Задача 221: Измерение теплоемкости твердого тела

Задача 221
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Введение
Теплоемкость тела определяется соотношением CV  (U / T )V , где Uвнутренняя энергия тела, включающая кинетическую энергию движения атомов и
потенциальную энергию их взаимодействия между собой. В твердом теле внутренняя
энергия – это энергия колебаний атомов. Причем следует учитывать не только
независимые колебания каждого атома в отдельности около своего положения
равновесия, но и коллективные колебания атомов при распространении упругих волн в
твердом теле. Для вычисления теплоемкости необходимо определить энергию атомов
при таких колебаниях.
В сплошном твердом теле может одновременно возбуждаться много типов
колебаний (мод) с различными частотами. Например, в тонком стержне длины L с
незакрепленными концами могут возникать нормальные продольные колебания,
описываемые уравнением стоячей волны
   0 cos nt cos kn x ,
где
 – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия,
kn   n / L
(1)
– волновое число n-ой нормальной моды колебаний, n = 1, 2... – целые числа,
n  Cпр kn – частоты колебаний, Cпр – скорость распространения волны по стержню.
Каждому значению n соответствует своя мода с частотой колебаний
n . Чем больше
атомов в теле N, тем больше нормальных мод может в нем возбуждаться,
максимальное число нормальных мод равно числу степеней свободы 3 N .
Из формулы (1) следует, что одна мода нормальных колебаний приходится на
интервал волновых чисел k , равный k   / L , поэтому число мод на единичный
3
интервал значений k равно L /  . Тогда для трехмерного тела объемом L число мод
n в интервале волновых чисел k x , k y , k z определяется выражением
n  nx n y nz 
L3
3
k x k y k z ,
(2)
где nx , n y , nz - числа мод, соответствующих колебаниям по осям x, y, z . Для
изотропного
тела,
используя сферические координаты, можно записать
dk x dk y dk z  (4 / 8)k dk . Далее, выражая k через  , получим из (2) число мод с
2
частотами колебаний между
 и   d
4 L3  1
2  2

 d ,
dn 
 3
3 

(2 )3  Cпр
Cпп

(3)
где Спр и Спп – скорости продольной и поперечной (с учетом двух поляризаций) волн
соответственно. Число мод в единичном частотном интервале называется плотностью
мод  ( ) . Из (3) следует, что
 ( ) 
V  1
2  2

 ,

3
3 

2 2  Cпр
Cпп

(4)
где V  L – объем тела. Согласно квантовой теории и закону Больцмана каждая
нормальная мода колебаний атомов с частотой  имеет среднюю энергию при
температуре Т.
3
 E 

.
exp( / KT )  1
(5)
Здесь К – постоянная Больцмана .
Средняя энергия для dn мод равна  E  dn . Используя формулы (3) и (5) получим
выражение для внутренней энергии тела объема V

V  1
2  max
 3
U    E  dn  2  3  3  
d .
2  Cпр Cпп  0 exp( / KT )  1
(6)
Здесь max - максимальная частота колебательных мод, которая определяется из
условия равенства полного числа нормальных мод числу степеней свободы системы,
равному 3N:
3N 
max

 ( )d .
0
Тогда из (4) получаем
1/ 3
max

 1
2 
 2 9 N 4 V  3  3   .
C


 пр Cпп  
(7)
Максимальная частота (7) определяет важный параметр теории твердого тела –
температуру Дебая
(8)
  max / K .
Если температура тела T   , то при расчете его параметров необходимо учитывать
квантовые эффекты, если же T   , то твердое тело можно представить как
совокупность классических осцилляторов. Характерные значения   100  1000 K .
Выражение для средней внутренней энергии одного моля ( N  N A ) вещества
(6) удобно представить в виде
T 
U  9 RT  
 
3  /T

0
X3
dX ,
exp( X )  1
(9)
где X   / kT . Дифференцируя это выражение по температуре Т и учитывая
зависимость X (T ) получим соотношение

CV  3RF 
T

.

(10)
Функция F является универсальной функцией температуры Дебая  . Она позволяет
определить теплоемкость тела, если известна величина  /T . График функции
CV (T /  ) (10) приведен на рис. 1.
При больших температурах, когда T   , величина X  1 и интеграл (9)
стремится к 3RТ, а теплоемкость CV - к величине классической теплоемкости 3R. При
T   , X  1 интеграл в (9)

X
3
/(exp X  1)dX   4 /15 и теплоемкость
0
определяется выражением
3
12
T 
CV   4 R   .
5
 
Приведенные соотношения не учитывают вклад электронов в теплоемкость тела
и ряд других факторов. Поэтому приведенная теория теплоемкости тоже является
приближенной.
В данной работе производится измерение скоростей продольной и поперечной
акустических волн в металлах латунь и алюминий. Используя приведенные
соотношения
рассчитывается
характеристическая
температура
Дебая.
По
универсальной кривой рис 1 находится теплоемкость тела.
Экспериментальная установка
Скорость звуковых волн измеряется с помощью прибора ДУК -13. Прибор
состоит из двух блоков. Один блок является источником напряжений, а второй служит
для возбуждения ультразвуковых импульсов с помощью излучающей головки ,приема
отраженного импульса и измерения времени запаздывания эхо – импульса.
Акустическая головка генерирует импульсы длительности 3 мкс на частоте 2
МГц.
Измерение скорости продольной волны Спр производится следующим образом.
Стержни из алюминия и латуни закреплены в вертикальной стойке