ОБТЕКАНИЕ ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ЧАСТИЦЫ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ В. М. Шаповалов

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N-◦ 4
48
УДК 532.5
ОБТЕКАНИЕ ПОЛУПРОНИЦАЕМОЙ ЧАСТИЦЫ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ
В. М. Шаповалов
Волгоградский государственный технический университет, 400103 Волгоград
E-mail: vtm@volpi.ru
Поставлена и аналитически решена задача о гидродинамическом взаимодействии
ламинарного потока вязкой жидкости и частично проницаемой сферической частицы.
При этом считается, что фильтрационное течение внутри частицы подчиняется закону
Дарси. Получены выражения для компонент скорости фильтрационного течения,
сопротивления, скорости осаждения и функций тока. Изучено влияние проницаемости
частицы на характеристики течения. Построены функции тока рассматриваемого
течения.
Ключевые слова: течение Стокса, фильтрация, вязкость, скорость, давление.
Рассматривается движение полупроницаемых частиц в сплошной среде, примерами
которого являются падение снежинок, осаждение хлопьев при коагуляционной очистке воды и т. п.
Кинетика массообменных процессов, протекающих в дисперсных системах жидкость — твердое тело (например, адсорбция, экстрагирование, сушка) в случае
капиллярно-пористой структуры частицы, существенно зависит от конвективного переноса жидкости в порах вследствие макроскопического движения сплошной среды [1, 2].
Задача о динамическом взаимодействии потока и круглой капли жидкости (отличающейся по вязкости) рассмотрена в работе [3].
В настоящей работе исследовано влияние внешнего обтекания (течения Стокса) на
фильтрационное течение внутри полупроницаемой шаровой частицы и получено аналитическое решение задачи, изучено влияние проницаемости частицы на характеристики
течения, построены функции тока.
Область, занимаемая несжимаемой однокомпонентной жидкой средой, не ограничена
(R < r < ∞), течение полагается установившимся изотермическим. Гидростатическая
составляющая давления не учитывается, поскольку не оказывает влияния на внешнее течение жидкости и не создает фильтрационный поток внутри частицы. Решение рассматриваемой задачи должно удовлетворять условию Re = v∞ Rρ/µ 1 (v∞ — скорость потока
жидкости на бесконечности; R — радиус сферической частицы; µ, ρ — вязкость и плотность жидкости соответственно), которое позволяет исключить из уравнений движения
члены, характеризующие силы инерции (приближение Стокса).
Введем сферическую систему координат, начало которой совпадает с центром шара
(рис. 1). Поток жидкости, обтекающий частицу, направлен снизу вверх. Вследствие симметрии рассматриваемого течения относительно оси Oz все неизвестные функции зависят
от координат r, θ.
49
В. М. Шаповалов
R
O
o r
Vo
Vr
vo
vr
v1
z
Рис. 1. Схема течения
Внешнее течение жидкости описывается уравнениями Стокса [4]
∂vr 1 ∂vθ 2
ctg θ
+
+ vr +
vθ = 0,
∂r
r ∂θ
r
r
∂ 2v
∂p
1 ∂ 2 vr 2 ∂vr ctg θ ∂vr 2vr
2 ∂vθ ctg θvθ r
=µ
+
+
+
−
−
−
,
∂r
∂r2
r2 ∂θ2
r ∂r
r2 ∂θ
r2
r2 ∂θ
r2
∂ 2v
1 ∂p
1 ∂ 2 vθ 2 ∂vθ ctg θ ∂vθ
2 ∂vr
vθ θ
=µ
+ 2
+
+ 2
+ 2
− 2
,
r ∂θ
∂r2
r ∂θ2
r ∂r
r
∂θ
r ∂θ
r sin θ
r > R,
0 < θ < π,
(1)
где vr , vθ — компоненты вектора скорости жидкости в сферической системе координат
(вне шара); p — давление жидкости, обтекающей частицу.
Фильтрационное течение внутри частицы обусловлено неоднородностью давления на
ее поверхности. Будем считать, что при динамическом воздействии потока сферическая
частица сохраняет форму и имеет однородную капиллярно-пористую структуру. (Заметим, что в случае структурной асимметрии на частицу действует крутящий момент.)
Фильтрационный поток внутри частицы характеризуется компонентами скорости
фильтрации Vr (r, θ), Vθ (r, θ) и давлением P (r, θ) (см. рис. 1). Поскольку скорость двумерного фильтрационного течения несжимаемой жидкости внутри частицы мала, для его
описания помимо уравнений неразрывности используем закон Дарси [5]:
∂Vr 1 ∂Vθ 2
ctg θ
+
+ Vr +
Vθ = 0,
∂r
r ∂θ
r
r
k ∂P
k 1 ∂P
Vr = −
,
Vθ = −
,
0 < r < R,
µ ∂r
µ r ∂θ
(2)
0 < θ < π,
где k — коэффициент проницаемости материала частицы. Граничные условия для внешнего течения на бесконечности (r → ∞) запишем в виде
vr → −v∞ cos θ,
vθ → v∞ sin θ.
(3)
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N-◦ 4
50
Поверхность сферической частицы (r = R) является границей между областью фильтрационного течения (r < R) и внешней областью неограниченного движения жидкости
(r > R). На этой границе жидкость свободно втекает (вытекает) по нормали к поверхности, а касательная компонента скорости равна нулю (условие прилипания). Таким образом, на поверхности шара должны выполняться условия отсутствия касательной компоненты скорости внешнего течения, равенства нормальных скоростей и давлений:
vθ = 0,
Vr = vr ,
P = p при r = R.
(4)
Решение уравнений (1) имеет вид [1, 3, 4]
C
C
C2
C2
1
1
2
2
+
+ C3 + C4 r cos θ, vθ =
−
− C3 − 2C4 r sin θ,
vr =
r3
r
2r3
2r
C
2
p = µ 2 + 10C4 r cos θ,
r
(5)
где C1 , C2 , C3 , C4 — постоянные. Из условия на бесконечности (3) следует, что постоянная C4 равна нулю, а для постоянной C3 выполняется равенство C3 = −v∞ .
Из системы (2) для давления внутри шара получаем уравнение Лапласа
2r
∂ 2P
∂P
∂ 2P
∂P
+ r2 2 + ctg θ
+
= 0.
∂r
∂r
∂θ
∂θ2
(6)
Для согласования с (5) решение уравнения (6) ищем в форме
P = f (r) cos θ.
(7)
Подставляя выражение (7) в уравнение (6), получаем уравнение Эйлера для функции f (r):
r2 f 00 + 2rf 0 − 2f = 0,
решение которого имеет вид
f = C5 /r2 + C6 r
(C5 , C6 — постоянные). Следовательно, давление внутри шара описывается функцией
P = (C5 /r2 + C6 r) cos θ.
(8)
Давление в центре шара ограничено (P < ∞ при r = 0), поэтому C5 = 0. Согласно
уравнению (6) функция давления определена с точностью до произвольной постоянной,
поэтому без ограничения общности будем полагать, что плоскость, содержащая нулевую
изобару, проходит через центр сферы (P = 0 при r = 0).
Согласно соотношениям (2) с учетом (8) находим компоненты скорости фильтрации
Vr = −C6
k
cos θ,
µ
Vθ = C6
k
sin θ.
µ
(9)
Подставляя выражения (5), (8), (9) в условия (4), для постоянных C1 , C2 , C6 получаем
систему трех алгебраических уравнений, из которой находим
C1 = −R3 v∞
1 + 2α
,
2+α
C2 =
3Rv∞
,
2+α
C6 =
3µv∞
,
R2 (2 + α)
α=
k
R2
(10)
(безразмерный параметр α характеризует проницаемость шара с учетом его размеров).
51
В. М. Шаповалов
Учитывая формулы (10), выражения для компонент скорости и давления внешнего
течения (5) запишем в виде
R3 1 + 2α
3R
vr = v∞ − 3
+
− 1 cos θ,
r 2+α
r(2 + α)
R3 1 + 2α
3R
vθ = v∞ − 3
−
+ 1 sin θ,
(11)
2r 2 + α
2r(2 + α)
p=
3µRv∞
cos θ,
r2 (2 + α)
r > R,
а характеристики фильтрационного течения внутри шара (8), (9) — в виде
Vr = −
3αv∞
cos θ,
2+α
Vθ =
3αv∞
sin θ,
2+α
P =
3µv∞ r
cos θ,
(2 + α)R2
r < R.
(12)
В случае непроницаемой частицы (α = 0) выражения (11) переходят в формулы Стокса.
С учетом выражения для скорости в (12) фильтрационный поток жидкости в поперечном сечении частицы Q определяется интегралом
ZR
Q = 2π
3πR2 v∞ α
.
vθ θ=π/2 r dr =
2+α
0
В качестве примера рассмотрим следующий случай. При размере частицы ваты R =
м (коэффициент проницаемости k = 2,5·10−10 м2 ) и скорости обтекания v∞ = 10−2 м/с
в воде (µ = 10−3 Па · с) согласно формуле (12) скорость фильтрации равна |Vr |θ=0 | =
3,75 · 10−6 м/с.
Вычислим силу, с которой поток воздействует на сферу. Величина W равнодействующей всех сил, приложенных к элементам сферы, определяется по формуле [4]
10−3
W = 2πR2
Zπ
(τrθ sin θ − σrr cos θ) sin θ dθ,
0
где σrr = −p + 2µ ∂vr /∂r, τrθ = µ((∂vr /∂θ)/r + ∂vθ /∂r − vθ /r) — нормальная и касательная
компоненты напряжения на поверхности сферы (r = R) соответственно.
Выполнив интегрирование с учетом соотношений (11), получаем
W = 6πRµv∞
2
.
2+α
(13)
В случае непроницаемого шара (α → 0) формула (13) переходит в формулу Стокса.
С увеличением проницаемости сопротивление уменьшается. В предельном случае α → ∞
(частица бесконечно проницаема) W = 0, т. е. сопротивление отсутствует.
Приравнивая величину W к силе тяжести (4π/3)R3 (ρm −ρ)g, действующей на частицу,
находим скорость осаждения полупроницаемой частицы
v∞ =
2R2 g(ρm − ρ) 2 + α
.
9µ
2
(14)
Здесь g — ускорение свободного падения; ρm — среднеобъемная плотность смоченной частицы.
52
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N-◦ 4
Рис. 2. Линии тока жидкости при α = 0,001
В случае если частица является проницаемой, согласно формуле (14) скорость осаждения увеличивается. С увеличением проницаемости пористость частицы также увеличивается, а ее среднеобъемная плотность уменьшается, становясь близкой по значению
к плотности жидкости.
Функция тока для внешнего течения имеет вид [4]
Zθ
ψ(r, θ) = 2πr2 vr sin θ dθ.
(15)
0
Проинтегрировав (15) с учетом первой формулы в (11), получаем
R3 1 + 2α
3R
ψ(r, θ) = 2πv∞ r2 − 3
+
− 1 sin2 θ,
r > R.
r 2+α
r(2 + α)
Функцию тока фильтрационного течения внутри частицы Ψ также находим с помощью формулы (15), но при этом используем выражение для радиальной скорости из (12):
α
Ψ(r, θ) = −6πv∞ r2
sin2 θ,
r < R.
(16)
2+α
На рис. 2 показаны линии тока рассматриваемого движения жидкости для случая
α = 0,001. Видно, что линии тока расположены симметрично относительно плоскости,
перпендикулярной направлению течения и проходящей через центр сферы, линии тока
внутри сферы (фильтрационное течение) параллельны направлению течения. Действительно, если в плоскости, перпендикулярной направлению течения и проходящей через
центр сферы, ввести ось y и записать геометрическое соотношение y = r sin θ, то для
функции тока внутри шара (16) получим уравнение прямой, параллельной оси z: y = ±C
(C — постоянная). На поверхности сферы линии тока имеют излом, величина которого зависит от коэффициента проницаемости материала шара. При бесконечной проницаемости
(k → ∞) излом отсутствует.
Следует отметить, что скорость движения жидкости в порах больше скорости фильтрации, например, радиальная компонента скорости равна Vr /ε (ε — пористость). Наиболее длинный путь (2R) преодолевает частица жидкости, траектория движения которой
53
В. М. Шаповалов
проходит через центр шара. Время пребывания этой частицы внутри шара определяется
формулой
t=
2Rε
2Rε(2 + α)
=
.
Vr |θ=π
3αv∞
Таким образом, в явном виде построено решение задачи об обтекании полупроницаемой частицы вязкой жидкостью. Показано, что сопротивление пористой полупроницаемой
сферы меньше сопротивления непористой сферы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Протодьяконов И. О. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость —
твердое тело / И. О. Протодьяконов, И. Е. Люблинская, А. Е. Рыжков. Л.: Химия. Ленингр.
отд-ние, 1987.
2. Романков П. Г. Массообменные процессы химической технологии / П. Г. Романков,
В. Ф. Фролов. Л.: Химия. Ленингр. отд-ние, 1990.
3. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. Т. 6.
4. Кочин Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.; Л.:
ОГИЗ: Гостехтеоретиздат, 1948. Ч. 2.
5. Голубева О. В. Курс механики сплошных сред. М.: Высш. шк., 1972.
Поступила в редакцию 5/XII 2007 г.,
в окончательном варианте — 16/VI 2008 г.