Теория многократного наложения больших деформаций и ее
advertisement
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 156–178 Механика УДК 539.3, 539.4, 519.6 Теория многократного наложения больших деформаций и ее промышленная реализация в полнофункциональной САЕ для прочностного инженерного анализа ∗ В. А. Левин Аннотация. Рассматриваются результаты компьютерного моделирования, полученные при программной реализации теории многократного наложения больших деформаций. Приведены основные уравнения этой теории. Рассмотрены примеры механических постановок и некоторые результаты решения некоторых методически наглядных задач: задачи о «принудительном» образовании полости в нагруженном теле, задачи о вязком росте дефекта (трещины ненулевого раскрытия), задачи об образовании включения в нагруженном теле, задачи о развитии дефекта с учетом возникновения зон предразрушения, задачи о твердотельном фазовом переходе. Ключевые слова: многократное наложение больших деформаций, нелинейная теория упругости, математическое моделирование, метод конечных элементов, твердотельные фазовые переходы, задача Гадолина, концентраторы напряжений, пластичность, прочность, разрушение. В статье рассматриваются результаты компьютерного моделирования, полученные при программной реализации теории многократного наложения больших деформаций [21, 22, 24, 48, 49]. Прежде чем перейти к основной части статьи по рекомендации редакционной коллегии приведу наиболее яркие воспоминания о Л.А. Толоконникове. По определению Л.А. Толоконникова, данному им в 1990 г. на защите моей докторской диссертации, я являюсь его «первым научным внуком — * Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты № 11-0801284-а, № 11-01-12043-офи-м), фонда «Сколково», Минобрнауки РФ, ГК № 07.524.11.4019 в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы», корпорации Nvidia. Теория многократного наложения больших деформаций 157 доктором физико-математических наук» 1 . Отмечу, что теперь есть (с 2002 г.) и «первый научный правнук — д.ф.-м.н.» 2 . Наиболее сильное впечатление от общения с Л.А. Толоконниковым — это первая личная встреча и первый отчет о выполнении задания по индивидуальному плану. Мне первокурснику (май 1971 г.) для поездки в Чехословакию утверждали характеристику. Тогда это делалось на заседании комитета комсомола факультета. Присутствовал Леонид Александрович, когда выяснилось, что сессия уже сдана, собираюсь вожатым в пионерский лагерь, он поинтересовался, что знаю сверх программы. Выяснив, что математический анализ знаю на уровне двухтомника Г.М. Фихтенгольца, читаю «Теорию упругости» В.И. Блоха [4] (по совету Г.С. Тарасьева), Леонид Александрович велел зайти завтра утром к нему в деканат. Пришел в 9 утра, оказалось, что утро наступает намного раньше. Потом пришел еще раз, получил, как сейчас понимаю, объемное, очень методически продуманное задание на лето и на год, соответствующее программе МГУ. Робкое предложение сократить обычную нагрузку, было отметено («знать инженерную часть обязательно»; «с Г.С. Тарасьевым можешь продолжать работать»). Меня поразила память Леонида Александровича, разработанность задания вплоть до списка литературы (включавшего в себя и монографию В.В. Новожилова [41]). Первый отчет был осенью. Леониду Александровичу было удобней разговаривать на кафедре. И мимо охраны без пропуска (а это было для зеленого второкурсника очень сильное впечатление) он провел меня на кафедру. В свой кабинет. Сел на стол, а потом полуприлег на него, облокотившись, выслушал, поторапливая, мои результаты, дал конкретное задание и пошел на кафедру играть «блиц» в шахматы. Там я увидел его впервые за шахматами с Г.В. Бригадировым (в то время студенты его за глаза звали «Гешка») и В.А. Ростовцевым («Борода»). Решать конкретную задачу Леонид Александрович (через год) разрешил на кафедральной ЭВМ «Наири». Я тогда уже имел почти годовой опыт работы на ВЦ института на «Мире» и «Минске», обычно поздно вечером или ночью 3 работая «при поддержке» В.В. Глаголева. Решал сложную и очень объемную по вычислениям задачу о нелинейно-упругой сфере в поле массовой силы при конечных деформациях, поставленную Г.С. Тарасьевым и частично вошедшую в его докторскую. 1 Первым учеником доктором физико-математических наук у Л.А. Толоконникова был мой научный консультант Г.С. Тарасьев. Следует отметить, что Л.И. Седов, чем автор гордится, также относил автора к своей научной школе (и очень активно поддерживал развиваемую теорию наложения больших деформаций на всех этапах). 2 Ныне зав. кафедрой Тверского госуниверситета проф. К.М. Зингерман. 3 Поэтому, как и некоторые студенты, на 1-й паре по высшей математике во 2-м лектории спал, лежа на задних скамейках. 158 В. А. Левин У «Наири» была очень шумная печать, которая очень сильно мешала игре в «блиц». И по прошествии времени меня поразило, что за полгода возни с задачей мне по поводу шума не сделали ни одного замечания. Вспоминаю и еженедельные научные семинары Леонида Александровича, его фразу, ставшей ключевой для меня: «Я занимаюсь этим РЕМЕСЛОМ более 30 лет, а значит, начал понимать суть проблемы» [46]. Первый доклад на семинаре сделал еще студентом, его результаты стали первой самостоятельной статьей [20]. Поражало умение и желание Леонида Александровича привязывать практически все результаты докладов к инженерной практике. Такие разные ученые, с разным подходом к задачам механики Л.И. Седов и Л.А. Толоконников всегда говорили, что любое исследование в механике должно завершаться решением нетривиальной задачи, практическим результатом. Именно поэтому последние годы научная группа при кафедре «Вычислительной механики» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 1 [14], а затем и организованная на ее основе при поддержке научного парка МГУ инжиниринговая компания Фидесис развивает САЕ нового поколения для прочностного инженерного анализа 2 [29, 30, 52, 55-62]. Разработка была поддержана Правительством Москвы, Фондом Сколково. Над проектом работает 35 программистов-алгоритмистов и группа профессоров. В числе новых моделей, реализуемых в САЕ (в данный момент уже на уровне расчетного ядра), вошли модели теории многократного наложения больших деформаций [24-27]. Эта теория к настоящему времени достаточно полно и подробно разработана [40] и позволила исследовать новые классы задач [24-27]. В частности, задач, в которых при конечных деформациях в процессе нагружения непрерывно или скачкообразно изменяются границы и граничные условия. Например, изменяются внешние воздействия, масса тела, его форма, свойства части материала тела [27, 40]. На рис. 1 представлены (укрупненно) некоторые модели и соответствующие им классы задач, которые стало возможно решать с ее использованием. Не перегружая текст статьи выкладками, приведем (1) основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций, давая ссылки на источники для каждого рассматриваемого случая; (2) постановки ключевых методически важных задач, ссылками на работы, где приведены их решения; (3) результаты решения двух задач; 1 Александр Емельяненков. Сопромат в одном пакете. «Российская газета» — Федеральный выпуск № 5150 (71). http://www.rg.ru/2010/04/06/mehmat.html. 2 Компания выпустила третью промышленную версию на двух языках http://www.cae-fidesys.com/ru, запустила (первой в мире) облачный сервис на 5 языках http://online.cae-fidesys.com/ru/welcome. Теория многократного наложения больших деформаций 159 160 В. А. Левин (4) подходы к решению задач пластичности и материалов, проектируемых как конструкции. Для простоты изложения приведем основные соотношения теории многократного наложения для нелинейно-упругого тела. Система уравнений равновесия и граничных условий имеет вид [24-27, 37, 40, 47] n n n n n ∇ · Σ0,m − Σ0,m · ∇ ln (1 + ∆0,m ) + Σ0,m · ∇Ψn,m · Ψ−1 n,m − (1) ³n ´ n ∗ − ∇ · Ψ∗−1 n,m · Ψn,m · Σ0,m = 0, n n (m) n (2) N · Σ0,m = P n , N n (m) Pn N Здесь в (1) ¯ ¯ ¯ n¯ n ¯dτk ¯ (n) = (1 + ∆0,n ) ¯¯ m ¯¯ P n · Ψ−1 n,m . ¯dτk ¯ N n Σ0,m = (1 + ∆0,m ) Ψ∗n,m · σ0,m · Ψn,m , (3) σ0,m — тензор истинных полных для m-го состояния напряжений (при m = 1 — тензор Коши); σ0,1 — тензор обобщенных полных для m-го состояния напряжений, отнесенный к координатному базису n-го состояния; σ0,m — относительное изменение объема при переходе тела из начального в m-ое состояние. Ψn,m = Ψ−1 0,m · Ψ0,m — соответствующий аффинор деформаций [24, 37] (при отсутствии наложения деформаций это градиент деформаций), m n n Ψn,m = ei ei ; ei = n ∂r n ; r ∂ξ i — радиус-вектор частицы в n-ом состоянии; ξ i — n n−1 лагранжевы координаты частицы; r − r = un , un — вектор перемещений, характеризующий перемещение из предыдущего (n-1)-го состояния в последующее n-ое состояние. Причем à ! p p X X p q ∇un , ∇un = I − (4) Ψq,p = I + n=q+1 n=q+1 p p i ∇=e ∂ . ∂ξ i В (1)–(4) и далее знак над символом означает номер состояния, в котором n n задана или к которому отнесена данная величина (кроме r и ǫ ). В (2) n n ¯¯ n ¯¯ n (m) P n — вектор истинных напряжений на площадке dτk = N ¯τk ¯. Знак «*» N Теория многократного наложения больших деформаций 161 используется для обозначения операции транспонирования. При расчете примеров будет использован сжимаемый материал Мурнагана [24] ¶ µ 0 ¶ ¶2 µ µ 0 0 0 0 2 Σ0,n = λ E0,n · ·I + 2GE0,n + 3C3 E0,n · ·I I + C4 E0,n · ·I I+ (5) +2C4 µ 0 E0,n · ·I ¶ 0 E0,n µ ¶2 0 + 3C5 E0,n , 0 1 (Ψ0,n · Ψ∗0.n − I) 2 и несжимаемый Трелоара, Муни. (6) E0,n = m В соотношениях (5), (6) общем случае [24] Em,n — тензор деформаций, описывающий изменение деформаций при переходе из m-го в n-ое состояние и отнесенный к координатному базису n-го состояния (отметим, что при m > m > n меняется порядок нижних индексов в записи Em,n , входящем в первое слагаемое). γ Eq,p = ¢ 1¡ Ψγ,p · Ψ∗γ,p − Ψγ,p · Ψ∗γ,p , 2 1 Ψγ,p = Ψ−1 p,γ (7) при p = γ = 1, q = 0 E0,1 — тензор Альманси. Приведем теперь здесь кратко примеры механических постановок некоторых методически наглядных задач в статической постановке (в [27, 40 т. 1, т. 2] приведены постановки и решения данных задач с учетом динамических эффектов): (1) задача о «принудительном» образовании полости в нагруженном теле. Требуется, чтобы форма границы полости, образованной в нагруженном теле, стала заданной в конечном состоянии; (2) задача о вязком росте дефекта (трещины не нулевого раскрытия); (3) задача об образовании включения в нагруженном теле (в том числе и с учетом последующего снятия внешних нагрузок); (4) задача о развитии дефекта (трещины не нулевого раскрытия) с учетом возникновения зон предразрушения; (5) задача о твердотельном фазовом переходе (связанная задача). 1. Задача о «принудительном» образовании полости в нагруженном теле. Требуется, чтобы форма границы полости, образованной в нагруженном теле, стала заданной в конечном состоянии [22, 24]. Постановка задачи. Пусть в бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли напряжения и соответствующие им большие деформации. Тело перешло в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле мысленно намечается замкнутая поверхность (будущая граница полости). Часть 162 В. А. Левин тела, ограниченная этой поверхностью, удаляется (причем под удалением, например, можно понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела), а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по этой поверхности. Это не изменяет напряженно- деформированное состояние оставшейся части тела. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» уменьшаются до нуля. В данном случае под термином «мгновенно» надо понимать, что приложение (снятие) нагрузки не приводит к деформированию тела в динамическом режиме (в [13, 40 т. 1, т. 2] рассмотрены задачи и с учетом динамических эффектов). В результате в окрестности граничной поверхности возникают большие деформации, которые накладываются на большие начальные деформации, уже имеющиеся в теле (то есть в теле происходит перераспределение больших деформаций). Меняется и форма образованной граничной поверхности. Тело переходит в следующее в данном случае конечное состояние, а граница полости принимает заранее заданную форму. Результатом решения данной задачи является и определение формы полости, образуемой в промежуточном состоянии. 2. Задача о вязком росте дефекта (трещин не нулевого раскрытия). Модель вязкого роста трещины предполагает последовательное поглощение основной трещиной вторичных трещин (или микропор), как уже существующих в теле, так и раскрывающихся в процессе нагружения (деформирования) [27, 35, 40 т. 1]. Приведем вариант постановки задачи о вязком росте трещины, когда основная трещина (повреждение) привносится в предварительно нагруженное тело, в котором есть микроповреждения, например, поры, включения. Постановка задачи о принудительном образовании основной трещины не нулевого раскрытия частично совпадает с задачей № 1 (возможны два варианта: форма дефекта известна или в момент образования или после раскрытия). Далее проводится проверка выполнения, выбранного критерия прочности [23, 27, 38]. Если соответствующая критериальная величина превышена, рассматривается задача о «принудительном» переходе тела в третье промежуточное состояние из-за принудительного изменения границ и граничных условий. Например, возможно «принудительное» изменение формы основной трещины (привнесенного повреждения) или вторичной трещины (имеющегося в теле микроповреждения). Обычно превышение критериальной величины происходит вблизи вершины привнесенного дефекта или одного из ранее имеющихся в теле повреждений или включений, поэтому обычно моделируем «принудительный» рост соответствующей трещины. Если критериальная величина была снова превышена, возможно, в другой части тела, то снова рассматривается задача о «принудительном» Теория многократного наложения больших деформаций 163 переходе тела в следующее четвертое промежуточное состояние из-за принудительного изменения границ и граничных условий. Этот процесс может продолжаться, например, до разрыва перемычки между трещинами, а может остановиться на том или ином этапе роста трещин. Следует отметить, что в подобных моделях описание развития дефекта и разрыва перемычек зависит от задания критерия и задания в критерии: критериальной величины, формы трещины в момент ее «принудительного» роста, формы слившихся после разрыва перемычки трещин, и особенно от формы вершины новой трещины. Задача может быть усложнена практически интересным вариантом, когда микроповреждения (вторичные трещины) возникают в процессе развития основной трещины. 3. Задача об образовании включения в нагруженном теле (в том числе и с учетом последующего снятия внешних нагрузок). Модель учета собственных деформаций включения. Укрупненная постановка задачи об образовании включения следующая. Для простоты изложения приведем постановку для нелинейно-упругого материала. Пусть в теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие начальные [24] статические деформации и напряжения. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается замкнутая поверхность (будущая граница включения). Часть напряженного тела, ограниченная намеченной поверхностью, мысленно удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по этой поверхности. Напомним, что это действие не изменит напряженно-деформированное состояние оставшейся части тела. Затем полость, образованная удалением части тела, заполняется упругим материалом с другими свойствами (материалом включения). При этом считается, что к границе включения приложены силы. Рассматриваются два основных варианта их приложения. Первый вариант: прикладываются силы, обуславливающие наличие собственных деформаций, например деформацию включения, равную начальной деформации удаленной части тела. Отметим, что включение принимает форму удаленной части тела после приложения этих сил. Второй вариант: данные силы считаются равными нулю, и вставляемое включение изначально не деформировано. Далее оставшаяся часть исходного тела (матрица) и включение «склеиваются» с сохранением действующих на них сил (термин «склеивание» понимается в смысле выполнения граничных условий, в частности, это означает, что при дальнейшем деформировании тела перемещения граничных точек матрицы будут равны перемещениям соответствующих граничных точек включения). Затем в каждой точке границы между матрицей и включением сумма сил, приложенных к матрице, и сил, приложенных к включению, квазистатически (например, изотермически) уменьшается до нуля. Это 164 В. А. Левин вызывает возникновение больших (по крайней мере, в матрице в окрестности включения и в самом включении) деформаций и напряжений, которые накладываются на большие уже имеющиеся (начальные) деформации и напряжения (то есть происходит перераспределение больших деформаций в нагруженном теле). Меняется форма границы между матрицей и включением. Тело (матрица и включение) переходит в конечное состояние. Отметим, что для первого варианта модели образования включения напряжения во включении после его деформирования определяются полными деформациями в нем. Эти полные деформации представляют собой суперпозицию (физическое наложение) начальных деформаций удаленной части тела и дополнительных деформаций, вызванных образованием включения. Если начальные деформации включения соответствовали начальным деформациям тела, то после снятия нагрузок тело (матрица и включение) переходит в исходное недеформированное состояние, остаточных напряжений в теле не возникает. Этот вариант модели, может быть использован для механического моделирования твердотельных фазовых переходов второго рода, а также для того, чтобы описать образование в теле области со случайно распределенными микропорами, размеры которых много меньше размеров этой области. Для второго варианта модели образования включения напряжения во включении после его деформирования определяются дополнительными деформациями в нем. После снятия нагрузок в этом случае тело не возвращается в исходное недеформированное состояние, в нем возникают остаточные деформации и напряжения. Этот вариант модели, может быть использован для механического моделирования твердотельных фазовых переходов первого рода. В этом случае в материале при фазовом переходе не только меняются модули упругости, но и возникают собственные деформации, которые в данном варианте модели равны начальным деформациям. Отметим, что, для описания механического поведения полимеров при их частичной кристаллизации второй вариант модели представляется более предпочтительным, чем первый вариант. Это связано с тем, что при кристаллизации полимеров их модули упругости возрастают во много раз, а деформация меняется незначительно. Если использовать первый вариант модели, то при этом должны во много раз увеличиться напряжения. Однако в литературе [27, 45] нет упоминаний о том, что при кристаллизации деформированных полимеров напряжения в них значительно возрастают. Рассмотренная модель легко может быть обобщена на случай одновременного или последовательного образования нескольких включений. Отметим, что в случае последовательного образования близкорасположенных включений имеет место многократное наложение (перераспределение) больших деформаций. 4. Задача о развитии дефекта (трещины не нулевого раскрытия) с учетом возникновения зон предразрушения. Теория многократного наложения больших деформаций 165 В рассмотрение вводится понятие зона предразрушения. Зона предразрушения — это часть тела, в которой под воздействием внешних нагрузок приложенных к телу происходит изменение свойств материала тела. Граница зоны предразрушения определяются из условия выполнения критерия прочности. Вероятно [8, 23, 33, 36, 57], наиболее приемлемыми в этом случае являются нелокальные критерии прочности. Отметим, что физический смысл использования нелокального критерия заключается в учете, что свойства тела не могут измениться под воздействием механического поля (внешнего воздействия) в одной точке, поскольку соседние точки неизбежно должны быть вовлечены в этот процесс. Это вовлечение растянуто как во времени, так и по пространству в силу неравномерности воздействия механического поля, в том числе и благодаря вязкоупругим процессам, происходящим в материале тела [1, 27, 50]. Для наглядности рассмотрим в качестве примера тело из нелинейноупругого материала, способного испытывать конечные деформации. Предлагается описывать изменение свойств материала тела в зоне предразрушения двумя способами. Первый — изменением констант, входящих в определяющие соотношения с (или без) изменения вида определяющих соотношений. Второй — ввести в рассмотрение в рамках механики деформируемого твердого тела учет изменения структуры материала в зоне предразрушения (например, микропоры, микроповреждения, микровключения, последовательно или одновременно возникающие в зоне предразрушения) и заменять материал зоны предразрушения на каждом этапе изменения ее свойств на эффективный [34]. Механическая постановка задачи может быть следующая [24, 27]. Пусть в теле в процессе нагружения возникла область, где в соответствии с критерием должна возникнуть зона предразрушения. Мысленно удаляем эту область, а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по этой поверхности. Такое действие не изменяет напряженно-деформированное состояние оставшейся части тела. Затем полость, образованную удалением части тела, заполняем упругим материалом с другими свойствами. Считается, что полученное включение (моделирующее зону предразрушения) полностью повторяет форму удаленной части тела и к его поверхности приложены силы. Далее силы, действующие как по границе тела, образованной удалением его части, так и по границе зоны предразрушения квазистатически уменьшаются до нуля. Это вызывает возникновение дополнительных конечных деформаций и напряжений, которые накладываются на большие уже имеющиеся в теле и в зоне предразрушения деформации и напряжения. Изменяется и форма включения, что и определяет форму зоны предразрушения, возникшую в теле. Следуя терминологии теории многократного наложения больших деформаций, можно сказать, что тело переходит в следующее состояние [1]. 166 В. А. Левин Далее проводится проверка выполнения условий прочности. Если превышена соответствующая критериальная величина, то вышеуказанная процедура образования включения повторяется, но с изменением механических свойств материала включения, например модуля сдвига. Кроме того, одним из таких изменений свойств материала, может быть изменение его плотности. Ясно, что такой процесс может продолжиться до образования трещины («откола»), которая моделируется на последнем этапе образованием полости, удалением части тела. Возможно использование и иной модели образования и роста дефекта. Его наиболее простой вариант следующий: считать, что при выполнении некоторого нелокального критерия происходит образование полости (например, по изолинии определяемой комбинацией инвариантов тензора напряжений). Удаленная масса распределяется по берегам (вблизи берегов) образованного дефекта по принятому в критерии закону. Наиболее простой вариант – равномерно, до выбранного в критерии уровня напряжений (по изолинии) или пропорционально уровню напряжений, также до выбранного в критерии уровня напряжений (по изолинии). Происходит «наклеп» берегов. При этом возможно два варианта модели. Первый, когда снятие нагрузки уравновешивающей действие удаленной части тела происходит после «размазывания» массы удаленной части тела вблизи берегов нового концентратора напряжений И второй, после решения задачи об образования нового концентратора напряжений (дефекта). Естественно, что такую модель, также можно детализировать (усложнить) введением в нее зон предразрушения. 5. Модель фазового перехода под действием механических напряжений для кристаллических материалов, пригодная для моделирования образования устойчивых наноструктур (связанная задача). Используется феноменологическая теория Ландау–Гинзбурга [19]. Используется понятие параметра порядка, который характеризует атомарную конфигурацию в материале в процессе фазового перехода. В общем случае для описания состояния среды может использоваться несколько параметров порядка [28, 53]. Учитываются собственные деформации фаз, скрытая энергия фазового перехода, зависимость модулей упругости от параметров порядка, зависимость свободной энергии от градиентов параметров порядка. Подход ориентирован на моделирование фазовых переходов в сталях и материалах с памятью формы. Механическая постановка задачи может быть следующая. Пусть в нагруженное тело с конечными деформациями был привнесен (возник) «зародыш» новой фазы (параметр порядка соответствующий данной фазе в некоторой части тела перестал быть равен нулю). Причем возникновение зародыша подразумевает изменение напряженно деформированного состояния, как области «зародыша», так и всего тела. То есть произошло перераспределение конечных деформаций. Модель Теория многократного наложения больших деформаций 167 образования (возникновения) зародыша соответствует выше рассмотренной модели (вариант 1). Далее в теле может начаться фазовый переход, приводящий к последовательному (непрерывному) перераспределению конечных деформаций (и это перераспределение в данной модели в свою очередь является «физической движущей силой» фазового перехода). В данной модели учитывается, что возникновение флуктуации, в зависимости от напряженно-деформированного состояния тела, может привести к переходу тела в новое стационарное состояние с однородным или неоднородным фазовым состоянием или к возврату тела в исходное состояние (без флуктуации). Соотношения (1)–(7) дополняются эволюционными уравнениями для параметров порядка ηk : µp−1 ¶ p−1 ∂ηk = 2Λβ ∇ · ∇ ηk + ΛXk , k = 1, . . . , n, (8) ∂t ¯ ∂Ψ∗ ∂Ψ ¯ здесь Xk = P · Ψ∗e : ∂ηkt − ∂η ¯ 0 (k = 1, ..., n) — движущие силы фазового k Ee 0 перехода, P = Σ0,p · Ψ0,p — первый тензор напряжений Пиолы (для p-того состояния); Λ — кинетический коэффициент, характеризующий скорость фазового перехода; β — константа, характеризующая ширину размытой границы между фазами. В качестве примера, иллюстрирующего выявление качественных эффектов, при учете конечности деформаций, приведем задачу об изгибе пластины. Для расчетов был использован материал с двумя параметрами порядка. Основные фазы: аустенит (A) и две фазы мартенсита: M1 и M2 . Аустениту соответствуют значения η1 = η2 = 0, первой фазе мартенсита η1 = 1, η2 = 0, второй фазе мартенсита η1 = 0, η2 = 1. Использовались константы материала [53] для сплава NiAl. Модули упругости аустенита: λ0 = 144, µ0 = 74 (здесь и далее значения всех модулей упругости и нагрузок даны в ГПа, все величины размерности длины указаны в нанометрах). Модули упругости обеих фаз мартенсита одинаковы: λ1 = λ2 = 379, µ1 = µ2 = 134 [53]. Фазы мартенсита отличаются одна от другой только направлением собственных деформаций. Собственные деформации первой фазы мартенсита: Ψ11 = 1.215, Ψ22 = Ψ33 = 0.9222. Собственные деформации второй фазы мартенсита: Ψ11 = Ψ33 = 0.922, Ψ22 = 1.215. Значения остальных параметров: β = 2.59 · 10−10 Н, ∆Gθ = −0.315ГПа, A = 0.8ГПа, A = 5.32ГПа, B = 0, D = 0.5ГПа. Расчеты выполнялись для случая плоской деформации. Пластина прямоугольной формы со сторонами 1.7нм и 17нм жестко закреплена по левой стороне, как показано на рис. 2. Нагрузка на правой стороне σxx = −p, σxy = 0, на верхней стороне σyy = −q, σxy = 0 (рис. 2). Пластина находится в состоянии плоской деформации в плоскости рисунка. 168 В. А. Левин Рис. 1. β = 2.59 · 10−10 Н. Нагрузки: p = 2.5ГПа, q = 0.005ГПа Начальное распределение параметра порядка: в круговой области радиуса 0.25нм, центр которой расположен на горизонтальной оси пластины на расстоянии 0.5нм от правого края, η1 = η2 = 0.1. В остальной части пластины η1 = η2 = 0. Шаг по времени: τ = 2 · 10−5 нс. В линейном и нелинейном решениях (рис. 3–5) в процессе фазового перехода было достигнуто стационарное фазовое состояние. При этом в линейном решении η1 = 0 во всей пластине, а для η2 было достигнуто неравномерное распределение. Рис. 2. Линейное решение η2 7. Обобщение подхода (задачи) Гадолина для конечных деформаций. Одной из идей Гадолина при обобщении задачи Ламе было описание дискретного изменение формы и свойств тела путем прибавления к начальной ранее напряженной его части последующей напряженной [9, 15]. В качестве иллюстрации рассмотрена задача о больших деформациях кручения и растяжения-сжатия составного кругового цилиндра из неогуковского материала. Цилиндр содержит центральное круговое цилиндрическое включение, которое предварительно скручено и растянуто (или сжато) вдоль оси и скреплено с ненапряженным внешним полым цилиндром 1 . 1 Результаты получены совместно с проф. Л.М. Зубовым и проф. К.М. Зингерманом. Теория многократного наложения больших деформаций 169 Рис. 3. Нелинейное решение η1 Рис. 4. Нелинейное решение η2 Начальная (предварительная) деформация включения представляет собой осевое растяжение-сжатие и кручение и задается отображением r = r(ρ), ϕ = θ + Ψ0 ζ, z = λ0 ζ, здесь ρ, θ, ζ — цилиндрические координаты в естественном (недеформированном) состоянии кругового цилиндрического включения, а r, ϕ, z — цилиндрические координаты точек этого цилиндра в промежуточном состоянии; Ψ0 = const, λ0 = const. Цилиндрический стержень, подвергнутый описанной выше начальной деформации, вставляется в полый круговой цилиндр, находящийся в естественном, ненапряженном состоянии. После скрепления центрального включения с внешним цилиндром составной цилиндр подвергается кручению и растяжению-сжатию как одно целое силами, приложенными к торцам цилиндра. За отсчетную конфигурацию составного цилиндра примем такую, в которой точки тела имеют цилиндрические координаты r, ϕ, z.Эта конфигурация является естественной для внешней цилиндрической 170 В. А. Левин оболочки и предварительно напряженной для центрального включения. Цилиндрические координаты точек составного цилиндра в текущей конфигурации обозначим R, Φ, Z. Решение задачи о совместном кручении и осевом растяжении-сжатии составного цилиндра ищем в виде R = R(r), Φ = ϕ + Ψz, Z = λz, 0 6 r 6 r0 , где Ψ и λ — угол закручивания и кратность удлинения составного цилиндра.√Условие несжимаемости позволяет определить функцию R(r): R(r) = r/ λ. Исходя из приведенных формул, можно найти деформации в составном цилиндре, а затем напряжения в нем для определенной модели несжимаемого изотропного нелинейно-упругого материала. Например, для случая, когда свойства цилиндров описываются моделью неогуковского материала, напряжение σΦ может быть найдено по формуле 1 ¢ 1 ¡ 2 ¢ 2¡ 2 2 2 2 2 µ1 (Ψ0 + λ0 Ψ) 3R − R1 + 2 µΨ R1 − R0 , σΦ = 1 µΨ2 ¡3R2 − R2 ¢ , R 6 R 6 R . 1 0 0 2 0 6 R 6 R1 , Здесь µ и µ1 — модули сдвига внешнего и внутреннего цилиндров соответственно; R1 и R0 — внутренний и внешний радиусы внутреннего цилиндра в конечном состоянии, связанные с внутренним r1 и внешним r0 радиусами этого цилиндра в промежуточном состоянии соотношениями √ √ R1 = r1 / λ, R0 = r0 / λ. Реализация деформации указанного выше вида требует приложения к торцам составного стержня продольной силы Q и крутящего момента G. Например, выражение для крутящего момента для случая, когда свойства цилиндров описываются моделью неогуковского материала, имеет вид G(λ0 , Ψ0 , λ, Ψ) = ¡ ¢ 1 πµ1 (ψλ0 + ψ0 ) λ−1 λ0 r14 + πµλ−1 ψ r04 − r14 . 2 2 В частном случае Q = G = 0 можно определить остаточные напряжения в цилиндре, обусловленные предварительно напряженным включением. Расчеты были выполнены для неогуковского материала при следующих значениях параметров: µ1 = 0.1µ, r0 = 1.5r1 , коэффициент начального закручивания Ψ0 = (r1 )−1 , кратность начального осевого удлинения λ0 = 1.8. Для составного цилиндра, свободного от внешних сил (Q = G = 0), были найдены коэффициент закручивания Ψ ≈ −0.041(r1 )−1 и кратность осевого удлинения λ ≈ 0.945 при полной деформации. Распределение напряжения σΦ в составном цилиндре в конечном состоянии для этого случая приведено на рисунке 6. Напряжение отнесено к модулю µ, а радиальная координата R — к радиусу r1 . Разрыв напряжения соответствует границе между цилиндрами. Теория многократного наложения больших деформаций 171 Рис. 5. Распределение напряжения σΦ в цилиндре в зависимости от радиальной координаты R в конечном состоянии В заключение отметим два практически важных направления, где использование теории наложения больших деформаций может привести к новым результатам. Особенности решения задач пластичности при учете возникновения и эволюции зон разгрузки. Для описания случая, когда при нагружении в образце (в элементе конструкции) возникают области, которые при разгрузке не принимают начальную форму (и, следовательно, и весь образец не принимает начальную форму), используют разные модели [5-7, 12, 15, 18, 38, 40 т. 1, 54]. Например, в задачах о развитии дефекта вводится в рассмотрение понятие зоны предразрушения, и считают, что при нагружении в этих зонах изменяются свойства материала (например, происходит необратимое раскрытие микропор и образование микровключений). В задачах о твердотельных фазовых переходах вводят в рассмотрение модель фазового перехода с учетом собственных деформаций. Первым подходом (моделью) в рамках механики деформируемого твердого тела, относящейся к данному направлению, была модель упругопластического материала. В рамках этого подхода было рассмотрено большое число моделей 1 . То есть были сформулированы различные критерии (обычно в виде комбинации компонент тензора напряжений), указывающих область (точку), в которой материал приобретает свойства пластичности, и сформулированы как на основе обработки экспериментальных данных, так и теоретических построений определяющие соотношения. Если при малых деформациях данные модели позволяют учитывать возникновение зон разгрузки, то есть областей, в которых критериальная величина (например, комбинация компонент тензора напряжений) 1 Наиболее подробно эксперименты описаны в классическом цикле монографий [2, 3]. 172 В. А. Левин изменяется в сторону уменьшения, то при конечных деформациях такой учет корректно произвести сложнее. Практически во всех случаях необходимо использование теории многократного наложения больших деформаций, так как возникновение как зон пластичности, так и зон разгрузки ведет к перераспределению в теле конечных деформаций. Автор в этой статье не высказывает свое мнение по поводу границ применения теории пластичности, подходов к формулировке определяющих соотношений, критериев для определения зон пластичности. Дискуссии на эту тему ведутся больше века, как среди исследователей, использующих модели в рамках механики деформируемого твердого телах, например, [10, 11, 17, 18, 46], так и этих исследователей с исследователями, использующими модели на стыке механики деформируемого твердого тела и структуры кристаллических материалов, например, работы [42-44] (описывающие эффект пластичности в терминах перестроения кристаллической решетки). По мнению автора, укрупненная схема постановки и решения при конечных деформациях задачи в рамках модели, учитывающей пластичность, может во многом повторять модели для описания поведения тел из материалов, изменяющих свои механические свойства при нагружении: модели разгрузки тела после образования в нем зоны предразрушения; модели развития поврежденности вблизи дефекта при конечных деформациях и их перераспределении [27]. Эта модель должна учитывать как возникновение и развитие зон пластичности, так и возникновение в них зон разгрузки, а значит, и изменение в этих зонах определяющих соотношений. Эта модель должна использовать понятие «программа нагружения» [27]. По мнению автора, в таких моделях более приемлем при конечных деформациях нелокальный критерий при описании образования и эволюции зон пластичности (особенно если обосновывать их возникновение с использованием модели, учитывающей структуры кристаллических материалов). То есть, по мнению автора, физический смысл использования нелокального критерия в этом случае можно умозрительно обосновать тем, что свойства тела не могут измениться под воздействием механического поля (внешнего воздействия) в одной точке, поскольку соседние точки неизбежно должны быть вовлечены в этот процесс. Отметим, что при использовании при численном решении задач метода конечного элемента это предполагается для одного элемента [27, 58-60]. По мнению автора, избежать трудностей, связанных с введением в рассмотрение зон пластичности и учета разгрузки в этих зонах в некоторых моделях развития дефекта при конечных деформациях можно, оставаясь в рамках нелинейной теории упругости. Для этого можно использовать понятие зоны предразрушения и детализировать структуру этой зоны в рамках механики деформируемого твердого тела. Вариант такого подхода дан в [36, 40]. При выборе критерия, по мнению автора, следует помнить о гипотезе возникновения зон пластичности и использовать критерий, «внешне Теория многократного наложения больших деформаций 173 схожий» с критерием возникновения в материале зоны пластичности, в рамках выбранной исследователем модели пластичности. Модели прочности для проектируемых материалов с заданными свойствами и алгоритм прочностного анализа. При проектировании и анализе поведения создаваемых материалов, когда их создание проводится под соответствующие функциональные требования, такой материал можно рассматривать как конструкцию. Например, армирование материала, при известной программе нагружения (при эксплуатации) элемента конструкции из данного материала. Для таких материалов не всегда пригодны локальные и нелокальные критерии прочности, используемые для эффективных механических характеристик материала. С другой стороны, если рассматривать материал как «конструкцию» или «структуру», то становится понятным, что частичная потеря «работоспособности» некоторых ее «элементов» (например, частичное отслоение матрицы от включений, образование или раскрытие микротрещин в матрице) не приводит к потере «работоспособности конструкции». При построении модели и анализе прочности с позиции механики деформируемого твердого тела таких материалов и элементов конструкции из них мы рассматриваем тело с концентраторами напряжений (включениями, полостями), которые могут существовать как до начала нагружения, так и возникать в процессе нагружения (например, возникновение отслоения). Отметим, что если концентраторы образуются в процессе нагружения, то на макроуровне (определяя эффективные характеристики материала) мы имеем дело с материалом, изменяющим свои свойства при нагружении. Общая схема прочностного анализа в рамках механики деформируемого твердого тела при моделировании поведения создаваемых материалов при заданных функциональных требованиях и алгоритм прочностного анализа. 1. Рассматривается тело, имеющее концентраторы напряжений. Обычно это включения или поры. Модель может быть усложнена введением слоистых включений для учета эффекта поверхностного слоя; поверхностного слоя (слоев) у пор, который может рассматриваться как включение, например, из-за ее упрочнения с помощью химических реакций или нановключений (например, пенобетоны). Определяются эффективные характеристики материала тела. Эти характеристики нужны исследователю (конструктору) для оценки поведения элемента конструкции, когда не проводится прочностной анализ. 2. Задается программа нагружения, а при необходимости и форма элемента конструкции, для которого создается данный материал. 3. Далее решается задача механики деформируемого твердого тела, и находится напряженно-деформированное состояние такого тела. 174 В. А. Левин 4. Выбираются прочностные критерии для матрицы, включения (слоев включения), критерия отслоения. Модель может быть усложнена возникновением зон предразрушения. 5. Проводится проверка выполнения каждого критерия. По результатам проверки в нагруженное тело могут быть привнесены дополнительные концентраторы напряжений, которые изменят его напряженно-деформированное состояние, приведут к перераспределению деформаций. По мнению автора, при таком подходе более естественно использовать нелокальные критерии прочности. 5.1. Если превышен критерий для матрицы, то в матрицу привносится или микротрещина, или зона предразрушения, которые моделируются аналогично подходу. 5.2. Если превышен критерий для включения (или его слоя), то во включение привносится микротрещина, зона предразрушения. 5.3. Если превышен критерий отслоения, то в тело привносится дефект, ему соответствующий. По мнению автора, такой дефект наиболее естественно моделировать микрополостью, возникающей путем изменения граничных условий на части границы включение-матрица. 6. Проводится решение задачи для предварительно нагруженного тела, в которое были привнесены новые концентраторы напряжений. 7. Определяются эффективные характеристики материала тела. 8. Повторяем расчет с п.2 до достижения неработоспособности (разрушения) материала (или элемента конструкции из него). Повторим, что с позиции механики деформируемого твердого тела мы можем рассматривать проектируемый материал (при анализе его эффективных характеристик) как материал с изменяющимися свойствами при нагружении. Отметим, что при конечных деформациях для такого анализа необходима теория многократного наложения больших деформаций. Отметим также, что в моделях, учитывающих конечность деформаций, то есть моделях, в которых взаимодействие и взаимовлияние концентраторов нельзя учитывать путем сложения полей напряжений, получаемых при решении задачи для каждого концентратора, отдельно возрастает эффект от учета влияния плотности распределения включений, пор. Автор благодарен А.А. Буренину, Л.М. Зубову, В.И. Левитасу, В.В. Лохину, Е.М. Морозову, Дж. Фишу, И. Цукрову за собеседования. Список литературы 1. Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов [и др.]. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411 с. 2. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с. 3. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. I. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. Теория многократного наложения больших деформаций 175 4. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1964. 484 с. 5. Ботвина Л.Р. Кинетика разрушения конструкционных материалов. М.: Наука, 1989. 230 с. 6. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. К возможности установления упругопластического процесса по итоговому разгрузочному состоянию // Изв. РАН. МТТ, 2006. № 3. С. 130–134. 7. Вакуленко А.А, Качанов М.Л. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. МТТ, 1971. № 4. С. 159–166. 8. Васютин А.Н., Махутов Н.А., Морозов Е.М. Об энергетическом критерии разрушения тел с физически короткими трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1991. Т. 27. № 4. С. 81–85. 9. Гадолин А.В. Теория орудий, скрепленных обручами // Артиллерийский журнал. 1861. № 12. 10. Галин Л.А. Упругопластические задачи. М.: Наука, 1984. 232 с. 11. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений (ZAMM, 1924) // Теория пластичности. М.: Изд. иностр. лит., 1948. С. 114–135. 12. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 148–157. 13. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями / А.Н. Гузь [и др.]. // Прикладная механика. 1970. Т. 6. № 12. С. 42–49. 14. Емельяненков А.Ф. Сопромат в одном пакете // Российская газета. Федеральный выпуск № 5150 (71). 15. Зингерман К.М., Левин В.А. Обобщение задачи Ламе–Гадолина для больших деформаций и ее аналитическое решение // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77 (в печати). 16. Зубов Л.М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих микрополярных средах // Доклады РАН. 2004. Т. 396. № 1. С. 52–55. 17. Ильюшин А.А. Связь между теорией Сен-Венана–Леви–Мизеса и теорией малых упругопластических деформаций // Прикладная математика и механика. 1945. 18. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 19. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощении звука вблизи точек фазового перехода второго рода // ДАН СССР. 1954. Т. XCVI. № 3. С. 469-–472. 20. Левин В.А. Вариант нелинейной связи интенсивности напряжений и деформаций для вязкоупругого материала / Работы по механике сплошной среды. Тула: ТулПИ, 1975. 21. Левин В.А. О концентрации напряжений вблизи отверстия, образованного в предварительно напряженном теле из вязко упругого материала // ДАН СССР. 1988. Т. 299. № 5. 22. Левин В.А., Тарасьев Г.С. Наложение больших упругих деформаций в пространстве конечных состояний // ДАН СССР. 1980. Т. 215. № 1. 176 В. А. Левин 23. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальные критерии для определения зоны предразрушения при описании роста дефекта при конечных деформациях // Доклады РАН. 2007. Т. 415. № 1. 24. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Физматлит, 1999. 223 с. 25. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. 407 с. 26. Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование / В.А. Левин [и др.]. М.: Физматлит, 2007. 392 с. 27. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. 272 с. 28. Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмерными неоднородностями: модель и вычислительный эксперимент /В.А. Левин [и др.] // Доклады PАН, 2010. Т. 434. № 4. С. 481-–485. 29. Использование суперкомпьютерных технологий в задачах прочности. Пакет Fidesys /В.А. Левин [и др.]// Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности. М., 2010. 30. Левин В.А., Вершинин А.В. В кн.: Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности. М., 2013. 31. Левин В.А. О «физическом разрезе», привнесенном в предварительно нагруженное упругое тело. Конечные деформации // Доклады PАН. 2001. Т. 343. № 5. 32. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ с помощью теории многократного наложения больших деформаций // Доклады PАН. 1995. Т. 343. № 6. С. 764–766. 33. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады PАН. 2002. Т. 346. № 1. С. 62-—67. 34. Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН. 2002. Т. 382. № 4. С. 482–487. 35. Левин В.А., Зингерман К.М. О влиянии малых дефектов на концентрацию напряжений около отверстия, образованного в предварительно нагруженном упругом теле, при конечных деформациях // Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 4. 36. Левин В.А. К построению модели развития дефекта при конечных деформациях. Нелокальные критерии // ПММ. 2008. Т. 73. Вып. 3. 37. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с. 38. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Смирнов В.И. Об оценке предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин // Доклады РАН. 2005. Т. 400. № 3. С. 341–343. 39. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Труда МИРАН им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 220–232. 40. Нелинейная вычислительная механика деформируемого твердого тела. В 5 томах. М.: Физматлит, 2013. (в печати) Теория многократного наложения больших деформаций 177 41. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с. 42. Одинг И.А. К дислокационной теории усталости металлов // ДАН СССР. 1955. № 6. 43. Одинг И.А. Прочность металлов. М.; Л.: Огиз; Гостехиздат, 1932. 280 с. 44. Одинг И.А., Зубарев А.В., Фридман З.Г. Изучение явления релаксации напряжений // Металловедение и термическая обработка металлов. 1961. № 1. С. 2. 45. Ошмян В.Г., Тиман С.А., Шамаев М.Ю. Моделирование влияния структуры аморфно-кристаллического полимера на деформационные свойства // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2003. Т. 45. № 10. С. 1699-–1706. 46. РС: 50 лет движения к цели. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 47. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Госфизматлит, 1962. 284 с. 48. Толоконников Л.А., Тарасьев Г.С., Левин В.А. Математические основы теории многократного наложения больших деформаций в телах из вязко-упругого материала, свойства которого описываются дифференциальными соотношениями // Механика эластомеров. Краснодар, 1985. 49. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures. 1998. V. 35. № 20. P. 2585–2600. 50. Levin V.A., Vershinin A.V. Non-stationary plane problem of the successive origination of stress concentrators in a loaded body. Finite deformations and their superposition / Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24. 51. Development and use of the CAE-system «FIDESYS» for nonlinear analysis of solids with microstructure that changed during loading /Keynote/ V.A. Levin [et al.] // ЕССM-2010 IV (European Congress on Computational Mechanics: Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering), Paris, 2010. https://www.eccm2010.org/abstract_pdf/abstract_1650.pdf 52. CAE FIDESYS for strength analysis at large strains and their redistribution / V.A. Levin [et al.] // 10-th Word Congress on Computational Mechanics. 8-13 July 2012. Sao Paulo. Brazil. Book of Abstracts. 19579. P. 323. 53. Displacive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations / V.A. Levin [et al.] // Physical Review Letters. 2009. V. 103. 54. Levitas V.I. Large Deformation of Materials with Complex Rheological Properties at Normal and High Pressure. New York: Nova Science Publ. 1996. 374 p. 55. Molecular-dynamic simulation of structure and mechanical properties of fluorographene mambrane using CAE FIDESYS / M.A. Mazo [et al.] // 10-th Word Congress on Computational Mechanics. 8-13 July 2012. Sao Paulo. Brazil. Book of Abstracts. 19560. P. 323–324. 56. Calculation of the structural elements made of viscoelastic materials under the origination of the stress concentrators in CAE-system FIDESYS / G. Pecar [et al.]// 10-th Word Congress on Computational Mechanics. 8-13 July 2012. Sao Paulo. Brazil. Book of Abstracts. 19762. P. 324. 57. Weighardt K. Uber Spalter und Zerressen elastischer Korper // Zeitsehr. Fur Math. Und Phys. 1907. Bd. 55. N 1/2. S. 60–103. 178 В. А. Левин 58. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. The basis. Vol. 1. 2000. 707 p. 59. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Solid mechanics. Vol. 2. 2000. 479 p. 60. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Elsevier, 2005. 61. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Elsevier, 2005. 62. Computation of effective elastic characteristics of porous and composite materials using the FIDESYS CAE-system / K.M. Zingerman [et al.] // 10-th Word Congress on Computational Mechanics. 8-13 July 2012. Sao Paulo. Brazil. Book of Abstracts. 19531. P. 290. Левин Владимир Анатольевич (v.a.levin@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра вычислительной механики, МГУ им. М.В. Ломоносова. Theory of multiple large strains superposition and its industrial realization in a full-featured CAE for strength engineering analysis V. A. Levin Abstract. The results of computer modeling obtained with the use of the software that implements the theory of repeatedly superimposed finite strains are shown. The basic equations of this theory are presented. The examples of mechanical statements of some visual problems are considered, and the results of solution of these problems are shown. These problems are: the problem of «coercive» introduction of a hole in a loaded body; the problem of ductile growth of a defect (crack with non-zero width); the problem of the origination of an inclusion in a loaded body; the problem of defect growth with account for origination of pre-fracture zones; the problem of solid-state phase transformation. Keywords: repeatedly superimposed finite strains, nonlinear theory of elasticity, mathematical modeling, finite-element method, solid-state phase transformations, Gadolin’s problem, stress concentrators, plasticity, strength, fracture. Levin Vladimir (v.a.levin@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of computational mechanics, Lomonosov Moscow State University. Поступила 31.03.2013
