Чабан Л.Н. УМК Дискретная математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ» (МИИГАиК)
Утверждено
Учебно-методической
комиссией МИИГАиК
Протокол от _________ 2014 года
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»
Направление подготовки
230400 Информационные системы и технологии
Профиль подготовки
1. Геоинформационные системы
Квалификация (степень)
бакалавр
Форма обучения
очная
Москва 2014 г.
1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины является формирование общекультурных и
профессиональных компетенций, определяющих готовность и способность бакалавра по
направлению «Информационные системы» к конструктивному и логически
обоснованному формализованному описанию моделей данных, логических взаимосвязей
между ними, к разработке алгоритмов анализа данных в различных прикладных
направлениях.
Специалистам по геоинформационным системам и технологиям, работающим с
пространственно распределенными данными, векторными координатными моделями, а
также специалистам по сетевым технологиям наиболее важно владение аппаратом теории
графов и ее приложений. Поэтому наибольшее внимание в курсе уделено теории графов.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Б.2.В.ОД. Обязательные дисциплины»
ФГОС ВПО по направлению подготовки «Информационные системы и технологии».
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, сформированные в результате
обучения в средней общеобразовательной школе. Дисциплина изучается параллельно с
дисциплинами «Математический анализ» и «Технологии программирования».
Данная учебная дисциплина предшествует изучению дисциплин «Управление данными»,
«Технологии обработки информации», «Математическое моделирование и анализ
геоданных», «Проектирование ГИС», «Интеллектуальные системы и технологии» ООП
подготовки бакалавра по профилю «Геоинформационные системы», формирует
профессиональные и общекультурные компетенции, необходимые для прохождения
учебной и производственной практик.
Схема междисциплинарных связей
Дисциплина
Математический
анализ
Дисциплина
Технология
программирования
Дисциплина
Дискретная математика
Дисциплина
Управление
данными
Дисциплина
Математическое
моделирование и
анализ геоданных
Дисциплина
Технологии обработки
информации
Дисциплина
Проектирование
ГИС
Дисциплина
Интеллектуальные
системы и
технологии
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины «Теория и алгоритмы распознавания образов»
обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:
1. Знать:
- основные определения теории множеств и отношений на множествах; ОК-1, ОК-6,
ОК-10
- основные понятия логики высказываний, логические операции, законы
математической логики; ОК-1, ОК-6, ОК-10
- основные понятия теории алгебраических структур; ОК-1, ОК-10
- основные понятия и определения теории графов, способы представления графов в
ЭВМ; ОК-10
- наиболее важные для практических задач виды графов, их свойства; ОК-10, ПК-2,
ПК-11
- методы анализа графов при решении прикладных задач; ПК-11, ПК-12
- распространенные алгоритмы решения оптимизационных задач на графах, их
практические приложения. ПК-11, ПК-12
2. Уметь:
- применять аппарат теории множеств и отношений на множествах для
формализованного описания данных и их взаимосвязей; ОК-10, ПК-5, ПК-11
- оперировать с логическими выражениями, выполнять их преобразования с
помощью логических законов; ОК-1, ОК-10
- пользоваться аппаратом математической логики в задачах обработки и анализа
данных; ОК-10, ПК-3, ПК-5, ПК-11
- рационально описывать модели данных на основе анализа свойств бинарных
отношений; ПК-1, ПК-2, ПК-5
- пользоваться графами для описания и анализа однородных бинарных отношений и
иерархических структур; ОК-10, ПК-3, ПК-5, ПК-11
- применять аппарат теории графов для решения задач ГИС-анализа и в сетевых
технологиях. ПК-2, ПК-3, ПК-11.
3. Владеть:
- математической терминологией, принятой в теории множеств, теории отношений,
математической логике и теории графов. ОК-1, ПК-1, ПК-2
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины «Дикретная математика» составляет 4 зачетные
единицы, 144 часа.
4.1. Структура преподавания дисциплины
Семестр
Неделя семестра
лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа студентов
(подготовка к контрольным работам)
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов
и трудоемкость
(в часах)
1.
Математическая
логика.
3
1-3
6
6
4
2.
Множества и
отношения
Теория графов
3
4-8
10
10
8
9-17
18
18
18
Заключительная
аттестация
7
3.
Контрольная работа
1-7
Контрольная работа
9-12
Контрольная работа
14-17
Экзамен - 3-й семестр
18
2 часаконсультация
10.
Раздел
дисциплины
2 часа - сдача
задолженностей
по контрольным
№
п/п
Формы текущего
контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной
аттестации
(по семестрам)
4.2. Содержание дисциплины и требования к уровню его освоения
Условные обозначения:
1. Качество усвоения знаний (А):
А1 - знания, предусматривающие деятельность по воспроизведению;
А2 - знания, предполагающие применение в ситуациях, аналогичных
обучающим;
А3 - знания, использующиеся в задачах, требующих установления новых связей
между понятиями;
А4 - знания, предполагающие способность достраивать систему связей новыми.
2. Уровень усвоения умений (Б):
Б1 -
ученический – умение пользоваться системой понятий при
алгоритмической деятельности с внешне заданным алгоритмическим
описанием (подсказкой);
Б2 - (типовой – алгоритмический – уровень) – умение пользоваться системой
понятий в ситуации, аналогичной обучающей;
Б3 - (продуктивный эвристического типа) – умение применять систему знаний в
ситуациях, требующих перестройки связей между уже сформированными
понятиями;
Б4 - (продуктивный творческого типа) – умение достраивать сформированные
системы понятий новыми, самостоятельно сформированными.
3. Степень научности (В):
В1 - (феноменологическая) – описательное изложение фактов и явлений;
каталогизация объектов, констатация их свойств и качеств (известен
определенный
ряд
однородных
факторов),
это
использование
преимущественно естественного языка и житейских понятий;
В2 - (аналитико-синтетическая) – объяснение природы и свойств объектов и
закономерностей явлений, часто качественное или полуколичественное
(известны сущность первого порядка и свойства объектов и явлений,
механизмов, управляющих функционированием анализируемых фактов и
процессов);
В3 - (прогностическая) – объяснение явлений данной области с созданием их
количественной
теории,
моделирование
основных
процессов,
аналитическим
представлением
законов
и
свойств
(известны
закономерности функционирования объектов конкретного вида);
В4 - (аксиоматическая) – объяснение явлений с использованием высокой
степени общности описания (большой объем материала и широкое
использование научного языка, глубина проникновения в сущность явлений
– известны общие законы функционирования объектов любой природы).
1.
№ п/п
Раздел дисциплины
Математическая логика
*
ПЗ
*
СР
А
А3
2.
Множества и отношения
*
*
А3
А4
3.
Теория графов
*
*
А3
А4
Б
Б2
Б3
Б4
Б2
Б3
Б4
Б2
Б3
Б4
В
В2
В3
В4
В2
В3
В4
В2
В3
В4
Раздел 1. Математическая логика.
Требуемая степень усвоения содержания раздела: А3Б3В3
Понятие высказывания. Примеры высказываний. Примеры предложений, не
являющиеся высказываниями. Элементарное высказывание. Истинностное значение как
единственное свойство элементарных высказываний.
Сложные высказывания. Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция,
отрицание, импликация, эквивалентность, штрих Шеффера, стрелка Пирса. Тавтологии и
противоречия. Логические функции. Способы представления логических функций.
Таблица истинности и диаграмма Венна.
Представление логических выражений в дизьюнктивной (коньюнктивной)
нормальной форме. Минимальная и совершенная ДНФ (КНФ). Теорема Шеннона о
разложении булевых функций по переменным. Принцип двойственности.
Логические законы (тавтологии). Законы де Моргана, нуля и единицы,
идемпотенции, двойного отрицания, дистрибутивности и поглощения. Применение
логических законов для получения минимальных ДНФ.
Раздел 2. Множества и отношения.
Требуемая степень усвоения содержания раздела: А3Б3В3
Понятие множества. Способы задания множеств. Связь с логикой высказываний.
Универсальное множество. Системы подмножеств, булеан.
Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая
разность. Свойства операций. Связь с логическими законами. Диаграммы Эйлера.
Описание числовых множеств на плоскости.
Кортеж, прямое произведение множеств. Понятие графика и свойства графиков.
Бинарные отношения. Основные определения и способы задания отношений.
Обратное отношение. Композиция отношений.
Однородные отношения. Примеры однородных отношений. Свойства однородных
отношений
(рефлексивность,
симметричность,
транзитивность).
Отношение
эквивалентности.
Понятие функции как специального вида отношений. Свойства функциональных
отношений. Инъекция, сюрьекция, биекция.
Алгебраические системы. Алгебра множеств и булева алгебра.
Раздел 3. Теория графов.
Требуемая степень усвоения содержания раздела: А3Б3В3
Определение графа. Понятие смежности и инцидентности вершин и ребер.
Ориентированные и неориентированные графы, псевдо и мультиграфы. Наиболее важные
для практических задач виды графов. Способы представления графов в ЭВМ.
Понятие
степени
(валентности)
вершин
для
неориентированных
и
ориентированных графов. Полные и регулярные графы. Понятие изоморфизма графов.
Основные инварианты графа. Теорема Эйлера о степенях вершин.
Маршруты, цепи, циклы. Диаметр графа. Понятие связности и достижимости.
Графы как бинарные отношения эквивалентности и частичного порядка (строгого и
нестрогого). Транзитивное замыкание.
Операции над графами. Собственные и остовные подграфы. Компоненты
связности. Численная оценка связности графа через его основные инварианты.
Методы анализа (обхода) графов в ЭВМ. Поиск в глубину и поиск в ширину.
Примеры использования каждого из методов обхода.
Вершинная и реберная связность графа. Мосты, блоки, точки сочленения.
Числовые характеристики вершинной и реберной связности, отношение между ними.
Разделяющие множества и разрезы. Теорема Менгера в вершинной и реберной форме.
Двудольные графы и паросочетания. Свойства двудольных графов. Теорема Холла
о совершенном паросочетании.
Деревья и леса. Неориентированные (свободные) деревья, их свойства. Задача о
минимальном соединении. Теорема Кэли и задача Штейнера. Алгоритмы построения
остовного дерева минимального веса: алгоритм Краскала и алгоритм Прима.
Ориентированные (корневые) деревья, их отличия от неориентированных.
Упорядоченные корневые деревья. Способы представления деревьев в ЭВМ. Бинарные
деревья, их свойства. Примеры практического использования бинарных деревьев.
Поиск кратчайших путей на взвешенных графах. Алгоритм Форда-Беллмана и
алгоритм Дейкстры.
Сети и потоки в сетях. Порядковая функция сети. Алгоритм Демукрона.
Дивергенция, разрез, циркуляция. Определение и свойства потока. Теорема ФордаФалкерсона.
Эйлеровы графы. Условие существования эйлерова цикла. Полуэйлеровы графы и
эйлеровы цепи. Алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
Гамильтоновы графы. Гамильтоновы цепи и гамильтоновы циклы. Достаточные
условия существования гамильтонова цикла: теорема Дирака, теорема Оре, теорема Татта.
Циклы и коциклы. Фундаментальная система циклов, цикломатическое и
коциклическое число. Построение фундаментальной системы циклов.
Задача коммивояжера. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.
Независимость и покрытия, вершинные и реберные. Наименьшие покрытия и
максимальные независимые множества.
Задача о раскраске. Понятие хроматического числа, его связь с валентностью
вершин. Примеры графов, имеющих известное хроматическое число. Теорема о четырех
красках для планарных графов. Критерий планарности (теорема ПонтрягинаКуратовского). Способы решения задачи о вершинной раскраске произвольного связного
графа. Схема Гранди.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
ПК-30
ПК-11
+
+
+
ПК-26
ПК-5
+
+
+
ПК-23
ПК-4
+
+
+
ПК-15
ПК-3
ПК-12
ПК-2
16
28
54
78
ПК-1
Раздел 1
Раздел 2
Раздел 3
Итого
ОК-10
Количество
часов
ОК-6
Темы,
разделы
дисциплины
ОК-1
4.3 Соотношение разделов учебной дисциплины и формируемых в них компетенций
Компетенции
Σ общее
количество
компетенций
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
12
12
11
5. Образовательные технологии
При реализации программы дисциплины «Дискретная математика» в часы,
отведенные для аудиторных занятий (54 часа), занятия проводятся:
в виде лекций с использованием практических примеров использования изучаемых
понятий и алгоритмов;
в виде практических занятий, на которых студентам предлагаются задачи на усвоение и
закрепление лекционного материала. Поощряется активное участие студентов в
обсуждении решения задачи.
Самостоятельная работа студентов подразумевает подготовку к контрольным
работам с использованием методического пособия для практических занятий.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое
обеспечение самостоятельной работы студентов
Для текущего контроля успеваемости в течение семестра проводятся три
контрольные работы по индивидуальным вариантам для каждого студента. Каждый
вариант содержит 6 вопросов:
- два на знание основных понятий и определений пройденного материала;
- два на умение выполнять простейшие расчеты на основе свойств изученных
объектов, представленных в теоремах и аналитических зависимостях;
- две задачи, требующие применения изученных методов и алгоритмов.
Пример варианта контрольной работы по разделам 1-2.
1. Каков порядок выполнения логических операций при отсутствии скобок?
2. Дать определение бинарного и n-местного отношения. Перечислить способы
задания отношений.
3. Построить таблицу истинности и диаграмму Венна для логической формулы:
a  b  (b  c)  a | c  b  c .
4. Найти композицию отношений R1R2: R1={(a,e),(b,d),(b,f),(c,e)},
R2={(d,l),(e,l),(e,n),(f,k),(f,l),(f,m)}.
5. Доказать тавтологию: (a  b)  (a  b  c  bc  ac)  1 .
6. Изобразить графически результат операций над множествами точек плоскости:
A∩B, A={(x,y) : 4x2≤y≤4}, B={(x,y) : y≤1/|x| }.
Пример варианта контрольной работы на первую часть раздела 3.
1. Что называется прямой суммой и соединением графов?
2. Сформулировать теорему Холла. Пояснить все используемые термины.
3. Описать граф для представления в ЭВМ в матричной форме.
4. Определить показатель вершинной связности следующего графа:
1) 2,3,4 2) 1,3,4 3) 1,2,4,6 4) 1,2,3,5,6 5) 4,6,7 6) 3,4,5,7,8 7) 5,6,8 8) 6,7.
5. Построить транзитивное замыкание следующего графа:
1) 2,3,4 2) 3,5 3) 5,6 4) 6 5) 4 6) 1,5.
6. Найти методом Форда-Беллмана кратчайшие пути между первой и остальными
вершинами для взвешенного орграфа со следующей матрицей весов:
0

1


-1
0
2




0
-1


3

0
3
2

-1

0
Пример варианта контрольной работы на вторую часть раздела 3.
1. Сформулировать теорему Форда-Фалкерсона. Пояснить все термины.
2. Найти нижнюю и верхнюю оценки веса гамильтонова цикла в следующем
взвешенном графе.
*
4
1
4
*
2
1
1
2 1
* 2
2 *
1
1
3
1
*
3 1
2 3 3
3
3
*
4
2 1
2 3
3
3 3
4 2
1
*
*
3. Преобразовать упорядоченное дерево к бинарному и закодировать двумя способами.
4. Определить хроматическое число графа:
1) 2,10 2)1,3,6 3) 2,7,10 4) 5,7,10 5) 4,6 6) 2,5,10 7) 3,4,8,10 8) 7,9 9) 8,10 10)
1,3,6,7,9.
5. Построить остовное дерево минимального веса методом Краскала. Вычислить
суммарный вес дерева.
*
5
*
4
1
3
1
1
5
4
* 1
1 *
3
2 1
2
5
1
3
*
1
3
2
1
1
2
5
4
*
4
*
1
1
*
6. Построить эйлеров цикл в эйлеровом графе: 1) 4,6 2) 3,8 3) 2,5,7,8 4)1,5,6,7 5) 3,4
6) 1,4 7) 3,4 8) 2,3.
Общие критерии оценки ответов студентов
Для отличной оценки
Наличие глубоких,
исчерпывающих знаний
предмета в объеме
освоенной программы;
знание основной
(обязательной)
литературы; правильные
и уверенные действия,
свидетельствующие о
наличии твердых знаний
и навыков в
использовании
технических средств;
полное, четкое, грамотное
и логически стройное
изложение материала;
свободное применение
теоретических знаний при
анализе практических
вопросов.
Для хорошей
оценки
Для удовлетворительной оценки
Те же
требования, но
в ответе
студента по
некоторым
перечисленны
м показателям
имеются
недостатки
принципиальн
ого характера,
что вызвало
замечания или
поправки
преподавателя.
Те же требования, но
в ответе имели место
ошибки, что вызвало
необходимость
помощи в виде
поправок и
наводящих вопросов
преподавателя.
Для
неудовлетворительной оценки
Наличие ошибок
при изложении
ответа на основные
вопросы
программы,
свидетельствующих
о неправильном
понимании
предмета; при
решении
практических задач
показано незнание
способов их
решения, материал
изложен
беспорядочно и
неуверенно.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. 1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Питер, 2002.
2. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2002.
3. Судоплатов С.Б., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.: ИнфраМ, 2002.
4. Чабан Л.Н. Практикум по дискретной математике. М., МИИГАиК, 2010.
а) дополнительная литература:
5. О.Оре. Теория графов. М.,Наука, 1980г.
6. Р.Дистель.
Теория
графов.
Новосибирск,
Издательство
Института
математики,2002г.
7. И.Х.Сигал, А.П.Иванова. Введение в прикладное дискретное программирование.
М. ФИЗМАТЛИТ, 2002г.
8. Н.П.Редькин. Дискретная математика. С.-П.-М., Лань,2003г.
9. Б.Н.Иванов. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. М., Лаборатория
Базовых знаний, 2003г.
10. В.Е.Алексеев, В.А.Таланов. Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели
вычислений.М.,Бином,2006г.
Авторы: Журкин Игорь Георгиевич, профессор, Чабан Людмила Николаевна, доцент