Уравнения

Решение
дифференциальных
уравнений
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#1
Прошлое занятие
• Разностные
•
уравнения.
Диф. уравнения первого порядка.
Метод Эйлера.
Методы Рунге-Кутта.
•
Диф. уравнения второго порядка.
Метод прогонки.
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#2
Еще раз
Методы Рунге-Кутта
q
y ( xk +1 ) = y ( xk ) + ∑ pi ki (h) - общая формула, где
i =1
k1 (h) = h ⋅ f ( x; y );
k 2 (h) = h ⋅ f (x + α 2 h; y + β 21k1 );
k3 (h) = h ⋅ f ( x + α 3 h; y + β 31k1 + β 32 k 2 );
..........................................................
k n (h) = h ⋅ f ( x + α 3 h; y + β n1k1 + β n 2 k 2 + β n 3 k3 + ...);
α 2 ...α q
p1... pq
β ij
0< j<i≤q
- константы
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#3
Методы Рунге-Кутта
Выбор параметров
Введем фунцию погрешности метода
ϕi (h) = y ( x + h) − y ( x) − p1k1 (h) − p2 k 2 (h) − ... − pi ki (h);
Будем искать коэффициенты из условия чтобы
ϕ ′ (0) = ϕ ′′(0) = ... = ϕ ( s ) (0) = 0, ϕ ( s +1) (0) ≠ 0
тогда
s
ϕ ( h) = ∑
i =1
ϕ ( s ) ( 0)
s!
h +
s
ϕ ( s +1) (θh)
( s + 1)!
h
s +1
=
ϕ ( s +1) (θh)
( s + 1)!
h s +1
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#4
Методы Рунге-Кутта
4 порядок s = q = 4
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#5
Пример
Структура
Gate Metal
Source
Schottky Layer AlxGax-1As
n
Doping Layer AlxGax-1As
Buffer Layer AlxGax-1As
n+
n-
Channel Layer GaAs
n-
Substrate Layer AlxGax-1As
n-
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
(~20nm)
(~8nm)
(~6nm)
Drain
(~20nm)
(~50nm)
#6
Пример
Задача
Рассчитать константы спин-орбитального
взаимодействия в полупроводниковой
гетероструктуре с металлическим затвором, как
функции напряжения на затворе.
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#7
Спин-орбитальное взаимодействие
H SO =
h
∇V (σˆ × pˆ )
2
(2m0 c )
H D = γ ( k zi ) ⋅ ( k y σ
γ ( k zi ) = β k zi
2
y
− k xσ x )
- общий вид
- формула специфичная для III-V
полупроводниковых гетероструктур
- константа спин-орбитального взаимодействия
Параметр β определяется зонной структурой полупроводника
Задача сводится к нахождению волновых функций электронов
локализованных в квантовой яме
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#8
Band structure
Металл/полупроводник
Полупроводник/полупроводник
Xs
E
o
0
X
m
Xs
Φb
Vb
o
i
X
s
E
c
E
METAL
Semiconductor
f
E
v
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
#9
Уравнения
Уравнение дрифт-диффузии:
n ′′ +
qE
qE ′
n′ +
n=0
k BT
kBT
J n = qµn nE + µn k B T ∇n
Уравнение Пуассона:
∇ ⋅ ( ε 0 ε r ∇ϕ ) = − e ( p − n + N d − N a )
,
Уравнение Шрёдингера:
h2
⎛ 1
⎞
− ∇⋅⎜
∇Ψ k ⎟ + (V − Ek )ψ k = 0
2
⎝ m*
⎠
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
# 10
Алгоритм
Initialize doping
concentration
Микроскопическая
Efn calculation
Poisson Equation
модель
Schrödinger Equation
Does electron
density converge
No
Yes
Continuity and
Transport Equations
Does electron
density converge
No
Yes
Calculate Spin Orbit terms
Макроскопическая
модель
End
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
# 11
Результаты
Vg = 0 V
Vg = 0.5 V
1.6
1.1
1
1.4
0.9
Energy (eV)
Energy (eV)
1.2
1
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
0.8
0.6
0.8
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
x (nm)
x (nm)
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
# 12
Результаты
Константы С-О взаимодействия
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
# 13
Литература
z
z
z
Д. Поттер, Вычислительные методы в
физике.
Н. Н. Калиткин, Численные методы.
Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М.
Кобельков, Численные методы.
С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 7
# 14