Дробно- рациональные уравнения с параметром

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
42
Äðîáíîðàöèîíàëüíûå
óðàâíåíèÿ ñ
ïàðàìåòðîì
ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÐÀÑÑÌÀÒÐÈÂÀÞÒÑß ÇÀÄÀ×È, ÄÎÂÎËÜ-
íî ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ.
Ìû ïîäðîáíî ðàçáåðåì ðåøåíèå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
5 2a + 1 1 − a
5a − 3
=
1+
.
x−a
x − a x − 3a + 1
b
b
gb
gb
g
g
Ðåøåíèå. Ïîñëå î÷åâèäíûõ âûêëàäîê ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ:
b
g
2
e
j
2
F 4I = 4 − 2 = 2
GH 3 JK 3
3
x b1g = 1 − 2 = −1
− 4 − 2 a + 8a − 8 =
b
2
= 9a − 36 a + 36 = 9 a − 2
1
Åùå âûäåëèì ñëó÷àé, êîãäà îáà êîðíÿ ñîâïàäàþò:
D = 0 ⇔ a = 2 ⇒ x = 0.
1
4
Îòâåò: x1 = a − 2 , x2 = 4 − 2 a ïðè a ∈ 4 \ − ; 1; ; 2 ;
2
3
1
2
4
õ = 5 ïðè a = − ; õ = –1 ïðè a = 1; x = − ïðè a = ; õ =
2
3
3
= 0 ïðè à = 2.
Âîò òåïåðü äëÿ ëþáîãî ïðåäúÿâëåííîãî íàì çíà÷åíèÿ à ìû
ìîæåì ñðàçó óêàçàòü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé è âû÷èñëèòü èõ
ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé.
×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü, êàê óñòðîåíû ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1),
ïîñòðîèì ãðàôèêè äëÿ âõîäÿùèõ â (1) ñîîòíîøåíèé íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè àÎõ (ðèñ.1). Ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçáåðèòåñü â ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ðåøåíèÿ.
1. 1 +
g
2
≥ 0.
b
3. 7 a + 3 +
b
gb
e
UV
W
2
2
bg
g
2. 3 +
2a − 3
bx − 2gbx + ag =
2
x + 2x − a + 2a
$
= 2x +
9a + 10a + 5
x−a+2
.
N
#
a - 2,
- 2 a + 4,
"
(1)
a,
3a - 1.
!
(×àñòî àáèòóðèåíòû çàïèñûâàþò â îòâåò èìåííî ýòó ñèñòåìó, ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòèì ðåøåíèå çàâåðøåíî. Íî ýòî íå òàê.
Ìîæíî ëè, ãëÿäÿ íà ýòó ñèñòåìó, ñðàçó îòâåòèòü íà âîïðîñ,
ñêîëüêî ðåøåíèé áóäåò ïðè à = 1? Íåò.)
Äëÿ êàæäîãî êîðíÿ íàéäåì, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à îí íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè
ñâåäåì âû÷èñëåíèÿ â òàáëèöó:
x1 = à – 2
x2 = –2à + 4
à–2–à=0
–2à + 4 – à = 0
4
a=
3
ðåøåíèé íåò
õ – 3à + 1 = 0
j
2
òàê ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
õ–à=0
g
2a 9a − 1
x1 a = a − 2 , x2 a = 4 − 2 a ,
ì éx =
ï
ï
ê
ï
ï
ï êêë x =
ï
ï
ï
ï
íx ¹
ï
ï
ï
x ¹
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
gb
2 a−1 a−2
a +1
=
.
x−a
x − a x − a +1
Èòàê, ïðè ëþáîì çíà÷åíèè à êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò
êîðíè
bg
æ 1ö
æ 1ö
x2 ççç- ÷÷÷ = -2 ççç- ÷÷÷ + 4 = 5
è 2ø
è 2ø
x1
Óïðàæíåíèÿ
Ðåøèòå óðàâíåíèÿ è äàéòå ðåøåíèÿì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:
2
2
ì
ï
ïx + a - 2 x - 2a - 8a = 0,
í
ï
ï
îx ¹ a, x ¹ 3a - 1.
D= a−2
(Ìíîãèå àáèòóðèåíòû ïèøóò, ÷òî ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ýòî íåâåðíî. Íàïðèìåð, ïðè
à = 1 âòîðîé êîðåíü íóæíî îòáðîñèòü. Íî ïåðâûé êîðåíü ïðè
ýòîì ñóùåñòâóåò è èìååò çíà÷åíèå –1. Âåäü «çàïðåùåííîå»
çíà÷åíèå à = 1 ïðèñóòñòâóåò òîëüêî âî âòîðîé êîëîíêå íàøåé
òàáëèöû, íî íå â ïåðâîé.)
Äëÿ «çàïðåùåííûõ» çíà÷åíèé à èç îäíîé êîëîíêè òàáëèöû
âû÷èñëèì çíà÷åíèå êîðíÿ äëÿ äðóãîé êîëîíêè:
RS
T
Ñ.ËÀÂÐÅÍÎÂ
Â
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
à – 2 – 3à + 1 = 0
1
a=−
2
`
`
"
!
`!
`
`
–2à + 4 – 3à + 1 = 0
a=1
Ðèñ. 1
`!
!
" =
2 x + 5a
.
x+a
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Òåïåðü ðàçáåðåì åùå îäíó çàäà÷ó.
2
j
b
2
g
− 1 x + 4 a − 10 x − 21 = 0 , x + 4 ≠ 0 , ax + 1 ≠ 0 .
2
Ïðè a = 1 óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, ïðè à =
3
= –1 ïîëó÷àåì −4 − 10 x – 21 = 0, ò.å. õ = − , ïðè÷åì
2
3
3
3
− ≠ 4 , − ≠ −1. Èòàê, x = − ïðè à = –1.
2
2
2
7
Åñëè à = 1, àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî õ = − . Èòàê,
2
7
ïðè
à
=
1.
=
−
x
2
2
Åñëè a − 1 ≠ 0 , ò.å. a ≠ ±1 , èìååì
b
D
îòñþäà
4
g
b
= 2a − 5
bg
3a + 3
x1 a =
2
a −1
g
=
2
e
j b
2
+ 21 a − 1 = 5a − 2
3
a −1
bg
, x2 a =
g
−7 a + 7
2
a −1
2
≥ 0,
=−
7
a +1
àõ + 1 = 0
3a
a −1
3
a−1
x2 = −
+ 1 = 0, a =
−
1
−
4
FG 3 IJ = 3 = −12
H 4K 3 − 1
x2
4
x1
7
a +1
7
a +1
7
a +1
+ 4 = 0, a =
+ 1 = 0, a =
3
4
1
6
FG 1 IJ = − 7 = − 28
H 4K 1 + 1 5
4
6
Îáà êîðíÿ ñîâïàäàþò ïðè D = 0, ò.å. ïðè a =
FG 2 IJ = 3 = −5 .
H 5K 2 − 1
5
∈4\
1
;
6
3
a= ;
4
a=
x1 =
3
x2 = −
2
5
, òîãäà
7
ïðè
a∈
a −1
a +1
1 1 2 3
3
18
ïðè
−1; ; ; ; ; 1 ; x = − ïðè à = –1; x = −
2
5
6 4 5 4
28
1
2
ïðè a = ; õ = –5 ïðè a = ; õ = –12 ïðè
x=−
5
4
5
7
x = − ïðè à = 1.
2
Îòâåò:
RS
T
ax + 4
,
UV
W
Óïðàæíåíèÿ
4. Äàéòå ðåøåíèþ çàäà÷è 2 ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
5. Ðåøåíèå çàäà÷è 2 íåìíîãî óïðîñòèòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü
çàìåíó õ = 1/u. Èñïûòàéòå åå.
ax − 2
=
x +1
.
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
x +1x-7 =ax-2ax +4,ax +4 ¹0, ax + 4 ¹ 0, x ¹ -1.
(2)
Óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
ea
2
j
b
2
g
− 1 x + 2 a + 3 x − 1 = 0.
2
Ïóñòü ñíà÷àëà a − 1 = 0 ⇔ a = ±1 . Êàê è ðàíüøå, ïîëó÷à1
1
åì, ÷òî x =
ïðè à = –1, x =
ïðè à = 1.
4
8
2
Ïðè a ≠ 1 èìååì
4
b
= a+3
g + ea
2
x1,2 =
F 1 I = 3 = − 18
GH 6 JK 1
5
−1
x = x1
x−7
D
Âñå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ à îòëè÷íû îò ±1 . Âû÷èñëèì äëÿ
íèõ çíà÷åíèÿ êîðíåé:
x1
 ñëåäóþùåé çàäà÷å êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ «ïëîõî» âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû, ÷òî ñîçäàåò íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè.
Çàäà÷à 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
ò.å.
1
3
+ 4 = 0, a =
a −1
4
õ+4=0
ax + 8
x+2
=
.
x −1
ax + 5
.
Ñîñòàâèì òàáëèöó:
x1 =
43
6. Ðåøèòå óðàâíåíèå
Çàäà÷à 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
ax + 3
x+6
.
=
x+4
ax + 1
Ðåøåíèå. Ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê
ñèñòåìå
ea
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
2
j e
j
2
− 1 = 2 a + 3a + 4 > 0 ,
b
g
2
− a + 3 ± 2a + 6 a + 8
.
(3)
2
a −1
(Êàòàñòðîôà! Åñëè ïîäñòàâèòü ýòè êîðíè â ñîîòíîøåíèå
àõ + 4 = 0, òî ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óðàâíåíèå 4-é
ñòåïåíè. Ê ñ÷àñòüþ, åñòü äðóãîé ìåòîä îòáîðà êîðíåé.)
Ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ õ, íå âõîäÿùèå â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, â óðàâíåíèå (2) è îïðåäåëèì, ðåøàÿ ïîëó÷èâøååñÿ
óðàâíåíèå, êàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à èì ñîîòâåòñòâóþò.
4
Ïóñòü àõ + 4 = 0. Çàìåòèì, ÷òî a ≠ 0 è x = − . Ïîäñòàâëÿÿ
a
4
4
â (2), èìååì − + 1 − − 7 = 0 .
a
a
4
Åñëè − + 1 = 0 , òî à = 4; îòáðîñûâàåì êîðåíü õ = –1.
a
4
4
Åñëè − − 7 = 0 , òî a = − ; îòáðàñûâàåì êîðåíü x = 7.
a
7
Åñëè õ + 1 = 0, òî õ = –1. Ïîäñòàâëÿÿ â (2), ïîëó÷èì, ÷òî
ïðè à = –2 è ïðè à = 4 íóæíî îòáðîñèòü êîðåíü õ = –1.
4
Èòàê, ïðè à = –2; − ; 4 îäèí èç êîðíåé, äàâàåìûõ
7
ôîðìóëîé (3), áóäåò îòáðîøåí, íî äðóãîé, âîçìîæíî, áóäåò
îñòàâëåí. Ýòè êîðíè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (3), íî
ïðîùå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Âèåòà, òàê êàê îäèí èç
êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ – îòáðàñûâàåìûé – íàì óæå
1
1
⋅ .
èçâåñòåí: x2 =
2
1 − a x1
1
1
1
⋅
= .
Ïðè à = –2 ïîëó÷èì x1 = −1 , x2 =
1 − 4 −1 3
7
4
.
Ïðè a = − ïîëó÷èì x1 = 7 , x2 =
33
7
1
.
Ïðè à = 4 ïîëó÷èì x1 = −1 , x2 =
15
FG
H
Îòâåò:
x1,2 =
IJ FG
KH
b
IJ
K
g
2
− a + 3 ± 2a + 6 a + 8
2
a −1
ïðè
a∈
44
ÊÂÀÍT 2000/¹5
RS
T
UV
W
1
1 1 2 3
1
ïðè à = –2; x =
ïðè à =
; ; ; ;1 ; x =
3
4
6 4 5 4
1
7
4
1
=–1; x =
ïðè a = − ; x = ïðè à = 1; x =
ïðè à = 4.
8
33
7
15
Ïðèåì, èñïîëüçîâàííûé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 3, î÷åíü
âàæåí è íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â äðóãèõ çàäà÷àõ ñ
ïàðàìåòðàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ðåøèòü è ïåðâûå äâå
çàäà÷è (ïîïðîáóéòå!). Ïîïûòàåìñÿ åãî îñìûñëèòü.
Äàíî óðàâíåíèå f x, a = 0 è îãðàíè÷åíèå g x, a ≠ 0 . Ñïîñîá, êîòîðûì ìû ðåøèëè ïåðâûå äâå çàäà÷è, ñîñòîèò â
ñëåäóþùåì. Íàõîäèì äëÿ óðàâíåíèÿ f x, a = 0 êîðíè õ =
= p1 a ,...,x = pn a . Ðåøàåì óðàâíåíèÿ g pi a , a = 0 è
íàõîäèì ìíîæåñòâî Ai «çàïðåùåííûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
à. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ êîðíåé íà çàïðåùåííûõ
çíà÷åíèÿõ äëÿ îäíîãî èç êîðíåé (åñëè òîëüêî ýòè çíà÷åíèÿ
íå ÿâëÿþòñÿ çàïðåùåííûìè è äëÿ äðóãèõ êîðíåé). È òàê
ïåðåáèðàåì âñå êîðíè.
À âîò ñïîñîá, êîòîðûì ìû ðåøèëè çàäà÷ó 3. Ðåøàåì
óðàâíåíèå g x, a = 0 è íàõîäèì åãî êîðíè õ = rk a . Ðåøàåì
óðàâíåíèå f rk a , a = 0 è íàõîäèì çíà÷åíèÿ akm . Äëÿ
óðàâíåíèÿ f x, akm = 0 êîðåíü õ = rk akm ÿâëÿåòñÿ çàïðåùåííûì, òàê êàê îí îáðàùàåò â íîëü ôóíêöèþ g x, a .
Íóæíî íàéòè îñòàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ f x, akm = 0 è
âûÿñíèòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè îíè çàïðåùåííûìè.
Îáà ñïîñîáà îïèñàíû íàìè áåãëî è íå ñëèøêîì òî÷íî.
Ïîñòðîéòå ñàìîñòîÿòåëüíî àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f x, a = 0 ñ îãðàíè÷åíèÿìè g m x, a ≠ 0 ,
ãäå f è gm – ìíîãî÷ëåíû.
 ñëåäóþùåé çàäà÷å ìû òîëüêî íàìåòèì ðåøåíèå, îñòàâëÿÿ
çàïîëíåíèå ïðîáåëîâ ÷èòàòåëþ.
Çàäà÷à 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
∈ 4 \ −1;
b g
bg
b g
b g
c bg h
bg
b g
c bg h
c h
c h
bg
c
h
b g
b g
b g
ax + 3
x +1
=
x+3
ax + 2
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå
a
2
2
- 1 x2 + 5a - 4 x + 3 = 0, x ¹ -1, x ¹ - .
a
(4)
2
Ïðè a − 1 ≠ 0 íàõîäèì
b
gb
FG 14 ; 2IJ , ðåøåíèé íåò.
H 13 K
Äàëåå, D = 0 ïðè à =
=−
13
3
14
13
è ïðè à = 2. Åñëè à =
14
13
, òî õ =
; åñëè à = 2, òî õ = –1 è ðåøåíèé ó èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ
FG
H
IJ b g
K
5 a − 4 ± b a − 2gb13 a − 14 g
=
.
2e1 − a j
íåò.
14
7 2; ∞ è
Ïðè D > 0 èìååì a ∈ −∞;
13
x1,2
Ïîäñòàâëÿÿ x = −
2
2
è õ = –1 â óðàâíåíèå (4), âûÿñíèì, ÷òî
a
2
–
ïðè à = 2; 3 íóæíî îòáðîñèòü êîðåíü õ = –1, à ïðè à =
3
êîðåíü õ = –3. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Âèåòà, ïîëó÷àåì, ÷òî õ =
3
9
2
ïðè à = , ïðè à = 2 ðåøåíèé íåò, õ = − ïðè à = 3.
=
8
5
3
5 a − 4 ± a − 2 13 a − 14
Îòâåò: x1,2 =
ïðè
2
2 1− a
b
e
gb
j
g
à=
3
à = 3.
; õ = – 3 ïðè à = 1; õ = −
3
Óïðàæíåíèå 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå
ïðè à =
13
;õ= −
8
ïðè
ax + 2
x +1
=
.
x−5
ax − 1
Çàäà÷à 5. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê M a, b , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå
b g
2a − b + 1
x
–
2a + b − 1
x+2
+
2b
x +1
=0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Èñõîäíîå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå
x2 + 2 a + 1 x + 2a - b + 1 = 0, x ¹ -2;-1;0
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè, êîãäà óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå.
Ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü: D = 0, íî x ≠ −2 ; –1; 0. Òîãäà b =
2
2
= −a , õ = –à – 1. Èç ãðàôèêà ïàðàáîëû b = −a íóæíî
èñêëþ÷èòü òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ –à – 1 = –2, ò.å. à = 1; –à –
– 1 = –1, ò.å. à = 0, è –à – 1 = 0, ò.å. à = –1.
Âòîðàÿ âîçìîæíîñòü: êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ, íî îäèí èç íèõ ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ñèñòåìû, à äðóãîé íåò. Ïîäñòàâèì çàïðåùåííûå êîðíè â
êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì: åñëè õ = 0, òî b = 2à + 1; åñëè
õ = –1, òî b = 0; åñëè õ = –2, òî b = –2à + 1.
Ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ
>
òðåõ ïðÿìûõ, èç êîòîðûõ íàäî èñêëþ÷èòü
òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó
÷àþ, êîãäà îáà êîðíÿ
êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
`
íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ýòî
=
`
`
1
1
;0
òî÷êè − ; 0 ,
2
2
`
è 0; 1 .
FG
b gH
g
2
D = 13a − 40a + 28 = 13a − 14 a − 2 .
Ïðè D < 0, ò.å. a ∈
IJ 7 b2; 3g 7 b3; ∞g .
g FGH 23 IJK 7 FGH 23 ;1IJK 7 FGH1; 14
13 K
1
9
F 14 I
ïðè à = –1; õ =
ïðè
Ïðè a ∈ G ; 2J ðåøåíèé íåò; õ =
3
5
H
K
13
2
14
13
3
b
a ∈ −∞; − 1 7 −1;
IJ FG IJ
K H K
Îòâåò èçîáðàæåí íà
ðèñóíêå 2.
`
Ðèñ. 2
Óïðàæíåíèå 8. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê M a, b , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå
b g
2−b
a
b
=0
−
+
x x +1 x −1
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.