Статья №7. Гидростатика.

Дистанционная подготовка Abitu.ru
ФИЗИКА
Статья №7. Гидростатика.
Теоретический материал.
В этой статье мы рассмотрим условия равновесия тел, погружённых в жидкость.
Известно, что на всякое тело, погружённое в жидкость, действует сила Архимеда FA – равнодействующая всех сил
давления со стороны этой жидкости. Если жидкость неподвижна, и погружённое в жидкость тело не касается ни
дна, ни стенок сосуда, в котором находится жидкость, то сила Архимеда FA направлена вертикально вверх и
определяется соотношением вида:
FA   ж  g Vпог ,
где Vпог – объём части тела, погружённой в жидкость,  ж – плотность этой жидкости.
Большинство задач по гидростатике сводятся к записи первого условия равновесия тела.
Рассмотрим примеры решения задач.
Примеры решения задач.
Пример 1. [МФТИ 2009]
Пустая стеклянная бутылка плавает в воде, погрузившись на 3 4 своего объёма. Какой минимальный объём воды
нужно долить в бутылку, чтобы она утонула? Плотность стекла  C  2,5 г / см3 , воды  В  1 г / см3 , вместимость
бутылки V  0,7 л .
Решение:
Пусть VC - объём стекла. На бутылку действуют сила Архимеда FA1 и
сила тяжести mС  g , при этом FA1   В  g 
3
VC  V  , а mC  C VC .
4
Бутылка находится в равновесии, значит, выполняется первое условие
равновесия, т.е. FA1  mC  g , откуда  В 
3
VC  V   C VC
4
(1).
Пусть VВ – минимальный объём воды, который нужно долить в
бутылку, чтобы она утонула. Предположим, что в бутылку долили
объём воды, близкий к VВ , тогда бутылка будет полностью погружена в
воду. На бутылку будут действовать сила Архимеда FA2 и сила тяжести
 mС  mВ   g , при этом FA2  В  g  VC  V  , а mВ   В VВ . Бутылка
FA2   mС  mВ   g , откуда  В  VC  V   C VC   В VВ
(2).
Решая систему уравнений (1) и (2), получим, что VВ 
Ответ:
VВ 
C
V  0, 25 л .
4  C  3 В
C
V  0, 25 л .
4  C  3 В
находится в равновесии, значит,
Пример 2. [МФТИ 2005]
Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с водой (рис.1). Над поверхностью
воды находится некоторый объём льда. Нить натянута с силой T  1 Н . На сколько и как
2
изменится уровень воды в сосуде, если лёд растает? Площадь дна сосуда S  400 см ,
3
плотность воды   1 г / см .
рис.1
Решение:
Пусть m – масса льда, V1 – объём части льда, погружённой в воду, Vводы – первоначальный объём воды в сосуде
(до таяния льда), V2 – объём воды, образовавшийся в результате таяния льда. На кусок льда действуют сила
тяжести mg , направленная вниз, сила Архимеда   g V1 , направленная вверх, сила натяжения нити T ,
направленная вниз. Так как кусок льда неподвижен, сумма всех сил, действующих на него, равна нулевому
вектору. Таким образом, mg  T    g V1 , откуда V1 
изменится на величину H 
Ответ:
mg  T
m
. Заметим, что V2  . Уровень воды в сосуде
g

Vводы  V2   Vводы  V1   
S
S
T
T
 0 , т.е. H  
 2,5 мм .
 gS
 gS
уровень воды в сосуде понизится на величину
T
 2,5 мм .
 gS
Пример 3. [МФТИ 1995]
В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски, так что он стал плавать, а уровень воды в ведре
изменился на h  1,5 см . Затем на доску положили пластину льда так, что доска погрузилась в воду полностью, а
пластина льда – на k  0, 6 своего объёма. После того как лёд растаял, объём воды в ведре увеличился на
VВ  0,9 литра. Найти плотность дерева  . Плотность воды  В  1 г / см3 , льда  Л  0,9 г / см3 . Площадь
внутреннего сечения ведра S  200 см2 .
Решение:
Пусть m и V – масса и объём доски, m л и V л – масса и объём льда.
1) Условие плавания (равновесия) доски перед тем, как неё была положена пластина льда:
mg  FA1   В  g   S  h  , следовательно, масса доски m   В  S  h
(1).
2) После того как лёд растаял, объём воды в ведре увеличился на VВ , следовательно,
Vл 
m л  ВV В

л
л
(2), т.к. масса талой воды равна массе льда.
3) На доску положили пластину льда.
Доска с пластиной льда находится в равновесии, т.е. FA 2   mл  m   g , значит,
 В  g   kVл  V    mл  m   g , откуда  В   kVл  V    л Vл  m
(1) и (2) в (3) и выражая  , получаем, что  
Ответ:

(3).
Подставляя
 л  В S h
г
 0,5 3 .
 л S h  VВ   л  k  В 
см
 л  В Sh
г
 0,5 3 .
 л Sh  VВ  л  k В 
см
Пример 4. [МФТИ 1996]
В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны) плавает деревянная дощечка. Если на неё сверху
положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву и уровень воды в сосуде увеличится
на h . На сколько изменится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку
бросить на дно сосуда? Плотность стекла  С , плотность воды  В .
Решение:
После того, как на дощечку положили стеклянную пластинку, сила Архимеда, действующая на дощечку,
увеличилась на величину FA  mg   В  g  S h , где m – масса пластинки, а S – площадь поперечного сечения
сосуда. Отсюда масса пластинки равна m   В  S h , а объём пластинки равен V 
образом, уровень воды изменится на величину H 
Ответ:
m В

 S h . Таким
C С
V В

 h  0 .
S С
уровень воды в сосуде поднимется на величину
В
 h .
C
Домашнее задание.
Задача 1. Какая часть айсберга от своего объёма находится над поверхностью воды, если плотность льда равна
0,8 г / см 3 , а плотность воды равна 1 г / см 3 ?
Задача 2. [МФТИ 2009] Пустая стеклянная бутылка плавает в воде, погрузившись на 2 3 своего объёма. Найти
отношение объёма воздуха в бутылке к объёму стекла. Плотность стекла в 2,5 раза больше плотности воды.
Задача 3. [МФТИ 1996] В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опустили кусок льда, в
который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на h1  11 мм , а лёд стал
плавать, целиком погрузившись в воду. Насколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния всего льда?
Плотности стекла  C  2,0 г / см3 , воды  В  1 г / см3 , льда  Л  0,9 г / см3 .
Задача 4. [МФТИ 2000] В цилиндрическом стакане с водой на нити висит проволока,
вмороженная в кусок льда. Лёд с проволокой целиком погружён в воду и не касается стенок и
дна стакана (рис.2). После того как лёд растаял, проволока осталась висеть на нити, целиком
погружённая в воду. Уровень воды в стакане за время таяния льда уменьшился на H
 H  0 , а сила натяжения нити увеличилась в k
раз. Найти объём проволоки. Плотность
воды В , проволоки  , площадь внутреннего сечения стакана S . Нить считать невесомой и
рис.2
нерастяжимой.
21 октября 2009 г.
Межвузовский центр воспитания и развития
талантливой молодежи в области
естественно-математических наук
"Физтех-центр"
Составители: Пенкин М.А., Шимко О.В., Шувалов Н.Д.
E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com
Сайт: www.abitu.ru