Задача №1. Уравнение состояния идеального газа. 1. В баллоне

Задача №1. Уравнение состояния идеального газа.
1. В баллоне вместимостью V = 25 л находится водород при температуре T = 290 К.
После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось
на ∆p = 0, 4 МПа. Определить массу m израсходованного водорода. (Ответы
m = 8, 37 · 10−3 кг).
2. В баллоне объемом V = 7, 5 л при температуре T = 300 K находится смесь идеальных газов: ν1 = 0, 1 моля кислорода, ν2 = 0, 2 моля азота, ν3 = 0, 3 моля
углекислого газа. Найти: давление смеси, молярную массу смеси (Ответы p =
(ν1 + ν2 + ν3 )RT
ν1 M1 + ν2 M2 + ν3 M3
= 36, 7 г/моль).
= 2 · 105 Па, M =
V
ν1 + ν2 + ν3
Задача №2. Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы.
Теплоемкости.
1. Вычислить показатель адиабаты для смеси состоящей из m1 грамм гелия, m2
грамма азота и m3 грамма углекислого газа. Определить среднее значение энергии молекул для всех газов, входящих в состав смеси, если температура сме5ν1 + 7ν2 + 8ν3
си T = 293 K. (Ответы: γ =
, < E1 >= 32 kT , < E2 >= 52 kT ,
3ν1 + 5ν2 + 6ν3
< E3 >= 26 kT ).
Задача №3. Первое начало термодинамики.
1. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0, 02 кг при температуре
T = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в пять
раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять
раз. Найти температуру Т2 в конце адиабатного
( )γ−1 расширения и полную работу,
V1
совершенную газом. (Ответы: T2 = T1
= 157 K, A = z/2νR(T1 − T2 ) +
V2
νRT2 ln V2 /V1 = 8, 8 кДж).
2. Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м3 и находится под давлением 0, 2 МПа.
Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема З м3 , а затем при
постоянном объеме до давления 0, 5 МПа. Найти: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу; 3) количество теплоты, переданное газу.
(Ответы: ∆U = 5/2(p3 V2 − p1 V1 ) = 3, 25 · 106 Дж, A = p1 (V2 − V1 ) = 0, 4 · 106 Дж,
Q = ∆U + A = 3, 65 · 106 Дж).
Задача №4. КПД тепловых машин.
1. Цикл тепловой машины состоит из изотермы, адиабаты и изобары, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Степень
сжатия одноатомного газа равна Р1 /Р2 = 2. Найти КПД цикла.
1
2. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества 1 моль и находящийся под давлением p1 = 0, 1 МПа при температуре T1 = 300 К, нагревают при
постоянном объеме до давления p2 = 0, 2 МПа. После этого газ изотермически
расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального
объема. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД?
Задача №5. Распределение Максвелла. Распределение Больцмана.
Задачи на распределение Больцмана решаются с использованием двух
формул:
M gz
M gz
n(z) = n0 e− RT , p(z) = p0 e− RT
(1)
здесь n0 и p0 - концентрация и давление газа при z = 0, M - молярная
масса газа.
Находить число частиц, скорости которых лежат в заданном интервале удобно с помощью распределения по относительным
скоростям
√
2RT
(относительная скорость это u = v/vнв здесь vнв =
-наиболее вероM
ятная скорость.) Число частиц относительные скорости которых находятся в интервале (u1 , u2 ) - ∆N определяется по формуле:
4
2
∆N = N √ u20 e−u0 (u2 − u1 )
π
(2)
здесь N - полное число частиц в газе, u0 = (u1 + u2 )/2.
1. Какая часть молекул углекислого газа при 300 К обладает скоростью от v1 =
2
200 м/с до v2 = 210 м/с? (Ответ: ∆N
= √4π u20 e−u0 (u2 − u1 ) = 0, 0354, где u = v/vнв
N
√
-наиболее вероятная скорость;
- относительная скорость молекулы, vнв = 2RT
M
u0 = (u1 + u2 )/2)
2. Найти относительное число молекул, скорости которых отличаются не более чем
2
на 2% от значения среднеквадратичной скорости. (Ответ: ∆N
= √4π u20 e−u0 (u2 − u1 ) =
N
vср.кв − v1
v2 − vср.кв
= 0, 02,
= 0, 02,
0, 0166, где u1 = v1 /vнв , u2 = v2 /vнв и
vср.кв
vср.кв
√
vср.кв =
3RT
M
- средняя квадратичная скорость; u0 = (u1 + u2 )/2.)
3. В вертикальной трубке высотой h0 = 150 м находится аргон Ar (M = 40 г/моль).
Концентрация аргона у дна трубки составляет n0 = 5 · 1023 м−3 , считая температуру газа в трубке равной Т = 293 К, определить концентрацию и давление
аргона на высоте h0 . (Ответ: n = 4, 88 · 1023 м−3 , p = nkT = 1, 97 кПа)
2