2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

12
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
2.1. Общие понятия
Слово “сигнал” происходит от латинского слова “signum”, что переводится как “знак”. Оно означает условные электрические, звуковые, зрительные или иной природы знаки, предназначенные для передачи информации.
Сигнал  это материальный носитель информации. В природе он проявляется в виде некоторого физического процесса.
Теория сигналов абстрагируется (отходит) от физической природы сигнала. Здесь оперируют математическими моделями сигналов.
Обычно сигнал, независимо от его физической природы, представляют
как некоторую функцию времени x(t). Такое представление есть общепринятая математическая абстракция физического сигнала.
Математическая модель сигнала должна соответствовать физическому
сигналу, для описания которого она предназначена. Выбор модели зависит от
объема и характера априорной информации о физическом сигнале.
Все модели сигнала делятся на полные и неполные. Примерами полных
моделей могут служить: функция времени x(t) è спектральная функция F(j).
Уточняя класс этих функций, можно получить конкретную математическую модель сигнала. Например, класс целых аналитических, т.е. бесконечно
дифференцируемых, функций  это конкретная полная модель сигнала.
Полная модель отражает всю необходимую информацию о физическом
сигнале. Неполная модель (или оценка) дает не всю информацию о сигнале.
Она позволяет описать его с некоторой погрешностью. В результате часть
информации теряется.
Примерами неполных моделей могут служить: амплитудный спектр A(),
энергетический спектр E(), корреляционная функция R(), набор дискрет-


ных значений некоторой функции x(t )
k
N
k 1
.
2.2. Классификация сигналов
Сигналы различают (см. рис.2.1):
1) по физической природе (электромагнитные и т.д.);
2) по зависимости от времени (постоянные и переменные);
3) по элементу случайности
и т.д.
Детерминированный, или регулярный,  это сигнал, закон изменения
которого известен и известны все его параметры.
`
13
Квазидетерминированный  это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров  случайные величины. Пример:
x(t)=Asin(t+), где А  случайная величина.
Случайным называют сигнал, значение которого в каждый момент времени есть случайная величина. Кроме этого все сигналы могут быть непрерывными и дискретными.
Сигналы
Электромагнитные
Магнитные
Тепловые
Акустические
Постоянные во времени
(статические)
Ионизирующих
излучений
Переменные во времени
(динамические)
Неслучайные (детерминированные
и квазидетерминированные)
Непериодические
Световые
Единичный
импульс
Случайные
Стационарные
Нестационарные
Эргодические
Неэргодические
Элементарные
Периодические
Непериодические
Синусоидальный
сигнал
Экспоненциальны
е
Импульсные
С законами
распределения
Нормальным
Сложные
Полигармонический
Периодические
Последовательность
прямоугольных
импульсов
Равномерным
Релеевским
Экспоненциальным
Рис.2.1
Каждый сигнал характеризуется некоторыми параметрами. Например,
функция x(t) имеет два параметра  уровень или значение “x” и время “t”.
Для непрерывного или аналогового сигнала оба параметра являются непрерывными величинами, т.е. имеют бесконечное множество значений.
14
Дискретизированным называют сигнал, у которого хотя бы один параметр является дискретной величиной, т.е. имеет конечное множество значений.
Различают (рис.2.2) четыре формы сигнала x(t).
xкв(t)
x(t)
Дискретная
функция
непрерывного
аргумента
Уровень
квантования
Аналоговый
сигнал
x
t
t
Непрерывная функция
Функция, квантованная по уровню
xд,кв(t)
xд(t)
x
t
t
t
t
Непрерывная функция дискретного аргумента (функция, дискретизированная по времени)
Дискретная функция дискретного аргумента (функция, дискретизированная по
времени и квантованная по уровню)
Рис.2.2
2.3. Геометрические методы описания сигналов
2.3.1. Основные понятия
В технических приложениях сигнал рассматривается как некоторая вещеjt
ственная или комплексная функция времени x(t). Например, x(t)= e
 комплексная синусоида. В общем случае может изучаться множество сигналов
M  x i (t ) i 1 . При этом решение многих прикладных задач требует сравm
нения различных сигналов множества M. Для этого нужно уметь оценивать
величину сигнала. Тогда можно говорить, что один сигнал превышает другой.
Кроме того, часто требуется объективно оценивать , насколько два неодинаковых сигнала “похожи” друг на друга.
Решить задачи сравнения сигналов позволяют геометрические методы в
теории сигналов. В их основе лежит представление сигнала как вектора в специально сконструированном бесконечномерном пространстве. Обычно берут
15
линейное пространство. Для него справедлив принцип суперпозиции, т.е.
принцип независимости действия. Условие линейности пространства:
если
x1, x 2 M; y1  Lx1  M; y 2  Lx 2  M, где L  линейный
оператор преобразования, то
y  ay1  by 2  Lax1  bx 2  M ,
где a и b  любые вещественные или комплексные константы.
Если выполняется условие линейности и математические модели сигналов
xi(t)  вещественные функции, то множество сигналов M образует вещественное линейное пространство. В случае комплексных функций имеем
комплексное линейное пространство. Функции xi(t)  элементы линейного
пространства. Их часто называют векторами, так как свойства этих элементов
подобны обычным трехмерным векторам.
В линейном пространстве сигналов можно задать специальное подмножество сигналов
 i (t) M . Это подмножество играет роль координатных
осей по аналогии с обычным трехмерным векторным пространством. Говорят,
что совокупность векторов
 i (t) линейно независима, если равенство
 b i  i (t )  0
i
возможно только в единственном случае, когда числовые коэффициенты bi
одновременно обращаются в нуль. Система линейно независимых векторов
образует координатный базис в линейном пространстве. Любой сигнал
x(t) из множества M можно разложить по координатному базису в виде

x(t )   a i  i (t ) ,
i 0
где числа {ai}  проекции сигнала (вектора) x(t) относительно выбранного
базиса. Другими словами, числа {ai}  это координаты сигнала в линейном
пространстве.
Линейные пространства могут быть разных видов. Тип пространства
определяется принятой метрикой. Метрика  это, во-первых, способ определения длины (или нормы) функции, во-вторых, длины (или нормы) расстояния
между двумя функциями. Распространены два типа пространства  евклидово R с равномерной метрикой и гильбертово L2 с квадратичной
(степенной) метрикой. Для них метрика имеет вид:
1) нормы разности (или расстояния) вещественных функций x(t) и y(t)
16
 max x(t )  y(t )  R ,

x(t )  y(t )   
2
2
   x(t )  y(t ) dt  L ;
 
2) нормы вещественной функции
x(t )  R ,

x(t )    2
2
  x (t )dt  L .
 
Линейное пространство с метрикой является нормированным метрическим пространством. В теории сигналов широко применяется метрическое
гильбертово пространство L2, т.е. пространство с интегрируемым квадратом.
В нем норма комплексных функций определяется так:

x(t ) 
 x(t)x (t)dt ,


где *  знак комплексно-сопряженной величины.
Квадрат нормы носит название энергии сигнала
2
E x  x(t ) 

 x (t)dt .
2

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением R=1 Ом,
если на его зажимах действует напряжение x(t) [В].
В принципе в метрическом пространстве можно учитывать зависимость
сигнала не только от времени, но и от параметров, т.е. x(t, a, b, c,...), где a, b,
c,...  параметры сигнала.
Различают информативные и неинформативные параметры. Параметр, несущий информацию,  называют информативным. Например, x(t, A,
,) = Asin(t+), здесь информативными могут быть параметры A, и.
2.3.2. Скалярное произведение сигналов
Понятие скалярного произведения элементов x(t) и y(t) линейного пространства позволяет определять угол между двумя векторами (сигналами).

Пусть в обычном трехмерном пространстве известны два вектора
(рис.2.3) . Тогда квадрат модуля их суммы имеет вид

Aи B
17


A B

A
B



2
2
2
  
A  B  A  B  2 A, B ,











(2.3.1)

где  A, B  A  B cos   скалярное произведе-
Рис.2.3
ние векторов, зависящее от угла  между ними.
По аналогии с векторной алгеброй найдем энергию суммы двух сигналов
x(t) и y(t):

E
 x(t)  y(t) dt  E

2

x
 E y  2  x(t )y(t )dt .
(2.3.2)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны. Здесь энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

E xy  2  x(t )y(t )dt .

Сравнение (2.3.1) и (2.3.2) дает определение скалярного произведения
вещественных сигналов x и y в пространстве L2:

(x, y) 
 x(t)y(t)dt .

Косинус угла между сигналами x и y:
cos  
(x, y)
.
x  y
При этом справедливо фундаментальное неравенство Коши  Буняковского
(x, y)  x  y .
Таким образом, для линейного вещественного пространства скалярное
произведение функций x(t) и y(t) имеет вид
x(t )y(t )  R ,

(x, y)   
2
  x(t )y(t )dt  L

и норма, выраженная через скалярное произведение, будет
x(t )  ( x, x )  для R и L2 .
Скалярное произведение комплексных сигналов x(t) и y(t) в гильбертовом комплексном пространстве L2 определяется по формуле
18

 x(t)y (t)dt ,

(x, y) 

причем

(x, y)  (y, x) .
2.3.3. Понятие ортогональных сигналов и обобщенного ряда
Фурье
Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное
произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю, т.е.

(x, y) 
 x(t)y(t)dt  0 .

Например, два разнесенных во времени импульса заведомо ортогональны
(рис.2.4).
x(t)
y(t)
t
Рис.2.4
Пусть в гильбертовом пространстве сигналов L2 на отрезке времени [t1,t2]
в качестве координатного базиса задана бесконечная система функций
 i (t) L2 . Пусть норма функций
 i (t )  1 и функции ортогональны
друг другу. Тогда скалярное произведение принимает вид
1 п р и i  j,
( i ,  j )  
0 п р и i  j.
В этом случае говорят, что в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.
Произвольный сигнал x(t)L2 можно разложить по координатному базису
в ряд:

x(t )   a i  i (t ) .
(2.3.3)
i 0
Такое разложение называют обобщенным рядом Фурье сигнала x(t) в
выбранном базисе. Коэффициенты этого ряда (координаты сигнала) определяют следующим образом. Умножим обе части разложения в ряд (2.3.3) на
произвольную базисную функцию  j (t ) . Затем проинтегрируем результаты
по времени:
t2
t2

 x(t ) (t )dt   a   (t ) (t )dt
j
t1
i
i0
i
t1
j
19
Так как базис ортонормирован, то правая часть этого равенства будет равна aj .
Отсюда следует
t2
a j   x(t ) j (t )dt .
(2.3.4)
t1
Выражения (2.3.3) и (2.3.4) определяют представление сигналов посредством обобщенных рядов Фурье.
2.4. Спектральное представление сигналов
Это представление лежит в основе спектрального анализа. Под ним понимают представление функции x(t) в виде ряда или интеграла Фурье.
2.4.1. Периодические сигналы
Условие периодичности имеет вид
x(t) = x(t+mT),
где T  период; m=1, 2, ...  натуральное число.
Любой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле
(функция ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов), может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

x(t )  a 0   (a k cos k  1t  b k sin k  1t ) 
k 1
(2.4.1)

 a 0   A k cos( k  1t   k ),
k 1
где  1  2 
 угловая частота 1-й или основной гармоники;
T
a 0 , a k , b k  коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:
T
T
T
1 2
2 2
2 2
a 0   x(t )dt ; a k   x(t ) cos k 1tdt ; b k   x(t ) sin k 1tdt ;
T T
T T
T T
2
2
2
b
A k  a 2k  b 2k ;  k  arctg k , k  1,2,3... ;
ak
A k  амплитуда k-й гармоники;  k  фаза k-й гармоники; a 0  среднее
значение сигнала (постоянная составляющая).
Ряд (2.4.1) представляет функцию как сумму гармонических составляющих. В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье. Ее
можно получить на основании формулы Эйлера
20
cos  
при
1 j
(e  e  j )
2
  k1t   k , введя обозначения
  A e jk  комплексная амплитуда k-й гармоники (содержит инA
k
k
формацию о фазе и амплитуде);
  A e  jk  A*  комплексно-сопряженная амплитуда.
A
k
k
k
В комплексной форме ряд (2.4.1) будет иметь вид
x(t)  a 0 
Коэффициенты
1   jk1t   jk1t
1   jk1t
(A k e
 Ake
)  A
.

ke
2 k 1
2 k 
(2.4.2)
 ряда (2.4.2) вычисляются по формуле
A
k
 2
A
k
T
T
2
 x ( t )e
 jk1t
dt .
(2.4.3)
T

2
Формулы (2.4.2) и (2.4.3)  пара преобразований Фурье. Совокупность
  комплексный спектр периодического сигнала x(t).
коэффициентов A
k
Совокупность величин A k  спектр амплитуд. Совокупность величин  k 
спектр фаз.
Спектры амплитуд и фаз можно представлять графически в виде спектрограмм. Например, согласно ряду (2.4.1), вид спектрограмм следующий
(рис.2.5).
Ak
Огибающая
A1
a0
A2
k
Огибающая
спектра
фаз

/2
Ak
1 2 3
k
спектра
амплитуд


1
2 3
k
-
Рис.2.5
Очевидно, спектры периодических сигналов дискретны.
На практике часто достаточно знать лишь амплитудный спектр. Однако
для перехода от спектрального представления к временному обязательно нужно знать спектр амплитуд и спектр фаз (рис.2.6).
21
Ak, k
x(t)
Временная
Частотная
область
область
t

Взаимно однозначная связь
обеспечивается парой преобразований Фурье
Рис.2.6
Ряд (2.4.2) удобно представлять в форме

 e jk1t , где
x(t)   C
k
(2.4.4)
k 

  Ak  1
C
k
2
T
T
2
 x ( t )e
 jk1t
dt .
(2.4.5)
T

2
Спектрограммы, полученные на основании рядов (2.4.1) и (2.4.3) или
(2.4.4) отличаются. Различие следующее:
спектр (2.4.1) односторонний (k и kтолько положительные величины);
спектр (2.4.5) двусторонний (k и k имеют положительные и отрицательные значения) (рис.2.7).
Поэтому амплитуды спектра на основе ряда (2.4.1) в два раза больше амплитуд спектра (2.4.5) на основе ряда (2.4.4).

Ck  Сk
C0  a 0
C1
C2
C1
C2
Ck
-k

1
Ck  Ak
2
Спектр (2.4.6)
Ck
-3 -2 -1 0
1 2 3

k
Рис.2.7
Физическое представление отрицательных частот  математическая абстракция. Область отрицательных частот нельзя отбрасывать. При различных
преобразованиях спектра это приводит к ошибкам.
2.4.2. Непериодические сигналы
Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция
x(t) непериодическая, T. На основании (2.4.2) и (2.4.3), учитывая
1/T=1/2, имеем
22
1  jk t 2
x(t )   e 1
2 k 
T
T
2
T
2
1 
 jk 1t
jk 1t
 jk  t
x
(
t
)
e
dt


e
x(t )e 1 dt .

T

1
2 k 
T


2
При T сумма переходит в интеграл, величина
2
k 1   , а
 1  d , где  текущая непрерывная частота. Тогда получим:


1
x(t ) 
e jt d   x(t )e  jt dt

2 


или
x(t ) 
1
F ( j)e jt dt   1 [F ( j)] ,

2 
(2.4.6)

где
F ( j) 
 x(t)e
 jt
dt  [x(t )] .
(2.4.7)

Формулы (2.4.7) и (2.4.6) определяют соответственно прямое и обратное
преобразование Фурье. В них Ф и Ф-1  обозначение прямого и обратного
операторов Фурье .
Формулы (2.4.7) и (2.4.6)  пара интегральных преобразований Фурье.
Функция F(j) называется спектральной функцией или комплексным
спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и
отрицательных частотах.
Значения спектральной функции при положительных и отрицательных
значениях частоты  комплексно сопряжены. Поэтому (2.4.6) можно записать
в виде

1
x(t )  Re  F ( j)e jt d  ,

0
где Re  обозначение взятия действительной части.
Интеграл Фурье (2.4.7) представляет непериодическую функцию в виде
суммы бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде и бесконечно
jt
близких по частоте гармонических колебаний e . Поэтому непериодическая
функция имеет непрерывный, т. е. сплошной, спектр. Другими словами, в
непериодической функции имеются все частоты.
Согласно (2.4.6), комплексная амплитуда элементарного колебания
e jt равна
dA( j) 
1
F ( j)d .

23
Отсюда следует
F ( j)  
dA( j)
,
d
т. е. спектральная функция характеризует не амплитуду, а спектральную
плотность амплитуд.
Спектральную функцию можно представить в виде
F ( j)  a ()  jb()  A()e j( ) ,
где
A()  a 2 ()  b 2 ()  F ( j)  спектр амплитуд (тоже харак-
теризует не амплитуду, а спектральную плотность амплитуд);
()  arctg
b( )
 спектр фаз.
a ()
2.4.3. Связь преобразований Фурье
Сравнение (2.4.1) и (2.4.2) дает:
  2C
 ;
2a 0  A 0 = 2C 0 , A k  A
k
k
  arg C
 , k  1,2,3...;
  arg A
k
k
k
  (a  jb ) , A
  (a  jb ) .
A
k
k
k
k
k
k
Сравнение (2.4.2) и (2.4.7) позволяет записать:
 T и A
  2 F( jk ) .
F( jk 1 )  A
k
k
1
2
T
Сравнение (2.4.4) и (2.4.7) дает:
 T
F( jk1 )  C
k
  1 F( jk  ) .
и C
k
1
T
Отсюда следует, что для сигналов одинаковой формы дискретная функ-
 ,k
ция A
k
 0,  1,  2,... вписывается в непрерывную функцию
2
F 0 ( j)  F ( j),
T
которую называют огибающей дискретного спектра периодического сигнала.
Для дискретной функции
 огибающая спектра
C
k
1
F0 ( j)  F( j) .
T
24
2.4.4. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье путем перехода от вещественной частоты  к комплексной частоте p:

F ( p)   x(t )e  pt dt  Lx(t )  прямое преобразование;
0
c  j
x(t ) 
1
F ( p)e pt dp  L1  F ( p)  обратное преобразование,

2 j c  j
где p  c  j  оператор Лапласа, понимается как комплексная частота;
L и L-1  обозначения прямой и обратной операций преобразования
Лапласа;
F(p)  изображение оригинала x(t).
При с=0 преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье.
2.4.5. Понятие текущего и мгновенного спектров
Определение текущего спектра имеет вид
t
F t ( j)   x( )e  j d  .
0
Текущий спектр показывает развитие частотных свойств сигнала x(t) во
времени (рис.2.8). При его нахождении осуществляется “последовательное”
интегрирование сигнала (пунктирная линия на рис.2.8 перемещается по стрелке).
x()
0

t
Рис.2.8
Определение мгновенного спектра имеет вид

F T ( j, ) 
 x(t)e
 jt
dt .
 T
Мгновенный спектр показывает частотные свойства сигнала в данный момент времени. При его определении осуществляется “скользящее” интегрирование сигнала (рис.2.9, где заштрихованная область перемещается, т.е. скользит по оси времени).
25
x(t)
T
-T

Рис.2.9
t
2.4.6. Основные свойства преобразований Фурье
Для удобства введем обозначение взаимного соответствия между временным и спектральным представлением сигнала:
x(t )  F ( j) ,
где F(j)  прямое преобразование Фурье функции x(t);
x(t)  обратное преобразование Фурье спектральной функции F(j).
Преобразования выполняются по формулам (2.4.6) и (2.4.7).
1. Условие существования интегрального преобразования Фурье.

 x(t ) dt   ,

т. е. функция x(t) должна быть абсолютно интегрируемой. Это условие является достаточным, но не необходимым. Существуют функции абсолютно неинтегрируемые, но имеющие преобразование Фурье. Для них преобразование
Фурье получают в результате предельного перехода.
2. Принцип суперпозиции.
Если x k (t )  F k ( j) , где k= 1, 2, 3,..., n , то
n
n
k 1
k 1
x(t )   x k (t )   F k ( j)  F ( j) ,
т.е. спектр суммы функций равен сумме спектров слагаемых. Преобразование
Фурье  линейная операция.
3. Свойство изменения масштаба.
Если x(t )  F ( j) , то x(qt ) 
1  j 
F  ,
q  q 
где q  действительная постоянная величина.
Доказательство:
x(qt ) 

 x(qt)e
 jt
dt, q  0.

Обозначим
z  qt, dt  dz . Отсюда следует
q
26
j

 z
1
1  j 
 x(qt )   x( z)e q dz  F   .
q 
q  q 
Таким образом, при изменении масштаба времени в q раз масштаб частот
для спектра меняется в 1/q раз. Значит, увеличение длительности сигнала
приводит к сужению его спектра. И наоборот, чем короче сигнал по времени,
тем шире его спектр.
4. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания).
Если x(t )  F ( j) , то x( t  t 0 )  F ( j)e
 jt 0
, где t0  время за-
паздывания. Доказательство подобно свойству 3 при z  t  t 0 .
Выразим спектральную функцию через спектры амплитуд и фаз. Тогда
получим:
F ( j)e
 jt 0
 A()e j( ) e
 jt 0
 A()e
j [ (  )  0 ]
, где
 0  t 0 .
Итак, при сдвиге на t0 амплитудный спектр не изменяется. Изменится только
спектр фаз на величину  0  t 0 .
5. Спектры производной и интеграла.
Если x(t )  F ( j) , то
dx(t )
 ( j)F ( j)
dt
t
и
y(t ) 
1
 x()d  j F ( j).

Доказательство:
d
1 d
x(t ) 
dt
2 dt

 F ( j)e
jt


1
jt
d 
 F ( j) je d  ,
2 
где F ( j) j  спектральная функция производной.
Учитывая равенство
dy(t )
 x(t ) , можно подобным образом доказать
dt
второе соотношение.
6. Свойство частотного сдвига (теорема о переносе спектра).
Если x(t )  F ( j) , то
x(t )e j 0t  F  j(   0 ) .
Действительно, выполняя преобразование Фурье сигнала x( t )e
чим:


 x(t )e j 0t 




j 0 t
, полу-
j t  jt
 j(    ) t
 x(t)e 0 e dt   x(t)e 0 dt F  j(   0 ) .
27
j t
Таким образом, умножение на функцию e 0 во временной области эквивалентно сдвигу на  0 в частотной области. В результате такого умножения
весь спектр F ( j) переносится на частоту
0 .
Обычно перенос спектра осуществляется умножением сигнала x(t) на косинусоидальный сигнал cos 0 t . Этот сигнал согласно формуле Эйлера можно выразить суммой экспонент. Поэтому умножение x(t) cos 0 t смещает
весь частотный спектр сигнала x(t):


1
j t
 j t
x(t )e 0  x(t )e 0 .
2
x(t )cos  0 t 
Отсюда следует
x(t )cos  0 t 


1
F{ j(   0 )  F{ j(   0 ) .
2
Пример переноса спектра (рис.2.10).
A ()=F(j
x(t)

t

0
Az()
z(t)=x(t)cos0t
A(+0)/2

t

-0
0
Рис.2.10
7. Теорема о свертке.
Свёрткой двух функций называется интеграл вида

f (t ) 
 f ()f

1
2
(t  )d   f1 (t ) f 2 (t ) ,
где   знак операции свёртки функций.
Если x (t )  F ( j) и x (t )  F
1
1
A(-0)/2
2
2
( j) , то
0
28

а)
 x ()x
1
2
(t  )d   x1 (t ) x 2 (t )  F1 ( j)F 2 ( j) ,

т.е. свертка двух функций во временной области эквивалентна перемножению
их спектров в частотной области;

б)
1
1
x 1 (t )x 2 (t ) 
F1 ( z)F 2 (  z)dz 
F1 ( j) F2 ( j) ,

2 
2
т.е. перемножение двух функций во временной области эквивалентно свертке
их спектров в частотной области.
2.5. Энергетические характеристики сигналов
2.5.1. Энергетический и мощностный спектры
Как известно, в электротехнике мощность P и энергия E определяются
выражениями
U2
P
 I 2 R ; E  Pt m ,
R
где U  напряжение; I  ток; R  сопротивление; tm  время наблюдения. Эти
энергетические характеристики пропорциональны квадрату напряжения или
тока.
Пусть
 t t 
x(t ), t   m , m  есть напряжение (или ток) на сопротивле 2 2
нии R = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области мгновенная мощность, средняя мощность и энергия будут равны:
tm
1
P(t )  x 2 (t ); P 
tm
где обозначение
2


tm
tm
2
2
x
x 2 (t )dt  x 2 (t ); E  Pt m 

tm
2
(t )dt ,
2
x (t ) означает усреднение по времени квадрата сигнала.
2
Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодом
T=tm, то среднюю мощность можно находить, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:
P  a 20 
1  2
 A k  для ряда (2.4.1);
2 k 1
29
P
A 02 1  
  Ak
4 2 k 1


P  C 02  2 C
k
2
2
 для ряда (2.4.2);
 для ряда (2.4.4).
k 1
Часто сигнал задается на бесконечном интервале
P  lim
t m 
1
tm

tm 2
x
,  . Тогда
2
(t )dt; E 
t m 2
x
2
(t )dt .

Здесь различают два вида сигналов:
E  E 0  const ,P  0  импульсный сигнал,

t m  E  ,P  P  const  мощностный сигнал.
0


Понятие энергии
теряет смысл
Пусть t  [,  ] и энергетический сигнал x(t )  F ( j) . Выразим
энергию сигнала через его частотную характеристику. Для этого в выражении
x2(t) одну из функций представим в виде обратного преобразования Фурье.
Тогда энергия сигнала
 1 

jt
E   x (t )dt   x(t )x(t )dt   x(t ) 
F
(
j

)
e
d

dt .




 2  




2
Изменим порядок интегрирования. Тогда



1
jt
E
F
(
j

)
x
(
t
)
e
dt

d  .


2 


Внутренний интеграл в квадратных скобках имеет вид

 x(t)e
jt
dt  F (  j)  F  ( j)  комплексно-сопряженная функция.


Так как F ( j)F ( j)  F ( j)
2
 A 2 () , где A()  амплитудный
спектр, то окончательно получим

E
2
 x (t)dt 



1
1
2
F ( j) d    A 2 ()d  .

2 
0
Это соотношение называется равенством Парсеваля (или теоремой Рейли).
30
A 2 ( )
d   dE  это доля энергии сигнала, приходящаяся

на полосу частот (,   d ) .
Величина
Функция F ( j)
2
 A 2 ()  E() называется спектральной плот-
ностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в 1 рад/с.
Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как
понятие энергии теряет смысл. Пусть функция x(t) задана на конечном интервале tm и имеет спектральную функцию
F t m ( j) 
tm 2
 x(t )e
 jt
dt .
t m 2
Тогда энергия сигнала конечна и равна
E tm 
tm 2
2
 x (t )dt 
t m 2
Средняя мощность при
t m   будет
tm
1
P  lim
t m  t
m

2
1
F t m ( j) d  .

2  
2

Ft m ( j)
1
2
x (t )dt 
lim
 t m  t m d 
2 
2

t m
2


1
1

S()d    S()d  ,

2 
0
где S()  lim
t m 
F t m ( j)
tm
2
 спектральная плотность мощности.
Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об
амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами
фаз будут иметь одинаковые спектры плотности мощности.
Данному сигналу соответствует единственный спектр плотности мощности. Обратное утверждение неверно: один и тот же спектр плотности мощности соответствует большому числу сигналов.
2.5.2. Корреляционная функция
В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально вы-
31
бранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической
простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального
решения измерительной задачи.
В качестве примера рассмотрим упрощенную идею измерения толщины
материала ультразвуковым толщиномером (рис.2.11).
x(t-)
h
1
x(t-1)
УС1
2
1
x(t-)
x(t)
УС2
УЗ 2
ПЭ
ИЭ
N
N
УСN
x(t)
x(t)
x(t- )
N
Рис.2.12
Рис.2.11
На рис.2.11 ИЭ и ПЭ  излучающий и приемный элементы. Информация о
толщине h материала заложена в величине задержки  по времени между зондирующим x(t) и принятым x(t-) сигналами. Формы зондирующего и принимаемого сигналов одинаковы при любых задержках.
Структура системы обработки этих сигналов в толщиномере дана на
рис.2.12. Система обработки состоит из устройства задержки (УЗ) зондирующего (эталонного) сигнала на отрезки времени 1, 2, ..., N. Задержанные
сигналы и принятый сигнал подаются на устройства сравнения (УС). На выходе УС сигнал появляется, если оба входных сигнала являются “копиями” друг
друга. Зная номер УС, где происходит это событие, можно измерять задержку
=i и, значит, толщину материала, где i  номер УС.
Точность такой системы обработки растет с увеличением степени отличия
друг от друга сигнала x(t) и его “копии” x(t-), смещенной во времени.
Аналогичная идея работы лежит в основе измерения дальности до цели с
помощью импульсного радиолокатора. Здесь также информация о дальности
заложена в задержке  между зондирующим x(t) и принимаемым x(t-) сигналами.
Для количественной оценки степени различия сигналов x(t) и x(t-) применяют автокорреляционную функцию (АКФ) B() сигнала x(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:

B( ) 
 x(t)x(t  )dt .

32
Если x(t) носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.
Основные свойства автокорреляционной функции:
1) B(0)  E  при=0 АКФ равна энергии сигнала;
 функция четная;
2) B( )  B(  )
3)
B( )  B(0)  E  при любом  модуль АКФ не превос-
ходит энергии сигнала.
В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса
с амплитудой U и длительностью и (рис.2.13).
x(t)
U
B()
B(0)=E
E=U2и

и
x(t-)

0

+и

-и
0
и
Рис.2.13
На рис.2.13 затененные области показывают наложение сигналов, при котором произведение x(t)x(t-) отлично от нуля. Это будет при
  и .
Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала x(t)
АКФ убывает монотонно или колебательно.
Установим связь между АКФ B() сигнала x(t) и его энергетическим
спектром E(). Пусть сигнал имеет преобразование Фурье, т.е.
x(t )  F ( j) . Тогда согласно теореме о временном сдвиге спектральная
функция смещенного во времени сигнала x(t+) имеет вид
F  ( j)  F ( j)e j .
Выражая функцию x(t+) через обратное преобразование Фурье, можно записать АКФ в виде
 1 

B( )   x(t ) 
F  ( j)e jt d  dt 


 2  




 1



1
j jt
j
  x(t ) 
F ( j)e e d  dt 
F ( j)e   x(t )e jt dt d  .


2  

 2  




Так как интеграл
33

 x(t)e
jt
dt  F (  j)  F  ( j)

есть
комплексно-сопряженная

спектральная
функция
и
произведение
2
F ( j)F ( j)  F ( j)  E() , то получим

B( ) 

1
1
2
j
F ( j) e j d  

 E()e d .
2 
2 
Отсюда следует, что АКФ является обратным преобразованием Фурье энергетического спектра E(). Очевидно, будет справедливо и прямое преобразование Фурье:

E() 
 B()e
 j
d

Итак, энергетический спектр E() и автокорреляционная функция
2
B() связаны преобразованием Фурье, т.е. B( )  E()  F ( j) .
Таким образом, можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала,
тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме
сигналов x(t-i) и x(t-) при изменении задержки i (см. систему обработки на
рис.2.12). Поэтому при проектировании таких систем зондирующий сигнал
целесообразно выбирать широкополосным.
В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ
могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации.
Два сигнала x(t) и y(t) могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяют
взаимно корреляционную функцию (ВКФ) Bxy(). ВКФ двух вещественных
сигналов x(t) и y(t) определяется как скалярное произведение вида

Bxy ( )  (x, y  ) 
 x(t)y(t  )dt .

Основные свойства взаимно корреляционной функции:
1) B xy ( )  B yx (  ) ; 2) B xy ( )  B xy (  )  нечетная функция;
34
3)
Bxy ( )  (x, y  )  x  y   ограниченная функция (следует из
неравенства Коши  Буняковского);
4) в отличие от АКФ при   0 ВКФ необязательно имеет максимум.
2.6. Примеры детерминированных сигналов
и их математическое описание
1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
(рис.2.14).
x(t)
T

-
U

T
(T-/2)
t
T
Рис.2.14
Основные параметры последовательности импульсов: U  амплитуда;  
длительность; T  период. Дополнительные параметры:
Q
T

 скважность, q 
 коэффициент заполнения.
T

Математическая запись в форме аналитической функции:
U п ри    t   ,

2
2
x(t )  
0 п ри  2  t  T   2 .
На основании формулы (2.4.3) для прямого преобразования Фурье найдем
комплексный спектр

T
2
2
  2 x ( t )e  jk1t dt  2 Ue  jk1t dt   2U e  jk1t
A
k
T T
T 
jk1T
2

2


2
2
  k1  

jk1 2
 jk1 2 
 sin 

4U e
e
4U
 k1  2U   2  

sin 
.



k1T 
2j
T  k1 
 k1T  2 


2



Sa ( z )