Тема 3. Текст

Тема 3. Геометрические и физические задачи, приводящие
к уравнениям с разделяющимися переменными
Для решения геометрических задач целесообразно использовать чертежи, а
также геометрический смысл производной и интеграла.
Пример 3.1.
Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного
касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная,
равная 4 кв. ед.
Как видно из рис. 1, площадь искомого
треугольника KNM равна S 
1
| KN |  | NM | .
2
а tg  y ' . (Это
Поскольку | NM | y,
вытекает из геометрического смысла
производной), то | KN | ctg  | NM |
1 y
Значит, S   '  y,
2 y
y
.
y'
y '  0.
Таким образом, по условию задачи имеем
дифференциальное уравнение
dy 1
y2
 4. Считается, что y  0, и разделяя переменные, получаем 2  dx  0.
'
y 8
2y
Отсюда находим
dy
y
2

1
dx  C ,
8

1 1
1
x
 x  C,
 C  ,
y 8
y
8
y
8
.
8C  x
Если y '  0 (см. рис. 2), то S  
y2
 4.
2 y'
Интегрируя это уравнение,
получим y 
8
.
x  8C
Наконец, оба ответа можно объединить в
один:
y
При
8
.
 x  8C
составлении
уравнения,
дифференциального
описывающего
физический
процесс, наряду с применением физических законов используется физический смысл
производной, как скорость изменения какой-либо величины.
5
Пример 3.2. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого равна m. Требуется
установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если
на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха,
пропорциональная скорости (с коэффициентом пропорциональности k).
dv
dv
 F , где
есть ускорение движущего
dt
dt
Решение: По второму закону Ньютона m
тела, а F – сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила
складывается из двух: силы тяжести mg и силы сопротивления воздуха kv.
Итак, m
dv
 mg  kv. Это соотношение и является дифференциальным уравнением
dt
относительно неизвестной функции v.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти такую кривую, проходящую через точку (0;–2), чтобы тангенс угла
наклона касательной в любой точке равнялся ординате этой точки, увеличенной
на три единицы. (Ответ: y  e x  3 ).
2. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок касательной к кривой,
заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. (Ответ:
y
c
).
x
3. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс
имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.
(Ответ: y  Cx 2 ).
4. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку
кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими
осями,
то
площадь
полученного
прямоугольника
делится
касательной,
проведенной к этой кривой в соотношении 1:2. (Ответ: y 2  Cx3 ).
5. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе
пропорционально разности между температурой Т тела и температурой воздуха
0
T0 . Если температура воздуха равна 20 C , и тело в течении 10 минут
0
охлаждается от 100 до 60 C , то через сколько времени его температура
0
понизится до 25 C ? (Ответ: 40 минут).
6. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое
пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, скорость
6
ее через 4 сек 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может
пройти лодка до остановки? (Ответ: 50 сек; 15 м).
7. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг.
Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? (Ответ:
 1600 лет.)
8. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно
подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором.
Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час?
(Ответ:  0, 5 кг.)
9. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км.
Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная
скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/c.
Изменением плотности пренебречь. Сопротивление пропорционально квадрату
скорости. (ответ:  23 сек.)
7