const L = о

Л6
Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения момента импульса –
момент импульса замкнутой системы тел
относительно любой неподвижной точки не
изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов
природы.
Аналогично
для
замкнутой
системы
вращающихся вокруг оси z:


dL
 M  0,
dt
z
z

отсюда L  const

I ω  const
z
z
или
1
Если момент внешних сил относительно
неподвижной оси вращения тождественно равен нулю,
то момент импульса относительно этой оси не
изменяется в процессе движения.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия – величина аддитивная,
поэтому кинетическая энергия тела, движущегося
произвольным образом, равна сумме кинетических
энергий всех n материальных точек, на которое это
тело можно мысленно разбить:
mi i2
K
2
i 1
n

2
Если тело вращается вокруг неподвижной оси z
с угловой скоростью  то линейная скорость iй точки


  ωR
Следовательно,
i
i
ω
Iω
 mR 
.
2
2
2
K
2
n
2
вращ.
i 1
i
i
Таким образом, момент инерции тела I –
является мерой инертности при вращательном
движении. Так же как масса m – мера инерции
при поступательном движении.
3
В общем случае движение твердого тела
можно представить в виде суммы двух
движений – поступательного со скоростью с и
вращательного с угловой скоростью  вокруг
мгновенной оси, проходящей через центр
инерции. Тогда полная кинетическая энергия
этого тела:
m I 


2
2
2
K
c
полн.
2
c
Здесь Ic – момент инерции относительно
мгновенной оси вращения, проходящей через центр
инерции.
4
Скорость центра масс обруча равна v, масса обруча
m. Определим его кинетическую энергию при
движении по горизонтальной поверхности.
Имеем
1
1
2
2 ,
mv + mv обод
Kполн =
2
2

v обод
– линейная скорость обода
в системе ц.м. Для наблюдателя,
движущегося вместе с центром
обруча, скорость точки
соприкосновения обруча с плоскостью

равна v. Поэтому v обод
= v.
1
1
2
2
m
v
m
v
Таким образом, Kполн =
+
= mv2.
2
2
5
Теорема Штейнера
В некоторых случаях нахождение момента инерции
значительно упрощается, если воспользоваться
теоремой Штейнера:
Z'
J z  J 0  Ma
2
Z
центр
масс
a
ρ'i
n
где
J 0   i2 mi
i 1
момент инерции тела относительно оси Z',
mi
ρi
M
проходящей через центр масс
Теорема Штейнера
Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента
инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
параллельно данной и момента инерции материальной точки
с
массой всего тела относительно выбранной оси
6
Аналогия уравнений поступательного
вращательного движения
Формулы кинематики и динамики
вращательного
движения
легко
запоминаются, если сопоставить их с
формулами поступательного движения
7
Поступательное движение
dS

dt
d
a
dt
    at
0
at
S  t 
2
0
S    dt
t
0
Вращательное движение
d

dt
d

dt
    t
0
2
 t 
0
t
2
2
    dt
t
0
8

dL 
M
dt
 
Iε  M


L  Iω

Iω  const
 
dp
F
dt
 
ma  F


p  m

m  const
A  FS
N  Fv
m
 mgh  const
2
2
A  Mф
N  Mw
I
 mgh  const
2
2
9
Работа и энергия
10
Работа
если каждой точке пространства поставлено в соответствие определенное
значение физической величины - говорят, что задано физическое поле,
движение материальной точки в
силовом поле:
2
если за элементарное время dt
точка, под действием силы F,
совершает элементарное
перемещение dr, то
сила совершает работу по
перемещению тела
 
A  Fdr
при произвольном перемещении,
например от точки 1 до точки 2
работа равна сумме элементарных
работ
F
F
F
F
F
Силовое поле
F
L
1
2
A12   A 
1
 
A   Fdr
L
11
Теорема о кинетической энергии
если под действием силы F элементарное перемещение точки - dr,то
элементарная работа

2
 


m
v
  1
dv 
2


A  Fdr  m dr  mvdv  md v   d 
2
dt
 2 
mv 2 - кинетическая энергия тела
F
T
F
2
2
F
F
F
Таким образом получаем
для элементарных перемещений
A  dT
Элементарная работа, совершенная
над телом, равна дифференциалу
кинетической энергии тела
F
L
теорему о кинетической энергии
1
На произвольном перемещении
2
A12   dT  T2  T1  A  T
1
Работа по перемещению тела между любыми двумя точками пространства равна
разности кинетических энергий тела в конечной и начальной точках
12
Потенциальные поля
Рассмотрим элементарное перемещение dr тела под действием внешних сил
 
A  Fdr  Fx dx  Fy dy  Fz dz
Будем считать, что силы, действующие на тело при его
движении, в любой точке пространства удовлетворяют
условию

Fx    ( x, y, z )
x

1
Fy    ( x, y, z )
y

Fz    ( x, y, z )
z
где Φ(x,y,z) - некоторая скалярная функция
Тогда
 A 
F
F
F
F
F
L



dx 
dy 
dz  d( x, y, z )
x
y
z
F
13
Потенциальные поля
Таким образом, элементарная работа δA в силовом поле, удовлетворяющем условию (1), равна
полному дифференциалу (с обратным знаком) некоторой скалярной функции многих
переменных Φ(x,y,z)
1
 A  d( x, y, z)
Функцию Φ(x,y,z) называют
потенциальной функцией силового поля
Соответственно, силовое поле, удовлетворяющее условию (1), называют потенциальным
силовым полем
Свойства потенциальных полей
для элементарных перемещений
Элементарная работа, совершенная в
потенциальном поле над телом,
равна
дифференциалу (с обратным знаком)
потенциальной функции
на произвольном перемещении
2
A12    d  1   2  A  
1
Работа по перемещению тела в потенциальном поле
не
зависит от формы траектории, а определяется только
начальным и конечным положением тела
A
14
Потенциальные поля
Согласно условию (A), при движении по замкнутой
траектории
1
1
A11    d  1  1  0
Следовательно
1
Работа в потенциальном поле по
любой замкнутой траектории
равна нулю
 
 Fdr  0
2
Силовое поле, удовлетворяющее условию (2),
называют консервативным
И мы получаем, что
Если поле
потенциально, то оно
консервативно
1
2
15
Потенциальные поля
Очевидно выражение (1) можно записать следующим образом

 


F  
i
j
y
z
 x

k 

  

 
   i 
j  k 
z 
 x y
Величина в скобках является вектором, - его
называют оператор-вектор
В физике, оператор-вектор  называют - оператор
«набла» действие оператора «набла» на скалярную функцию
называют градиентом функции

  grad
Градиент функции – это вектор, направленный в сторону
быстрейшего возрастания функции
С помощью оператора «набла» выражение (1) –
условие потенциальности силового поля - получает
наиболее лаконичную форму


F  
1
16
Потенциальные поля
В потенциальных полях множество точек поля, в которых потенциальная функция имеет
одинаковые значения, называют эквипотенциальной поверхностью
Уравнение эквипотенциалей
( x, y, z)  const
В потенциальном поле


F    grad
Φ4
-Φ
Φ3
Φ1
Φ2
т.е. сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной функции (Φ1>
Φ3> Φ4) и следовательно, всегда перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям
Φ2>
Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением силы
в этой точке, называется силовой линией
В потенциальном поле силовые линии и эквипотенциальные поверхности
всегда взаимно перпендикулярны
17
Потенциальная энергия
A12  1   2
Как мы установили, работа в потенциальном поле равна
Экспериментально измеримой физической величиной является работа, соответственно,
потенциальная функция измерима только с точностью до произвольной константы – это
означает, что в потенциальном поле любую одну потенциальную поверхность можно принять
за поверхность с нулевым значением потенциальной функции Φ0=
В этом случае
Ai 0   i
работа по перемещению тела из данной точки
поля в точку с нулевым потенциалом,
численно равна значению
потенциальной
функции в этой точке
0
1
2
Φ0
3
Численное значение потенциальной функции в
любой точке поля (при заданном нулевом значении)
называют потенциальной энергией тела,
находящегося в этой точке
Это означает, что
i
U i  i
Потенциальная энергия есть мера той работы, которую нужно совершить, чтобы
переместить тело из данной точки в точку с нулевым значением потенциальной функции
18
Потенциальная энергия
Учитывая, что потенциальная функция – это способ описания силового воздействия
окружающего поля на тело, можно сформулировать следующее качественное определение
потенциальной энергии
потенциальная энергия - это мера взаимодействия
тела, помещенного в данную точку поля, с
окружающим миром
потенциальная функция
потенциальная энергия
характеристика поля
в данной точке
характеристика тела
в этой же точке
U i  i
Следовательно, для произвольных перемещений в
потенциальном поле
A12  U1  U 2  U
Соответственно, для элементарных перемещений
A  dU ( x, y, z)
И выражение (1) – условие потенциальности
силового поля - получает еще одну форму


F  U
1
19
Закон сохранения энергии
Итак, для элементарных перемещений в
потенциальном поле
Но по теореме о кинетической энергии для
элементарных перемещений
A  dT
Ap  dU
------------------------------------------------------Изменим запись последней формулы
d T  U   An
Итак для элементарных перемещений
Дифференциал полной механической
энергии тела, равен элементарной работе
непотенциальных сил над телом
мы определяем работу любых сил
(потенциальных и непотенциальных)
Т.е.
A  Ap  An
dT  dU  An
Величину
E  T U
называют полной
энергией тела
механической
Для произвольных перемещений
Изменение полной механической энергии тела на любом его
перемещении равно работе непотенциальных сил над телом
E  An
20
Закон сохранения энергии
Если элементарная работа
непотенциальных сил равна нулю
An  0
то полная механическая
тела сохраняется
энергия
E  const
 dE  0
полная механической энергии тела сохраняется в
любых состояниях этого тела, если в этих состояниях
работа непотенциальных сил над телом равна нулю
Частные случаи
Если непотенциальные силы
отсутствуют
Fn  0
 An  0
При движении тела в потенциальном поле
его полная механическая энергия
сохраняется
При полном отсутствии сил (для
свободного тела)
F  0
i
 A0
i
полная механическая энергия тела очевидно сохраняется, но этот случай имеет очень
ограниченное практическое значение
21