Лекция 8. Переходные процессы в цепях второго порядка

80
Лекция 8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
План
1. Введение.
2. Переходный процесс в последовательном колебательном контуре –
реакция при нулевом входе.
3. Подключение последовательного колебательного контура к источнику постоянного напряжения.
4. Переходные процессы в параллельном колебательном контуре.
5. Выводы.
1. Введение
До сих пор мы рассматривали процессы в цепях с одним индуктивным
или емкостным элементом. Поведение таких цепей описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим теперь цепи, которые содержат одновременно индуктивный и емкостный элементы. Процессы в таких
цепях описываются уравнением второго порядка. Соответственно, их называют цепями второго порядка. Простейшими примерами цепей второго порядка
являются последовательный и параллельный колебательные контуры.
Переходные процессы в цепях второго порядка существенным образом
зависят от вида корней характеристического уравнения. Последние определяются конфигурацией цепи и значениями элементов и могут быть вещественными или комплексно сопряженными.
2. Переходный процесс в последовательном
колебательном контуре – реакция при нулевом входе
Рассмотрим последовательную RLC-цепь, которая не содержит независимых источников (рис. 8.1). Будем считать, что емкостный элемент заряжен
до напряжения uC (0) = U 0 , a начальный ток индуктивного элемента iL (0 ) = 0 .
Поскольку независимые источники в цепи отсутствуют, токи и напряжения в
такой цепи являются реакцией при нулевом входном сигнале (реакцией при
нулевом входе).
В соответствии со вторым законом Кирхгофа
L
di
1
+ Ri + ò i dt = 0 .
dt
C
81
Рис. 8.1
Продифференцировав обе части уравнения по времени, получаем
d 2i
di 1
L 2 + R + i = 0.
dt
dt C
(8.1)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:
p2 +
R
1
p+
= p 2 + 2a p + w 02 = 0 .
L
LC
Здесь a = R / 2 L – постоянная затухания или коэффициент демпфирования;
w 0 = 1 / LC – частота собственных колебаний цепи.
Корни характеристического уравнения
p1, 2 = -a ± a 2 - w 20 = - R / 2 L ±
(R / 2 L )
2
- 1 / LC .
Каждый из корней дает независимое решение, поэтому решение дифференциального уравнения (8.1) имеет вид
i (t ) = A1e p t + A2 e p t .
1
2
Постоянные A 1 и A 2 определим, записав выражения для i (t ) и
момент времени t = 0 + :
(8.2)
di(t )
в
dt
i(0) = A1 + A2 ;
(8.3)
di (0 + )
= p1 A1 + p 2 A2 .
dt
(8.4)
82
Для определения постоянных A 1 и A 2 необходимо знать начальные
условия: значение тока и его первой производной при t = 0 + .
Примем начальный ток индуктивного элемента равным нулю, а начальное напряжение емкостного элемента uC (0) = U 0 . Учитывая, что
di (0 + ) u L (0 + )
=
,
dt
L
найдем первую производную тока при t = 0 + :
U
di (0 + )
=- 0 .
dt
L
Решая уравнения (8.3) (8.4), найдем постоянные интегрирования
A1 = - A2 = -
U0
.
L( p1 - p2 )
Форма переходных токов и напряжений зависит от вида корней характеристического уравнения. Рассмотрим важные для практики случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные ( a > w0 > 0 ).
В соответствии с (8.2) ток в цепи
iL (t ) = A1e p t + A2 e p t = 1
2
Рис. 8.2
U0
(e p t - e p t ). .
L( p1 - p2 )
1
2
(8.5)
83
Аналогичным образом можно найти закон изменения напряжения емкостного элемента uC (t ) . Графики i (t ) и uC (t ) показаны на рис. 8.2.
Итак, при вещественных корнях характеристического уравнения токи и
напряжения изменяются непериодически. Такой переходный процесс называют апериодическим.
Случай 2. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: p1, 2 = a ± jb . Здесь j = - 1 .
В соответствии с (8.2) ток
U 0 e a t jbt
U
iL (t ) = e - e - jb t = - 0 e a t sin b t .
bL
j 2b L
(
)
Рис. 8.3
Таким образом, если собственные частоты комплексные, в цепи возникают синусоидальные колебания, затухающие с течением времени (если
a < 0 ). Такой переходный процесс называют колебательным. Графики тока
i (t ) и напряжения uC (t ) для случая комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения показаны на рис. 8.3.
3. Подключение последовательного колебательного контура
к источнику постоянного напряжения
Рассмотрим процессы в последовательном колебательном контуре, показанном на рис. 8.4. На входе цепи в момент t = 0 включается источник постоянного напряжения Е.
Для цепи на рис. 8.4 справедливо уравнение
L
di
1
+ Ri + ò i dt = E .
dt
C
(8.6)
84
Рис. 8.4
Примем, что независимые начальные условия нулевые, т.е. u C (0 ) = 0 ,
iL (0 ) = 0 .
Продифференцировав левую и правую части (8.6), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
d 2i
di 1
+ R + i = 0.
L
dt
dt C
Соответствующее характеристическое уравнение
p2 +
R
1
p+
= p 2 + 2a p + w 20 = 0 .
L
LC
Постоянная затухания a = R / 2 L . Частота собственных колебаний
w 0 = 1 / LC .
Корни характеристического уравнения
p1, 2 = -a ± a 2 - w 20 = - R / 2 L ±
(R / 2 L )
2
- 1 / LC .
Решение уравнения (8.6) представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих:
i (t ) = A1e p t + A2 e p t + i (¥ ) .
1
2
(8.7)
Поскольку в цепи действует источник постоянного напряжения, принужденная составляющая тока i (¥ ) = 0 .
di(t )
Постоянные A 1 и A 2 определим, записав выражения для i (t ) и
в
dt
момент времени t = 0 + :
i(0) = A1 + A2 = 0 ;
di (0 + )
E
= p1 A1 + p 2 A2 = .
dt
L
85
Решая эти уравнения, получим:
iL (t ) = A1e p t + A2 e p t =
1
2
E
(e p t - e p t ). .
L( p1 - p2 )
1
2
(8.8)
В зависимости от вида корней характеристического уравнения переходный процесс будет иметь апериодический или колебательный характер.
4. Переходный процесс в параллельном колебательном контуре
Рассмотрим процессы в параллельном колебательном контуре, показанном на рис. 8.5. На входе цепи в момент t = 0 включается источник постоянного тока J .
Для рассматриваемой цепи справедливо дифференциальное уравнение
Рис. 8.5
Соответствующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка
d 2 x1
dx1
+
2
a
+ w 02 x1 = 0 .
2
dt
dt
Здесь постоянная затухания
1 æ L + R1 R2 C ö
÷;
a = -(a11 + a22 ) / 2 = çç
2 è R1CL ÷ø
частота собственных колебаний
w 02 = (a11 a 22 - a21 a12 ) =
R1 + R2
.
R1 LC
(8.9)
86
Характеристический полином, соответствующий уравнению (8.9):
p 2 + 2a p + w02 = 0.
Корни характеристического уравнения
p1, 2 = -a ± a 2 - w 02 .
В зависимости от соотношения номиналов элементов корни характеристического уравнения могут быть вещественными или комплексносопряженными.
Решение уравнения (8.1) представим в следующем виде
uC (t ) = A1e p t + A2 e p t + uC (¥ ) .
1
2
(8.10)
Здесь uC (¥ ) – принужденная составляющая напряжения uC (t ) :
uC (¥ ) =
R2
E.
R1 + R2
Постоянные A 1 и A 2 определим, записав выражения для uC (t ) и
du C (t )
dt
в момент времени t = 0 + :
uC (0) = A1 + A2 + uC (¥ ) ;
du C (0 + )
= p1 A1 + p 2 A2 .
dt
du C (0 + ) iC (0 + )
=
. Начальное значение тока iC (0 + ) найдем,
dt
C
анализируя цепь на рис. 8.5 в момент времени t = 0 + . При нулевых начальных условиях ( uC (0) = 0 , iL (0) = 0 )
Производная
iC (0 + ) =
E - u C (0)
E
+ iL (0) = .
R1
R1
87
Итак, постоянные интегрирования A 1 и A 2 найдем, решая систему
уравнений:
R2
A1 + A2 +
E= 0
(8.11)
R1 + R2
p1 A1 + p 2 A2 =
E
.
R1С
(8.12)
В зависимости от вида корней характеристического уравнения переходный процесс будет иметь апериодический или колебательный характер.
Аналогичным образом можно найти закон изменения тока индуктивного
элемента iL (t ) .
5. Выводы
1. Переходные процессы в цепях второго порядка, содержащих индуктивный и емкостный элементы, существенным образом зависят от вида корней характеристического уравнения. Последние определяются конфигурацией цепи и значениями элементов и могут быть вещественными или комплексно сопряженными.
2. Простейшими цепями второго порядка являются последовательный
и параллельный колебательные контуры.
3. В случае, если корней характеристического уравнения вещественные,
переходный процесс в цепи второго порядка имеет апериодический характер.
4. Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, переходный процесс имеет колебательный характер.