 он получит: (– f). Точно также выигрыши от стратегии «Не контролировать» откладываем на соответствующих осях и соединяем одной линией. Пересечение линий дает нам равновесную вероятность выбора стратегии администратором. − i − (− f ) p f −i i = ⇒ p= = 1− 1 − p R − f − ( R − f − i) f −i +i f Т.е. вероятность выбора администратором стратегии «Работать» зависит от заработной платы и от издержек мониторинга. 4. Вероятность выбора той или иной стратегии администратором в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях зависит от заработной платы и издержек мониторинга. Вероятность выбора той или иной стратегии директором в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях зависит опять же от заработной платы и от усилий работника. Оптимальные стратегии не зависят от величины прибыли, получаемой директором при успешной работе администратора. Решение работника о выборе стратегии определяется соотношением его заработной платы и трансакционных издержек контроля. Чем выше издержки контроля, тем ниже стимулы контроля со стороны нанимателя и, соответственно, тем выгоднее работнику отлынивать, понимая высокую степень безнаказанности. Решение нанимателя о контроле определяется соотношением заработной платы работника и его издержками, связанными с добросовестным поведением. Чем выше эти издержки, тем более интенсивно его нужно контролировать.