МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 75–79
Механика
УДК 539.3:534
Моделирование процесса колебаний упругой
пластины в сверхзвуковом потоке газа
С. И. Кийко
Аннотация. Исследуется взаимосвязь параметров натурного
и модельного процессов, возникающих в процессе колебаний
упругой шарнирно закрепленной пластины. На основе известных
критериев подобия предложены некоторые возможные параметры
моделирования.
Ключевые слова: панельный флаттер, упругая пластина,
моделирование.
Среди большого числа публикаций по панельному флаттеру лишь
немногие содержат результаты экспериментальных исследований. При этом
в большинстве работ последнего времени ставилась лишь одна задача:
получить сравнение экспериментально найденных критических параметров
(критической скорости флаттера) с предсказаниями теории (в основном,
поршневой). В этом ряду особое место занимают работы [1, 2], целью
которых было экспериментальное подтверждение одномодового флаттера
в области малых сверхзвуковых скоростей. Отметим два немаловажных
обстоятельства: все эксперименты проводились с прямоугольными упругими
пластинами, вектор скорости потока параллелен плоскости пластины и
одной из её сторон; результаты различных экспериментов достаточно сложно
сравнивать между собой, поскольку не выявлены параметры, по которым
можно провести это сравнение.
Задача, которая рассматривается в предлагаемой работе, формулируется
следующим образом. Представим себе два процесса колебаний тонкой
пластины в потоке газа: условно натурный (n) и модельный (m);
предположим, что оба процесса описываются одной и той же математической
моделью, а области, занимаемые пластинами в плане (плоскость Oxy),
подобны. Вектор скорости потока также одинаково ориентирован
по отношению к краям пластины и осям координат. Требуется
определить правила пересчета параметров, характеризующих процесс
в m (эксперимент), на параметры в n (натурный процесс или другой
эксперимент). Материал пластины предполагается изотропным и упругим,
С. И. Кийко
76
математическая модель колебаний пластины и флаттера основана на
поршневой теории.
Пусть прямоугольная пластина в плоскости Oxy занимает прямоугольную
область S = {(x, y) : 0 6 x 6 ℓ, 0 6 y 6 ℓ/β0 }. С одной («верхней») стороны
пластина обтекается плоско-параллельным сверхзвуковым потоком газа с
невозмущенными параметрами p0 , ρ0 , a0 = (γp0 /ρ0 )1/2 — соответственно
давление, плотность и скорость звука; γ — показатель политропы.
Предполагается известной и скорость потока газа υ = υn0 , n0 = (cos θ, sin θ)
(или скорость пластины в покоящемся газе); θ — угол между вектором υ и
осью Ox. Колебания пластины описываются уравнением [3]
µ
¶
γp0 ∂w
∂2w
2
+ υn0 gradw = 0.
(1)
D0 ∆ w + ρh 2 +
∂t
a0
∂t
Здесь w — прогиб пластины, D0 = E0 h3 /(12(1 − ν 2 )), ρ, ν — плотность
и постоянный коэффициент Пуассона материала пластины, h — ее
толщина. Уравнение (1) дополняется граничными условиями шарнирного
закрепления.
Приведем это уравнение к безразмерному виду, используя характерные
значения параметра процесса. В качестве таких параметров выберем
следующие величины: ℓ — характерный размер области S; h — толщина
пластины; E0 , ν, ρ или E0 , ν, c20 = E0 /ρ — свойства материала пластины;
t0 = ℓ/a0 — характерное время процесса.
Введем безразмерные координаты x1 = x/ℓ, y1 = y/ℓ и время t1 = t/t0 (в
дальнейшем индексы переменных x1 , y1 , t1 опустим); в этих обозначениях
уравнение (1) примет вид
D0 ∆2 w + a2
∂2w
∂w
+ a1
+ a1 M n0 gradw = 0.
∂t2
∂t
(2)
Здесь M = υ/a0 — число Маха,
a1 =
12(1 − ν 2 )γp0 ℓ3
,
E0 h3
a2 =
12(1 − ν 2 )a20 ℓ2
.
c20 h2
(3)
Предполагая теперь, что зависимость прогибов от времени выбирается в виде
w = W (x, y)exp(Ωt),
Ω = ωt0 = ωℓ/a0 ,
(4)
после подстановки (4) в (2) получим
∆2 W + a2 Ω2 W + a1 ΩW + a1 M n0 gradW = 0.
(5)
Отметим, что граничные условия шарнирного закрепления в задаче
флаттера прямоугольной пластины однородны по W и не содержат
коэффициентов.
Представим теперь два процесса — натурный и модельный, будем
считать, что в обоих процессах участвуют геометрически подобные пластины
Моделирование процесса колебаний упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа 77
с одинаковыми однородными граничными условиями. Если окажется, что
для натурного и модельного процессов все безразмерные коэффициенты
в уравнении (5) совпадут, то с математической точки зрения это будет
означать, что процессы колебаний пластины станут тождественными, а с
физической, — что в соответствующие моменты времени в соответствующих
точках модели и натуры совпадут все безразмерные характеристики.
Такие процессы называют подобными [4]. Фактически требование
подобия процессов означает, что должны выполняться равенства для
соответствующих групп безразмерных параметров. Введем для уравнения
(5) параметры подобия χ1 = a1 Ω, χ2 = a2 Ω2 , χ3 = a1 M ; тогда выполнение
системы равенств
(m)
(n)
(6)
χi = χi , i = 1, 2, 3,
обеспечит тождество решений уравнения (5) в модельном и натурном
процессах и, как следствие, предоставит правила моделирования.
На следующем этапе удобно ввести масштабы моделирования по
линейным размерам и по толщине пластины
k0 = ℓ(n) /ℓ(m) , m0 = h(n) /h(m) .
Тогда из (6) с учетом (3) и (4) получим
¶ µ
¶
µ
m20
E0 a0 (m)
γp0 c0 α (n)
,
=
E0 a0
γp0 c0 α
k02
α2 = 1 − ν 2 .
(7)
Из той же системы (6) следует ещё два соотношения
µ
¶
µ
¶
m0 αa0 (m) c0 (n) (m)
(n)
(n)
(n)
M
=
M
= B(m) M (m) , Ω(n) = B(m) Ω(m) . (8)
k0
c0
αa0
Предположим теперь, что заданы все параметры натурного процесса и
известны свойства материала модели, тогда из (7) можно найти отношение
масштабов моделирования и рассчитать связь между безразмерными
параметрами
(ℓ/h)(m) = (m0 /k0 )(ℓ/h)(n) .
Далее выбирается масштаб
k0 = ℓ(n) /ℓ(m)
(или m0 = h(n) /h(m) ) моделирования, определяются размеры модели и для
(m)
неё проводятся расчеты критической скорости флаттера M∗ . После этого
по формулам (8) проводится пересчет критических параметров процесса
на натурный объект. Возможна проверка полученных результатов для
параметров натурного процесса (при этом все вычисления проводятся
в том же приближении, что и на модели). Вычисления проводились
для материалов, перечисленных в табл. 1 (в [5] приведены данные для
бороалюминия).
78
С. И. Кийко
Таблица 1
Параметры материалов в расчетах на моделирование
Материал
Модуль Юнга E0 (ГПа) Плотность ρ(кг/м3 · 10−3 )
Fe
200
8
Al
75
3
Бороалюминий
250
2.7
При вычислении критической скорости флаттера для прогиба пластины
выбиралось четырехчленное приближение
w = ((C1 sin πx + C2 sin 2πx) sin β0 πy + (C3 sin πx + C4 sin 2πx) sin 2β0 πy) exp(ωt)
и проводилась стандартная процедура Бубнова–Галеркина. Результаты
вычислений приведены в табл. 2 (материалы и размеры натурных объектов
заданы автором). Пластины предполагались подобными в плане, везде
β0 = 1/2.
Таблица 2
Сравнение критической скорости флаттера для натурных и модельных
объектов. Поперечное обтекание θ = 0
(m)
Натура
Модель
(l/h)(n) m0 /k0 (l/h)(m) M∗
Бороалюминий Сталь
200
1.24
248
2.59
Сталь
Алюминий 200
0.61
122
8.15
(n)
M∗
6.18
4.99
В табл. 3 приводятся результаты соответствующих расчетов для
различных углов обтекания пластины. Пересчет значений критической
скорости с модели на натурный объект проводился по формулам (8).
Таблица 3
Критическая скорость флаттера для пластин из бороалюминия (натура) и
стали (модель)
(m)
Угол θ (в градусах) M∗
0
2.59
30
1.47
50
1.02
70
0.85
90
0.80
(n)
M∗
6.18
3.51
2.44
2.03
1.91
Проверка вычислений показывает хорошее совпадение критических
параметров натурного и модельного процессов. Так, например, пересчет
критический скорости флаттера для пластины из бороалюминия по методу
Бубнова–Галеркина в четырехчленном приближении (третья строка таблицы
(n)
(n)
3) приводит к значению M∗ = 3.49 (в таблице M∗ = 3.51).
Моделирование процесса колебаний упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа 79
Результаты работы могут оказаться полезными при организации
экспериментальных исследований по панельному флаттеру упругих и
вязкоупругих пластин.
Список литературы
1. Экспериментальное наблюдение одномодового панельного флаттера в
сверхзвуковом потоке газа / В.В. Веденеев [и др.] // Докл. РАН. 2009. Т. 427.
№ 6. С. 768–770.
2. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в
сверхзвуковом потоке газа / В.В. Веденеев [и др.] // Изв. РАН. МЖГ. 2010.
№ 2. С. 161–175.
3. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой
оболочки // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 167–171.
4. Показеев В.В., Кийко С.И. Параметры подобия и моделирование процессов
колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вестник МГУ. Сер. 1.
Математика. Механика. 2012. № 5. С. 39–45.
5. Милейко С.Т. Композиты и наноструктуры // Композиты и наноструктуры.
2009. № 1. С. 6–37.
Кийко Светлана Игоревна (skiiko@mail.ru), аспирант, кафедра
высшей математики, Московский государственный машиностроительный
университет (МАМИ).
Simulation of the process of the fluctuations of elastic plate in
the supersonic gas flow
S. I. Kiyko
Abstract. The interrelation of the parameters of the full-scale and model
processes, which appear in the process of the fluctuations of the hinged elastic
plate, is investigated. Some possible parameters of simulation are proposed on
the basis of known similarity criteria.
Keywords: panel flutter, elastic plate, simulation.
Kiyko Svetlana (skiiko@mail.ru), postgraduate student, department of higher
mathematics, Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI).
Поступила 31.03.2013