Страницы 40–55

"
Ê ÂÀ
À ÍÂ
T «
2 0Ê
0 9Â
/¹
ØÊÎË
À1 Í Ò Å »
Ìåòîä
ýêâèâàëåíòíûõ
äåôîðìàöèé
Â.ÝÏØÒÅÉÍ
Ì
ÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÏÐÅÄÑÒÀÂËßÅÒ ÑÎÁÎÉ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÿçûê, íà êîòîðîì ôîðìóëèðóþòñÿ è ðåøàþòñÿ ôèçè÷åñêèå çàäà÷è. È, òåì íå ìåíåå, äëÿ ïîíèìàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ (à ìîæåò áûòü, è ôóíäàìåíòàëüíûõ) îñíîâàíèé íàóêè îá
îêðóæàþùåì íàñ ìèðå ïîëåçíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ çàäà÷àìè,
ðåøåíèå êîòîðûõ íå òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ðàñ÷åòîâ. Òàê, ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé ïðåäïîëàãàåò ðÿä ìûñëåííûõ èçìåíåíèé êîíôèãóðàöèè (ò.å. ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ è ôîðìû) òåë, ïðè êîòîðûõ îñíîâíûå
õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, íî õîä
èññëåäóåìûõ ïðîöåññîâ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì. Âàøåìó âíèìàíèþ ïðåäëàãàåòñÿ íåñêîëüêî òàêèõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1.  íåáîëüøîì áàññåéíå ïëàâàåò ëîäêà. Èçìåíèòñÿ ëè (è åñëè èçìåíèòñÿ, òî êàê) óðîâåíü âîäû â
áàññåéíå, åñëè ëåæàùèé íà äíå ëîäêè êàìåíü áðîñèòü â
âîäó?
Ðàñ÷åòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðåäëîæåíû âî
ìíîãèõ ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ. Ìîæíî, îäíàêî, îáîéòèñü è áåç
ðàñ÷åòîâ.
Ïîäóìàåì: çàâèñèò ëè îòâåò íà âîïðîñ, ïîñòàâëåííûé â
çàäà÷å, îò ôîðìû äíà ëîäêè, íà êîòîðîì ëåæèò êàìåíü?
ßñíî, ÷òî òàêîé çàâèñèìîñòè áûòü íå ìîæåò: â çàêîíå
Àðõèìåäà ôîðìà òåëà, ïîãðóæåííîãî â æèäêîñòü, íèêàêîé
ðîëè íå èãðàåò. Òîãäà áóäåì ìûñëåííî «ïðîäàâëèâàòü»
êàìåíü ÷åðåç äíî ëîäêè. Ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè ýòîãî
ïðîöåññà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå 1. Íà îäíîì èç ýòàïîâ
Ðèñ. 1
êàìåíü ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîäâåøåííûì íà âåðåâêå, ïðèâÿçàííîé êî äíó ëîäêè. Óðîâåíü âîäû, åñòåñòâåííî, íå èçìåíèòñÿ, åñëè óäëèíèòü âåðåâêó òàê, ÷òîáû êàìåíü êîñíóëñÿ
äíà áàññåéíà. Åñëè æå âåðåâêó òåïåðü ïåðåðåçàòü, òî, î÷åâèäíî, ëîäêà âñïëûâåò, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðîâåíü âîäû ïîíèçèòñÿ.
Çàäà÷à 2.  ñòàêàíå ïëàâàåò êóñîê ëüäà, ñîäåðæàùèé: à)
ïóçûðåê, íàïîëíåííûé âîçäóõîì; á) êóñî÷åê ïðîáêè; â)
ñòàëüíóþ ãàéêó. Êàê èçìåíèòñÿ óðîâåíü âîäû â ñòàêàíå,
êîãäà ëåä ðàñòàåò?
Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî åñëè ëåä îäíîðîäåí, òî ïîñëå åãî
òàÿíèÿ óðîâåíü âîäû íå èçìåíèòñÿ: ëåä âûòåñíÿåò ðîâíî
ñòîëüêî âîäû, ñêîëüêî ñàì âåñèò è, ñëåäîâàòåëüíî, ñêîëüêî
ïîëó÷èòñÿ ïðè ïëàâëåíèè.
ßñíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íå çàâèñèò îò ìåñòà ðàñïîëîæå-
40-55.p65
40
íèÿ óêàçàííûõ îáúåêòîâ
â êóñêå ëüäà.  ñëó÷àå
à), ê ïðèìåðó, ïóçûðåê
ìîæíî ïåðåìåñòèòü ê ïîâåðõíîñòè ëüäà (ðèñ.2).
Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå
ïóçûðüêà ýêâèâàëåíòíî Ðèñ. 2
èçìåíåíèþ ôîðìû îäíîðîäíîãî ëüäà, ïëàâëåíèå êîòîðîãî, êàê óæå ãîâîðèëîñü,
óðîâíÿ âîäû íå èçìåíÿåò.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, ñòðîãî ãîâîðÿ, ñêàçàííîå âûøå
ñïðàâåäëèâî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ïëîòíîñòü âëàæíîãî
âîçäóõà â ïóçûðüêå ñîâïàäàåò ñ ïëîòíîñòüþ îêðóæàþùåãî
àòìîñôåðíîãî âîçäóõà.  ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî
ðàâíîâåñèÿ ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òàê íàçûâàåìîé òðîéíîé
òî÷êå, ò.å. ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ, ïðè
êîòîðûõ ëåä, âîäà è âîäÿíîé ïàð íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñèè
( t » 0,01 °C , p » 4,6 ìì ðò. ñò).
Òàÿíèå ëüäà ñ âìåðçøåé ïðîáêîé – ñëó÷àé á) – óðîâåíü
âîäû íå èçìåíèò, òàê êàê ïðîáêó ìîæíî ìûñëåííî âûäàâèòü
èçî ëüäà è ïóñòèòü â ñàìîñòîÿòåëüíîå ïëàâàíèå íà òîíêîé
ëåäÿíîé íèòè.
 ñëó÷àå â) ãàéêó, êàê è â ïåðâîé çàäà÷å, «ïðîäàâèì»
ñêâîçü ëåä äî äíà ñòàêàíà, à çàòåì ïåðåðåæåì ñâÿçûâàþùóþ
ëåäÿíóþ íèòü. Ëåä âñïëûâåò, óðîâåíü âîäû ïîíèçèòñÿ è óæå
íå èçìåíèòñÿ ïîñëå ïëàâëåíèÿ ëüäà.
Çàäà÷à 3. Çàêðûòûé ïðîáêîé ñîñóä, âåñ êîòîðîãî ðàâåí
âûòàëêèâàþùåé ñèëå, ïîêîèòñÿ íà äíå ñòàêàíà ñ âîäîé.
Ïî÷òè íå ñîâåðøàÿ ðàáîòû, åãî ìîæíî ïîäíÿòü ê ïîâåðõíîñòè âîäû. Åñëè òåïåðü âûíóòü ïðîáêó, òî ñîñóä íàïîëíèòñÿ âîäîé è óòîíåò. Ïðè ýòîì îí ìîæåò ñîâåðøèòü
íåêîòîðóþ ðàáîòó. Åñëè æå âûíóòü ïðîáêó, êîãäà ñîñóä
ëåæèò íà äíå, îí òàêæå íàïîëíèòñÿ âîäîé, íî ðàáîòû íå
ñîâåðøèò. Êàê ñîãëàñîâàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè?
Îáñóäèì, â ÷åì ñóòü ïàðàäîêñà.
 ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è ðå÷ü èäåò î òîì, ÷òî ïðè ïàäåíèè
ñîñóäà, çàïîëíåííîãî âîäîé, ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî äëÿ ïîäíÿòèÿ òåëà íå ïðèøëîñü çàòðàòèòü íèêàêîé
ýíåðãèè. Ïðîèçâåäåì, îäíàêî, ñ ñîñóäîì â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè ýêâèâàëåíòíóþ äåôîðìàöèþ: ìûñëåííî
äåôîðìèðóåì ëåæàùèé
íà äíå ñîñóä òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3.
«Âûäàâèì» ìàññó ñòåíîê
â ïåðåìåùåííóþ ÷àñòü,
à ïóñòóþ ÷àñòü ñîñóäà Ðèñ. 3
îòäåëèì îò çàïîëíåííîé.
Âîäà îêàæåòñÿ «çàõâà÷åííîé» ñòåíêàìè ñîñóäà è, òàêèì
îáðàçîì, áóäåò íàõîäèòüñÿ âíóòðè ñîñóäà. Òåïåðü ñîñóä è
«âîçäóõ» ìîæíî ïîäíèìàòü ðàçäåëüíî. Ïîäíèìàÿ ñîñóä, ìû
ñîâåðøàåì ðàáîòó. Ïîäíÿòèå «âîçäóõà» ýêâèâàëåíòíî îïóñêàíèþ íåêîòîðîãî îáúåìà âîäû (ìàññû ýòîé âîäû è ñîñóäà
ðàâíû). Ñèòóàöèÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íà ïîâîðîòó ðàâíîïëå÷íîãî ðû÷àãà ñ ðàâíûìè ãðóçàìè íà êîíöàõ. Ïîäíèìàÿ
îäèí ãðóç, ìû îïóñêàåì äðóãîé (ðû÷àã íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè áåçðàçëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ – ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ).
Çàòåì ìû ìîæåì ïåðåðåçàòü íèòü, êîòîðîé ïðèâÿçàí ïîäíÿòûé ãðóç. Ïðè ïàäåíèè ýòîãî ãðóçà ñèëà òÿæåñòè ñîâåðøèò
ðàáîòó.
Ïðèìåíÿÿ ýòîò æå ìåòîä âî âòîðîé ÷àñòè çàäà÷è, ìû íå
âèäèì ñóùåñòâåííûõ ðàçëè÷èé ñ óæå ðàññìîòðåííûì ñëó÷àåì. Íàïîëíåíèå âîäîé ñîñóäà ýêâèâàëåíòíî ïåðåìåùåíèþ
èçâåñòíîãî îáúåìà âîäû îò ïîâåðõíîñòè äî äíà ñòàêàíà.
30.01.09, 13:11
ØÊÎËÀ
Ðàáîòà ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ òàêàÿ æå, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå
(ïðè ïåðåìåùåíèè ñîñóäà).
Îòëè÷èå óñëîâèé ïåðâîé ÷àñòè çàäà÷è îò âòîðîé ñâîäèòñÿ,
òàêèì îáðàçîì, âñåãî ëèøü ê ïîðÿäêó äåéñòâèé. Íàðóøåíèÿ
çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íå îáíàðóæèâàåòñÿ.
Çàäà÷à 4. Ñîñóä íàïîëîâèíó çàïîëíåí âîäîé, â êîòîðîé
ïëàâàåò êóñîê ëüäà. Ïîâåðõ ëüäà íàëèâàþò êåðîñèí, âåðõíèé óðîâåíü êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ íà âûñîòå h îò äíà
ñîñóäà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòà âûñîòà, êîãäà ëåä ðàñòàåò?
Ýòà çàäà÷à áûëà îïóáëèêîâàíà â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà»
(Ô113) â 1971 ãîäó.  æóðíàëå ïðèâåäåíî ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé (íå î÷åíü ñëîæíîé) çàäà÷è. Ìîæíî,
îäíàêî, îáîéòèñü è áåç ðàñ÷åòîâ.
 ñëó÷àå, êîãäà ëåä îêàçûâàåòñÿ ïîä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà, îòâåò î÷åâèäåí: âîäà, ïîëó÷åííàÿ ïîñëå ïëàâëåíèÿ
ëüäà, çàíèìàåò ìåíüøèé îáúåì, çíà÷èò, âåðõíèé óðîâåíü
êåðîñèíà ïîíèçèòñÿ.
Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò àíàëèç ñèòóàöèè, êîãäà ëåä âûñòóïàåò íàä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà. Èäåÿ ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé ïîðîæäàåò ñîáëàçí äåôîðìèðîâàòü ëåä òàê, ÷òîáû
åãî âåðøèíà îêàçàëàñü ïîä ïîâåðõíîñòüþ êåðîñèíà. Òàêèì
îáðàçîì, êàçàëîñü áû, ìîæíî ñâåñòè ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó
ê ïðåäûäóùåé. Îäíàêî ýòîò «ôîêóñ» íå ïðîõîäèò: ïîãðóæåíèå âûñòóïàþùåé ÷àñòè ëüäà â êåðîñèí ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïîâûøåíèåì óðîâíÿ æèäêîñòè, à ïîñëå ïëàâëåíèÿ óðîâåíü
ïîíèæàåòñÿ – ñëåäîâàòåëüíî, êîíå÷íûé ðåçóëüòàò íå áóäåò
î÷åâèäíûì. Èòàê, äåôîðìàöèÿ îêàçûâàåòñÿ íåýêâèâàëåíòíîé.
Íî åñëè ýêâèâàëåíòíàÿ äåôîðìàöèÿ ëüäà íå ïðîõîäèò, íå
ñòîèò ëè äâèíóòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè: îñòàâèòü ëåä â ïîêîå, à «äåôîðìèðîâàòü» æèäêîñòè? Ïîïðîáóåì.
Îò òî÷êè ðîñû
äî òî÷êè
êèïåíèÿ
Â.ÏÒÓØÅÍÊÎ, À.ÏßÒÀÊÎÂ
Åñòü ðàçíèöà ìåæ íèõ. È åñòü åäèíñòâî.
È.Áðîäñêèé
Ð
ÀÇÍÎÎÁÐÀÇÍÛÌ ÍÅÎÁÛ×ÍÛÌ (ÄÀ È ÑÀÌÛÌ ÎÁÛ×-
íûì òîæå) ñâîéñòâàì âîäû è âîäÿíîãî ïàðà â «Êâàíòå»
áûëî ïîñâÿùåíî ìíîãî ñòàòåé – îò ñóãóáî ïðàêòè÷åñêèõ,
íàïðèìåð î çàâàðèâàíèè ÷àÿ, î ðóññêîé áàíå èëè ñîõðàíåíèè óðîæàÿ â ïîëå â õîëîäíûå îñåííèå íî÷è, äî ïî÷òè
ðîìàíòè÷åñêîé «èñòîðèè îäíîé ðîñèíêè».1 À ñ ÷åãî íà÷èíàåòñÿ èñòîðèÿ ðîñèíêè? Ýòîò íåõèòðûé âîïðîñ, íà êîòî1 Ñì. ñòàòüè È.Ìàçèíà «Ïðèãëàøåíèå â ïàðíóþ» («Êâàíò» ¹8
çà 1985 ã.), À.Âàðëàìîâà è À.Øàïèðî «Ïîêà ÷àéíèê íå çàêèïåë …»
(«Êâàíò» ¹8 çà 1987 ã.), À.Àáðèêîñîâà (ìë.) «Èñòîðèÿ ðîñèíêè»
(«Êâàíò» ¹7 çà 1988 ã.), À.Ñòàñåíêî «Êîñòðû â ïîëå è ðóññêàÿ
áàíÿ» («Êâàíò» ¹1 çà 2002 ã.).
40-55.p65
41
Â
"
«ÊÂÀÍÒÅ»
Äëÿ ýòîãî ñëîé êåðîñèíà
òîëùèíîé H1 çàìåíèì òàêèì ñëîåì âîäû, êîòîðûé
ñîõðàíÿåò ïîëîæåíèå ëüäà
íåèçìåííûì (ðèñ.4). Ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü âîäû
áîëüøå ïëîòíîñòè êåðîñèíà, âûñîòà ýòîãî ñëîÿ
H2 < H1 . Ïðè ïëàâëåíèè
ëüäà óðîâåíü âîäû (êàê
áûëî çàìå÷åíî âûøå) íå
ìåíÿåòñÿ. Åñëè òåïåðü îñó- Ðèñ. 4
ùåñòâèòü îáðàòíóþ çàìåíó
è âåðíóòü íà ìåñòî êåðîñèí
(äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îñòàâèòü ñëåä ïîâåðõíîñòè
ëüäà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 5), òî âûÿñíèòñÿ, ÷òî
ñëîé êåðîñèíà íàä ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðóþ ðàíåå îáðàçîâûâàëà âîäà, ðàñòåêàåòñÿ ïî áîëüøåé ïëîùàäè è
óðîâåíü êåðîñèíà ïîíèæàåòñÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûì).
Èòàê, óðîâåíü êåðîñèíà Ðèñ. 5
ïîíèæàåòñÿ íåçàâèñèìî îò
òîãî, ïîêðûâàåò êåðîñèí ëåäÿíóþ ãëûáó ïîëíîñòüþ èëè
÷àñòè÷íî. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýêâèâàëåíòíóþ äåôîðìàöèþ
ëüäà îñóùåñòâèòü íå óäàëîñü, ñàìà èäåÿ ìåòîäà îêàçàëàñü
ïëîäîòâîðíîé.
ðûé, íàâåðíîå, áåç òðóäà îòâåòèò ëþáîé ÷èòàòåëü, òàèò â
ñåáå åñëè è íå çàãàäêè, òî óæ ïîäâîõè òî÷íî. Âîò åìó ìû è
ïîñâÿòèì íàøó ñòàòüþ.
Èòàê, ñ ÷åãî æå âñå-òàêè íà÷èíàåòñÿ èñòîðèÿ ðîñèíêè? Ñ
êîíäåíñàöèè, êîíå÷íî, ýòî âñåì èçâåñòíî. Ïîýòîìó óòî÷íèì
âîïðîñ: à êîãäà è ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà÷èíàåòñÿ êîíäåíñàöèÿ? Äàâàéòå îáñóäèì âñå ïî ïîðÿäêó.
Ó âîäû, êàê ó âñÿêîãî âåùåñòâà, åñòü òðè àãðåãàòíûõ
ñîñòîÿíèÿ – òâåðäîå, æèäêîå è ãàçîîáðàçíîå. Ëîãè÷íî îæèäàòü, ÷òî ìåæäó òðåìÿ ñîñòîÿíèÿìè èìåþòñÿ äâå òåìïåðàòóðíûå ãðàíèöû: òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðà
êèïåíèÿ. À òåïåðü çàäóìàåìñÿ: ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå ãàçîîáðàçíàÿ âîäà ïðåâðàùàåòñÿ â æèäêóþ? Åñëè ãîðÿ÷èé âîäÿíîé ïàð, âçÿòûé ïðè òåìïåðàòóðå âûøå 100 °Ñ, íà÷àòü
îõëàæäàòü, òî ïåðâûå ðîñèíêè (æèäêîñòü) ïîÿâÿòñÿ â íåì…,
íó êîíå÷íî, â òî÷êå ðîñû – íåäàðîì æå ýòà òåìïåðàòóðà òàê
íàçûâàåòñÿ! Ïîñòîéòå, à ÷òî æå òîãäà òàêîå òî÷êà êèïåíèÿ?
Ïî÷åìó æå íå â íåé – â ýòîé ïîãðàíè÷íîé òî÷êå ìåæäó
æèäêèì ñîñòîÿíèåì è ãàçîîáðàçíûì – ïðîèñõîäèò ïðåâðàùåíèå ãàçà â æèäêîñòü?  êàêîì æå òîãäà ñìûñëå îíà
ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé?
Ïðåæäå ÷åì îòâåòèòü íà ýòè âîïðîñû, ïîäóìàåì: à ïðè
êàêîé òåìïåðàòóðå âîäà êàê æèäêîñòü ïðåâðàùàåòñÿ â ïàð?
Äà ïðè ëþáîé! È èç ÷àøêè ñ ãîðÿ÷èì ÷àåì ïîäíèìàåòñÿ
ïàð, è èç áëþäöà ñ õîëîäíîé âîäîé, êîòîðîå âû îñòàâèëè
äëÿ êîòåíêà, âîäà ðàíî èëè ïîçäíî èñïàðèòñÿ. Äàæå ìîêðàÿ
ïðîñòûíÿ íà ìîðîçíîì çèìíåì âåòðó óñïåâàåò âûñîõíóòü
áûñòðåå, ÷åì çàìåðçíóòü è «ïðåâðàòèòüñÿ â êàìåíü».  ÷åì
æå òîãäà îñîáåííîñòü òåìïåðàòóðû êèïåíèÿ? Îòâåò õîðîøî
èçâåñòåí: ïðè òåìïåðàòóðå êèïåíèÿ ïðîèñõîäèò íå ïðîñòî
èñïàðåíèå, à èìåííî êèïåíèå, ò.å. èíòåíñèâíîå èñïàðåíèå
ïî âñåìó îáúåìó æèäêîñòè.
30.01.09, 13:11
"
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Ýòî êîðîòêîå ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå, ïîäîáíî ñêàçî÷íîìó ëàðöó, âíóòðè ñîäåðæèò ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì ìîæíî
ïðåäïîëîæèòü, ãëÿäÿ ñíàðóæè. Âíóòðè ýòîãî «ëàðöà» ïðÿ÷åòñÿ îäíî èç îñíîâíûõ ïðåäñòàâëåíèé ôèçèêè – ïîíÿòèå
ðàâíîâåñèÿ. ×òîáû æèäêîñòü ìîãëà äîëãîå âðåìÿ ïðîñóùåñòâîâàòü, îíà äîëæíà íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîèì
îêðóæåíèåì. Íî ðàçíûõ âèäîâ ðàâíîâåñèÿ ìîæåò áûòü
ìíîãî – ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçíûõ âèäîâ
«äâèæåíèÿ», ò.å. ëþáîãî èçìåíåíèÿ ñèñòåìû æèäêîñòü–ãàç.
Íàïðèìåð, åñòü ìåõàíè÷åñêîå ðàâíîâåñèå ìåæäó âñåìè ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè íà æèäêîñòü èçíóòðè è ñíàðóæè. Åñòü
òåïëîâîå ðàâíîâåñèå, ñòðåìÿñü ê êîòîðîìó, ãîðÿ÷èé ÷àé
îñòûâàåò äî êîìíàòíîé òåìïåðàòóðû. À åùå åñòü ôèçèêîõèìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå ñ êèñëîðîäîì, êîòîðûé èç âîçäóõà
ñòðåìèòñÿ ïðîíèêíóòü â âîäó è ðàñòâîðèòüñÿ â íåé, äàâàÿ
æèçíü âàøèì àêâàðèóìíûì ðûáêàì... Òàê êàêèå æå âèäû
ðàâíîâåñèÿ âàæíû â äàííîì ñëó÷àå?
Äàâàéòå ïîñìîòðèì íà æèäêîñòü ïîä ìèêðîñêîïîì: ìû
óâèäèì â íåé ìåëü÷àéøèå ïóçûðüêè âîçäóõà. Âîäÿíîé ïàð
íîðîâèò çàïîëíèòü ñîáîé ýòè ïóçûðüêè è «âçîðâàòü» æèäêîñòü èçíóòðè. Ñäåëàòü ýòî åìó íå ïîçâîëÿþò âîäÿíîé ïàð
âìåñòå ñ âîçäóõîì, íàõîäÿùèåñÿ ñíàðóæè, íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè: îíè «ñäàâëèâàþò» æèäêîñòü, ýòî äàâëåíèå
ïåðåäàåòñÿ âíóòðü îò îäíîãî ñëîÿ ê äðóãîìó, «îùóùàåòñÿ» â
êàæäîì óãîëêå çàïîëíåííîãî æèäêîñòüþ îáúåìà è ñäåðæèâàåò ðîñò ïóçûðüêîâ.
Êðîìå îïàñíîñòè áûòü âçîðâàííîé èçíóòðè, æèäêîñòè
ãðîçèò åùå îäíà îïàñíîñòü – óëåòó÷èòüñÿ, ìîëåêóëà çà
ìîëåêóëîé, ÷åðåç îòêðûòóþ ïîâåðõíîñòü â îêðóæàþùåå
ïðîñòðàíñòâî. Íî ýòîìó ìîæåò ïîìåøàòü âîäÿíîé ïàð, êîòîðûé óæå çàïîëíÿåò ýòî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîâåðõíîñòüþ
æèäêîñòè. Ìîëåêóëà çà ìîëåêóëîé, îí ìîæåò âîçâðàùàòüñÿ îáðàòíî â æèäêîñòü, ò.å. êîíäåíñèðîâàòüñÿ, êîìïåíñèðóÿ èñïàðåíèå. Òàêîå ôàçîâîå ðàâíîâåñèå íàñòóïàåò, íàïðèìåð, â áàíêå, íàêðûòîé êðûøêîé, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ
âîäà, à íàä íåé – âëàæíûé âîçäóõ ñ íàñûùåííûì âîäÿíûì
ïàðîì. Ðîëü êðûøêè ìîãóò èãðàòü òàêæå íåïîäâèæíûå
âîçäóøíûå ìàññû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ àòìîñôåðíûõ
óñëîâèÿõ, è òîãäà íà çåìëå äîëãî íå âûñûõàþò ëóæè, à
áåëüå íà âåðåâêàõ îñòàåòñÿ âëàæíûì, íàðóøàÿ âñå ïëàíû
õîçÿåê.
À ÷òî æå ïðîèñõîäèò ïðè êèïåíèè? Ïðè òåìïåðàòóðå
êèïåíèÿ äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì
áîëüøèì – âûðàñòàåò äî àòìîñôåðíîãî, ïóçûðüêè ðàñòóò
íåóäåðæèìî, èç-ïîä êðûøêè âûðûâàåòñÿ ïàð. Íàðóøàþòñÿ
îáà òèïà ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè. Êðûøêà ïîäïðûãèâàåò è
ïîçâÿêèâàåò, íàïîìèíàÿ îá ýòîì. Ìîæíî, êîíå÷íî, êðûøêó
«óêðåïèòü», ÷òîáû íå ïðûãàëà, – òîãäà ïîëó÷èòñÿ ñêîðîâàðêà2 , îáà ðàâíîâåñèÿ âîññòàíîâÿòñÿ, íî òîëüêî äàâëåíèå
ïîä êðûøêîé áóäåò óæå áîëüøå àòìîñôåðíîãî.
Îáðàòèòå âíèìàíèå: äëÿ ïîääåðæàíèÿ ôàçîâîãî ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè ñ îòêðûòîé ïîâåðõíîñòüþ âàæåí òîëüêî åå
ñîáñòâåííûé ïàð, åãî ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå, à êàêèå åùå
ãàçû åñòü â àòìîñôåðå è â êàêîì êîëè÷åñòâå – ñîâåðøåííî
íå âàæíî. À âîò äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïóçûðüêîâ, äëÿ
òîãî ÷òîáû íå ïðîèñõîäèëî êèïåíèÿ, íåîáõîäèìî íàä ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè èìåòü åùå êàêîé-íèáóäü ãàç, êðîìå ñàìîãî
âîäÿíîãî ïàðà. Åñëè âû óõèòðèòåñü èç-ïîä çàêðûòîé êðûøêè îòêà÷àòü âåñü ñóõîé âîçäóõ, îñòàâèâ òàì òîëüêî âîäÿíîé
ïàð, òî æèäêîñòü âñêèïèò. Íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî: âû ïîíèçèëè âíåøíåå äàâëåíèå äî âåëè÷èíû, ñîçäàâàåìîé ëèøü
îäíèì íàñûùåííûì âîäÿíûì ïàðîì, ò.å. êàê ðàç ñîçäàëè
óñëîâèÿ êèïåíèÿ.
2 Ïîäðîáíåå î ïðèíöèïå ðàáîòû ñêîðîâàðêè ñì. â óïîìÿíóòîé
ñòàòüå À.Âàðëàìîâà è À.Øàïèðî.
40-55.p65
42
Âîò çäåñü-òî è êðîåòñÿ ïîäâîõ, êîòîðûé ÷àñòî ìåøàåò
ïîíèìàíèþ ïðîöåññîâ êèïåíèÿ è èñïàðåíèÿ. Ïðè èõ îáúÿñíåíèè ãëàâíóþ ðîëü èãðàþò ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà è ïîëíîå (àòìîñôåðíîå) äàâëåíèå. Ïîëíîå âíåøíåå
äàâëåíèå, êàê ïðàâèëî, ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåííîé âåëè÷èíîé, â
òî âðåìÿ êàê ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå âîäÿíîãî ïàðà, íàîáîðîò, ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïî ìåðå èñïàðåíèÿ âîäû. È äåéñòâèòåëüíî, â êóõíå, ãäå äîëãî êèïèò ÷àéíèê, âû ìîæåòå âïîëíå
ÿâñòâåííî îùóòèòü ïîâûøåíèå âëàæíîñòè, â òî âðåìÿ êàê
èìåþùèéñÿ â êóõíå áàðîìåòð ïîêàçûâàåò âñå òî æå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå. Ïî÷åìó æå ýòî äàâëåíèå íå ïîâûøàåòñÿ?
 îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ïîòîìó, ÷òî óìåíüøàþòñÿ îñòàëüíûå
ñëàãàåìûå: âîäÿíîé ïàð, çàïîëíÿÿ êóõíþ, ÷àñòè÷íî âûòåñíÿåò èç íåå àçîò è êèñëîðîä, èõ ïàðöèàëüíûå äàâëåíèÿ
ïàäàþò, è ñóììàðíîå äàâëåíèå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. À â
íåîáû÷íûõ óñëîâèÿõ – íàïðèìåð, â óæå óïîìèíàâøåéñÿ
íàìè ñêîðîâàðêå, â ïîäçåìíûõ êàìåðàõ ãåéçåðîâ è ò.ï. –
ðîñò ïàðöèàëüíîãî äàâëåíèÿ âîäÿíîãî ïàðà âïîëíå ìîæåò
ïðèâîäèòü è ê ðîñòó ñóììàðíîãî äàâëåíèÿ, òàê ÷òî îíî óæå
ïåðåñòàåò áûòü ïîñòîÿííûì è èçìåíÿåòñÿ, íàïðèìåð ñ òåìïåðàòóðîé.
Òåïåðü ìû ìîæåì âåðíóòüñÿ ê âîïðîñàì, ñ êîòîðûõ íà÷àëè ñòàòüþ. Òîëüêî ñäåëàåì ïîñëåäíèé øàæîê – ÷òîáû
íàãëÿäíåé ñîïîñòàâèòü îïðåäåëåíèÿ òî÷åê ðîñû è êèïåíèÿ,
ñëåãêà ïåðåôîðìóëèðóåì îäíî èç íèõ. (Ïåðåôîðìóëèðîâàòü êëàññè÷åñêèå îïðåäåëåíèÿ – íåáëàãîäàðíîå äåëî. Íî,
íàäååìñÿ, ÷èòàòåëü îöåíèò ìåòîäè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðèåìà è ïðîñòèò íàì ýòó «ôàìèëüÿðíîñòü» ïî îòíîøåíèþ ê
êëàññèêå.) Êàê èçâåñòíî, òî÷êà ðîñû – ýòî òåìïåðàòóðà,
ïðè êîòîðîé âîäÿíîé ïàð, ñîäåðæàùèéñÿ â àòìîñôåðå (íàðÿäó ñ àçîòîì, êèñëîðîäà è ïð.), áóäåò íàñûùåííûì. À
òî÷êó êèïåíèÿ îïðåäåëèì êàê òåìïåðàòóðó, ïðè êîòîðîé
áûë áû íàñûùåííûì âîäÿíîé ïàð, öåëèêîì «åäèíîëè÷íî»
îáðàçóþùèé àòìîñôåðó. Îòñþäà ñðàçó ïîíÿòíî, ÷òî òî÷êà
êèïåíèÿ – ýòî âåðõíÿÿ ãðàíèöà äëÿ òî÷êè ðîñû è ãðàíèöà
äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ æèäêîñòè (ïðè çàäàííîì âíåøíåì äàâëåíèè, êàê ïðàâèëî àòìîñôåðíîì). Ïîýòîìó, îõëàæäàÿ ãîðÿ÷èé âëàæíûé âîçäóõ, âû ìîæåòå îáíàðóæèòü ïåðâûå
êàïëè æèäêîñòè ïðè ëþáîé òåìïåðàòóðå, íî òîëüêî íèæå
òî÷êè êèïåíèÿ: åñëè âëàãè â âîçäóõå íåìíîãî, òî çàñòàâèòü
ìîëåêóëû âîäû «ñîáðàòüñÿ âìåñòå» óäàñòñÿ, ëèøü ñèëüíî
ïîíèçèâ òåìïåðàòóðó. Åñëè ïî÷òè âåñü îáúåì âîçäóõà çàïîëíåí ïàðîì, òî òî÷êà ðîñû ìîæåò îêàçàòüñÿ äîâîëüíî
áëèçêî ê òî÷êå êèïåíèÿ (âñïîìíèòå, êàê âûõîäÿùèé èç
êèïÿùåãî ÷àéíèêà ïàð ïîêðûâàåò êàïåëüêàìè äàæå î÷åíü
ãîðÿ÷èå íà îùóïü êðûøêó èëè íîñèê).
Ïîäâåäåì èòîã ñêàçàííîìó. Ïðîöåññû èñïàðåíèÿ è êèïåíèÿ æèäêîñòè îïðåäåëÿþòñÿ äâóìÿ ðàçíûìè ôàêòîðàìè:
âçàèìîäåéñòâèåì æèäêîñòè ñ åå ñîáñòâåííûì ïàðîì è ñ
àòìîñôåðîé â öåëîì. Ñóììàðíîå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
ãàçà íàä æèäêîñòüþ îïðåäåëÿåò ðàâíîâåñèå ìåæäó æèäêîñòüþ è îáðàçóþùèìèñÿ âíóòðè íåå ïóçûðüêàìè, ò.å. âîçìîæíîñòü åå âñêèïàíèÿ. À ïàðöèàëüíîå äàâëåíèå ïàðà îïðåäåëÿåò ðàâíîâåñèå æèäêîñòè ñ îêðóæàþùèì ïàðîì, ò.å., â
÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòü åå ïîëíîãî èñïàðåíèÿ èëè, íàîáîðîò, íà÷àëà êîíäåíñàöèè â òî÷êå ðîñû.
Áóäåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàøà ñòàòüÿ ïîìîæåò ÷èòàòåëþ
óâåðåííåå îðèåíòèðîâàòüñÿ â ýòèõ, õîòÿ è î÷åíü ïðèâû÷íûõ, îäíàêî âñå æå íå âñåãäà ïðîñòûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ
âîïðîñàõ. Íî åñëè îíà ïîðîäèò íîâûå âîïðîñû – áóäåò åùå
ëó÷øå!
Àâòîðû áëàãîäàðíû Ãåîðãèþ Åâãåíüåâè÷ó Ïóñòîâàëîâó çà
èñêëþ÷èòåëüíóþ ïîääåðæêó è âíèìàíèå ê äàííîé ðàáîòå.
30.01.09, 13:11
ØÊÎËÀ
Ëåãåíäà
îá èñêàæåíèè
ñèãíàëà
Ñ.ÄÂÎÐßÍÈÍÎÂ
Î
ÄÍÀÆÄÛ ÔÀÐÀÎÍ ÑÍÀÐßÄÈË ÝÊÑÏÅÄÈÖÈÞ ÄËß ÐÀÇ-
âåäêè íîâîãî òîðãîâîãî ïóòè, ñòðîãî-íàñòðîãî ïðèêàçàâ
íà÷àëüíèêó îòðÿäà îòïðàâëÿòü ãîíöà ñ äîíåñåíèåì â ïåðâîïðåñòîëüíóþ ÷åðåç êàæäûå äâîå ñóòîê. Íå ñìåëè îñëóøàòüñÿ
ïîä÷èíåííûå ýòîãî ïðèêàçà. Òî÷íî ïî ðàñïèñàíèþ ñàäèëñÿ
î÷åðåäíîé ãîíåö íà êîíÿ è íàïðàâëÿëñÿ â ñòîëèöó ê ôàðàîíó.
Êàêîâî æå áûëî èçóìëåíèå íà÷àëüíèêà îòðÿäà, êîãäà ïîñëå
óäà÷íîãî âîçâðàùåíèÿ ìîãóùåñòâåííûé âëàäûêà âñòðåòèë
åãî ñ ìðà÷íûì âèäîì è îáâèíèë â íåïîñëóøàíèè. Îêàçûâàåòñÿ, ãîíöû íà÷àëè ïðèáûâàòü ê íåìó ñ èíòåðâàëîì â òðîå
ñóòîê, à ïîä êîíåö íè ñ òîãî íè ñ ñåãî âäðóã ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ
÷åðåç êàæäûå ñóòêè.
Èñòîðèÿ óìàë÷èâàåò î äàëüíåéøåé ñóäüáå íà÷àëüíèêà
ýêñïåäèöèè. À êàêîå ìîæíî áûëî áû ïðèäóìàòü îïðàâäàíèå,
îêàçàâøèñü íà åãî ìåñòå?
Ïðèâåäåì îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ. Íà ðèñóíêå
ïîêàçàíû ãðàôèêè äâèæåíèÿ ýêñïåäèöèè (ñèíÿÿ ëîìàíàÿ) è
Â
"!
«ÊÂÀÍÒÅ»
íû îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì ÷àñòîòà èñïóñêàåìîé, ò.å. ÷àñòîòà óâåëè÷èâàåòñÿ, à åñëè ðàññòîÿíèå óâåëè÷èâàåòñÿ, òî ÷àñòîòà óìåíüøàåòñÿ. Èìåííî ýòîò ýôôåêò ïðîÿâèëñÿ â îïèñàííîé âûøå ïðàâäèâîé èñòîðèè: ïîêà îòðÿä (èñòî÷íèê ñèãíàëîâ-ãîíöîâ) óäàëÿëñÿ îò ôàðàîíà (íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ), ÷àñòîòà ïðèåìà ñèãíàëà óìåíüøàëàñü, à êîãäà îòðÿä
ñòàë ïðèáëèæàòüñÿ ê ôàðàîíó, ÷àñòîòà óâåëè÷èâàëàñü. Ïðàâäà, â òåêñòå ðå÷ü øëà íå î ÷àñòîòå èñïóñêàíèÿ è ïðèåìà
ñèãíàëîâ, à îá îáðàòíîé âåëè÷èíå – ïåðèîäå, ò.å. îá èíòåðâàëå âðåìåíè ìåæäó èñïóñêàåìûìè èëè ïðèíèìàåìûìè
ñèãíàëàìè.
Êàêèìè æå ôîðìóëàìè îïèñûâàåòñÿ ýôôåêò Äîïëåðà?
Íà÷íåì ñ íàøåé èñòîðèè, ò.å. ñî ñëó÷àÿ, êîãäà èñòî÷íèê
äâèæåòñÿ, à íàáëþäàòåëü íåïîäâèæåí. Ïóñòü vè – ñêîðîñòü,
ñ êîòîðîé èñòî÷íèê óäàëÿåòñÿ îò íàáëþäàòåëÿ, Tè – ïåðèîä
èñïóñêàíèÿ ñèãíàëîâ, V – ñêîðîñòü ñèãíàëà. Ê ìîìåíòó
èñïóñêàíèÿ ñëåäóþùåãî ñèãíàëà ïðåäûäóùèé ñèãíàë ïåðåìåùàåòñÿ â ñòîðîíó íàáëþäàòåëÿ íà ðàññòîÿíèå VTè , à ñàì
èñòî÷íèê ïðîõîäèò â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ðàññòîÿíèå vè Tè . Çíà÷èò, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñèãíàëàìè
(äâóìÿ ãîíöàìè, äâóìÿ ãðåáíÿìè âîëíû) ðàâíî
λ = (vè + V ) Tè . Ïîñêîëüêó îáà ñèãíàëà äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ V, òî èíòåðâàë âðåìåíè ìåæäó ïðèåìàìè ýòèõ ñèãíàëîâ
íåïîäâèæíûì íàáëþäàòåëåì ðàâåí
Tí =
Åñëè èñòî÷íèê ïðèáëèæàåòñÿ ê íàáëþäàòåëþ, òî ñêîðîñòü
èñòî÷íèêà â ýòîé ôîðìóëå íàäî ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíîé. Â
îïèñàííîé èñòîðèè ñêîðîñòü îòðÿäà vè áûëà â äâà ðàçà
ìåíüøå ñêîðîñòè ãîíöîâ V, ïîýòîìó ïåðèîä ïðèåìà (âðåìÿ
ìåæäó ïðèáûòèÿìè ãîíöîâ) ñíà÷àëà â ïîëòîðà ðàçà óâåëè÷èâàëñÿ, à ïîòîì â äâà ðàçà óìåíüøàëñÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîé âàðèàíò: èñòî÷íèê íåïîäâèæåí,
à íàáëþäàòåëü óäàëÿåòñÿ îò íåãî ñî ñêîðîñòüþ ví (åñëè
íàáëþäàòåëü ïðèáëèæàåòñÿ ê èñòî÷íèêó, òî ví < 0). Òàêîìó
âàðèàíòó ñîîòâåòñòâîâàëà áû èñòîðèÿ, â êîòîðîé ôàðàîí
ïóòåøåñòâóåò, à åãî ïîìîùíèêè øëþò ê íåìó èç ñòîëèöû
ãîíöîâ ñ èíôîðìàöèåé.  ýòîì ñëó÷àå èçìåíåíèå ïåðèîäà
îïèñûâàåòñÿ íåìíîãî äðóãîé ôîðìóëîé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó
ñèãíàëàìè ðàâíî òåïåðü λ = VTè , à âðåìÿ ìåæäó ïðèåìàìè
äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñèãíàëîâ ñîñòàâëÿåò
Tí =
ãîíöîâ (êðàñíûå îòðåçêè). Ñêîðîñòü ãîíöîâ â äâà ðàçà
ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ýêñïåäèöèè. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî
ãîíöû ñ äîíåñåíèåì îòïðàâëÿëèñü òî÷íî â ñîîòâåòñòâèè ñ
ïðèêàçîì ôàðàîíà ÷åðåç äâîå ñóòîê, à ïðèáûâàëè â ñòîëèöó
ñíà÷àëà ñ èíòåðâàëîì â òðîå ñóòîê, à çàòåì ÷åðåç ñóòêè.
Èñòîðèÿ ãðîçíîãî ôàðàîíà ÿâëÿåòñÿ êðàñèâîé íàãëÿäíîé
èëëþñòðàöèåé èçâåñòíîãî ôèçè÷åñêîãî ýôôåêòà – ýôôåêòà
Äîïëåðà (òî÷íåå – ïðîäîëüíîãî ýôôåêòà Äîïëåðà), êîòîðûé
èìååò îãðîìíîå íàó÷íîå è ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.
 1842 ãîäó Êðèñòèàí Äîïëåð (1803–1853) äàë ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ñëåäóþùåìó íàáëþäàåìîìó ýôôåêòó. Ïóñòü
èìåþòñÿ èñòî÷íèê, èñïóñêàþùèé âîëíó, è íàáëþäàòåëü,
ïðèíèìàþùèé ýòó âîëíó. Òîãäà åñëè èñòî÷íèê èëè íàáëþäàòåëü äâèæóòñÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñðåäû òàê, ÷òî
ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ìåíÿåòñÿ, òî ÷àñòîòà (ïåðèîä) âîëíû, ïðèíèìàåìîé íàáëþäàòåëåì, îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû
èçëó÷àåìîé âîëíû. Òàê, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêîì
è íàáëþäàòåëåì óìåíüøàåòñÿ, òî ÷àñòîòà ïðèíèìàåìîé âîë-
40-55.p65
43
V + vè
λ
= Tè
.
V
V
V
λ
= Tè
.
V - ví
V - ví
Åñëè, êàê è â ïåðâîé èñòîðèè, ñêîðîñòü îòðÿäà ñ ôàðàîíîì
áóäåò â äâà ðàçà ìåíüøå ñêîðîñòè ãîíöîâ, òî ïðè óäàëåíèè
îòðÿäà ïåðèîä óâåëè÷èâàåòñÿ â äâà ðàçà, à ïðè ïðèáëèæåíèè
îòðÿäà ê ñòîëèöå ïåðèîä ïðèåìà óìåíüøàåòñÿ è ñîñòàâëÿåò
2/3 îò ïåðèîäà èñïóñêàíèÿ (îòïðàâêè ãîíöîâ èç ñòîëèöû).
Åñëè æå äâèæóòñÿ è èñòî÷íèê, è íàáëþäàòåëü, òî èçìåíåíèå ïåðèîäà îïèñûâàåòñÿ òàêîé îáùåé ôîðìóëîé:
Tí = Tè
V + vè
,
V - ví
ãäå vè – ñêîðîñòü óäàëåíèÿ èñòî÷íèêà îò íàáëþäàòåëÿ, ví
– ñêîðîñòü óäàëåíèÿ íàáëþäàòåëÿ îò èñòî÷íèêà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷àñòîòû ν = 1 T èìååò âèä
νí = νè
V - ví
.
V + vè
Îòìåòèì, ÷òî âñå ïðèâåäåííûå ôîðìóëû îòíîñÿòñÿ ê
ñëó÷àþ äâèæåíèÿ âäîëü îäíîé ïðÿìîé.
Ýôôåêò Äîïëåðà äëÿ çâóêîâûõ âîëí ëåãêî, íàïðèìåð,
îáíàðóæèòü, íàáëþäàÿ çà ïðèáëèæàþùåéñÿ ýëåêòðè÷êîé.
30.01.09, 13:11
""
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Åñëè ìèìî æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû ïðîíîñèòñÿ ãóäÿùèé ïîåçä, òî ñíà÷àëà ñëûøåí âûñîêèé çâóê (÷àñòîòà çâóêîâîé âîëíû íà ñëóõ âîñïðèíèìàåòñÿ êàê âûñîòà çâóêà), çàòåì,
ïî ìåðå óäàëåíèÿ ïîåçäà, çâóê ñòàíîâèòñÿ âñå íèæå è íèæå.
Ýôôåêò Äîïëåðà ïðîÿâëÿåòñÿ è ïî îòíîøåíèþ ê ýëåêòðîìàãíèòíûì âîëíàì, â ÷àñòíîñòè – ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ñâåòà.
Ïðàâäà, â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû äëÿ ýôôåêòà Äîïëåðà
íåñêîëüêî âèäîèçìåíÿþòñÿ. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âàêóóìå, à íå â ñðåäå, è â îòâåò ìîæåò
âõîäèòü òîëüêî îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü íàáëþäàòåëÿ è èñòî÷íèêà v. Ïîýòîìó âìåñòî äâóõ ôîðìóë – äëÿ äâèæåíèÿ
íàáëþäàòåëÿ è äëÿ äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà – îñòàåòñÿ òîëüêî
îäíà:
V-v
νí = νè
.
V+v
Ýòà ôîðìóëà âûâîäèòñÿ â ðàìêàõ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.
Ïðåäñòàâèì, ÷òî íà êîíå ì÷èòñÿ âñàäíèê, äåðæàùèé â
ðóêàõ ôîíàðü çåëåíîãî öâåòà. ×àñòîòû ñâåòîâûõ âîëí âîç-
ðàñòàþò ïðè ïåðåõîäå îò êðàñíîãî öâåòà ê ôèîëåòîâîìó.
Òàê âîò, åñëè âñàäíèê ñ ôîíàðåì óäàëÿåòñÿ îò íàñ, òî öâåò
âîñïðèíèìàåìîãî íàìè ñâåòà áóäåò êàçàòüñÿ íàì ìåíåå çåëåíûìè è áîëåå æåëòûì. Íî îá ýòîì ìîæíî ãîâîðèòü
v
äëÿ ñêîðîñòåé ñâåòà V =
òîëüêî òåîðåòè÷åñêè: äðîáü
V
= 300000 êì/ñ è âñàäíèêà v = V íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî åå
âðÿä ëè ñòîèò ïðèíèìàòü â ðàñ÷åò. Äðóãîå äåëî – êîñìè÷åñêèå îáúåêòû: ãàëàêòèêè, óäàëÿþùèåñÿ îò íàñ ñ îãðîìíûìè ñêîðîñòÿìè.  ñâåòîâîì ñïåêòðå ãàëàêòèê ïðèáîðû
ðåãèñòðèðóþò ñìåùåíèå â ñòîðîíó êðàñíîãî öâåòà, çíà÷èò,
ãàëàêòèêè ðàçáåãàþòñÿ äðóã îò äðóãà, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò
î ðàñøèðåíèè Âñåëåííîé.
Ïîñêîëüêó ýôôåêò Äîïëåðà ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü ñêîðîñòü
íåäîñòóïíîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ âîëí ïî ñìåùåíèþ èõ
ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, òî îí ñòàíîâèòñÿ óäîáíûì èíñòðóìåíòîì âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè: â àñòðîôèçèêå,
ñïåêòðîñêîïèè, ðàäèî- è ãèäðîëîêàöèè è äðóãèõ.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ïàðàäîêñû
êîìàíäíûõ
ñîðåâíîâàíèé
 ìàò÷å I òèïà ïîáåæäàåò êîìàíäà A, â ìàò÷å II òèïà –
êîìàíäà B. Äåéñòâèòåëüíî, ñîñòàâèì òàáëèöó ñîðåâíîâàíèé:
Ë.ÈËÜÊÎÂ
Ì
Û ÁÓÄÅÌ ÐÀÑÑÌÀÒÐÈÂÀÒÜ ÊÎÌÀÍÄÍÛÅ ÑÎÐÅÂÍÎ-
âàíèÿ â èíäèâèäóàëüíûõ âèäàõ ñïîðòà, íàïðèìåð, â
øàõìàòàõ. Äëÿ óïðîùåíèÿ ñèòóàöèè ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå
êîìàíäû ñîñòîÿò èç «èäåàëüíûõ» èãðîêîâ: ó êàæäîãî èãðîêà
åñòü ðåéòèíã, îòðàæàþùèé åãî ñèëó, èãðîê âñåãäà ïîáåæäàåò
èãðîêà ñ ìåíüøèì ðåéòèíãîì è èãðàåò âíè÷üþ ñ ðàâíûì ïî
ñèëå.
Åñòü äâà ñïîñîáà ïðîâåäåíèÿ (äâà òèïà) êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèé:
I.  êàæäîé êîìàíäå èãðîêè óïîðÿäî÷èâàþòñÿ «ïî äîñêàì», îáû÷íî â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ðåéòèíãà, è êàæäûé èãðîê
ó÷àñòâóåò òîëüêî â îäíîé ïàðòèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ÷ëåíîì
äðóãîé êîìàíäû (âñåãî N ïàðòèé, ãäå N – êîëè÷åñòâî
èãðîêîâ â êîìàíäå).
II. Êàæäûé èãðîê èãðàåò ñî âñåìè èãðîêàìè äðóãîé êîìàíäû (âñåãî N 2 ïàðòèé).
Ïàðàäîêñ 1
Êîìàíäà, ïîáåäèâøàÿ â ìàò÷å îäíîãî òèïà, ìîæåò ïðîèãðàòü â ìàò÷å äðóãîãî òèïà.
Ïðèâåäåì òàêîé ïðèìåð. Íèæå óêàçàíû äâå êîìàíäû ïî 5
èãðîêîâ â êàæäîé (äàíû ðåéòèíãè èãðîêîâ):
A: 6 4 3 3 2
B: 5 4 4 3 1
40-55.p65
44
 ïåðâîì ñòîëáöå òàáëèöû – ðåéòèíãè èãðîêîâ êîìàíäû
À, â ïåðâîé ñòðîêå – êîìàíäû Â. Ðåçóëüòàòû ìàò÷à II òèïà
ïîêàçàíû â êëåòêàõ ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòðîê è
ñòîëáöîâ: 1 – âûèãðûø èãðîêà êîìàíäû À, 0 – ïðîèãðûø,
1/2 – íè÷üÿ. Ïî äèàãîíàëè â òàáëèöå âûäåëåíû ðåçóëüòàòû ìàò÷à I òèïà. Ïîñëåäíèé ñòîëáåö – ñóììû î÷êîâ èãðîêîâ êîìàíäû À äëÿ ìàò÷à II òèïà. Êàê âèäèì, â ìàò÷å I
òèïà ó êîìàíäû A – 3 î÷êà èç 5, ó êîìàíäû  – 2;
ïîáåæäàåò êîìàíäà À. Äëÿ ìàò÷à II òèïà îáùàÿ ñóììà
î÷êîâ êîìàíäû A – 12 èç 25 âîçìîæíûõ, à ó êîìàíäû  –
13; ïîáåæäàåò êîìàíäà Â.
 äàëüíåéøåì äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì ÷àñòî âìåñòî «êîìàíäà À ïîáåæäàåò êîìàíäó » ïèñàòü ïðîñòî A > B.
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êîëè÷åñòâî èãðîêîâ â
êîìàíäàõ ìåíåå 5, ýòîò ïàðàäîêñ íåâîçìîæåí.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü îãðàíè÷åíèÿìè, êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ íà ðàñïîëîæåíèå ðåçóëüòàòîâ â òàáëèöå óïîðÿäî÷åííîñòüþ åå ñòðîê è ñòîëáöîâ ïî ðåéòèíãó.
Ïàðàäîêñ 2
Ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä, èç êîòîðûõ êàæäàÿ âûèãðûâàåò ó îäíîé èç ñîïåðíèö, íî ïðîèãðûâàåò äðóãîé (îòñóòñòâèå òðàíçèòèâíîñòè).
Îïåðàöèÿ ñðàâíåíèÿ ÷èñåë îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè a > b è b > c, òî a > c. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ
30.01.09, 13:11
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
òðàíçèòèâíîñòüþ. Èì îáëàäàþò è íàøè «èäåàëüíûå» èãðîêè, åñëè ñðàâíèâàòü èõ ðåéòèíãè.
Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òðàíçèòèâíîñòü â ãðóïïîâûõ èãðàõ
âûïîëíÿåòñÿ äàëåêî íå âñåãäà. Íèæå óêàçàíû òðè êîìàíäû
ïî òðè èãðîêà â êàæäîé (äàíû ðåéòèíãè èãðîêîâ):
A: 5 2 2
B: 4 4 1
C: 3 3 3
Ýòè êîìàíäû ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïðîâåäåíèÿ ñîðåâíîâàíèé
îáûãðûâàþò äðóã äðóãà öèêëè÷åñêè. Äåéñòâèòåëüíî, â I
ñëó÷àå ðåçóëüòàòû èãð òàêîâû: A : B = B : C = C : A = 2 : 1.
Âî II ñëó÷àå A : B = 5 : 4, B : C = C : A = 6 : 3.
Ìåæäó òåì, ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä, îáëàäàþùèå òðàíçèòèâíîñòüþ òîëüêî äëÿ îäíîãî ñïîñîáà ïðîâåäåíèÿ ñîðåâíîâàíèé. Òàê, êîìàíäû
A: 6 3 3 2
B: 5 5 3 1
C: 4 4 3 3
îáûãðûâàþò äðóã äðóãà öèêëè÷åñêè, ñîðåâíóÿñü I ñïîñîáîì:
A > B, B > C, C > A. Ïðè II ñïîñîáå öèêëè÷íîñòè íåò, íî è
òðàíçèòèâíîñòè òîæå íåò: À = B, B > C, C > A. Åñëè èç ýòèõ
êîìàíä óáðàòü èãðîêîâ òðåòüåé äîñêè (ó íèõ îäèíàêîâûé
ðåéòèíã 3), òî ñîîòíîøåíèå êîìàíä â I ñëó÷àå, êîíå÷íî, íå
èçìåíèòñÿ, à âî II ñëó÷àå òîæå ïîÿâèòñÿ öèêëè÷íîñòü: A > B,
B > C, C > A.
Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî öèêëè÷íîñòü – «êðàéíèé»
ñëó÷àé íàðóøåíèÿ òðàíçèòèâíîñòè: îòñóòñòâèå òðàíçèòèâíîñòè íå îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ öèêëè÷íîñòüþ.
Êîìàíäû
A: 5 2 2
B: 4 3 1
C: 3 3 2
îáëàäàþò öèêëè÷íîñòüþ âî II ñëó÷àå: A > B, B > C, C > A.
 I ñëó÷àå íåò íè öèêëè÷íîñòè, íè òðàíçèòèâíîñòè: A > B,
B = C, C = A.
 ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä, ñîñòîÿùèõ èç äâóõ èãðîêîâ,
öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà, õîòÿ íàðóøåíèÿ òðàíçèòèâíîñòè
íàáëþäàþòñÿ.
Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîìàíä èç äâóõ èãðîêîâ
öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà.
Ïàðàäîêñ 3
Ñóùåñòâóþò òðîéêè êîìàíä ñ ðàçíîíàïðàâëåííîé äëÿ
ðàçíûõ òèïîâ ñîðåâíîâàíèé öèêëè÷íîñòüþ.
Ýòîò ïàðàäîêñ êàê áû îáúåäèíÿåò â ñåáå ïàðàäîêñû 1 è 2.
Ïðèìåð – êîìàíäû
A: 11 9 6 3 1
B: 10 7 5 5 4
C: 8 7 7 5 2.
 ñîðåâíîâàíèÿõ I òèïà A > B, B > C, C > A; â
ñîðåâíîâàíèÿõ æå II òèïà – A < B, B < C, C < A. Âåçäå
ïðåèìóùåñòâî ìèíèìàëüíîå – 1 î÷êî.
Çàäà÷à 3. Íàéäèòå åùå îäèí èëè áîëåå ïðèìåðîâ ýòîãî
ïàðàäîêñà äëÿ êîìàíä èç ïÿòè èãðîêîâ.
Ïðèìå÷àíèå. Ðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò
ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà. Ëåãêî ïîñòðîèòü «íîâîå» ðåøåíèå èç
ïðèâåäåííîãî, ëèøü èçìåíèâ ðåéòèíãè èãðîêîâ òàê, ÷òîáû íè
îäèí ðåçóëüòàò ëè÷íûõ âñòðå÷ íå èçìåíèëñÿ. Ýòî äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð, ñäâèãîì ðåéòèíãîâ èëè óìíîæåíèåì èõ íà
íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò.
Ïîýòîìó ââîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå: âñå ðåéòèíãè
– öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà è çàíèìàþò áåç ïðîïóñêîâ
íåêîòîðûé äèàïàçîí öåëûõ ÷èñåë 1 : k (â ïðèìåðå – 1 : 11).
40-55.p65
45
ÊÐÓÆÎÊ
"#
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ñîñòàâèòü êîìïüþòåðíóþ
ïðîãðàììó; áåç êîìïüþòåðà çàäà÷à êàæåòñÿ òðóäíîé. Ñ
ïîìîùüþ òàêîé ïðîãðàììû áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä, ñîñòîÿùèõ èç òðåõ èãðîêîâ, öèêëè÷íîñòü
âîçìîæíà, åñëè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ
k ³ 5 . Äëÿ êîìàíä èç ÷åòûðåõ èãðîêîâ óæå ïðè k = 4
âîçìîæíà öèêëè÷íîñòü, íî òîëüêî â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà.
Ïðè k £ 3 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà äëÿ êîìàíä ëþáîãî
ðàçìåðà.
Ïðîáëåìà 1. Äîêàçàòü, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä èç
òðåõ èãðîêîâ ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ èãðîêîâ
k £ 4 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà.
Ïðîáëåìà 2. Äîêàçàòü, ÷òî â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà êîìàíä
èç ÷åòûðåõ èãðîêîâ ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ ðåéòèíãîâ
èãðîêîâ k £ 4 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà.
Ïðîáëåìà 3. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè êîëè÷åñòâå ðàçëè÷íûõ
ðåéòèíãîâ èãðîêîâ k £ 3 öèêëè÷íîñòü íåâîçìîæíà â ñîðåâíîâàíèÿõ êîìàíä ëþáîãî ðàçìåðà.
«Âîëøåáíûå» êóáèêè (èãðàëüíûå êîñòè)
Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ó âàñ åñòü òðè êóáèêà. Îáû÷íûå
øåñòèãðàííûå êóáèêè, íà êàæäîé ãðàíè êîòîðûõ íàïèñàíû
íåêîòîðûå ÷èñëà. Âû ïðåäëàãàåòå ñâîåìó ïàðòíåðó âçÿòü
ëþáîé êóáèê, êîòîðûé åìó áîëüøå ïîíðàâèëñÿ, à ñåáå
âûáèðàåòå îäèí èç äâóõ îñòàâøèõñÿ êóáèêîâ. Äàëåå âû
íà÷èíàåòå èãðàòü: êàæäûé áðîñàåò ñâîé êóáèê, è âûèãðûâàåò
òîò, íà ÷üåì êóáèêå âûïàäåò áîëüøåå ÷èñëî. Òàê âîò, êóáèêè
ìîãóò áûòü òàêèìè, ÷òî ïðè áîëüøîì ÷èñëå áðîñàíèé â
ñðåäíåì âû áóäåòå â âûèãðûøå, òî åñòü áóäåòå ÷àùå âûèãðûâàòü ó ïàðòíåðà. Äàæå åñëè ïàðòíåð ïîìåíÿåò êóáèê, íàïðèìåð, âîçüìåò êóáèê, êîòîðûì èãðàëè âû, òî îí âñå ðàâíî
áóäåò ïðîèãðûâàòü, åñëè âû âîñïîëüçóåòåñü ïðàâîì âûáðàòü
ñåáå êóáèê èç äâóõ îñòàâøèõñÿ.
Ìîæåò ëè òàêîå áûòü? Îêàçûâàåòñÿ, ìîæåò. Âåñü ñåêðåò â
÷èñëàõ, êîòîðûå ðàññòàâëåíû íà ãðàíÿõ êóáèêîâ. Çàäà÷à
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íàéòè ýòè ÷èñëà è ðàññòàâèòü èõ íà
ãðàíÿõ òðåõ êóáèêîâ òàê, ÷òîáû êóáèêè îáëàäàëè îïèñàííûì
âûøå «âîëøåáíûì» ñâîéñòâîì. Èíòåðåñíî, ÷òî ðåøåíèåì
ýòîé çàäà÷è ìîæåò ñëóæèòü ÷àñòíûé ñëó÷àé öèêëè÷íîñòè â
êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì òðè êîìàíäû ïî øåñòü èãðîêîâ, öèêëè÷åñêè îáûãðûâàþùèå ñîïåðíèêîâ â ñîðåâíîâàíèÿõ II òèïà. Ýòî ëåãêî ñäåëàòü, íàïðèìåð,
«óäâîèâ» èãðîêîâ â ïåðâîì ïðèìåðå ïàðàäîêñà 2:
A: 5 5 2 2 2 2
B: 4 4 4 4 1 1
C: 3 3 3 3 3 3
Äàëåå âîçüìåì òðè êóáèêà, èñïîëüçóåìûå â àçàðòíûõ
èãðàõ, è âìåñòî öèôð 1 – 6 íàíåñåì íà èõ ãðàíè ðåéòèíãè òðåõ
êîìàíä. Òåïåðü êóáèêè ñòàëè «âîëøåáíûìè» – îíè îáëàäàþò
îïèñàííûì âûøå ñâîéñòâîì, ïîìîãàþùèì èõ îáëàäàòåëþ
âûèãðûâàòü ó ïàðòíåðà. Êàêîé áû êóáèê íè âûáðàë âàø
ïàðòíåð, ñðåäè äâóõ îñòàâøèõñÿ âñåãäà èìååòñÿ îäèí, êîòîðûé äàåò âàì áîëüøå øàíñîâ âûèãðàòü, ÷åì ïàðòíåðó. Äëÿ
ýòîãî âàì íóæíî âûáèðàòü êóáèê, ÷üÿ «êîìàíäà» ñèëüíåå
«êîìàíäû» ïàðòíåðà.
Äåéñòâèòåëüíî, îäíîâðåìåííîå áðîñàíèå äâóõ êóáèêî⠖
ýòî âûáîð îäíîé èç 36 ïàðòèé ñîðåâíîâàíèÿ II òèïà. Åñëè
«âàøà êîìàíäà» îáûãðûâàåò «êîìàíäó ïàðòíåðà» ñî ñ÷åòîì
m : n, ãäå m > n, m + n = 36, òî èç 36 âîçìîæíûõ èñõîäîâ
áðîñàíèÿ âû âûèãðûâàåòå â m ñëó÷àÿõ, à ïàðòíåð – â
n ñëó÷àÿõ. Âåðîÿòíîñòü âàøåãî âûèãðûøà P = m/36, P >
> 1/2.
Ðåçóëüòàòû «êîìàíäíûõ èãð» äëÿ íàøèõ êóáèêîâ ñëåäóþùèå:
A : B = 20 : 16, B : C = C : A = 24 : 12.
30.01.09, 13:11
"$
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Òàêèì îáðàçîì, â íàèõóäøåì ñëó÷àå, êîãäà âàø ïàðòíåð
âûáèðàåò êóáèê B, à âû – êóáèê A, âåðîÿòíîñòü âàøåãî
âûèãðûøà P = 20/36 = 5/9.  îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ýòà
âåðîÿòíîñòü áóäåò áîëüøå.
Ïðîáëåìà 4. Êàêóþ íàèáîëüøóþ âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà
(â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ñàìîé «ïëîõîé» ïàðû) ìîæåò
îáåñïå÷èòü âëàäåëüöó íàèëó÷øèé íàáîð èç òðåõ âîëøåáíûõ
êóáèêîâ?
Ïðèìå÷àíèå. Êîíå÷íî, ìîæíî ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé
ïðîãðàììû ïåðåáðàòü âñå âàðèàíòû (òàê êàê èìååòñÿ âñåãî
êîíå÷íîå ÷èñëî ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòî⠖ ñìîòðèòå ïðåäûäóùåå ïðèìå÷àíèå). Èíòåðåñíî, îäíàêî, îïðåäåëèòü
ýòó âåðîÿòíîñòü èëè õîòÿ áû ïîëó÷èòü äëÿ íåå îöåíêè ñíèçó
è ñâåðõó ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêè.
Çàäà÷à 4. Ñêîíñòðóèðóéòå òðîéêó «âîëøåáíûõ êóáèêîâ»
òàê, ÷òîáû íà âñåõ ãðàíÿõ êóáèêîâ ôèãóðèðîâàëè òîëüêî
÷åòûðå ÷èñëà 1, 2, 3, 4 (ðàçóìååòñÿ, ñ ïîâòîðåíèÿìè).
(Âûøå ïðèâåäåí ïðèìåð «âîëøåáíûõ êóáèêîâ» ñ ÷èñëàìè
1, 2, 3, 4, 5. ×åòûðå ÷èñëà, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ ïðîáëåìû
3, – ýòî ìèíèìàëüíûé íàáîð).
Çàäà÷à 5. Ñêîíñòðóèðóéòå òðîéêó «âîëøåáíûõ êóáèêîâ»
òàê, ÷òîáû íà âñåõ 18 ãðàíÿõ áûëè ðàçëè÷íûå ÷èñëà.
Î ëîãè÷íûõ è íåëîãè÷íûõ òóðíèðàõ
 1997 ãîäó â æóðíàëå «Êâàíò» (¹5) áûëà îïóáëèêîâàíà ñòàòüÿ À.Çàñëàâñêîãî ñ òàêèì íàçâàíèåì.  ñòàòüå èçó÷àþòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà òàáëèö ñîðåâíîâàíèé, ïðîâîäÿùèõñÿ ïî êðóãîâîé ñèñòåìå, êîãäà êàæäûé ó÷àñòíèê ñîðåâíîâàíèé âñòðå÷àåòñÿ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ó÷àñòíèêàìè.
Ââîäèòñÿ âåëè÷èíà – ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè òóðíèðà, ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê â òàáëèöå ðåçóëüòàòîâ, è âûâîäÿòñÿ ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû
÷åðåç ðåçóëüòàòû ó÷àñòíèêîâ.
 êîíöå ñòàòüè óêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåëè÷èíà ñòåïåíè íåëîãè÷íîñòè èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ýêñïåðòíûõ îöåíîê äëÿ
îïðåäåëåíèÿ êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòîâ, îöåíèâàþùèõ êà÷åñòâî êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ. Ýêñïåðòó ïðåäëàãàåòñÿ îöåíèòü ãðóïïó îäíîòèïíûõ îáúåêòîâ ïóòåì èõ ïîëíîãî ïîïàðíîãî ñðàâíåíèÿ. ×åì áîëüøå ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè òàáëèöû îöåíîê (ò.å., ÷åì áîëüøå â òàáëèöå íåòðàíçèòèâíûõ
òðîåê), òåì ìåíåå êîìïåòåíòíûì ïðèçíàåòñÿ ýêñïåðò. Íàïðàøèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìûñëü: ïðè òàêîé îöåíêå êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðàâèëüíàÿ îöåíêà îáúåêòîâ ëþáîãî òèïà äîëæíà áûòü òðàíçèòèâíîé, à ëþáàÿ íåòðàíçèòèâíàÿ òðîéêà â òàáëèöå – ñëåäñòâèå îøèáêè ýêñïåðòà.  äåéñòâèòåëüíîñòè âñå íå òàê ïðîñòî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáúåêòû èìåþò íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ õàðàêòåðèñòèê (íàïðèìåð, âêóñ, öâåò, çàïàõ è òîìó
ïîäîáíîå). Ïðè ñðàâíåíèè ïàðû îáúåêòîâ ëó÷øèì áóäåì
ñ÷èòàòü òîò èç íèõ, êîòîðûé èìååò áîëüøåå êîëè÷åñòâî
ëó÷øèõ õàðàêòåðèñòèê. Òàêèì îáðàçîì ìû ñâîäèì ñðàâíåíèå ïàðû îáúåêòîâ ê êîìàíäíîìó ñîðåâíîâàíèþ I òèïà, ãäå
îáúåêòû ñòàíîâÿòñÿ êîìàíäàìè, à èãðîêàìè ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ îáúåêòîâ. Ìû âèäåëè, ÷òî â òàêèõ ñîðåâíîâàíèÿõ òðàíçèòèâíîñòü íå ñîáëþäàåòñÿ, è ñëåäîâàòåëüíî, òàêàÿ îöåíêà îáúåêòîâ íå ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíîé.
Ñèòóàöèÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè
íå ðàâíîçíà÷íû, è ñóììèðîâàòü «ïîáåäû» ñ íåêîòîðûìè
âåñàìè.  ýòîì ñëó÷àå â íàøåé ìîäåëè íóæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
â «êîìàíäå» åñòü íåñêîëüêî «èãðîêîâ» êàæäîãî òèïà (ðàâíîé «ñèëû»), è èõ êîëè÷åñòâî ïðîïîðöèîíàëüíî âåñó ñîîòâåòñòâóþùåé õàðàêòåðèñòèêè.
Èññëåäóÿ ñîðåâíîâàíèÿ I òèïà, ìû âñåãäà óïîðÿäî÷èâàëè
èãðîêîâ â êîìàíäå ïî ðåéòèíãó. Çäåñü ýòî íå òðåáóåòñÿ, è,
áîëåå òîãî, ýòî íåâîçìîæíî. Ðàíåå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî
êàæäûé èãðîê ìîæåò, â ïðèíöèïå, ñûãðàòü íà ëþáîì ìåñòå
40-55.p65
46
(íà ëþáîé äîñêå). Çäåñü êîìàíäà ÿâëÿåòñÿ êàê áû íàáîðîì
èãðîêîâ, èãðàþùèõ â ðàçíûå èãðû, è èãðîêè â êîìàíäàõ
óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ïî íàçâàíèÿì «èãð» (âêóñ, öâåò, çàïàõ).
Ýòî òîëüêî îáëåã÷àåò ïîñòðîåíèå ïðèìåðîâ íåòðàíçèòèâíîñòè.
Ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
1. Íàëè÷èå íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê â òàáëèöå «ïðàâèëüíûõ» îöåíîê ãðóïïû ñëîæíûõ ìíîãîôàêòîðíûõ îáúåêòîâ
âïîëíå çàêîíîìåðíî è îïðåäåëÿåòñÿ âíóòðåííèìè ñâîéñòâàìè ýòèõ îáúåêòîâ.
2. «Ñòåïåíü íåëîãè÷íîñòè» òàáëèöû îöåíîê òàêèõ îáúåêòîâ íè â êîåé ìåðå íå ìîæåò ñëóæèòü ìåðèëîì êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà, ïîñêîëüêó îíà çàâèñèò åùå è îò ñâîéñòâ ñàìèõ
îáúåêòîâ. Ñóäèòü î êîìïåòåíòíîñòè ýêñïåðòà ïî «ñòåïåíè
íåëîãè÷íîñòè» òàáëèöû åãî îöåíîê ìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå,
åñëè îöåíèâàëàñü ãðóïïà ïðîñòûõ îäíîôàêòîðíûõ îáúåêòîâ,
åäèíñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðûõ äîïóñêàåò «îäíîìåðíóþ» îöåíêó.
Çàäà÷à 6. Ïîñòðîéòå íåòðàíçèòèâíóþ òðîéêó îáúåêòîâ ñ
äâóìÿ õàðàêòåðèñòèêàìè (äàéòå ðåéòèíãè õàðàêòåðèñòèê
êàæäîãî îáúåêòà).
Çàêëþ÷åíèå
Ìû ðàññìîòðåëè óïðîùåííóþ ìîäåëü ñîðåâíîâàíèé. Ðåçóëüòàò ïàðòèè ìåæäó «èäåàëüíûìè» èãðîêàìè ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿåòñÿ èõ ðåéòèíãàìè. Â òóðíèðíîé òàáëèöå òàêèõ
èãðîêîâ íå ìîæåò áûòü íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê.
Ðåàëüíûé ìèð ñëîæíåå è èíòåðåñíåå. Ðåéòèíãè ðåàëüíûõ
èãðîêîâ âëèÿþò ëèøü íà âåðîÿòíîñòü èñõîäà ïàðòèè è
îïðåäåëÿþò ñòàòèñòèêó ðåçóëüòàòîâ â äîñòàòî÷íî áîëüøîé
ñåðèè âñòðå÷. È îòëè÷èå íå òîëüêî â ýòîì. Ðåàëüíûé èãðîê
ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì «îáúåêòîì», íà èãðó êîòîðîãî âëèÿþò
íåñêîëüêî íåçàâèñèìûõ ôàêòîðîâ (â øàõìàòàõ ýòî, íàïðèìåð, äåáþòíàÿ ïîäãîòîâêà, óìåíèå âåñòè ïîçèöèîííóþ áîðüáó, óìåíèå êîìáèíèðîâàòü, çíàíèå ýíäøïèëåé, ñïîñîáíîñòü
èãðàòü â öåéòíîòå è ïðî÷åå). Ïîýòîìó äàæå ñòàòèñòèêà
ïàðòèé ìåæäó äâóìÿ îòäåëüíûìè èãðîêàìè íå âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò èõ ðåéòèíãàì, ïîñêîëüêó ðåéòèíã îòðàæàåò ñðåäíþþ ñèëó èãðîêà â ïîëíîé ñîâîêóïíîñòè âñåõ åãî ïðîòèâíèêîâ, à èç-çà îñîáåííîñòåé «ìíîãîôàêòîðíûõ» êà÷åñòâ
èãðîêà ó íåãî ïîÿâëÿþòñÿ «óäîáíûå» è «íåóäîáíûå» ïðîòèâíèêè.
Àâòîð áëàãîäàðèò Â.Ê.Òèòîâà, êîòîðûé ñ ïîìîùüþ
âîëøåáíûõ êóáèêîâ çàèíòåðåñîâàë åãî òåìàòèêîé ñòàòüè
è àêòèâíî ó÷àñòâîâàë â åå íàïèñàíèè.
Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé!
Ïîïðàâêà
 «Êâàíòå» ¹6 çà 2008 ãîä â ñòàòüå «Íîâûé ïðèåì â
øêîëû-èíòåðíàòû ïðè óíèâåðñèòåòàõ» âî âñòóïèòåëüíîì
çàäàíèè ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòóïàþùèõ â 11 êëàññ â çàäà÷å
2 äîïóùåíà îïå÷àòêà. Ïðèâîäèì ïðàâèëüíîå óñëîâèå çàäà÷è.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD âïèñàí â îêðóæíîñòü, öåíòð O
êîòîðîé ëåæèò âíóòðè íåãî. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè óãëû BAO è DAC ðàâíû, à äèàãîíàëè ÀÑ è ÂD
ðàâíû m è n ñîîòâåòñòâåííî.
30.01.09, 13:11
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
Îòðàæåíèå
îò òîíêèõ
öèëèíäðè÷åñêèõ
çåðêàë
À.ÀÍÄÐÅÅÂ, À.ÏÀÍÎÂ
Â
ÎÁÛÄÅÍÍÎÉ ÆÈÇÍÈ ÌÛ ×ÀÙÅ ÂÑÅÃÎ ÈÌÅÅÌ ÄÅËÎ Ñ
ïëîñêèìè çåðêàëàìè, â îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ èñïîëüçóþòñÿ ñôåðè÷åñêèå è ïàðàáîëè÷åñêèå çåðêàëà, à âîò ñ öèëèíäðè÷åñêèìè çåðêàëàìè ìû ñòàëêèâàåìñÿ ðåäêî. Ðàçâå ÷òî â
àòòðàêöèîíå ïîä íàçâàíèåì «êîìíàòà ñìåõà» èëè â àíàìîðôîñêîïàõ – ïðèáîðàõ äëÿ ðàññìàòðèâàíèÿ ñïåöèàëüíî èñêàæåííûõ (àíàìîðôíûõ) èçîáðàæåíèé (ðèñ.1).  òî æå âðåìÿ, áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðåäìåòîâ âîêðóã íàñ èìåþò èìåííî öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó – ýòî âñåâîçìîæíûå öèëèíäðè÷åñêèå åìêîñòè, òðóáû, âåòêè äåðåâüåâ, òðîëëåéáóñíûå ïðîâîäà è ìíîãîå äðóãîå. Íåêîòîðûå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îòðàæàòåëÿìè.
Òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà. Ïðîùå âñåãî èññëåäîâàòü îòðàæåíèå îò òîíêîãî öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà, ðàäèóñ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì äî íàáëþäàòåëÿ. Õîðîøèì ïðèìåðîì
òàêèõ çåðêàë ìîãóò ñëóæèòü òðîëëåéáóñíûå ïðîâîäà, îñâåùåííûå àâòîìîáèëüíûìè ôàðàìè èëè óëè÷íûìè ôîíàðÿìè.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà íà òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî ïàäàåò òîíêèé ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, ïîëíîñòüþ ïåðåêðûâàþùèé çåðêàëî ïî äèàìåòðó. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòðàæåííûå ñâåòîâûå ëó÷è îáðàçóþò êîíóñ,
îñüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ çåðêàëî, à îäíîé èç îáðàçóþùèõ –
ïðîäîëæåíèå ïàäàþùåãî ñâåòîâîãî ïó÷êà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì Ôåðìà.
À âîò è ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå – îíî ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå 2. Òîíêèì öèëèíäðè÷åñêèì çåðêàëîì çäåñü
ñëóæèò îáû÷íàÿ èãîëêà, íà êîòîðóþ ïàäàåò ëàçåðíûé ëó÷.
Ðèñ.1. Èñïîëüçîâàíèå öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà â êà÷åñòâå
àíàìîðôîñêîïà
Ïåðåñå÷åíèåì êîíóñà îòðàæåííûõ ëó÷åé ñ ïëîñêèì ýêðàíîì
ìîæåò áûòü ëþáîå êîíè÷åñêîå ñå÷åíèå – ýëëèïñ, ïàðàáîëà
èëè ãèïåðáîëà, âñå çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ ýêðàíà. Åñëè æå
ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí çåðêàëó, òî îòðàæåííûé
êîíóñ ïðåâðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòü (ðèñ.3).
Îïèøåì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ñèòóàöèé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ âûñêàçàííîå íàìè óòâåðæäåíèå.
Ëåãêî ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà âñå ïðîòÿæåííîå òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî îñâåùåíî ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé.  ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîñòðàíñòâî îêàæåòñÿ
çàïîëíåííûì îäèíàêîâûìè êîíóñàìè, ñîñòîÿùèìè èç îòðàæåííûõ ëó÷åé, à öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî áóäåò îáùåé îñüþ ýòèõ
êîíóñîâ. Åñëè æå çåðêàëî îñâåùàåòñÿ òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, òî
ìû òîæå ïîëó÷èì ñèñòåìó ñîîñíûõ êîíóñîâ, òîëüêî îíè óæå íå
áóäóò îäèíàêîâûìè.  áëèæàéøåé ê èñòî÷íèêó òî÷êå çåðêàëà
êîíóñ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïëîñêîñòü, ò.å. èìåòü óãîë
ðàñòâîðà 180°. Ïî ìåðå óäàëåíèÿ âåðøèíû êîíóñà îò èñòî÷íèêà
óãîë ðàñòâîðà êîíóñà áóäåò óìåíüøàòüñÿ äî 0°. Åñëè öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî – ýòî îòðåçîê òîíêîãî ïðîâîäà, òî ïðîâîä ìîæíî
èçîãíóòü, è ïðè îòðàæåíèè îò òàêîãî èçîãíóòîãî öèëèíäðè÷åñêîãî çåðêàëà ìû îïÿòü ïîëó÷èì ñèñòåìó êîíóñîâ. Íî îíè óæå íå
áóäóò ñîîñíûìè, à îñüþ êàæäîãî îòðàæåííîãî êîíóñà áóäåò
ñëóæèòü êàñàòåëüíàÿ ê çåðêàëó – ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ âìåñòå ñ
òî÷êîé îòðàæåíèÿ ñîäåðæèò è ìàëåíüêèé îòðåçîê ïðîâîäà.
Ñâåòÿùèåñÿ êðóãè èç âåòîê. Ìîêðûå îãîëåííûå âåòêè
ìíîãèõ ïîðîä äåðåâüåâ ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè îòðàæàòåëÿìè.
Åñëè ïîñìîòðåòü ÷åðåç êðîíó òàêîãî äåðåâà íà óëè÷íûé
ôîíàðü, òî ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òî îòðàæàþùèå ó÷àñòêè
âåòîê îáðàçóþò óçîð, ñêëàäûâàþùèéñÿ â ñèñòåìó êîíöåíòðè-
Ðèñ.2. Òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî – èãîëêà: ñëåâà íà ýêðàíå ýëëèïñ, ñïðàâà
– ãèïåðáîëà
40-55.p65
47
Ðèñ.3. Êîãäà ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí
çåðêàëó, îòðàæåííûå ëó÷è çàïîëíÿþò öåëóþ
ïëîñêîñòü
30.01.09, 13:12
"&
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Ðèñ.4. Îòðàæàþùèå ó÷àñòêè âåòîê ôîðìèðóþò óçîð èç êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé
Ðèñ.5. Ñëåâà – «êðîíà» äåðåâà, ñïðàâà – îòðàæàþùèå ó÷àñòêè
«âåòâåé»
÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (ðèñ.4). Îäíî èç îáúÿñíåíèé ýòîãî
ôàêòà ñîäåðæèòñÿ â èçâåñòíîé êíèãå Ì.Ìèííàðòà «Ñâåò è
öâåò â ïðèðîäå». Ìû ïðèâåäåì çäåñü äðóãîå ðàññóæäåíèå,
îñíîâàííîå íà òîì, ÷òî êàæäóþ âåòêó â îòäåëüíîñòè ìîæíî
ñ÷èòàòü òîíêèì öèëèíäðè÷åñêèì çåðêàëîì.
Êîìïüþòåðíàÿ ìîäåëü. Ñìîäåëèðóåì êðîíó äåðåâà ñëó÷àéíûì íàáîðîì òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë – îòðåçêîâ åäèíè÷íîé äëèíû, ðàñïîëîæåííûõ ìåæäó òî÷å÷íûì
èñòî÷íèêîì è íàáëþäàòåëåì. Êàæäàÿ òî÷êà òàêîãî îòðåçêà
ïîñëå îòðàæåíèÿ èçëó÷àåò êîíóñ. Ìû õîòèì íàéòè íà ýòîì
îòðåçêå òàêóþ òî÷êó, ÷òîáû îäíà èç îáðàçóþùèõ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíóñà ïîïàëà â ãëàç íàáëþäàòåëÿ. Íà ñàìîì
äåëå, èç-çà ïðîòÿæåííîñòè èñòî÷íèêà íóæíîå íàì îòðàæåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü íå òîëüêî îò ýòîé òî÷êè, íî è îò
íåáîëüøîãî ó÷àñòêà âåòêè, ñîäåðæàùåãî ýòó òî÷êó. Íà ðèñóíêå 5 ñëåâà èçîáðàæåíà êðîíà, ïðåäñòàâëåííàÿ íàáîðîì
ñëó÷àéíûõ åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ, îñü èñòî÷íèê-íàáëþäàòåëü
ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ñïðàâà îñòàâëåíû
íåáîëüøèå (äëèíîé 1/10) ó÷àñòêè îòðåçêîâ, îòðàæàþùèå
ëó÷è â ãëàç íàáëþäàòåëÿ.  öåëîì ýòè ó÷àñòêè äåéñòâèòåëüíî ñêëàäûâàþòñÿ â óçîð, ñõîäíûé ñ òåì, ÷òî èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 4.
Îòìåòèì åùå, ÷òî â «êðîíå» èìåþòñÿ îòäåëüíûå îòðåçêè,
êîòîðûå íå óêëàäûâàþòñÿ âäîëü êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé. Íî âñå îíè èìåþò íåáîëüøóþ äëèíó, à ýòî çíà÷èò, ÷òî
îíè ïî÷òè ÷òî ïàðàëëåëüíû îñè èñòî÷íèê-íàáëþäàòåëü.
Ìîäåëü èç áóëàâîê. Âîò åñëè áû âñå âåòêè ëåæàëè â
ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé óêàçàííîé îñè, òî èõ ó÷àñòêè,
êîòîðûå îòðàæàþò â ãëàç íàáëþäàòåëÿ, áûëè áû êàñàòåëüíû-
ìè ê êîíöåíòðè÷åñêèì îêðóæíîñòÿì. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
â òî÷êå îòðàæåíèÿ, îòêóäà ñâåòîâîé ëó÷ ïðèõîäèò ê íàáëþäàòåëþ, ïàäàþùèé ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí ê âåòêå è îòðàæåííûé êîíóñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåòêå. Âîò åùå îäíà ìîäåëü, íà ýòîò ðàç ôèçè÷åñêàÿ,
êîòîðàÿ ïîäòâåðæäàåò ýòîò ôàêò (ðèñ.6). Çäåñü â êà÷åñòâå
îòðàæàòåëåé èñïîëüçîâàíû îáû÷íûå áóëàâêè, ëåæàùèå íà
ñòåêëå.
Öàðàïèíû íà ñòåêëå. Ê ñëîâó ñêàçàòü, è áóëàâêè âîâñå íå
îáÿçàòåëüíû, ìîæíî îáîéòèñü îäíèì ëèøü êóñêîì ñòåêëà –
îòðàæàòü áóäóò èìåþùèåñÿ íà íåì öàðàïèíû (ðèñ.7).
Ýòîò ïðèìåð òîæå îïèñàí â êíèãå Ìèííàðòà, è àâòîð
äîáàâëÿåò, ÷òî öàðàïèíû íà ñòåêëå óæå äîñòàòî÷íî òîíêè,
÷òîáû ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ íèìè ñâåò ìîã ïðîÿâèòü ñâîè
âîëíîâûå ñâîéñòâà. Ñâåò äèôðàãèðóåò íà íèõ, è ìû âèäèì èõ
îêðàøåííûìè â öâåòà ñïåêòðà.
Âçãëÿä ñêâîçü ìîòîê ïðîâîëîêè. Íàêîíåö, ïîñëåäíÿÿ
ìîäåëü. Ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî
ìîæíî èçîãíóòü. Âîçüìåì íà ýòîò ðàç â êà÷åñòâå îòðàæàòåëÿ
öåëûé ìîòîê çàïóòàííîé ïðîâîëîêè è ïîñìîòðèì ÷åðåç íåãî
íà èñòî÷íèê ñâåòà (ðèñ.8). Ìû âèäèì òå æå ñàìûå êîëüöåâûå
óçîðû è óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìîòîê ïðîâîëîêè òî÷íî òàê æå
óñïåøíî ìîäåëèðóåò îòðàæàþùèå ñâîéñòâà êðîíû äåðåâà.
Ïðîâîëîêà, èñïîëüçóåìàÿ íàìè â ýêñïåðèìåíòå, äîñòàòî÷íî òîíêà – åå äèàìåòð ñîñòàâëÿåò âñåãî 0,2 ìì. Ïîýòîìó è
çäåñü âîçíèêàåò ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.
×òîáû óâèäåòü åå, íóæíî àêêîìîäèðîâàòü ãëàç (èëè íàñòðîèòü îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà) íà áåñêîíå÷íîñòü. Ìû íå áóäåì
âõîäèòü â äåòàëè (ýòîò ýêñïåðèìåíò ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ â
Ðèñ.6.  êà÷åñòâå îòðàæàòåëåé çäåñü èñïîëüçîâàíû áóëàâêè
Ðèñ. 7. Ñâåòÿùèåñÿ êîëüöà èç öàðàïèí
íà ñòåêëå
40-55.p65
48
30.01.09, 13:12
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß
Ðèñ.8. Ñëåâà – ìîòîê ïðîâîëîêè, îñâåùåííûé ñî ñòîðîíû íàáëþäàòåëÿ, ñïðàâà –
âèä íà èñòî÷íèê ñâåòà ÷åðåç ýòîò ìîòîê ïðîâîëîêè
ñòàòüå Í.Ðîñòîâöåâà «Êàê ñ ïîìîùüþ ïðîâîëîêè èçìåðèòü
äëèíó ñâåòîâîé âîëíû» – ñì. «Êâàíò» ¹ 8 çà 1977 ã. èëè
âûïóñê 4 «Áèáëèîòå÷êè «Êâàíò»), à îãðàíè÷èìñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êàðòèíêîé (ðèñ.9).
Äî ñèõ ïîð ìû èìåëè äåëî ñ öèëèíäðè÷åñêèìè îòðàæàòåëÿìè, êîòîðûå áûëè ðàñïîëîæåíû õàîòè÷åñêè – âåòêè äåðåâüåâ èëè ðàçáðîñàííûå áóëàâêè. Ïîñìîòðèì, ÷òî ìîæåò
ïðîèçîéòè, êîãäà îòðàæàòåëè ðàñïîëîæåíû óïîðÿäî÷åííûì
îáðàçîì.
Ëèíèÿ íà êðûøå.  ïîñëåäíåå âðåìÿ íà ìíîãèõ ïîäìîñêîâíûõ æåëåçíîäîðîæíûõ ïëàòôîðìàõ ïîÿâèëèñü áîëüøèå ïîëóïðîçðà÷íûå êðûøè, èìåþùèå öèëèíäðè÷åñêóþ ôîðìó. Â
ÿñíóþ ïîãîäó íà òàêèõ êðûøàõ âîçíèêàåò ëþáîïûòíîå
èçîáðàæåíèå ñîëíöà, èìåþùåå âèä ñâîåîáðàçíî èçîãíóòîé
äóãè (ðèñ.10). Ìû ìîæåì ïðèìåíèòü íàøè ñîîáðàæåíèÿ ïî
ïîâîäó îòðàæåíèÿ îò òîíêèõ öèëèíäðîâ äëÿ àíàëèçà ôîðìû
ýòîé êðèâîé.
Âñå äåëî â êîíñòðóêöèè òåõ ïîëóïðîçðà÷íûõ ëèñòîâ, èç
êîòîðûõ ñäåëàíà êðûøà. Êàæäûé òàêîé ëèñò ïåðâîíà÷àëüíî
ïëîñêèé è ñîñòàâëåí èç äâóõ ïàðàëëåëüíûé ïîâåðõíîñòåé,
ðàçäåëåííûõ íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòîò óçêèé ïðîìåæóòîê çàïîëíåí ñèñòåìîé òîíêèõ äëèííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ
ðåáåð, ïàðàëëåëüíûõ ìåæäó ñîáîé è ñêðåïëÿþùèõ îáå
ïîâåðõíîñòè. Öèëèíäðè÷åñêàÿ ôîðìà òàêîìó ëèñòó îáû÷íî
ïðèäàåòñÿ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ïðè îäíîì èçãèáàíèè ëèñòà ðåáðà ñòàíîâÿòñÿ ïàðàëëåëÿìè öèëèíäðà, ïðè
äðóãîì – åãî îáðàçóþùèìè. Íà æåëåçíîäîðîæíûõ ïëàòôîðìàõ ðåáðà – ïàðàëëåëè. Èìåííî ýòîò ñëó÷àé ìû è áóäåì
àíàëèçèðîâàòü. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå ðåáðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë. Çàìåòèì, ÷òî ïðîçðà÷íûå êðûøè íà
49
Ðèñ.9. Òîò æå ñàìûé ìîòîê ïðîâîëîêè,
íî ôîòîàïïàðàò ñôîêóñèðîâàí íà áåñêîíå÷íîñòü
òðîëëåéáóñíûõ è àâòîáóñíûõ îñòàíîâêàõ òàêæå äåëàþò èç
ïîäîáíîãî ìàòåðèàëà. Íà íåêîòîðûõ èç íèõ âû òîæå ñìîæåòå
óâèäåòü äóãîîáðàçíûå ëèíèè, íà äðóãèõ êàðòèíà áóäåò èíîé,
íî ýòî êàê ðàç òàì, ãäå ðåáðà èäóò âäîëü îáðàçóþùèõ
öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Èòàê, ïîñìîòðèì íà êðûøó æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò: îñü X ïóñòèì âäîëü îñè
áîëüøîãî öèëèíäðà, ïðåäñòàâëÿþùåãî êðûøó, îñü Y ïóñòü
òîæå ëåæèò â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à îñü Z íàïðàâèì
ââåðõ. Çàäàäèìñÿ ðàäèóñîì êðûøè R è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ â òî÷êå P = (0,0, z0 ) , à îò ñîëíöà
ïðèõîäèò ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî
uur
çàäàåòñÿ âåêòîðîì V = ( u, v, w) , èìåþùèì åäèíè÷íóþ äëèíó.
Êàæäîå òîíêîå öèëèíäðè÷åñêîå çåðêàëî – ýòî îêðóæíîñòü
ñ öåíòðîì íà îñè X â òî÷êå Ox = ( x,0,0) , à òî÷êè Mx ,
ëåæàùèå íà òàêîì çåðêàëå, èìåþò êîîðäèíàòû
Mx ( ϕ) = ( x, R cos ϕ, R sin ϕ) ,
0 £ ϕ < 2π .
Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû íà êàæäîì òîíêîì öèëèíäðè÷åñêîì çåðêàëå íàéòè òî÷êó, äëÿ êîòîðîé îòðàæåííûé
êîíóñ ïðîõîäèò ÷åðåç ãëàç íàáëþäàòåëÿ, ò.å. ÷åðåç òî÷êó Ð.
Íàïðèìåð, õîðîøî áûëî áû íàéòè çàâèñèìîñòü óãëîâîãî
ïàðàìåòðà ϕ îòðàæàþùåé òî÷êè, ëåæàùåé íà çåðêàëå, îò
âåëè÷èíû õ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óäîáíåå âûðàçèòü õ ÷åðåç ϕ :
2
æ
ö
z0 cos ϕ
x ( ϕ) = ± ç
- R2 - 2Rz0 sin ϕ + z02 .
è w cos ϕ - v sin ϕ ø÷
(
)
Íàðèñîâàâ âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x ( ϕ) , R cos (ϕ) ,
R sin ( ϕ) , ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ êàðòèíó, èìåþùóþ îïðåäåëåííîå ñõîäñòâî ñ ôîòîãðàôèåé íà
ðèñóíêå 10.
 çàêëþ÷åíèå – íåñêîëüêî âîïðîñîâ ê
÷èòàòåëÿì.
Ðèñ.10. ßðêàÿ ëèíèÿ – èçîáðàæåíèå ñîëíöà íà êðûøå æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû
40-55.p65
"'
«ÊÂÀÍÒÀ»
1. Íà èçîáðàæåíèè ñîëíöà íà êðûøå æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìû âèäíû äâà ÿðêèõ ïÿòíà – îäíî â íàïðàâëåíèè ñàìîãî
ñîëíöà, äðóãîå ðàñïîëîæåíî íà ñèììåòðè÷íîé âåòâè êðèâîé. Îáúÿñíèòå ïîÿâëåíèå âòîðîãî ÿðêîãî ïÿòíà.
2. Ïóñòü ïàðàëëåëüíûå ìåæäó ñîáîé òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà çàïîëíÿþò öåëóþ ïëîñêîñòü. Êàêóþ êðèâóþ íà òàêîì
ïëîñêîì ëèñòå óâèäèò íàáëþäàòåëü, ãëÿäÿ
ñêâîçü íåãî íà ñîëíöå?
3. Íàéäèòå àâòîáóñíóþ îñòàíîâêó, ãäå
òîíêèå öèëèíäðè÷åñêèå çåðêàëà ÿâëÿþòñÿ
îáðàçóþùèìè, è ïîñìîòðèòå, êàêàÿ «ñîëíå÷íàÿ êðèâàÿ» âèäíà íà êðûøå îñòàíîâêè.
30.01.09, 13:12
#
 ÀÌ
Í T À 2Á
009/¹1
Ï Ð À Ê Ò È ÊÊ Ó
ÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Cèëû
ñîïðîòèâëåíèÿ
â çàäà÷àõ
äèíàìèêè
Â.ËÎÑÅÂ, Â.ÏËÈÑ
Í
À ÂÑÒÓÏÈÒÅËÜÍÛÕ ÝÊÇÀÌÅÍÀÕ È ÎËÈÌÏÈÀÄÀÕ Â ÂÅ-
äóùèõ ôèçè÷åñêèõ âóçàõ íàøåé ñòðàíû ðåãóëÿðíî ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è äèíàìèêè, â êîòîðûõ íàðÿäó ñ «òðàäèöèîííûìè» ñèëàìè: ñèëîé òÿæåñòè, ñèëîé Àðõèìåäà, ñèëîé
Ëîðåíöà è ò.ä. íà òåëà äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ (æèäêîãî òðåíèÿ). Òàêàÿ ñèëà ïîÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè òåë, ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñìàçàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè, à òàêæå ïðè äâèæåíèè òåë â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ.
Âîçíèêàþùàÿ ïðè òàêîì äâèæåíèè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ
íàïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè íàáåãàþùåãî ïîòîêà è ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé èëè âòîðîé ñòåïåíè ñêîðîñòè.
Ìîæíî óêàçàòü äâå ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ýòîé ñèëû.
Ïðè î÷åíü ìàëûõ ñêîðîñòÿõ (èëè äëÿ î÷åíü ìàëåíüêèõ òåë)
ãëàâíûé âêëàä â ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ äàþò êàñàòåëüíûå ñèëû
âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè), äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû
ïîòîêà æèäêîñòè èëè ãàçà íà «ïðèëèïøèé» ê ïîâåðõíîñòè
òåëà ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Òàêóþ ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ ìîæíî
ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè. Ïðè
áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ ýòà ñèëà ñòàíîâèòñÿ íåñóùåñòâåííîé, è
ãëàâíóþ ðîëü èãðàåò ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, âîçíèêàþùàÿ çà ñ÷åò ðàçëè÷èÿ ñèë äàâëåíèÿ íà ïåðåäíþþ è çàäíþþ
÷àñòè òåëà âñëåäñòâèå íåñèììåòðè÷íîñòè êàðòèíû îáòåêàíèÿ
ðåàëüíîé æèäêîñòüþ èëè ãàçîì äàæå ñèììåòðè÷íîãî òåëà.
Ñèëó ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ñêîðîñòè.
Ýòè è äðóãèå ïðè÷èíû ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî çàâèñèìîñòü
ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè, ðàçìåðîâ è ò.ä. íîñèò â
îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûé õàðàêòåð. Îäíàêî çíàêîìñòâî ñ
äåéñòâèåì òàêîãî ðîäà ñèë óìåñòíî íà÷èíàòü, êàê ýòî ïðèíÿòî â ôèçèêå, ñ ïðîñòåéøèõ ìîäåëüíûõ çàâèñèìîñòåé.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî õàðàêòåðíûõ çàäà÷.
Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ, êîãäà ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ
ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè.
Çàäà÷à1. Ìÿ÷, áðîøåííûé ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ v0 = 10 ì/ñ, óïàë íà çåìëþ. Çà
âðåìÿ ïîëåòà ñêîðîñòü ìÿ÷à óìåíüøèëàñü ïî âåëè÷èíå íà
δ = 30%. Íàéäèòå ïðîäîëæèòåëüíîñòü T ïîëåòà ìÿ÷à.
Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñur
r
òè: F = -kv .
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, ïðèðàùåíèå
èìïóëüñà ìÿ÷à ïðîïîðöèîíàëüíî äåéñòâóþùåé íà ìÿ÷ ðåçóëüòèðóþùåé ñèëå è ïðîèñõîäèò ïî íàïðàâëåíèþ ýòîé
ñèëû:
r
r
r
m ∆v = ( mg - kv ) ∆t.
Ïåðåõîäÿ ê ïðîåêöèÿì ñèë è ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòè íà
40-55.p65
50
âåðòèêàëüíóþ îñü, ïîëó÷àåì
m ∆vy = -mg∆t - kvy ∆t .
Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå ìÿ÷à ïî âåðòèêàëè
ðàâíî ∆y = vy ∆t , è ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå â
âèäå
m ∆vy = -mg∆t - k∆y .
Ïðîñóììèðóåì âñå òàêèå ñîîòíîøåíèÿ ïî âñåìó âðåìåíè
ïîëåòà, ò.å. îò t = 0 äî t = T:
m
èëè
(å ∆vy ) = -mg (å ∆t) - k (å ∆y) ,
(
)
m vy (T ) - vy (0) = -mgT - k (y (T ) - y (0)) .
Ïåðåìåùåíèå ìÿ÷à ïî âåðòèêàëè çà âðåìÿ ïîëåòà íóëåâîå:
y (T ) - y (0) = 0 , òîãäà
- (1 - δ) mv0 - mv0 = -mgT .
Îòñþäà íàõîäèì ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà ìÿ÷à:
v
T = 0 (2 - δ) = 1,7 c .
g
Çàäà÷à 2. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïîêîèòñÿ
áðóñîê. ×åðåïàõà ïåðåìåùàåòñÿ ñ îäíîãî êîíöà ýòîãî áðóñêà íà äðóãîé. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå áðóñêîì çà
âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷åðåïàõè. Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè áðóñêà îòíîñèòåëüíî ãîðèur
r
çîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè: F c = -kv .
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òåë «÷åðåïàõà + áðóñîê».
Íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè ïðèðàùåíèå
r
∆p èìïóëüñà ýòîé ñèñòåìû ðàâíî ñóììàðíîìó èìïóëüñó
äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó âíåøíèõ ñèë, ò.å. ñèë òÿæåñòè,
ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû è ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ:
r
r
r
r ur
r
∆p = M ∆vá + m ∆v÷ = ( M + m ) g + F p - kvá ∆t ,
r
ãäå Ì – ìàññà áðóñêà, vá – åãî ñêîðîñòü, m – ìàññà ÷åðåïàõè,
r
v÷ – åå ñêîðîñòü.
Ñóììà ñèë òÿæåñòè è íîðìàëüíîé ðåàêöèè ðàâíà íóëþ,
òîãäà ëþáîå ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíî èìïóëüñó
ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ:
r
r
∆p = -k (vá ∆t ) ,
r
ò.å. ëþáîå ýëåìåíòàðíîå ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ∆p ñèñòåìû
r
«÷åðåïàõà + áðóñîê» è ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå vá ∆t
áðóñêà îòëè÷àþòñÿ â ( -k) ðàç.
Íàéäåì ïåðåìåùåíèå áðóñêà çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Äëÿ
ýòîãî ïðîñóììèðóåì âñå ýëåìåíòàðíûå ïåðåìåùåíèÿ áðóñêà
ïî âñåìó âðåìåíè äâèæåíèÿ ÷åðåïàõè è áðóñêà îò ñòàðòà – â
r
ýòîò
r ìîìåíò píà÷ = 0 , äî ïîëíîé îñòàíîâêè – â ýòîò ìîìåíò
pêîí = 0 :
r
r
1 r
sá = å (vá ∆t ) = - ( pêîí ) - píà÷ = 0 .
k
Çàäà÷à 3. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå îäèí íà äðóãîì
ëåæàò òðè äëèííûõ áðóñêà (ðèñ.1). Ìàññû áðóñêîâ m.
Áðóñêè ñìàçàíû ìàñëîì.
Ïðè äâèæåíèè ñèëà òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè, à
òàêæå ìåæäó íèæíèì
áðóñêîì è ñòîëîì ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîñèòåëüíîé
ñêîðîñòè:
ur
r
F = -kvîòí . Ñíà÷àëà âñå Ðèñ. 1
(
30.01.09, 13:12
)
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
áðóñêè íåïîäâèæíû, çàòåì
r âåðõíåìó áðóñêó ñîîáùàþò
ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 . Îïðåäåëèòå îòíîñèòåëüíûå
ñìåùåíèÿ áðóñêîâ ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äâèæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç n (n =
= 1, 2, 3) âåðõíèõ áðóñêîâ (áðóñêè íóìåðóåì, íà÷èíàÿ ñ
âåðõíåãî). Èìïóëüñ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû èçìåíÿåòñÿ
âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ åäèíñòâåííîé ãîðèçîíòàëüíîé âíåøíåé
ñèëû – ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü Õ èìååò âèä
Fnx = -k (vn - vn +1 ) ,
ãäå vn è vn +1 – ñêîðîñòè áðóñêîâ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå
îòñ÷åòà. Òîãäà íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ïåðåìåùåíèè ïðèðàùåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíî èìïóëüñó ñèëû âÿçêîãî
òðåíèÿ:
∆pnx = -k (vn - vn +1 ) ∆t = -k ( ∆xn - ∆xn +1 ) = -k∆Xn îòí ,
ãäå ∆xn , ∆xn +1 – àáñîëþòíûå ïåðåìåùåíèÿ áðóñêîâ,
∆Xn îòí = ∆xn - ∆xn +1 – ïåðåìåùåíèå n-ãî áðóñêà â ñèñòåìå
îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ (n + 1)-ì áðóñêîì.
Âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè äâèæåíèå â êàêîé-òî ìîìåíò ïðåêðàòèòñÿ. Ïðîñóììèðóåì âñå ñîîòíîøåíèÿ âèäà
∆pnx = -k∆Xn îòí ïî âñåìó âðåìåíè äâèæåíèÿ âïëîòü äî
îñòàíîâêè:
å ∆pnx
= -kå ∆Xn îòí ,
ó÷òåì, ÷òî èìïóëüñ ñèñòåìû â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè
íóëåâîé,
r
à â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè îí áûë ðàâåí mv0 , è ïîëó÷èì
mv0
-mv0 = -kLn îòí , èëè Ln îòí =
,
k
ãäå Ln îòí = å ∆Xn îòí – îòíîñèòåëüíîå ïåðåìåùåíèå n-ãî
áðóñêà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ (n + 1)-ì áðóñêîì çà
âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ.
Âñå îòíîñèòåëüíûå ñìåùåíèÿ áðóñêîâ îäèíàêîâû. Ïîñëå
mv0
îñòàíîâêè ñèñòåìà áóäåò èìåòü âèä «ëåñåíêè» ñ øàãîì
.
k
 ñëåäóþùåì ïðèìåðå ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ
ñâÿçàííîé ñî ñêîðîñòüþ.
Çàäà÷à 4. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè â
êðóãå, îãðàíè÷åííîì øåðîõîâàòîé âåðòèêàëüíîé ñòåíêîé,
íàõîäèòñÿ øàéáà (ðèñ.2). Åñëè
øàéáå ñîîáùèòü ïðîèçâîëüíóþ
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, òî, ñîâåðøèâ äâà îáîðîòà, îíà âîçâðàùàåòñÿ â òî÷êó ñòàðòà ñ
âäâîå ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå êîýôôèöèåíò µ òðåíèÿ
ñêîëüæåíèÿ øàéáû ïî ïîâåðõíîñòè ñòåíêè, ñ÷èòàÿ åãî ïîñòîÿííûì.
Óêàçàíèå: ïðè ðåøåíèè âîñÐèñ. 2
ïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïðè ìàëûõ ïðèðàùåíèÿõ àðãóìåíòà ïðèðàùåíèå ëîãàðèôìà àðãóìåíòà ðàâíî îòíîñèòåëüíîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà, ò.å.
∆x
∆ (ln x ) =
.
x
r
mg , íîðÐåøåíèå. Íà øàéáó äåéñòâóþò ñèëû òÿæåñòè
uur
ìàëüíîé ðåàêöèè âåðòèêàëüíîé ñòåíêè N1 , íîðìàëüíîé
uur
ðåàêöèè ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè N 2 , à òàêæå ñèëà
ur
òðåíèÿ F òð , ðàâíàÿ ïî âåëè÷èíå Fòð = µN1 .  ëàáîðàòîðíîé
ñèñòåìå îòñ÷åòà øàéáà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R.
Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,
uur
ur
r
r uur
ma = mg + N1 + N 2 + F òð .
40-55.p65
51
#
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ïåðåõîäÿ ê ïðîåêöèÿì ñèë è óñêîðåíèÿ íà ðàäèàëüíîå
íàïðàâëåíèå:
v2
m
= N1
R
è íà òàíãåíöèàëüíîå íàïðàâëåíèå:
m
∆v
v2
= - Fòð = -µm
,
∆t
R
íàõîäèì
∆v
µ
= - v ∆t .
v
R
Ñëåäóÿ óêàçàíèþ â óñëîâèè çàäà÷è, ëåâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî
∆v
= ∆ (ln v) , à â ïðàâîé
ðàâåíñòâà ïðåäñòàâèì â âèäå
v
ñäåëàåì çàìåíó ∆s = v∆t . Òîãäà, ñóììèðóÿ ýëåìåíòàðíûå
ïðèðàùåíèÿ
µ
å ∆ (ln v) = - R å ∆s
ïî âðåìåíè ñîâåðøåíèÿ äâóõ îáîðîòîâ, ïîëó÷èì
ln
v0
µ
- ln v0 = - × 4πR .
R
2
Îòñþäà íàõîäèì
µ=
ln 2
» 0,06 .
4π
Òåïåðü îáñóäèì áîëåå ñëîæíûå ñëó÷àè çàâèñèìîñòè ñèëû
ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè.
Çàäà÷à 5. Ïàðàøþòèñò ñîâåðøàåò çàòÿæíîé ïðûæîê –
îò ñòàðòà ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ äî ðàñêðûòèÿ
ïàðàøþòà ñêîðîñòü ïàðàøþòèñòà ðàñòåò, à íà÷èíàÿ ñ
íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé. Èçâåñòíî, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ F, äåéñòâóþùàÿ íà
ïàðàøþòèñòà, ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííóé ôóíêöèåé åãî ñêîðîñòè
v è õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà r, à òàêæå ïëîòíîñòè âîçäóõà ρ ,
ò.å. F = k × ρα × vβ × r γ , ãäå k – áåçðàçìåðíûé ìíîæèòåëü
ïîðÿäêà åäèíèöû. Îöåíèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ïàäåíèÿ ïàðàøþòèñòà.
Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé ñòåïåíè α, β, γ
âîñïîëüçóåìñÿ ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè.  Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìå åäèíèö (ÑÈ) ðàçìåðíîñòè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, òàêîâû:
ì
êã × ì
êã
[ F ] = 2 , [ρ] = 3 , [v] = ñ , [r] = ì. Òîãäà, ñðàâíèâàÿ
ñ
ì
æ êã α ìβ
ö
æ êã × ì ö
ðàçìåðíîñòè ëåâîé ç 2 ÷ è ïðàâîé ç 3α × β × ì γ ÷ ÷àñòåé
è ñ ø
ñ
èì
ø
ôîðìóëû äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì
ñîîòíîøåíèÿì:
1 = α,
1 = -3α + β + γ,
- 2 = -β .
Îòñþäà íàõîäèì
α = 1,
β = 2,
γ = 2.
Òåïåðü ôîðìóëà äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèíèìàåò òàêîé
âèä:
F = kρv2r 2 .
Ïðè äâèæåíèè ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ ñèëà òÿæåñòè
ðàâíà ïî âåëè÷èíå ñèëå ñîïðîòèâëåíèÿ:
2
Mg = kρvóñò
r2 .
Äëÿ ÷èñëåííîé îöåíêè ñêîðîñòè vóñò ïðèìåì ìàññó ïàðàøþòèñòà Ì = 100 êã, ïëîòíîñòü âîçäóõà ρ = 1,3 êã ì3 , êâàäðàò
30.01.09, 13:12
#
ÊÂÀÍT 2009/¹1
õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà r 2 = 0,25 ì2 . Ýòî ïðèâîäèò ê îêîí÷àòåëüíîìó ðåçóëüòàòó
vóñò =
Mg
=
kρr 2
100 × 10
ì ñ » 55 ì ñ ,
1 × 1,3 × 0,25
êîòîðûé õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè.
Çàäà÷à 6. Òåííèñèñò ïîäàåò ìÿ÷ ñî ñêîðîñòüþ v0 =
= 200 êì/÷ ñ âûñîòû h = 3 ì. Ïðîëåòåâ L = 20 ì, ìÿ÷
Ñóììèðóÿ ýëåìåíòàðíûå îòíîñèòåëüíûå ïðèðàùåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè ìÿ÷à ïî âñåìó âðåìåíè
ïîëåòà, ïîëó÷àåì
å
∆vx
v
= -βå ∆x , èëè ln 1 = -βL .
v0
vx
Îòñþäà íàõîäèì
v1 = v0 × exp ( -βL) » 42 ì ñ .
Óòî÷íèì è ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà ìÿ÷à:
T=
1
å ∆t = - β å
vx2
=
1æ 1
1ö
» 0,27 c .
β çè v1 v0 ÷ø
Ðàññìîòðåííàÿ çàäà÷à èëëþñòðèðóåò èçâåñòíîå ïðàâèëî
Óèëåðà (àìåðèêàíñêîãî ôèçèêà-òåîðåòèêà): «Íèêîãäà íå
íà÷èíàé âû÷èñëåíèé, ïîêà íå çíàåøü îòâåòà. Êàæäîìó
âû÷èñëåíèþ ïðåäïîñûëàé îöåíî÷íûé ðàñ÷åò: ïðèâëåêè ïðîñòûå ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ (ñèììåòðèþ! èíâàðèàíòíîñòü!)
äî òîãî, êàê íà÷èíàòü ïîäðîáíûé âûâîä …Áóäü ñìåëåå…
Äåëàé ïðåäïîëîæåíèÿ áûñòðî, èíòóèòèâíî. Óäà÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ óêðåïëÿþò èíòóèöèþ. Îøèáî÷íûå ïðåäïîëîæåíèÿ äàþò åé õîðîøóþ âñòðÿñêó».
Ðèñ. 3
óäàðÿåòñÿ î êîðò. Ìàññà ìÿ÷à m = 60 ã, ðàäèóñ ìÿ÷à R =
= 32,5 ìì. Îöåíèòå ñêîðîñòü ìÿ÷à v1 â ìîìåíò óäàðà è
ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà T. Ñ÷èòàéòå, ÷òî â ïîëåòå íà
ρv2
πR2 . Íà
ìÿ÷ äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ F = Cx
2
ðèñóíêå 3 ïðåäñòàâëåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü
áåçðàçìåðíîãî êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ Cx øàðà îò
ρvR
áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà (÷èñëà Ðåéíîëüäñà) Re =
,
η
ãäå ρ = 1,3 êã ì3 – ïëîòíîñòü âîçäóõà, v – ñêîðîñòü øàðà,
R – åãî ðàäèóñ, η = 1,8 × 10 -5 Ïà × ñ – êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè) âîçäóõà. Âðàùåíèåì ìÿ÷à ñëåäóåò ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Îöåíêè ïðîâåäåì â äâà ýòàïà.
Ñêîðîñòü 200 êì/÷ – ýòî (â ÑÈ) ïðèáëèçèòåëüíî 55 ì/ñ,
L
» 0, 4 c .  íà÷àëüíûé
è ìÿ÷ ïðîëåòèò 20 ì çà âðåìÿ T »
v0
ρv0 R
ìîìåíò Re =
» 1,3 × 105 . Èç ãðàôèêà íà ðèñóíêå 3
η
ñëåäóåò, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè ñêîðîñòè ìÿ÷à â 100 ðàç, ò.å.
ïðàêòè÷åñêè â òå÷åíèå âñåãî ïîëåòà, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì Cx = 0, 4 . Îöåíèì
âåëè÷èíó ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé óñêîðåíèÿ ìÿ÷à â
íà÷àëüíûé ìîìåíò:
F Cx πρR2v2
=
» 43 ì ñ2 .
a=
2m
m
Çà âðåìÿ ïîëåòà ñêîðîñòü óìåíüøèòñÿ ïðèìåðíî íà
∆v = aT » 17 ì ñ
è â ìîìåíò óäàðà áóäåò ðàâíà
v1 = v0 - ∆v » 38 ì ñ .
Êîíå÷íî, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âåðåí ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû
è äåìîíñòðèðóåò òåõíèêó ïîñòðîåíèÿ ãðóáûõ îöåíîê.
Áîëåå òî÷íûé îòâåò ìîæíî ïîëó÷èòü, ñóììèðóÿ áåñêîíå÷íî ìàëûå. Äåéñòâèòåëüíî, ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,
∆v
v2
m x = - F = -Cxρ x πR2 ,
2
∆t
Óïðàæíåíèÿ
1. Íåáîëüøîé óïðóãèé áðóñîê ìàññîé m ìîæåò äâèãàòüñÿ áåç
òðåíèÿ âíóòðè ïðÿìîóãîëüíîé êîðîáêè òàêîé æå ìàññû. Êîðîáêà
íàõîäèòñÿ íà ñòîëå, ïîêðûòîì òîíêèì ñëîåì ìàñëà.  íà÷àëüíûé
ìîìåíò êîðîáêà ïîêîèòñÿ, à áðóñêó, íàõîäÿùåìóñÿ ó îäíîé èç
ñòåíîê, ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ ïî íîðìàëè ê
ñòåíêå. Ñêîëüêî ñîóäàðåíèé áðóñêà ñ êîðîáêîé ïðîèçîéäåò çà
âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ? Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè, ñ êîòîðûìè
ñîóäàðÿåòñÿ áðóñîê, ðàâíî L. Ñèëó òðåíèÿ ñ÷èòàéòå ïðîïîðöèur
r
îíàëüíîé ñêîðîñòè êîðîáêè: F = -kv , ñîóäàðåíèÿ – àáñîëþòíî
óïðóãèìè.
2. Ìàëåíüêàÿ øàéáà ìàññîé m ëåæèò íà êðàþ äëèííîé äîñêè
ìàññîé Ì, ïîêîÿùåéñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè.
Øàéáà è äîñêà ñìàçàíû ìàñëîì. Øàéáå ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 , íàïðàâëåííóþ âäîëü äîñêè. Ïðè äâèæåíèè íà
êàæäîå òåëî äåéñòâóåò ñèëà
òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ
ur âÿçêîãî
r
îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè: F = -kvîòí . Îïðåäåëèòå ïåðåìåùåíèå
øàéáû îòíîñèòåëüíî äîñêè çà äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè.
3. Ñëåäóÿ óñëîâèþ çàäà÷è 4 â ñòàòüå, íàéäèòå âðåìÿ, çà
êîòîðîå øàéáà ñîâåðøèò ïåðâûé îáîðîò. Ñ÷èòàéòå íà÷àëüíóþ
ñêîðîñòü v0 = 3 ì ñ , ðàäèóñ êðóãà R = 1 ì.
Óêàçàíèå: ïðè ðåøåíèè âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ïðè ìàëûõ
æ 1ö
(âÿçêîñòè) ãëèöåðèíà η = 1,4 × 10 -3 Í × ñ ì2 .
Cx πρR2
∆vx
» 0,014 ì–1.
= -βvx ∆t = -β∆x , ãäå β =
2m
vx
52
∆x
ïðèðàùåíèÿõ àðãóìåíòà ∆ ç ÷ = - 2 .
è xø
x
4. Ñòàëüíîé øàðèê ðàäèóñîì r = 0,5 ìì äâèæåòñÿ â øèðîêîì
ñîñóäå, íàïîëíåííîì ãëèöåðèíîì. Íà øàðèê äåéñòâóþò ñèëà
òÿæåñòè, ñèëà Àðõèìåäà è ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ
ñòåïåííîé ôóíêöèåé åãî ñêîðîñòè v, ðàäèóñà r è êîýôôèöèåíòà
âíóòðåííåãî òðåíèÿ (âÿçêîñòè) η ãëèöåðèíà, ò.å. F = k × ηα × vβ × r γ ,
ãäå k = 6 π – áåçðàçìåðíûé ìíîæèòåëü. Âîñïîëüçóéòåñü ñîîáðàæåíèÿìè ðàçìåðíîñòè è íàéäèòå ïîêàçàòåëè ñòåïåíè α, β, γ .
Äàëåå îïðåäåëèòå ñêîðîñòü v óñòàíîâèâøåãîñÿ (ðàâíîìåðíîãî)
äâèæåíèÿ øàðèêà. Ïëîòíîñòü ãëèöåðèíà ρ1 = 1,26 ã ñì3 , ïëîòíîñòü ñòàëè ρ2 = 7,8 ã ñì3 , êîýôôèöèåíò âíóòðåííåãî òðåíèÿ
èëè
40-55.p65
∆vx
30.01.09, 13:12
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ïàðàëëåëüíîå
ïðîåêòèðîâàíèå
â çàäà÷àõ
Â.ÌÈÐÎØÈÍ
È
ÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÉ ÔÈÃÓÐÛ ÈÃÐÀÅÒ
âàæíóþ ðîëü â ðåøåíèè áîëüøèíñòâà ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷. Ñóùåñòâóþò îáùåïðèíÿòûå è ÷àñòî èñïîëüçóåìûå
èçîáðàæåíèÿ îñíîâíûõ ñòåðåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòî⠖ ïðèçì,
ïèðàìèä, êîíóñîâ è ò.ä. Íî èçîáðàæåíèå – ïëîñêîå, è
ïîýòîìó ôèãóðà ìîæåò èçîáðàæàòüñÿ â ðàçëè÷íûõ ðàêóðñàõ.
 ðàññìàòðèâàåìûõ
íèæå çàäà÷àõ ðåøåíèå
ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè íåïðèâû÷íûõ èçîáðàæåíèé ìíîãîãðàííèêîâ.
Çàäà÷à 1 (ÌÃÓ, ìåõìàò). Íà äèàãîíàëÿõ
A 1B è B1C áîêîâûõ
Ðèñ. 1
ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà
ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê,
÷òî îòðåçîê MN ïàðàëëåëåí äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà AC1 (ðèñ.
1). Íàéäèòå îòíîøåíèå
MN : AC1 .
Ðåøåíèå. Ïîñìîòðèì
Ðèñ. 2
íà ïàðàëëåëåïèïåä
«âäîëü» äèàãîíàëè B1D1 , ñïðîåêòèðîâàâ íóæíûå íàì òî÷êè
â ïëîñêîñòü ACC1 A1 (ðèñ. 2).
Îáðàçû âåðøèí B è D ñîâïàäóò ñ ñåðåäèíîé AC; àíàëîãè÷íî, îáðàçû âåðøèí B1 è D1 ñîâïàäóò ñ ñåðåäèíîé A 1C1 . Ïðè
ïàðàëëåëüíîì ïðîåêòèðîâàíèè îáðàçàìè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, è ê òîìó æå îòíîøåíèÿ
îòðåçêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ñîõðàíÿþòñÿ. Ïîýòîìó èç òåîðåìû Ôàëåñà ñëåäóåò, ÷òî îáðàçû
äèàãîíàëåé A 1B è B1C ðàçäåëÿò îáðàç AC1 íà òðè ðàâíûõ
îòðåçêà, ñðåäíèé èç êîòîðûõ áóäåò ðàâåí îáðàçó MN.
Çíà÷èò, MN : A C1 = 1 : 3 .
Îòâåò: 1 : 3.
Çàäà÷à 2.  òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABCA 1B1C1 òî÷êè M è
N – ñåðåäèíû áîêîâûõ
ðåáåð AA 1 è CC1 ñîîòâåòñòâåííî. Íà îòðåçêàõ AB1 è CM ðàñïîëîæåíû òî÷êè E è F ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî
EF || BN (ðèñ.3). Íàéäèòå
îòíîøåíèå
EF : BN .
Ðåøåíèå. Âûáåðåì â
êà÷åñòâå ïëîñêîñòè ïðîåêòèðîâàíèÿ îñíîâàíèå
ïðèçìû ABC, à â êà÷åÐèñ. 3
40-55.p65
53
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
#!
ñòâå ïðÿìîé ïðîåêòèðîâàíèÿ âûáåðåì ïðÿìóþ MC. Äàëåå äëÿ
óäîáñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü îáðàç òî÷êè ïðè
ïðîåêòèðîâàíèè òîé æå Ðèñ. 4
áóêâîé, ÷òî åå ïðîîáðàç, òîëüêî ñî øòðèõîì (íàïðèìåð, ïðîåêöèþ òî÷êè N áóäåì
îáîçíà÷àòü N¢ ). Îáðàçîì áîêîâîé ãðàíè CC1 A 1 A ïðèçìû
áóäåò îòðåçîê, ðàñïîëîæåííûé íà ïðÿìîé ÀÑ, à îáðàçîì
áîêîâîé ãðàíè CC1B 1B – ïàðàëëåëîãðàìì, îäíîé èç ñòîðîí
êîòîðîãî áóäåò ÂÑ (ðèñ.4).
Òàê êàê N – ñåðåäèíà ðåáðà, òî òðåóãîëüíèêè CN ¢N è
C1 A1N ðàâíû, ïîýòîìó AC = A1C1 = CN ¢ . Êðîìå òîãî, òàê
êàê CN = NC1 , òî CN ¢ = N ¢C1¢ . Ïðîâåäåì B1¢ D || BN ¢ . Ïîëó÷èì
EF
E ¢F ¢ E ¢F ¢ AF ¢ 1
=
=
=
= .
BN
BN ¢ B ¢ D
AD 4
1
Îòâåò: 1 : 4 .
Çàäà÷à 3.  ïèðàìèäå ABCD òî÷êè M, F è K – ñåðåäèíû
ðåáåð BC, AD è CD ñîîòâåòñòâåííî. Íà ïðÿìûõ AM è CF
ñîîòâåòñòâåííî âçÿòû òî÷êè P è Q òàê, ÷òî PQ P BK
(ðèñ.5). Íàéäèòå îòíîøåíèå PQ : BK .
Ðåøåíèå. Ñëåäóÿ ïðåäûäóùèì ïðèìåðàì, ìû
äîëæíû âûáðàòü ïëîñêîñòü ïðîåêòèðîâàíèÿ è
ïðÿìóþ ïðîåêòèðîâàíèÿ
òàê, ÷òîáû íàèáîëåå ïðîñòûì îáðàçîì íàéòè íóæíîå íàì îòíîøåíèå.  êà÷åñòâå ïëîñêîñòè ïðîåêòèðîâàíèÿ âûáåðåì îñíîÐèñ. 5
âàíèå ïèðàìèäû ABC, à â
êà÷åñòâå ïðÿìîé ïðîåêòèðîâàíèÿ âîçüìåì FC. Îáðàçîì îòðåçêà FK áóäåò îòðåçîê
1
CK ¢ = FK = AC . Îáðàçîì îòðåçêà PQ áóäåò îòðåçîê
2
PC || BK¢ (ðèñ.6).
Ðèñ. 6
Ïðîäîëæèì AM äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ BK¢ â òî÷êå L è
ïðîâåäåì CE || AL . Òîãäà
BL BM 1 K ¢E K ¢C 1
=
= ,
=
= .
PC MC 1 EL
CA
2
È òàê êàê PC = EL , ïîëó÷èì, ÷òî
PQ
PC
PC
2
2
=
=
=
= .
BK BK ¢ BL + LE + EK ¢ 2 + 2 + 1 5
Îòâåò: 2 : 5 .
Çàäà÷à 4. Íà ðåáðå AD è äèàãîíàëè A 1C ïàðàëëåëåïèïåäà
ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê, ÷òî
AM : AD = 1 : 5 è ïðÿìàÿ MN ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè BDC1
(ðèñ.7). Íàéäèòå îòíîøåíèå CN : CA 1 .
Ðåøåíèå. Êàê è â ïåðâîé çàäà÷å, ïîñòðîèì ïðîåêöèþ
ïàðàëëåëåïèïåäà íà ïëîñêîñòü AA 1C1C âäîëü ïðÿìîé BD.
30.01.09, 13:12
#"
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Òàê êàê ïðÿìàÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè
BC1D , òî ýòà ïëîñêîñòü
îòîáðàçèòñÿ â ïðÿìóþ OC1 ,
Îáðàçàìè áîêîâûõ ðåáåð áóäóò ñëóæèòü ðàäèóñû îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â âåðøèíû. Îáðàçû òî÷åê D è K áóäóò ëåæàòü íà ïåðïåíäèêóëÿðå, ïðîâåäåííîì ê AM èç âåðøèíû B. Íî ñàìîå èíòåðåñíîå, ÷òî òî÷êà M,
òî÷êà B è îáðàç òî÷êè D áóäóò âèäíû èç îáðàçà âåðøèíû
2π
. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
ïèðàìèäû ïîä óãëàìè
3
ÐNHM = ÐMHP = ÐPHN = 120° , òàê êàê H – öåíòð ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà MNP, à ïðîåêöèè òî÷åê D è K ëåæàò
íà îòðåçêàõ HN è HP ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, H –
òî÷êà Òîððè÷åëëè äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà BMD¢
(ðèñ.11, D¢ – îáðàç òî÷êè D).
Ðèñ. 8
Ðèñ. 7
à îòðåçîê MN, ïàðàëëåëüíûé ïëîñêîñòè, – â îòðåçîê
M ¢N || OC1 (ðèñ.8).
Ïðîäîëæèì C1O è NM¢ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ AA1 . Èìååì
AM ¢
AM 1 NP M ¢O 4
=
= .
=
= ,
5
OC
M ¢O MD 4 PC
Òàê êàê O – ñåðåäèíà AC, òî AQ = AA 1 è
A1N A1R 6
=
= .
NP
RQ 4
Ñëåäîâàòåëüíî,
AR 1
= ;
RQ 4
CN
5+4
3
=
= .
CA 1 5 + 4 + 6 5
Îòâåò: 3 : 5 .
Çàäà÷à 5 (ÌÔÒÈ, 1981 ã., à òàêæå êîíêóðñ àáèòóðèåíòîâ
2007/2008 ãîäà ïî ðåøåíèþ çàäà÷ âñòóïèòåëüíûõ èñïûòàíèé ÌÔÒÈ). Òî÷êà D – ñåðåäèíà ðåáðà A 1C1 ïðàâèëüíîé
òðåóãîëüíîé ïðèçìû ABCA 1B1C1 . Ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ
ïèðàìèäà SMNP ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïëîñêîñòü åå
îñíîâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ òðåóãîëüíèêà ABC,
1
âåðøèíà Mëåæèò íà ïðîäîëæåíèè AC, ïðè÷åì CM = AC ,
2
ðåáðî SN ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó D, à ðåáðî SP ïåðåñåêàåò
îòðåçîê BB1 â òî÷êå K (ðèñ.9).  êàêîì îòíîøåíèè
îòðåçîê BB1 äåëèòñÿ òî÷êîé K?
Ðèñ. 9
Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî, ïîñìîòðèì «ñâåðõó», ò.å. ñïðîåêòèðóåì îáà ìíîãîãðàííèêà íà èõ îáùóþ ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ. Âåðøèíà S ïèðàìèäû ñïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð òðåóãîëüíèêà MNP – òî÷êó H (ðèñ.10).
Ðèñ. 11
Íàïîìíèì ñâîéñòâî òî÷êè Òîððè÷åëëè: ñóììà ðàññòîÿíèé
îò íåå äî âåðøèí òðåóãîëüíèêà ìèíèìàëüíà. Èç óñëîâèÿ
çàäà÷è ìîæíî íàéòè îòíîøåíèå b : a = tg ϕ = BD¢ : D¢M =
= 3 : 2 , ãäå ϕ = ÐD¢MB (äàëüøå ýòî ïîíàäîáèòñÿ).
Íàéäåì îòíîøåíèÿ ðàññòîÿíèé îò òî÷êè H äî âåðøèí
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà D¢ BM . Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèëîñü â òî÷êå
D¢ , îñü àáñöèññ áûëà
íàïðàâëåíà ïî ëó÷ó
D¢M , à îñü îðäèíàò –
ïî ëó÷ó D¢B .
Òî÷êà Í áóäåò òî÷êîé
ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî
òðåóãîëüíèêîâ BHD¢ è
D¢HM , óãëû â âåðøèíàõ H êîòîðûõ ðàâíû
2π
(ðèñ.12). Êðîìå
3
Ðèñ. 12
òîãî, îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî ïåðâîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîéäåò, î÷åâèäíî,
÷åðåç òî÷êó A. Ñëåäîâàòåëüíî, AB – åå äèàìåòð, è åå
óðàâíåíèå
2
2
aö
bö
a2 b2
æ
.
+
÷ø + çè y - ÷ø =
4
2
16
4
Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ îêðóæíîñòü áóäåò ñîäåðæàòü âåðøèíó
F ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà D¢MF , ïîñòðîåííîãî òàê,
÷òîáû òî÷êè B è F ëåæàëè â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé D¢M . Óðàâíåíèå âòîðîé îêðóæíîñòè áóäåò
èìåòü âèä
æ
çè x +
2
2
æ
aö
a 3ö
a2
æ
.
x
=
çè
÷ø + ç y +
÷
2
6 ø
3
è
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò òî÷êè H ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì 2 a
ì 2 a
2
2
ïï x + 2 x + y - by = 0,
ïï x + 2 x + y - by = 0,
Ûí
Û
í
ï x2 - ax + y2 + a 3 y = 0
ï 3a x = æç b + a ö÷ y
è
ïî 2
3ø
3
îï
Ðèñ. 10
40-55.p65
54
30.01.09, 13:12
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
ì 2 a
ì 2 a
2
2
ï x + 2 x + y - by = 0,
ï x + 2 x + y - by = 0,
ï
ï
Ûí
Û
Ûí
3 3
3 3a
ïy =
ïy =
x
x
2 1 + 3 tg ϕ
2 a+b 3
ï
ï
î
î
(
)
(
)
ì
3 3
x,
ïy =
2
1
+
3 tg ϕ
ï
ï
Ûí æ
ö
æ
ö
ï 2ç
27
÷ + x ç a - 3 3 a tg ϕ ÷ = 0.
ï x ç1 +
2÷
çè 2 2 1 + 3 tg ϕ ÷ø
4 1 + 3 tg ϕ ø
ï è
î
Ïîíÿòíî, ÷òî ïåðâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (0; 0) , òàê êàê îáå
îêðóæíîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Íàéäåì âòîðîå ðåøåíèå ñèñòåìû, îáîçíà÷èâ 3 tg ϕ = k .
(
)
(
(
)
)
æ 4 (1 + k)2 + 27 ö a æ 2k - 1ö
2 (2k - 1) (k + 1)
xç
÷ = ç
.
÷ø Û x = a
2
2
è
+
k
2
1
+
k
4
1
(
) ø
è
4 (k + 1) + 27
Ñîîòâåòñòâåííî,
2 (2k - 1) (k + 1)
3 3 (2k - 1)
3 3
.
=a
y=
a
2
2
2 (1 + k) 4 (k + 1) + 27
4 (k + 1) + 27
(
)
3
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k = , ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè H:
2
3 3
5
3 3
5
.
×
=a
x=
a, y=
2 (1 + k) 26
26
26
Íàéäåì èñêîìûå ðàññòîÿíèÿ:
D¢H =
HM =
25
27
+
a=
676 676
2
27
æ 5
ö
a=
- 1÷ +
çè
ø
26
676
2
HB =
52
a=
676
a
;
13
441 + 27
3a
=
;
676
13
25 æ 3 3
3ö
a=
+
676 èç 26
2 ø÷
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
##
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåøåíèÿ ñäåëàåì
åùå âîò ÷òî: ñîâìåñòèì òðåóãîëüíèêè SHM, SHP è
SHN (ðèñ.13). Òàê êàê
1
5
HD¢ = HM, HB = HM ,
3
6
BK
DK
D¢B 3
òî 1 =
=
= .
KB
KM BM 1
Ðèñ. 13
Äåéñòâèòåëüíî, «ñâåðõó è
ñáîêó» âèäíåå.
Îòâåò: 3 : 1 .
Óïðàæíåíèÿ
1. Íà äèàãîíàëÿõ AC è BA 1 áîêîâûõ ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà
ABCDA 1B1C1D1 âûáðàíû òî÷êè M è N òàê, ÷òî îòðåçîê MN
ïàðàëëåëåí äèàãîíàëè ïàðàëëåëåïèïåäà DB1 . Íàéäèòå îòíîøåíèå MN : DB1 .
2. Íà äèàãîíàëè AC1 ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA 1B1C1D1 âçÿòà
òî÷êà M, à íà ïðÿìîé B1C – òî÷êà N òàê, ÷òî îòðåçêè MN è BD
ïàðàëëåëüíû. Íàéäèòå îòíîøåíèå äëèí ýòèõ îòðåçêîâ.
3. Òî÷êà E – ñåðåäèíà ðåáðà MQ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé
ïèðàìèäû SMNPQ . Êóá ABCDA 1B1C1D1 ðàñïîëîæåí òàê, ÷òî
ïëîñêîñòü ãðàíè ABCD ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ MNPQ, âåðøèíà B1 ëåæèò íà ðåáðå SN, òî÷êà E ëåæèò íà ïðÿìîé AB, ïðè÷åì
EA = AB. Ïðÿìàÿ SP ïåðåñåêàåò ðåáðî CC1 . Â êàêîì îòíîøåíèè
îòðåçîê CC1 äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ?
4.  ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABCA 1B1C1 òî÷êà D –
ñåðåäèíà ðåáðà A1C1 . Ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïëîñêîñòü åå îñíîâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ
ABC, ïåðâîå áîêîâîå ðåáðî ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B, âòîðîå
– ÷åðåç òî÷êó D, à òðåòüå ïåðåñåêàåò ðåáðî CC1 . Íàéäèòå
îòíîøåíèå îáúåìà ïèðàìèäû ê îáúåìó ïðèçìû.
5. ×åðåç ñåðåäèíû M è N ðåáåð AD è CC1 ïàðàëëåëåïèïåäà
ABCDA 1B1C1D1 ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ äèàãîíàëè
DB1 . Â êàêîì îòíîøåíèè ýòà ïëîñêîñòü äåëèò ðåáðî BB1 ?
325
5a
.
a=
676
2 13
Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé!
Êîãäà äèàãîíàëü ïÿòèóãîëüíèêà
ïàðàëëåëüíà ñòîðîíå?
 11 íîìåðå «Êâàíòà» çà 1977 ãîä îïóáëèêîâàíî äîâîëüíî
ñëîæíîå ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Ì433. Ñòîðîíà ÂÑ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ABCDE
ïàðàëëåëüíà äèàãîíàëè AD, ñòîðîíà
CD – äèàãîíàëè ÂÅ, ñòîðîíà DE –
äèàãîíàëè ÀÑ, à ñòîðîíà ÀÅ – äèàãîíàëè BD. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîðîíà
ÀÂ ïàðàëëåëüíà äèàãîíàëè ÑÅ.
Çàìåòüòå, îäíàêî, ÷òî óñëîâèå
BC P AD ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
SABC = SDBC .
Àíàëîãè÷íî, óñëîâèÿ CD P BE ,
DE P AC è AE P BD çàïèøåì â âèäå
ðàâåíñòâ
SDBC = SDEC , SDEC = SDEA
è SDEA = SBEA .
40-55.p65
55
Òàêèì îáðàçîì,
SABC = SDBC = SDEC = SDEA = SBEA ,
îòêóäà SABC = SBEA , ò.å. CE P AB , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
À.Ñïèâàê
Íîâàÿ êíèãà ïî ôèçèêå
 èçäàòåëüñòâå «Ôèçìàòëèò» â ñåðèè «Øêîëüíèêó è
ó÷èòåëþ» âûøëà êíèãà «Êðàòêèé êóðñ ôèçèêè», àâòîðîì
êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà æóðíàëà
«Êâàíò» ïî ôèçèêå À.È.×åðíîóöàí.
Êíèãà ñîäåðæèò êðàòêîå, íî äîñòàòî÷íî ïîëíîå è ïîäðîáíîå èçëîæåíèå âñåõ ðàçäåëîâ øêîëüíîé ôèçèêè, âêëþ÷åííûõ â ïðîãðàììó ÅÃÝ. Èçëîæåíèå òåîðèè ñîïðîâîæäàåòñÿ
ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè, âîïðîñàìè è îòâåòàìè, à òàêæå çàìå÷àíèÿìè, ïðîÿñíÿþùèìè òîíêèå è òðóäíûå ìîìåíòû.
 êíèãå åñòü ïîäðîáíûé ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü, ïîçâîëÿþùèé èñïîëüçîâàòü åå â êà÷åñòâå ñïðàâî÷íèêà.
Êíèãà ðåêîìåíäîâàíà Ôåäåðàëüíûì èíñòèòóòîì ïåäàãîãè÷åñêèõ èçìåðåíèé äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ.
30.01.09, 13:12