task_14543x

ЗАДАНИЕ 3.
Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:

(1) n (n 7  5n 3  1)
1 

n
a)
;
b
)
(

1
)
ln
1



2  ;
10  3n 2  n 9
 n 
n2
n 1

29.

1
1
c) (1) n sin  tg
n
n
n 1
ЗАДАНИЕ 4.
Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :
( x  4)3n  4n
a) 
;
n3  2
n 1


29.
б)
e
 n4
 sin
n 1
1
n2 x2
ЗАДАНИЕ 5.
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:
1  e x / 2
0 x dx
2,5
0,4
29)
30)

1
4
0,5
625  x
4
dx
ЗАДАНИЕ 6.
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального
уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :
29) y'  e  x  ( x  1) y; y(0)  0
Образцы решения и оформления задач
Вариант 0
ЗАДАНИЕ 1.
Найти сумму ряда:

а)
1
;

2
n 1 9n  3n  2

б)
1
 n(n  1)(n  2)
n 1
Решение.

а)
 9n
n 1
2
1
;
 3n  2
1. Разложим на множители знаменатель дроби:
39 2
 ( ; 1 )
3
3
18
9n2  3n  2  9(n  2 )(n  1 )  (3n  2)(3n  1)
3
3
1
2. Разложим дробь
на сумму двух простых дробей:
(3n  2)(3n  1)
1
A
B
A(3n  1)  B(3n  2)



(3n  2)(3n  1) (3n  2) (3n  1)
(3n  2)(3n  1)
A(3n  1)  B(3n  2)  1;
9 x 2  3x  2  0; D  9  4  9  (2)  81; x 
3 A  3B  0;

 A  2 B  1;
1
1
A ; B
3
3
3. Найдем сумму n первых членов ряда:
1
1
1
1
1
1
1
3
3 
Sn  



 


1  4 4  7 7 11
(3n  2)(3n  1) n (3n  2) (3n  1)
n (3n  2)(3n  1)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
(  )(  )(  ) (

)(

)
 3
1
4
4
7
7 11
3n  5 3n  2
3n  2 3n  1
1 3n  1
4. Предел частичной суммы при n→∞ существует
1
1
1
lim Sn  lim (1 
)
n
n 3
3n  1
3
и равен сумме ряда
Ответ: S=1/3

б)
1
 n(n  1)(n  2)
n 1
Решение.
1Разложим дробь
A на сумму
B трехCдробей
 

n(n  1)(n  2) n n  1 n  2
A(n  1)(n  2)  Bn(n  2)  Cn(n  1)  1;
Отсюда A=1/2, В=-1, С=1/2
1.
Найдем сумму n первых членов ряда
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Sn  



 


 2 
1 2  3 2  3  4 3  4  5
n( n  1)( n  2) n n n  1 n  2
n n( n  1)( n  2)
1
1
1
1
1 12
2 12
1 12
1 12
2
2
2
2
(   )(   )(   )(   )
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
( 2 
 2 )( 2 
 2)  ( 2   2 )  ( 2 
 2 )
n  3 n  2 n 1
n  2 n 1 n
n 1 n n 1
n n 1 n  2
1
1
1
1 1
1
 2  2 2 
 2
1 2 2 n 1 n 1 n  2
Предел частичной суммы при
2.
1
1
1 1 1
1
2
 2 )
n→∞ существу lim S n  lim(   
n
n 2
2 4 n 1 n  2 4
2.Исследовать ряды на сходимость:
2n  1
;

n0 3n  2

а)
Решение.

1
;
b) 
3
n2 n ln n

n!
c)  n ;
n1 5

1
d)  n .
n1 n
2n  1
;

3
n

2
n 0

а)
Найдем предел общего члена данного ряда an при неограниченном возрастании его номера n
1
2n  1
n  2.
lim
 lim
n 3n  2
n
2 3
3
n
Необходимый признак сходимости
lim an  0
2
n
для этого ряда не выполняется. Поэтому данный
ряд расходится
Ответ: ряд расходится по необходимому признаку

b)
1
 n ln
n2
Решение.
3
n
;
Исследуем по интегральному признаку сходимость этого ряда
Заменим в заданном выражении общего члена ряда
димся, что полученная функция
f ( x) 
1
x ln 3 x
an 
1 номер n
n ln 3 n
непрерывной переменной x и убе-
является непрерывной и убывающей во всем интервале из-
менения x.
Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом


2

b
1
1
3
dx

lim
(ln
x
)
d
(ln
x
)

lim(

) 
2
b 
b
x ln 3 x
2ln
x
2
2
 lim(
b
1
1
1

)

2ln 2 2 2ln 2 b 2ln 2 2
Несобственный интеграл сходится, поэтому согласно интегральному признаку и ряд сходится.
Ответ: ряд сходится по интегральному признаку

c)
n!
5
n1
n
;
Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера.
Зная n-й член ряда an,
n через n+1 :
an1 
an 
n!
находим следующий за ним
5n
(n  1)!
.
5n1
(n+1)-й член, заменяя в выражении n-го члена
Затем ищем предел отношения последующего члена an+1 к предыдущему an при неограниченном возрастании
n:
an1
(n  1)!5n
n 1
  lim
 lim

lim
 
n 1
n a
n
n
5
n
!
5
n
Так как ρ>1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится.
Ответ: ряд расходится по признаку Даламбера

d)
1
n .
n1
n
Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку сравнения .
Сравним данный ряд с эталонным рядом. Каждый член данного ряда
1
, начиная с третьего, меньше
nn

1 1 1 1
  2 3 ,

n
2 2 2
n1 2
an 
соответствующего члена бесконечной геометрической прогрессии,
которая представляет сходящийся ряд, ибо ее знаменатель q=1/2<1.
Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
Ответ: ряд сходится по признаку сравнения
ЗАДАНИЕ 3.
Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:
n1



(1)
a)
 2n  1
n1
b)
cos na
2n
n 0

c)
 sin
n1
n
3
Решение.
(1)n1
a) 
n1 2n  1

Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:
1 1 1
1   
3 5 7
1
0
n 2n  1
; lim
Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно (неабсолютно), исследуем ряд с положительными

членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда:
Применим интегральный признак:
1

n1 2n  1

1
1
d (2 x  1) 1
1
dx

lim

limln(2
x

1)

limln(2b  1)  .
1 2 x  1 2 b 1 2 x  1 2 b
b
2
1
b
b
Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с положительными членами. А данный
знакочередующийся ряд сходится условно.
Ответ: ряд сходится условно.

b)
cos na

2n
n 0
Решение.
Заменим члены данного знакопеременного ряда , где ∝-любое число, их абсолютными значениями и исследу

ем полученный ряд с положительными членами:
n 0
cos na
2n
.

Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией
1

n
n 0 2
, которая есть ряд сходящийся.
cos na
Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена прогрессии:
2
n

1
.
2n
Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно

c)
 sin
n1
n
3
Решение.
Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости:
lim an  limsin
n
n
n
3
не существует. Вследствие этого он расходится.
Ответ: ряд расходится
ЗАДАНИЕ 4.
Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :
( x)n
;
n 1
3
n
n 1


a) 
Решение.
б)
1
 n( x  2)
n 1
n
.
( x)n
a )  n1 ;
n
n 1 3

По известному члену ряда un заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1
( x) n
( x) n1
un  n1
; un1  n
.
3
n
3 n 1
Далее, используя признак Даламбера, ищем предел
x
x
un1
( x) n1 3n1 n
n
  lim
 lim n
 lim

n
n u
n 3
3
n 1 3
n  1 ( x)
n
n
И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство
x
 1;
3
x  3;  3  x  3.
Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится ( абсолютно), а при
x 3
расходится.
Граничные точки x=±3 этого интервала, для которых ρ=1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.

При x=-3 получим числовой ряд с положительными членами

n 1

сравнения его с расходящимся гармоническим рядом
3 , который расходится, что следует из
n
1
 n . (Каждый член исследуемого ряда больше соотn 1
ветствующего члена гармонического ряда.)

При x=3 получим числовой знакочередующийся ряд
 (1)
n 1
n
3
, который сходится
n
согласно признаку
Лейбница.( Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю.)
Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал -3<x≤3.
Ответ: -3<x≤3.

б)
1
 n( x  2)
n 1
n
Решение.
Используем признак Даламбера:
un 
1
1
;
u

;
n

1
n( x  2)n
(n  1)( x  2)n1
  lim
n 
un1
n( x  2) n
n
1
lim

lim

.
un n (n  1)( x  2) n1 n (n  1) x  2 x  2
Определим, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решим неравенство
1
 1;
x2
x  2  1;
 x  2  1,    x  3,
x  2 1
 1  x  .


Границы двух найденных интервалов исследуем особо.
При x=-3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом
un 
1
n(1)n
, который сходится со-
гласно признаку Лейбница.

При x=-1 получим гармонический расходящийся ряд
1
n.
n 1
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов
-∞<x<-3, -
1<x<+∞.
Ответ: -∞<x<-3,
-1<x<+∞
ЗАДАНИЕ 5.
1
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:
 cos
xdx
0
Решение.
Пользуясь рядом Маклорена для cosx,( приложение 2) заменяя в нем x на
cos x  1 
2
3
4
x x
x x
   
2! 4! 6! 8!
x , имеем
( x  0).
Интегрируя в указанных пределах, получим
1
1
x x 2 x3 x 4
0 cos xdx  0 (1  2!  4!  6!  8! 
1
x2
x3
x4
x5
)dx  x 




2!2 4!3 6!4 8!5
1

0
1
1
1
1




2!2 4!3 6!4 8!5
Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:
1
 cos xdx  1 
0
1
1
1
1 1
1


1 

 0,7635.
2!2 4!3 6!4
4 72 2880
Ответ: 0,7635
ЗАДАНИЕ 6.
Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального
уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :
y ' xy 2  2cos x ;
y(0)  1
Решение.
Пусть искомый интеграл есть степенной ряд
2
3
n
0
1
2
3
n
где a0, a1,… an— неизвестные, подлежащие определению постоянные.
Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором интервале значений x, найдем ряд для его производной почленным дифференцированием
2
n1
1
2
3
n
y a a xa x a x 
y '  a  2a x  3a x 
a x 
 na x

(1)
Ряд y2 найдем почленным умножением ряда (1) на себя
y 2  a02  2a0 a1 x  2a0 a2 x 2  2a0 a3 x3 
 a12 x 2  2a1a2 x3 
.
Функцию cosx также разложим в ряд по степеням x:
x2 x4 x6
cos x  1    
2! 4! 6!
Подставляя эти ряды вместо y’ и y2 и cosx в заданное уравнение, получим:
(a1  2a2 x  3a3 x 2  4a4 x3  5a5 x 4  )  x(a02  2a0 a1 x  2a0a2 x 2 
x2 x4 x6
2a0 a3 x   a x  2a1a2 x  )  2(1     );
2! 4! 6!
2
2
a1  (2a2  a0 ) x  (3a3  2a0 a) x  (4a4  2a0 a2  a12 ) x 3 
3
2 2
1
3
x 4 x6
 2 x  

12 360
(5a5  2a0 a3  2a1a2 ) x 
4
2
Согласно начальному условию y(0)=a0=1.
a1  (2a2  1) x  (3a3  2a1 ) x 2  (4a4  2a2  a12 ) x3 
(5a5  2a3  2a1a2 ) x 
4
x4 x6
 2 x  

12 360
2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны только при этом условии, получим следующую систему:
x 0 : a1  2
x1 : 2a2  1  0
x 2 : 3a3  2a1  1
x 3 : 4a4  2a2  a12  0
x 4 : 5a5  2a3  2a1a2 
1
12
Найдем первые коэффициенты : a1=2, a2=-1/2, a3=-5/3, a4=-5/4, a5=13/12 и т.д.
Следовательно, искомый интеграл есть
1
5
y  1  2 x  x 2  x3 
2
3
1
5
Ответ: y  1  2 x  x 2  x 3 
2
3
Приложение 1
Таблица основных интегралов
1.
 du  u  C.
3.

du
 2 u  C.
u
2.
u m1
 u du  m  1  C.
4.
m
du
u
 ln u  C.
5.
au
 a du  ln a  C.
7.
 sin u du   cos u  C.
8.
9.
 tgu du   ln cos u  C.
10.
u
11.
 sh u du  ch u  C.
13.
 cos
15.
 sin u  ln tg 2  C.
17.
 ch u  th u  C.
du
2
u
u
du
u
 C.
a
 ctgu du  ln sin u  C.
 ñh u du  sh u  C.
du
 sin
16.
 cos u  ln tg  2  4   C.
2
u
 ctg u  C.
du
 sh u  cth u  C.
2
du
21.
a
2

u 2
a2
u
2
a  u du 
a  u  arcsin  C.
2
2
a

u 2
a2
2
u  a du 
u  a  ln u  u 2  a 2  C.
2
2
23.
24.
a u
2
20.
du
1
u
 arctg  C.
2
u
a
a
2
2

u
du

2
 C.
 cos u du  sin u  C.
19.
 arcsin
u
14.
18.
2
du
u
12.
 tg u  C.
du
 e du  e
6.

22.
a u
2
a
2
2
 ln u  a 2  u 2  C.
du
1
au

ln
 C.
2
u
2a a  u
2
2
Приложение 2
Ряды Тейлора и Маклорена
Ряд Тейлора
f ''(a)
f ( x)  f (a)  f '(a)( x  a) 
( x  a)2 
2!
f ( n ) (a)

( x  a)n 
n!


n 0
f ( n ) (a )
( x  a) n (1  x  1)
n!
Ряд Маклорена
f ''(0) 2
f ( x)  f (0)  f '(0) x 
x 
2!
f ( n ) (0) n

x 
n!


n 0
f ( n ) (0) n
x (1  x  1)
n!
Приложение 3
Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций
m(m  1) 2 m(m  1)(m  2) 3
m(m  1) (m  n  1) n
x 
x  
x 
(1  x  1)
2!
3!
n!
x3
x5
x7
x 2 n 1
sin x  x 



 (1) n

(  x   )
3! 5! 7!
(2n  1)!
1. (1  x)m  1  mx 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x2 x4 x6
cos x  1 



2! 4! 6!
x2n
 (1)

(2n)!
n
(  x   )
n
x2
x3
x4
n 1 x
ln(1  x)  x 



 (1)

(1  x  1)
2
3
4
n
x2
x3
x4
xn
ln(1  x)   x 





(1  x  1)
2
3
4
n
x2
x3
x4
xn
x
e 1 x 





(  x  )
2! 3!
4!
n!
1
2 5
17 7
62


tgx  x  x 3 
x 
x 
x9 
(  x  )
3
15
315
2835
2
2
arcsin x  x 
1 x3 1 3 x5 1 3 5 x 7

  
   

2 3 2 4 5
2 4 6 7

1  3  5   (2n  1) x 2 n1


2  4  6   (2 n) 2 n  1
(1  x  1)
2 n 1
x3
x5
x7
n x
9. arctgx  x 



 (1)

(  x  )
3
5
7
2n  1
x3
x5
x7
x 2 n 1
10. s hx  x 





(  x   )
3! 5! 7!
(2n  1)!
x2
x4
x6
x2n
11. chx  1 





(  x  )
2! 4! 6!
(2n)!
1
12.
 1  x  x 2  x3 
 xn 
(1  x  1)
1 x