Урок №16 (14.03.2011) Теплоёмкость. Теплота фазового

Урок №16 (14.03.2011)
Теплоёмкость. Теплота фазового перехода. Решение задач.
1.
Решение красивой задачки на теплоёмкость.
Задача [Савченко, 5.6.30] Найти теплоемкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры газа P0 , V0 , T0 ). Поршень удерживается
пружиной. Справа от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснется с левой
стенкой сосуда, а пружина будет не деформирована. Теплоемкостями сосуда, поршня и
пружины пренебречь.
Решение.
Прежде всего, введём обозначения: пусть площадь поршня
равна S , поршень в начальный момент сдвинут на x0 , коэффициент жёсткости пружины k . Пусть также после передачи системе некоторого небольшого количества тепла
 Q , она переходит в состояние P 1 , V1 , T1 , а поршень ото-
P0 , V0 , T0
x0
двигается от края сосуда на x1 .
Q
. Т.е. нам предстоит провести слеT
дующий мысленный эксперимент: мы берём нашу систему, передаём ей небольшое количество теплоты  Q , затем смотрим, как изменились параметры системы и пытаемся найти
По определению, теплоёмкость системы равна C 

изменение температуры  T . Далее пытаемся связать  Q и  T , используя только данные
нам в задаче параметры ( P0 , V0 , T0 ).
Начнём с общего приёма, используемого при решении подобных задач: напишем первое
начало термодинамики и поделим всё на  T .

Q   U  A – тепло, переданное системе, может либо перейти во внутреннюю энергию,
либо пойти на работу, совершённую газом. Поделив всё на  T , получим:
Q
U
A
C   
.
T
T
T

Заметим, что если бы газ не совершал работы (т.е. объём не менялся), то в формуле выше
осталось бы только первое слагаемое. При этом мы знаем, что теплоёмкость одноатомного
3
газа в изохорическом процессе равна Cv    R , где  – это количество молей газа в на2
U
3
шей задаче. Итак, мы можем заменить     R .
2
T
Как нам посчитать второе слагаемое? Работа, которую совершает газ, идёт на изменение
kx 2 kx 2
потенциальной энергии пружины. Так что мы можем записать: A  1  0 , но нам не
2
2
дан коэффициент жёсткости пружины, да и x1 мы пока вычислить не можем…
Попробуем воспользоваться соображениями механики: пружина действует на поршень с
F kx
силой F  kx , значит, давление газа можно записать как P   . С другой стороны по
S S
определению объём газа равен V  S  x . Перемножив эти два равенства получаем:
PV  kx 2 .
Теперь работу газа мы можем переписать так:
A
1
1
kx12  kx02    PV

1 1  PV
0 0.
2
2
Воспользуемся теперь тем, что
PV
PV
0 0
 1 1:
T0
T1
 1  PV
PV T
1  PV
0 0 T1
 0 0 0
A   1 1 T1  PV

0 0 
2  T1
T0
 2  T0
 1 PV
1 PV
0 0
T1  T0   0 0  T –

2 T0
 2 T0
очень удачно, что в конце у нас для работы остались только известные величины и  T ,
которое уходит. В итоге получаем:
3
1 PV
0 0
.
C   R 
2
2 T0
3
3 PV
0 0
Из уравнения Менделеева-Клайперона PV
, так что
R
0 0   RT0 следует, что  
2
2 T0
окончательно получаем:
C2
PV
0 0
.
T0
■
2.
Теплота фазового перехода.
Тут всё совсем просто, обычная школьная физика. Главное не забыть, какими
буковками всё обозначается в ГИА:  – удельная теплота парообразования; r –
удельная теплота плавления. Обе величины табличные. Все задачи решаются из
закона сохранения энергии и использованием элементарной математики и здравого смысла. 
1. В сосуд, содержащий массу m  2 кг воды при температуре t  5  C , положен кусок льда массы mл  5 кг , имеющий температуру t л  40  C . Найти
температуру  и объем V смеси после установления теплового равновесия.
Удельные теплоёмкости воды и льда
c  4, 2 кДж / (кг  К )
и
cл  2,1 кДж /  кг  К  , их плотности при t0  0  C равны   103 кг / м3 и
 л  0,92 103 кг / м 3 . Удельная теплота плавления льда r  0,33 МДж / кг .
Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.