Программа Алгебра и геометрия+x

1. Рабочая учебная программа дисциплины
3.1. Организационно – методический раздел
Цели и задачи дисциплины
Изучение основных алгебраических структур и их приложений.
Формирование навыков математического моделирования, проведения
расчетов. Дать студентам необходимые понятия линейной алгебры,
используемые для описания и моделирования различных по своей природе
математических и экономических задач. Привить студентам навыки
использования алгебраических методов в практической деятельности.
Показать студентам универсальный характер алгебраических понятий для
получения комплексного представления о подходах к созданию
математических моделей экономических систем и объектов.
В результате обучения студенты должны:
иметь представление: о математических моделях алгебраического
характера, и о вычислительных вопросах линейной алгебры.
Знать: основные понятия и теоремы векторной алгебры, аналитической
геометрии, линейной алгебры. Знать простейшие понятия и факты теории
групп, теории колец и полей.
Уметь: применять аппарат векторной алгебры и аналитической геометрии,
основные методы линейной алгебры.
Иметь навыки: владения аппаратом векторной алгебры и аналитической
геометрии, основными методами линейной алгебры.
3.2. Формы текущего и промежуточного контроля
Очная форма обучения
Вид занятий (учебной работы)
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля - экзамен
1 сем ИТОГО:
24
24
16
16
40
40
100
100
140
100
100
140
Заочная форма обучения
Вид занятий (учебной работы)
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля - экзамен (9 ч)
1 сем ИТОГО:
10
10
6
6
16
16
124
124
140
124
124
140
3.3. Объем и распределение часов дисциплины по модулям,
разделам, темам и видам занятий
8
9
7
9
9
5
8
7
9
9
5
8
7
100
8 11
9 14
7 9
9 14
9 12
5 7
8 10
7 10
9 14
9 12
5 7
8 11
7 9
100 140
ИТОГО
Курсовой проект (работа)
Реферат
РГЗ
Семинары
Итого аудиторных
3
5
2
5
3
2
2
3
5
3
2
3
2
40
Итого сам.работы
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
16
КСР
2
3
1
3
2
1
1
2
3
2
1
2
1
24
Практич.
Комплексные числа
Многочлены
Матрицы и определители
Системы линейных уравнений
Векторы и координаты
Поля. Линейные пространства
Евклидовы пространства
Линейные отображения
Линейные операторы
Квадратичные формы
Теория групп
Теория колец
Теория полей
Итого
Вид итогового контроля - экзамен
Другие виды сам.работы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Раздел дисциплины
Лаборат.
№
п/п
Лекции
Очная форма обучения
1
1
1
1
1
6
2
1
1
2
1
1
16
10
9
10
9
10
11
9
9
10
9
9
10
9
124
10 11
9 10
10 11
9 11
10 11
11 13
9 9
9 11
10 11
9 10
9 11
10 11
9 10
124 140
ИТОГО
Курсовой проект (работа)
Реферат
РГЗ
Итого аудиторных
Семинары
КСР
Практич.
1
1
1
1
2
1
2
Итого сам.работы
Комплексные числа
1
Многочлены
Матрицы и определители
1
Системы линейных уравнений
1
Векторы и координаты
1
Поля. Линейные пространства
1
Евклидовы пространства
Линейные отображения
1
Линейные операторы
1
Квадратичные формы
1
Теория групп
1
Теория колец
1
Теория полей
Итого
10
Итоговый контроль – экзамен(9ч)
Другие виды сам.работы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Раздел дисциплины
Лаборат.
№
п/п
Лекции
Заочная форма обучения
3.4. Содержание дисциплины
3.4.1. Основные вопросы разделов и тем модулей
1. Комплексные числа
Определение, комплексная плоскость, модуль и аргумент,
алгебраическая и тригонометрическая формы, действия. Извлечение корня из
комплексного числа. Корни /7-й степени из единицы.
2. Многочлены
Деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера, разложение
многочлена на множители с вещественным и комплексными
коэффициентами. Рациональные функции, правильные дроби, разложение
правильной дроби на простейшие.
3. Матрицы и определители
Действия над матрицами. Перестановки, определители. Свойства
определителей и их вычисление. Линейная зависимость и независимость
строк и столбцов матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, ее вычисление.
4. Системы линейных уравнений
Матричная запись, метод Гаусса. Элементарные преобразования, как
умножение матриц, ЬИ- разложение. Теорема Кронекера-Капелли. Связь
решений однородной и неоднородной систем, фундаментальная система
решений.
5. Векторы и координаты в плоскости и пространстве
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Линейные объекты
на плоскости и в пространстве; кривые и поверхности 2-го порядка.
6. Понятие поля, поля с конечным числом элементов
Линейное пространство. Сумма и пересечение, теорема о линейной
зависимости линейных комбинаций. Базис и размерность. Размерность
суммы и пересечения подпространств. Преобразование координат при
изменении базиса.
7. Пространства со скалярным произведением
Неравенство
Коши-Буняковского.
Процесс
ортогонализации,
ортогональные
матрицы.
QR-разложение
матриц.
Ортогональное
дополнение. Интерпретация линейных систем.
8. Линейные отображения и их матрицы
Образ, ядро линейного отображения, их размерность. Линейные
операторы и их матрицы, изменение матрицы линейного оператора при
замене базиса. Инвариантные подпространства, собственные векторы и
собственные числа. Линейная независимость собственных векторов.
9. Линейные операторы
Характеристический многочлен, теорема Гамильтона - Кэли.
Комплексификация и овеществление, поведение матрицы линейного
отображения при этих операциях. Жорданова форма матрицы линейного
оператора. Функции от матриц.
10. Квадратичные формы, их матрицы
Преобразование матрицы формы при замене переменных. Связь
квадратичных форм и самосопряженных операторов. Метод Лагранжа,
теорема Якоби, сигнатура квадратичной формы, закон инерции.
Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра,
экстремальные свойства собственных чисел.
11. Основные понятия теории групп, примеры
Теоремы о гомоморфизмах групп. Группы подстановок, конечные
абелевы группы. Абелевы группы с конечным числом образующих.
12. Основные понятия теории колец, примеры
Кольцо целых чисел, делимость, сравнения, кольцо вычетов по модулю
т. Кольцо многочленов, делимость, приводимость многочленов. Идеалы,
фактор-кольцо.
13. Основы теории полей
Алгебраические расширения полей. Конечные поля.
3.4.2. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для
самостоятельной работы по разделам
Вариант № 1
1. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= x2 - 3x + 9,
 2 3 
 .
A  
 5  1
2. Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)
 3x1  4 x2  x3  5

 x1  2 x2  3x3  5 .
 5x  x  2 x  5
2
3
 1
3. Посчитать Определитель матрицы системы из п.4
а) по Правилу Звезды (Правилу Треугольников)
в) разложением Определителя по строке (столбцу)
4. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
(Выписать Определитель системы, все Алгебраические дополнения,
Присоединенную матрицу системы).
  x1  x2  2 x3  3

 4 x1  5 x2  7 x3  15 .
 2 x  3x  6 x  11
2
3
 1
5. Решить систему уравнений из п.4 по правилу Крамера
Вариант № 2
1. Решить матричное уравнение:
  3  2
 2 1
  

X 
5
 8
 3 4
2. Исследовать систему линейных уравнений
неопределенность, не решая ее.
на совместность и
 x1  2 x2  x3  1

 3x1  x2  4 x3  11 .
 4 x  x  3x  8
2
3
 1
3. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна,
указать базисный минор, базисные и свободные переменные. Решить
систему методом Крамера. Выписать общее и одно частное решение.
 4 x1  x2  x3  3x4  8

 x1  3x2  3x3  x4  5 .
 3x  4 x  4 x  4 x  3
2
3
4
 1
4. а) Комплексные числа изобразить векторами на плоскости и
представить в
тригонометрической форме.
Z1   2  i ; Z 2  3  i .
в)Записать в тригонометрической форме.
Z 3  Z1  Z 2
;
Z 4  Z13 .
5. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде.
Выяснить, является ли квадратичная форма положительно
определенной,
отрицательно определенной, неопределенной.
  3x12  x22  2 x32  6 x1 x2  2 x2 x3 .
Вариант №3
 1
0
  1 2
 . Найти значение многочлена
0 
 и G  
Даны матрицы A  
  1 2
1
2
P( X )  AX  2 X  3 A при X  G .
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
 x1  x 2  2 x3  5

  2 x 2  x3  1
x
 x3  2
 1
Вариант №4
Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0). Найти
1. a , где a  2 AB  AC  3 AD
2. cos ABC
3. S ABC
4. V ABCD
Вариант №5
1. Даны точки А(1;-1), В(0;3), С(-2;1). Найти
1.1 Уравнения сторон ÀÂÑ
1.2 Уравнение медианы AD
1.3 Уравнение высоты АН
1.4 Длину высоты АН
2. Написать каноническое уравнение эллипса с параметрами a  5,   0,4
3. Даны точки А(1;-1;2), В(0;3;-1), С(-2;0;1), D(2;1;0). Найти
3.1. Уравнение плоскости АВС
3.2. Уравнение плоскости, проходящей через точку А, для которой
вектор BC является нормальным.
3.3. Расстояние от точки D до плоскости АВС
3.4. Каноническое и параметрические уравнения прямой АD
3.5. Угол между прямой АD и плоскостью АВС.
Примерный перечень практических занятий
Задание 1. Произвести умножение матриц в указанном порядке:
5

 1  2  0 7 8 
  
 ; б) 1  3  2   1
а) 
 4 6   2 6  3
1

 3 1

 2 1 1 
3
 2
   2 1  ; е) 
г) 0  1    ; д) 
0
 3 0 1  1 0 
0


3
 2
 

 2 1  1  1
  
 ; к)  2
з) 1 2 3   4  ; и) 
 3 2  1 1 
1
1

 
2

7  ; в)
0 
1
 
 2    3 4  ;
0
 
1
 2
 
2 1  
   2  ; ж)  1   1 2 3 ;
1 2  
 3
 3
 
1 1   1 1  1
 

1 2    2 1 1  ;
2 3   1 0 1 
2
2 1 1


 2  3  9  6
  
 ; м)  3 1 0  ; н)
л) 
 4  6 6  4
 0 1 2


3
 2 1

 ; о)
 1 3
5
2 
 3

 .
  4  2
Проверить на примерах а), д), к), что произведение зависит от порядка
сомножителей.
Задание 2. По правилу Крамера решить систему линейных уравнений
 x  y  2z  1

x  2 y  z  2 .
2 x  3 y  2 z  1

Задание 3. В системе векторов v1= (1,0,1), v2= (1,-1,0), v3= (0,1,1), v4=
(1,1,2) пространства R3 найдите максимальную линейно независимую
подсистему и выразите все векторы системы линейно через векторы
найденной подсистемы.
Задание 4. Выяснить, лежит ли вектор v= (1,2,3,4) в линейной
оболочке, натянутой на векторы u1= (1,1,1,1) и u2= (-1,1,3,5), а если
лежит, то найти его координаты в каком-нибудь базисе этой оболочки.
Задание 5. Дана прямая 2х+3у+4 = 0. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку M0(2; 1):
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно к данной прямой.
Задание 6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на
оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная,
кроме того, что:
1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет  
4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет  
12
13
3
5
5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между
директрисами равно 16
2
3
6) расстояние между его директрисами равно 10

2
и эксцентриситет
3
3
4
Задание 7. Представить в алгебраической форме комплексное число
3 i
 i(2  i ) .
1 i
Задание 8. Показать, что 𝑡 = (2 + 𝑖)/(2 − 𝑖) не является корнем из
1,хотя |𝑡| = 1.
4
4
Найти √1 − 𝑖 и √−16.
Вычислить:
(3  2i ) 3
.
(5  i ) 2
Вычислить (2  i 3 )(8  7i 9 )  (20i 8  11i 7 )(1  3i 5 )  (17i  4i 2 )(5  4i) .
1 i 3 

Вычислить 

 1 i 
21
Задание 9. Найти общую стоимость сырья, планируемую для
производства продукции двух видов P1 и P2, если план выпуска
продукции задан матрицей P=(p1, p2); нормы расхода сырья трёх типов
S1, S2, S3 на единицу продукции Pi заданы матрицей S и известна
стоимость (у.е.) единицы сырья каждого вида – матрица С.
 5
 
21 1
 ; C   6  .
P  (10,30) ; S  
 3 2 4
1
 
 3
 
 4 21
 ; C   1  .
P  (20,40) ; S  
 3 1 5
 2
 
7
 
1 21
 ; C   5  .
P  ( 20,30) ; S  
 2 3 4
 2
 
 3
 
211
 ; C   4  .
P  (30,10) ; S  
 3 2 4
 2
 
Задание 10. По заданным (в таблице) данным межотраслевого баланса
(условные денежные единицы) найти необходимый объем валового
выпуска каждой из двух отраслей, если конечное потребление первой
отрасли увеличится на 100%, а второй – сохраниться на прежнем уровне.
№
зад.
Отрасль
1
Произв
одство
2
Произв
одство
Р1
Р2
Р1
Р2
Потребление
Р1
Р2
5
20
10
14
6
25
12
50
Конечный
продукт
62
110
80
121
Валовой
выпуск
100
200
200
250
Задание 11. Дана структурная матрица торговли A трёх стран S1, S2 и
S3.
Найти национальные доходы стран для сбалансированной
торговли.
1
4
1

3
1
A
3
1

3
1
4
1
2
1
4
1

2
1
2

0

1

2
A0

1

2
1
3
2
3
1

4
1
2
1

4
Задание 12.
0
2
5
1

2
1
A
2

0

1
4
1
2
1
4
1

3
1
3
1

3

0

1
A
2
1

2
1

0
4

1
1

2

1
0
4

3
6
1

4
1
A
2
1

4
1
2
1
2
1

2
A0

1

2
1
5
2
5
3
5
0
1

3
1
3
1

3
1

2
1
4
1

4
Какова размерность матрицы: а) B T AT A ; б) A3 B ; в)
1 2 3 
3


 
2 A  E ; г) A  B , если A   4 5 6  , B   4  ?
7 8 9
1 


 
2
Задание 13. Исследовать системы на совместность. Найти общее
решение в случае совместности.
 x  2 y  3z  4u  4
 y  z  u  3
1. 
 x  3 y  3u  1
  7 y  3z  u  3
3.
 2x  y  z  u  1
3x  2 y  2 z  3u  2


 5 x  y  z  2u  1
 2 x  y  z  3u  4
2.
 x  2 y  3z  4u  1
 2x  3y  z  u  1


 3x  4 y  3z  u  1
3x  5 y  4 z  2u  2
4.
 x  2 y  3z  4u  2v  2

x  2 y  z  v  3


 x  y  2 z  3u  10
  3x  5 z  11u  5v  5
Задание 14. Даны матрицы А, В, С, D. Найти:
а) P=(2А–3В)C
б) ранг и базисный минор матрицы D.
3
2 5
0 4 5
; B  
;
1. А  
1

4
0
5
1
6




2 3  4 1
3  2




C  1 1  ; D   0 5 6 7 
2 8 2 8
7 0 




Задание 15. Показать, что системы уравнений имеют единственное решение.
Найти решение с помощью:
а) обратной матрицы
б) формул Крамера.
1.
5 x  6 y  2 z  18

 2 x  5 y  3z  4
 4x  3y  2z  9

2.
 x  2y  z  5

3x  5 y  3z  1
 2x  7 y  z  8

Темы курсовых работ, рефератов.
Не предусмотрены
3.4.3. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по разделам
учебной дисциплины
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Система линейных уравнений.
2. Матрицы и действия над ними.
3. Определители и их свойства.
4. Обратная матрица.
5. Ранг Матрицы.
6. Матричная форма записи системы линейных уравнений.
7. Правило Крамера.
8. Метод Гаусса
9. Понятие вектора.
10.Линейные операции над векторами.
11.Скалярное произведение векторов.
12.Векторное произведение векторов.
13.Смешанное произведение векторов
14.Векторное пространство.
15.Линейные операторы и матрицы.
16.Собственные векторы линейных операторов.
17.Преобразование матриц операторов при переходе к новым базисам
18.Уравнение линии в заданной системе координат.
19.Различные формы уравнения прямой на плоскости.
20.Основные задачи аналитической геометрии на прямую на плоскости.
21.Прямая на плоскости.
22.Кривые на плоскости.
23.Поверхности и линии в пространстве.
24.Уравнение плоскости в пространстве.
25.Уравнение прямой в пространстве.
26.Прямая и плоскость в пространстве.
27.Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения.
28.Понятие комплексного числа.
29.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
30.Действия над комплексными числами.
31.Формулы Эйлера и показательная форма комплексных чисел.
32.Корни из комплексных чисел
33.Многочлен и его корни.
34.Разложение многочлена на множители.
35.Разложение рациональной функции на элементарные дроби.
36.Задача линейного программирования.
37.Каноническая форма.
38.Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
39.Двойственная задача линейного программирования.
40.Связь между прямой и двойственной задачами.
41.Теорема двойственности.
42.Экономическая интерпретация прямой и двойственной задач.
43.Общая характеристика симплекс-метода.
44.Обоснование симплекс метода.
45.Заполнение начальной симплекс-таблицы.
46.Пересчет симплекс-таблицы.
47.Вспомогательная и M-задачи.
48.Постановка задачи.
49.Математическая модель.
50.Метод решения.
51.Задача квадратичного программирования.
52.Задача выпуклого программирования.
53.Задача дискретного программирования.
54.Метод ветвей и границ.
55.Постановка задачи оптимального управления.
56.Предмет динамического программирования.
57. Рекуррентные соотношения Беллмана.
3.4.4. Рекомендуемые информационные источники
Основная литература
1. Красс М.С. , Чупрынов Б.П., Математика. – СПб. : Питер, 2010.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011
г.– 294 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру: В 3-х частях.– Новое издание. –
М.: МЦНМО, 2009. Ч. I : Основы алгебры. – 272 с., Ч. II : Линейная
алгебра. – 368 с.
Дополнительная литература
1. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты). – Спб.: Издательство “Лань”. 2007 г.– 268 с.
2. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч.1: Учебное
пособие для втузов / Под общ. ред. А.В.Ефимова и А.С.Поспелова.– М.:
Издательство Физико-математической литературы, 2001. – 288 с.
3. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре. Спб.
Издательство "ЛАНЬ",2008 г. – 480 с.
4. . Булычёва О.Н. Григорьев В.П. Высшая математика. Сборник
расчётных заданий : методическое пособие., М.: Издательский дом
МЭИ, 2010. – 59 с.
5. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В., Энциклопедия линейной алгебры.
Электронная система ЛИНЕАЛ., Спб.: БХВ-Петербург, 2010 г. – 541 с.
Перечень
программ
обучающих
и
контролирующих
компьютерных
1. http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт
Exponenta.ru».
2. http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и
производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные
учебники. Типовой расчет из задачника Кузнецова.
3. http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».
4. http://www. mathelp.spb.ru – «Высшая математика» (помощь студентам) –
Лекции, электронные учебники, решение контрольных работ.
5. http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике:
Математический анализ; Дифференциальные уравнения; Аналитическая
геометрия, Теория вероятностей и др.
6. http://www.fismat.ru – Высшая математика для студентов и абитуриентов
– интегралы и производные, ряды, ТФКП, дифференцирование, лекции,
задачи, учебники.
7. http://www.truba.nnov.ru – Сайт о математическом анализе.
8. http://www.aup.ru/books/i008.htm - Электронные книги по экономикоматематическим методам и моделям