Абсолютная величина (модуль)

Абсолютная величина (модуль).
Программа курса по математике
для подготовки учащихся 9-11 классов
к вступительным экзаменам в Вузы.
Пояснительная записка.
Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа.
Задачи с модулем (абсолютной величиной) числа встречаются в вариантах вступительных экзаменов по математике большинства вузов и часто становятся «камнем преткновения» для поступающих.
Модули активно используются в математическом анализе (например, в определении предела последовательности и предела функции, при изучении непрерывности), при
изучении разрывных функций и построении графиков, являющихся ломаными с прямолинейными и криволинейными элементами. Включение модулей в условие почти любого
примера из алгебры и начал анализа сразу заметно повышает трудность его решения.
Это понятие широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия
абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и контрольноизмерительных материалах ЕГЭ.
Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период
обучения. Восполнить этот пробел поможет данный курс «Абсолютная величина (модуль)».
Курс рассчитан на учащихся 9-11 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики.
Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и закрепить знания,
связанные с абсолютной величиной, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности,
способствует приобретению навыков работы с математической информацией на компьютере.
4
Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.
Программа курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 32 часа: 9 часов лекций и 23 часа практических занятий.
Курс проводится с октября по май. В течение первого учебного месяца учащиеся могут
выбрать из предложенных учителями дополнительных курсов те, которые их интересуют,
и согласовать время проведения.
Содержание курса состоит из семи разделов, включая введение и итоговое занятие. Учитель, в зависимости от уровня подготовки учащихся, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его школьниками, может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Учитель также может изменить
уровень сложности представленного материала.
Программа содержит темы творческих работ, список литературы по предложенным темам, а так же перечень компьютерных программ, являющихся дополнительным
средством обучения по теме «Модуль»
В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм
организации их самостоятельной работы.
Результатом освоения программы курса является представление школьниками
творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии или итоговые тестовые работы.
Цели курса:
обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»; обретение практических навыков выполнения заданий с модулем; повышение уровня математической подготовки школьников.
Задачи курса:

систематизировать материал по теме «Абсолютная величина»;

сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗы по данной теме;

сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

развить умения и навыки исследовательской работы;
5

способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

способствовать формированию познавательного интереса к математике.
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения программы курса «Абсолютная величина (модуль)» учащиеся получают
Знание и понимание

определения абсолютной величины действительного числа;

основных операций и свойств абсолютной величины;

правил построения графиков уравнений и функций, содержащих знак абсолютной
величины;

алгоритмов решения уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Умения

применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к
решению конкретных задач;

читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит
знак абсолютной величины;

решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
А также учащиеся развивают интеллектуальные умения в процессе нахождения
различных способов решения уравнений и неравенств, содержащих одновременно параметры и модули.
Содержание курса
(1 ч в неделю, всего 32 ч)
1. Введение (1 ч).
Цели и задачи курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Представление компьютерных про-
6
грамм для изучения данной темы. Требования, предъявляемые к участникам курса. Инструктаж по технике безопасности.
2. Модуль действительного числа c. Свойства модуля (3 ч).
Модуль действительного числа c. Модули противоположных чисел. Геометрический смысл модуля. Свойства модуля. Модуль суммы и модуль разности конечного числа
действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и модуль частного. Операции над абсолютными величинами. Тождественные преобразования
выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля
при решении задач.
3. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч).
Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат
обеих частей уравнения, метод интервалов, использование свойств абсолютной величины. Решение уравнений вида:
f ( x)  c , где c 
 f ( x)  f ( x)
f ( x )  g ( x)
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  a  f ( x)  b  b  a , где b  a
Использование метода интервалов при решении уравнений, содержащих несколько функций под знаком модуля. Решение уравнений «со сложным модулем». Решение иррациональных уравнений, сводящихся к уравнениям, содержащим абсолютные величины. Решение уравнений с параметрами, содержащих абсолютные величины.
4. Неравенства, содержащие абсолютные величины (8 ч).
Основные методы решения неравенств с модулем. Решение неравенств вида:
f ( x)  c ( f ( x )  c )
f ( x)  c ( f ( x )  c )
7
f ( x)  f ( x)
f ( x )  f ( x)
f ( x )  f ( x)
f ( x )  f ( x)
f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))
f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))
f ( x)  g ( x) ; f ( x )  g ( x ) ; f ( x )  g ( x ) ; f ( x )  g ( x )
Решение неравенств «со сложным модулем». Использование метода интервалов
при решении неравенств, содержащих несколько функций под знаком модуля. Решение
неравенств с параметрами и модулями.
5. Графики уравнений и функций, аналитическое выражение которых содержит знак
абсолютной величины (5 ч).
Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение
которых содержит знак модуля. Построение графиков уравнений и функций вида:
y f x
y  f ( x)
y f x
y  f ( x)
y  f ( x)
y  f ( x)  g ( x)  …
Использование компьютерной программы «Живая математика» при проверке построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
6. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины (4 ч).
Решение систем рациональных и иррациональных уравнений с двумя неизвестными, решение систем рациональных неравенств с одним неизвестным. При решении систем уравнений и неравенств используются методы, приведенные в пунктах 3. - 5. содержания курса.
7. Итоговое занятие (2 ч).
Презентация творческих работ или итоговое тестирование по темам курса с последующей
проверкой при помощи ИКТ.
8
Учебно-тематический план
№
п/
п
Название разделов и тем
Количество часов
всего
теория
практика
Форма
проведения
Дополнительные
средства
обучения
Беседа, презентация компьютерной
продукции
ПК или интерактивная доска,
компьютерные
программы
Лекция с
применением
ИКТ
Виртуальная
школа Кирилла
и Мефодия
«Репетитор»
1.
Введение
1
1
2.
Абсолютная величина действительного числа с.
3
1
2.1 Абсолютная величина действительного числа с. Свойства модуля. Геометрический смысл модуля числа,
модуля разности чисел.
1
1
2.2 Упрощение выражений, содержащих
переменную под знаком модуля
1
1
Технология
диалоговой
взаимопомощи.
Интерактивная
доска для контроля.
2.3 Применение свойств модуля при решении задач.
1
1
Бригадноиндивидуальная технология обучения
Интерактивная
доска для контроля.
лекция
Виртуальная
школа Кирилла и Мефодия
«Репетитор»
3.
Уравнения, содержащие абсолютные величины
3.1 Основные методы решения уравнений с модулем
11
3
3
3
2
8
Схемы решений уравнений
3.2 Решение уравнений вида
f ( x)  c , где c 
 f ( x)  f ( x)
f ( x )  g ( x)
3
3
Практическое
занятие
Демонстрация
решенных заданий.
Схемы решений уравнений
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  a  f ( x)  b  b  a , где
ba
9
3.3 Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины.
1
1
Практическое
занятие
Демонстрация
оформленных
решенных заданий.
3.4 Метод интервалов при решении
уравнений, представляющих алгебраическую сумму конечного числа
функций, содержащих абсолютные
величины. Решение иррациональных
уравнений, сводящихся к уравнениям
с модулями.
2
2
семинарпрактикум
Демонстрация
оформленных
решенных заданий.
3.5 Решение уравнений, содержащих
«сложный модуль»
1
1
Практическое
занятие с
лементами
парацентрической технологии обучения
Карточки с
заданиями
(СО)
Методические
инструкции
(МИ) к средствам обучения
Демонстрация
оформленных
решенных заданий.
3.6 Решение уравнений с параметрами,
содержащих абсолютные величины.
1
4 . Неравенства, содержащие
абсолютные величины
8
3
4.1 Неравенства с одним неизвестным.
Основные методы решения неравенств с модулем
3
3
1
Семинарпрактикум
Демонстрация
оформленных
решенных заданий.
Лекция с элементами диалога
Виртуальная
школа Кирилла
и Мефодия
«Репетитор»
5
Схемы решения основных
видов неравенств.
4.2 Решение неравенств вида:
f ( x)  c ( f ( x )  c )
f ( x)  c ( f ( x )  c )
f ( x)  f ( x)
1
1
Практическое
занятие
Схемы решений неравенств
Тестовые задания.
f ( x )  f ( x)
f ( x )  f ( x)
f ( x )  f ( x)
10
4.3 Решение неравенств вида:
1
1
f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))
Практическое
занятие
f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))
Схемы решений неравенств
Тестовые задания.
f ( x)  g ( x) ; f ( x )  g ( x ) ;
f ( x)  g ( x) ; f ( x)  g ( x)
4.4 Метод интервалов при решении неравенств, представляющих алгебраическую сумму конечного числа
функций, содержащих абсолютные
величины.
1
1
Практическое
занятие
Демонстрация
оформленных
решенных заданий.
4.4 Решение неравенств с параметрами,
содержащих абсолютные величины
2
2
Семинарпрактикум
Демонстрация
решенных заданий.
Графики уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины
5
1
5.1 Правила и алгоритмы построения
графиков уравнений, аналитическое
выражение которых содержит знак
модуля
Графики уравнений (функций) вида:
1
1
Лекция с использованием
ИКТ
Интерактивная
доска
УМК «Живая
математика».
5.
4
y f x
y  f ( x)
y f x
y  f ( x)
y  f ( x)
y  f ( x)  g ( x)  …
5.2 Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
1
1
Практическое
занятие
Интерактивная
доска
УМК «Живая
математика».
Алгоритмыв
построения
графиков уравнений (функций)
5.3 Графический способ решения уравнений и неравенств с одной переменной.
1
1
Практическое
занятие
Интерактивная
доска
УМК «Живая
математика».
11
5.4 Графики уравнений, заданных явно
или неявно, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.
1
1
мастерская
Интерактивная
доска
УМК «Живая
математика».
5.5 Изображение областей на плоскости,
задаваемых неравенствами с двумя
переменными, содержащими переменную под знаком модуля.
1
1
Практическое
занятие
Интерактивная
доска
УМК «Живая
математика».
Системы уравнений и неравенств, содержащие абсолютные величины.
2
2
Семинарпрактикум
УМК «Алгебра
7-11»
Проектор,
компьютер
6.1 Системы уравнений и неравенств,
содержащие абсолютные величины.
Решение систем уравнений и неравенств, содержащих параметры и
модули.
2
2
Семинарпрактикум
УМК «Алгебра
7-11»
Проектор,
компьютер
Итоговое занятие.
Презентация работ или итоговое тестирование.
2
2
семинар
Проектор,
компьютер
Итого:
32
6.
7
9
23
12
Учебно-методическое обеспечение курса.
1. Перечень обучающих и контролирующих программ.
1.1 Применение компьютерной программ УМК «Живая математика» при построении графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
1.2 Использование компьютерной программы «Репетитор» виртуальной школы Кирилла и
Мефодия при выполнении тестовых заданий по теме курса, в качестве справочного материала к уроку.
1.3 Использование компьютерной программы «Алгебра 7-11» для пошагового интерактивного решения задач.
2. Активные методы обучения.
В данном курсе используются следующие методы обучения:
 лекции,
 семинарские занятия,
 семинары-практикумы,
 мастерские,
 технологии диалоговой взаимопомощи,
 бригадно-индивидуальный метод обучения,
 парацентрическая технология обучения или ее элементы
 исследовательская работа с использованием ПК
3. Материальное обеспечение дисциплины, технические средства обучения и контроля.
Компьютерный класс, стандартный класс, проектор, компьютер, интерактивная доска.
4. Перечень справочных, иллюстративных и др. материалов, получаемых учащимися на занятиях.
 Схемы решений уравнений и неравенств с модулями
 Схемы сдвигов графиков функций
 Алгоритмы построения графиков уравнений
Литература
Е.В. Герасимова. Математика. Интенсивный курс. Санкт-Петербург, 2004, 432 с
В.В. Вавилов. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1986, 240 с
М.Л.Галицкий и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. – М.: Просвещение,1996, 271 с.
В.М. Говоров и др. Сборник конкурсных задач по математике.– М.: Просвещение, 1983.
Т.В. Белоненко. Сборник конкурсных задач по математике. Санкт-Петербург. "Специальная литература" 1997, 539 с
Я.С.Фельдман, А.Я. Жаржевский. Математика. Решение задач с модулями.Оракул.
Санкт-Петербург,1997, 304 с
Я.С.Фельдман, А.Я. Жаржевский. Решение задач с параметрами "Агенство ИГРЕК",
Санкт-Петербург, 1995, 212 с.
П.И. Горнштейн и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, 2005, 326 стр
И.Ф. Шарыгин Факультативный курс по математике 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1989.
А.Х Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. М.:Санкт-Петербург, 2006, 246 стр
А.Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами М.:Санкт-Петербург, 2004,
300 с
13
Темы творческих работ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Применение модуля в механике и векторной алгебре.
Модуль в определении предела.
Погрешности.
Создание алгоритмов построения графиков уравнений и функций, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля.
Создание компьютерной презентации по теме «Графики уравнений, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля».
Создание компьютерной презентации «Схемы решения уравнений и неравенств с
модулем»
Простейшие функции, заданные явно и неявно, аналитическое выражение которых
содержит знак модуля, их графики.
Система упражнений на изображение областей на плоскости, задаваемых неравенствами или ограниченных графиками функций, содержащих модули. Компьютерная презентация.
Создание тестовых заданий по материалам курса.
14