Самостоятельная работа по теме «Натуральные и целые числа

Самостоятельная работа по теме «Натуральные и целые числа»
Вариант 1
1. Найдите НОД и НОК чисел 195; 156; 260
2. Найдите все простые числа 𝑝 и 𝑞 такие, что 5𝑝 + 17𝑞 = 140
3. В числе 2354 ∗ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число
делилось: а) на 3; б) на 6
4. Докажите, что число 915 − 327 делится на 26
Самостоятельная работа по теме «Натуральные и целые числа»
Вариант 2
1. Найдите НОД и НОК чисел 324; 111; 432
2. Найдите все простые числа 𝑝 и 𝑞 такие, что 7𝑝 + 3𝑞 = 86
3. В числе 233 ∗ 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы число
делилось: а) на 4; б) на 12
4. Докажите, что число 236 + 416 делится на 17
Самостоятельная работа по теме «Свойства функций»
Вариант 1
1. а) Исследуйте функцию 𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 − 4 на монотонность, если
𝑥 ≤ −2
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 𝑦 =
−𝑥 2 − 4𝑥 − 4 на отрезке [−4; −1]
2. Известно, что 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает на 𝑅. Решите:
а) уравнение 𝑓(2𝑥 2 + 𝑥) = 𝑓(6𝑥 + 3); б) неравенство 𝑓(𝑥 2 + 𝑥 +
1) > 𝑓(1 − 2𝑥 2 )
3. Решите уравнение √5𝑥 + 1 = 13 − 𝑥
Самостоятельная работа по теме «Свойства функций»
Вариант 2
1. а) Исследуйте функцию 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 на монотонность, если 𝑥 ≥ −1
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 𝑦 = 𝑥 2 +
2𝑥 на отрезке [−2; 3]
2. Известно, что 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает на 𝑅. Решите:
а) уравнение 𝑓(3𝑥 2 + 4) = 𝑓(8𝑥 − 1); б) неравенство 𝑓(2𝑥 2 + 1) <
𝑓(2 − 2𝑥 2 )
3. Решите уравнение √3𝑥 + 1 = 14 − 2𝑥
Самостоятельная работа по теме «Функция. Область определения и
область значений функции»
Вариант 1
1. 𝑓(𝑥) = 2√1 − 𝑥 − |𝑥|. Найдите 𝑓(−3).
𝑥 2 −𝑥+1
2. Найдите область определения функции: а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −3𝑥+2; б)
4𝑥+12
𝑓(𝑥) = √
𝑥−2
6𝑥
; в) 𝑓(𝑥) = |𝑥+3|−|𝑥−3|
3. Найдите область значений функции: а) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 + 45; б)
𝑓(𝑥) = 4 − 2√𝑥 2 + 5𝑥
Самостоятельная работа по теме «Модуль действительного числа»
Вариант 1
1. Сравните числа √3 + √15 и 3√2
2
2. Упростите √(√5 − 7) + √(√5 − 2)
2
3. Решите уравнение: а) 𝑥 2 + 1 − 6𝑥 = 2|𝑥 − 3|;
б) |3 − 𝑥| − 1 = |𝑥 − 2|
Самостоятельная работа по теме «Функция. Область определения и
область значений функции»
Вариант 2
1. 𝑓(𝑥) = 3√7 − 𝑥 − 2|𝑥|. Найдите 𝑓(−2).
2. Найдите область определения функции: а) 𝑓(𝑥) =
9𝑥−3
2𝑥 2 +3𝑥+3
𝑥 2 −8𝑥+7
; б)
4𝑥
𝑓(𝑥) = √ 𝑥+1 ; в) 𝑓(𝑥) = |2−𝑥|−|𝑥+2|
3. Найдите область значений функции: а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 21; б)
𝑓(𝑥) = 3√𝑥 2 − 4 − 5
Самостоятельная работа по теме «Модуль действительного числа»
Вариант 2
1. Сравните числа √17 + √2 и √19
2
2. Упростите √(2√2 − 1) − √(5 − 2√2)
2
3. Решите уравнение: а) 𝑥 2 + 6𝑥 + 7 = |𝑥 + 3|;
|𝑥 − 1| + 1
б) |2 − 𝑥| =
Самостоятельная работа по теме «Предел функции»
1 вариант
1. Вычислите:
lim(2𝑥 2 − 4𝑥 + 7)
𝑥→2
√𝑥 + 5
𝑥→4
𝑥
𝑥 2 − 36
lim
𝑥→−6 𝑥 + 6
sin 𝑡
lim
𝑡→0 2𝑡
𝑥−4
lim
𝑥→4 √𝑥 − 2
2. 𝑦 = −3𝑥 + 7. Найдите:
а) ∆𝑦 при переходе от точки 𝑥0 к точке 𝑥0 + ∆𝑥;
б) предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при ∆𝑥 → 0
lim
Самостоятельная работа по теме «Производная. Производная
сложной функции»
Вариант 1
1. Найдите производную: а) 𝑥 ∙ sin 𝑥;
𝜋
б)
1−𝑥 4
𝑥2
;
в) (8𝑥 − 15)5 ;
г) √3 − 2𝑥; д) sin (4𝑥 + 6 )
2. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику
функции 𝑦 = 𝑥 2 − 0,5𝑥 4 + 1 образует острый угол с
положительным направлением оси 𝑂𝑥
Самостоятельная работа по теме «Применение производной»
Вариант 1
𝑥3
5𝑥 2
1. Исследуйте функцию на монотонность: а) 𝑦 = 3 − 2 + 6𝑥 − 19
б) 𝑦 = sin 𝑥 − 3𝑥
2. Найдите точки экстремума функции 𝑦 = (𝑥 − 5)2 (2𝑥 + 8) и
определите их характер.
3. При каких значениях параметра 𝑝 функция 𝑦 = 2𝑥 3 − 𝑝𝑥 2 + 𝑝𝑥 −
14 возрастает на всей числовой прямой
Самостоятельная работа по теме «Предел функции»
2 вариант
1. Вычислите:
lim (5 − 3𝑥 − 𝑥 2 )
𝑥→−1
2𝑥
lim
𝑥→3 √𝑥 + 6
𝑥 2 − 5𝑥
lim 2
𝑥→5 𝑥 − 25
2 sin 𝑡
lim
𝑡→0
𝑡
𝑥2 − 4
lim
𝑥→2 √2𝑥 − 2
2. 𝑦 = 5𝑥 + 1. Найдите:
а) ∆𝑦 при переходе от точки 𝑥0 к точке 𝑥0 + ∆𝑥;
б) предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при ∆𝑥 → 0
Самостоятельная работа по теме «Производная. Производная
сложной функции»
Вариант 2
1. Найдите производную: а) 𝑥 2 ∙ cos 𝑥;
𝑥
𝜋
б)
𝑥 5 −5
𝑥3
;
в) √9𝑥 + 1;
г) cos (2 + 4 ); д) (9 − 7𝑥)8
2. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику
функции 𝑦 = 9𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5 образует тупой угол с положительным
направлением оси 𝑂𝑥
Самостоятельная работа по теме «Применение производной»
Вариант 2
2
5
1. Исследуйте функцию на монотонность: а) 𝑦 = − 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 2𝑥 −
10
б) 𝑦 = √4𝑥 + 9 − 2𝑥
𝑥2
2. Найдите точки экстремума функции 𝑓(𝑥) = 1−𝑥 и определите их
характер.
3. При каких значениях параметра 𝑝 функция 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 𝑝𝑥 2 −
3𝑥 + 16 убывает на всей числовой прямой
Самостоятельная работа по теме «Числовая окружность»
Вариант 1
1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует
𝜋 4𝜋 5𝜋
𝜋
данному числу: 𝜋; 4 ; 3 ; 2 ; − 6 ; 2
2. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует
𝜋 𝜋 3𝜋
𝜋
данному числу, и найдите ее декартовы координаты: 2 ; 3 ; 4 ; − 4
3. Найдите на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥 =
запишите, каким числам 𝑡 они соответствуют.
√2
2
и
Самостоятельная работа по теме «Числовая окружность»
Вариант 2
1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует
𝜋 𝜋 5𝜋
𝜋
данному числу: 2 ; 6 ; 3 ; − 4 ; 5; 3𝜋
2. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует
𝜋 5𝜋
𝜋 3𝜋
данному числу, и найдите ее декартовы координаты: 4 ; 6 ; − 3 ; 2
1
3. Найдите на числовой окружности точки с ординатой 𝑦 = 2 и
запишите, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражения
𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝒙 к виду 𝑪 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒕)»
Вариант 1
1. Преобразуйте выражение √3 sin 𝑥 − cos 𝑥
2. Найдите область значений функции 𝑦 = 9 sin 𝑥 + 12 cos 𝑥
3. Решите уравнение sin 3𝑥 + √3 cos 3𝑥 = 2
Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражения
𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝒙 к виду 𝑪 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝒕)»
Вариант 2
1. Преобразуйте выражение sin 𝑥 + cos 𝑥
2. Найдите область значений функции 𝑦 = 2,4 sin 𝑥 − cos 𝑥
3. Решите уравнение √3 sin 2𝑥 − cos 2𝑥 = 2
Самостоятельная работа по теме «Синус и косинус»
Вариант 1
𝜋
𝜋
𝜋
1. Вычислите 𝑠𝑖𝑛𝑡 и 𝑐𝑜𝑠𝑡, если: а) 𝑡 = 6 ; б) 𝑡 = 2 ; в) 𝑡 = − 3 ; г) 𝑡 =
Самостоятельная работа по теме «Синус и косинус»
Вариант 2
𝜋
𝜋
1. Вычислите 𝑠𝑖𝑛𝑡 и 𝑐𝑜𝑠𝑡, если: а) 𝑡 = 4 ; б) 𝑡 = 𝜋; в) 𝑡 = − 6 ; г) 𝑡 =
5𝜋
2𝜋
3
4
√3
.
2
2. Укажите на числовой окружности точки такие, что 𝑐𝑜𝑠𝑡 =
Запишите, каким числам 𝑡 они соответствуют.
4𝜋
5𝜋
3. Определите знак числа: а) 𝑠𝑖𝑛 3 ; б) 𝑐𝑜𝑠 7
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 5
Самостоятельная работа по теме «Обратные тригонометрические
функции»
Вариант 1
1
1. Вычислите: а) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−
б) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(−1) − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝜋
√3
;
2
√3
);
2
1
1. Вычислите: а) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
√2
2
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−1) − 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛0;
1
б) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠1 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− 2);
𝜋
в) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑠𝑖𝑛 6 ); г) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑐𝑜𝑠 3 );
√3
√3
2. Укажите на числовой окружности точки такие, что 𝑠𝑖𝑛𝑡 = 2 .
Запишите, каким числам 𝑡 они соответствуют.
7𝜋
5𝜋
3. Определите знак числа: а) 𝑐𝑜𝑠 6 ; б) 𝑠𝑖𝑛 8
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 6 − 2𝑠𝑖𝑛𝑡
Самостоятельная работа по теме «Обратные тригонометрические
функции»
Вариант 2
д) 𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2)
2. Укажите область определения функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 1)
3. Укажите область значений функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝜋
𝜋
в) 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠0); г) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑐𝑡𝑔 4 );
1
д) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (− 2) − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛1)
2. Укажите область определения функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(0,5𝑥 + 4)
3𝜋
3. Укажите область значений функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2
Самостоятельная работа по теме «Синус, косинус, тангенс суммы и
разности аргументов»
Вариант 1
2𝜋
𝜋
2𝜋
𝜋
𝑡𝑔85°−𝑡𝑔25°
1. Вычислите: а) 𝑐𝑜𝑠 5 𝑐𝑜𝑠 10 − 𝑠𝑖𝑛 5 𝑠𝑖𝑛 10; б) 1+𝑡𝑔85°𝑡𝑔25°
2. Решите уравнение: а) 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 = −0,5;
𝜋
б) √2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 4 ) − 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝜋
√3
2
Самостоятельная работа по теме «Синус, косинус, тангенс суммы и
разности аргументов»
Вариант 2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑡𝑔4°+𝑡𝑔26°
1. Вычислите: а) 𝑠𝑖𝑛 8 𝑐𝑜𝑠 24 + 𝑐𝑜𝑠 8 𝑠𝑖𝑛 24; б) 1−𝑡𝑔4°𝑡𝑔26°
2. Решите уравнение: а) 𝑐𝑜𝑠7𝑥𝑐𝑜𝑠8𝑥 + 𝑠𝑖𝑛7𝑥𝑠𝑖𝑛8𝑥 =
𝜋
1
б) √2𝑠𝑖𝑛 ( 4 − 𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − 2
3. Найдите 𝑡𝑔𝛼, если 𝑡𝑔 (𝛼 + 4 ) = 4
𝜋
√3
;
2
1
3. Найдите 𝑡𝑔𝛽, если 𝑡𝑔 (𝛽 − 4 ) = 6
Самостоятельная работа по теме «Действия с комплексными
числами»
Вариант 1
1. Даны комплексные числа 𝑧1 = 1 − 𝑖, 𝑧2 = 4𝑖 − 2. Найдите:
𝑧
а) 𝑧1 + 𝑧2 ; б) 𝑧1 − 𝑧2 ; в) 𝑧1 − 𝑧2 ; г) 𝑧1 ∙ 𝑧2 ; д) 𝑧1
2
2. По формуле разности квадратов разложите на множители 9𝑥 2 + 25
3. Вычислите: а) (1 + 3𝑖)(1 − 3𝑖) − 2 б) (2 − 𝑖)2 + 𝑖(3𝑖 + 4) в) 𝑖 16 +
𝑖6
4. Решите уравнение (1 + 𝑖)𝑥 = 6 − 2𝑖
Самостоятельная работа по теме «Действия с комплексными
числами»
Вариант 2
1. Даны комплексные числа 𝑧1 = 1 + 𝑖, 𝑧2 = −6 + 4𝑖. Найдите:
𝑧
а) 𝑧1 + 𝑧2 ; б) 𝑧1 − 𝑧2 ; в) 𝑧1 − 𝑧2 ;
г) 𝑧1 ∙ 𝑧2 ; д) 𝑧1
2
2. По формуле разности квадратов разложите на множители 4𝑥 2 + 1
3. Вычислите: а) (5 − 2𝑖)(5 + 2𝑖) + 1 б) (3 + 𝑖)2 − 3𝑖(2 + 3𝑖) в)
𝑖 10 + 𝑖 8
4. Решите уравнение (1 − 𝑖)𝑥 = 8 + 6𝑖