Анфиногентов С. А. - Институт Солнечно
advertisement
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук УДК 523.98 На правах рукописи Анфиногентов Сергей Александрович ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО - СПЕКТРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В АТМОСФЕРЕ НАД СОЛНЕЧНЫМИ ПЯТНАМИ Специальность 01.03.03 – физика Солнца АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Иркутск – 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, Сыч Роберт Андреевич Официальные оппоненты: Теплицкая Раиса Бенционовна, доктор физико-математических наук, ИСЗФ СО РАН, ведущий научный сотрудник Наговицин Юрий Анатольевич, доктор физико-математических наук, ГАО РАН, ведущий научный сотрудник Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн имени Н.В. Пушкова РАН Защита диссертации состоится «___»___________2012 г. в «___» часов на заседании Диссертационного совета Д.003.034.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте солнечно-земной физики Сибирского отделения РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 126а, ИСЗФ СО РАН. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института солнечно-земной физики Сибирского отделения РАН. Автореферат разослан «___»___________2012 г Ученый секретарь диссертационного совета Д.003.034.01 кандидат физико-математических наук В.И. Поляков Общая характеристика работы Диссертация посвящена изучению пространственной и частотной структуры трёхминутных колебаний интенсивности излучения над солнечными пятнами. Колебательные процессы над солнечными пятнами были впервые обнаружены Beckers and Tallant [1] в 1969 году на фильтрограммах в H и K линиях CaII. Обнаруженные ими вариации характеризуются периодичностью около трёх минут и наблюдаются непосредственно над тенью солнечного пятна. Позднее Giovanelli [2] и, независимо от него, Zirin and Stein [3] обнаружили в фильтрограммах линии Hα перемещающиеся волновые фронты над полутенью пятен с характерным периодом 5 минут. Явление получило название бегущих волн полутени (БВП). БВП обладают интересными особенностями: период вариаций увеличивается с удалением от центра пятна, а видимая скорость распространения волновых фронтов уменьшается. Колебания в тени и БВП являются основными процессами в хромосфере солнечных пятен. С развитием наблюдательной астрономии их проявления были обнаружены не только в хромосферных линиях оптического диапазона, но и в радиоизлучении, а также в корональных линиях крайнего ультрафиолетового диапазона. Авторы статьи [4] одними из первых сообщили об обнаружении колебаний радиопотока с периодом 3 минуты. Они проанализировали спектральный состав вариаций радиоизлучения активных областей на длинах волн 3.3 мм и 3.5 мм и обнаружили, что максимальная спектральная компонента соответствует трехминутному периоду. Авторы не связывали обнаруженную ими квазипериодическую компоненту с колебаниями над тенью пятна. Подробное исследование колебаний потока микроволнового излучения от солнечных пятен было выполнено Зандановым и Ураловым [5 – 7] по наблюдениям на радиоинтерферометре с малой базой (РИМБ). С его помощью были обнаружены квазипериодические колебания (КПК) с периодами 3, 5 и 7 минут. Сделан вывод о пространственном разнесении источников колебаний с разными периодами. Показано, что КПК носят цуговый характер. Обнаруженные вариации сигнала интерпретируются как отражение переходных газодинамических процессов возникающих в хромосфере активной области. Их 3 вероятной причиной является отклик атмосферы на крупномасштабные возмущения обусловленные выходом новых магнитных потоков. Периоды КПК определяются температурным строением хромосферы над пятном и примерно соответствуют характерным частотам акустической отсечки медленных магнитозвуковых волн. Механизм формирования трёхминутных колебаний за счет фильтрации возмущений в многослойной атмосфере пятна был предложен Жугждой [8]. Теория фильтрации рассматривает распространение МГД волн через стратифицированную атмосферу пятна (фотосфера, температурный минимум, хромосфера, корона). На границе слоев появляются отраженные волны, интерференция которых приводит к появлению выделенных частот в спектре, на которых атмосфера пятна становится более прозрачной для медленных МГД волн. Другими словами атмосфера пятна рассматривается как многополосный интерференционный фильтр для волн приходящих снизу. Такая интерпретация предсказывает дискретность спектра трёхминутных колебаний. Новые возможности по изучению колебаний над пятнами появились вместе с первыми микроволновыми наблюдениями пространственноразрешённых источников трёхминутных колебаний на VLA (5 и 8.5 ГГц) [9]. Нужно отметить, что наблюдения солнечной активности на VLA носят эпизодический характер. Позднее с помощью специальных методов математической обработки данных (метод поточечной вейвлет фильтрации) удалось разрешить пространственную структуру источников трёхминутных колебаний микроволнового излучения по наблюдениям радиогелиографа Нобеяма [10] на частоте 17 ГГц. В отличие от VLA эти наблюдения выполняются регулярно в режиме мониторинга солнечной активности. Запуски космических аппаратов SOHO, TRACE, Hinode и др. позволили наблюдать солнечную активность в недоступной ранее для наземных инструментов крайней ультрафиолетовой и рентгеновской областях электромагнитного спектра. Трёхминутные колебания были обнаружены в основаниях корональных арок и наблюдались в виде волн, перемещающихся вверх и вдоль корональных арок . Новейшая орбитальная обсерватория SDO ещё больше расширила возможности исследования колебаний в атмосфере Солнца, обеспечив непрерывные наблюдения всей видимой стороны Солнца одновременно на разных длинах волн ультрафиолетового диапазона с беспрецедентным пространственным и временным разрешением [11]. 4 Появилась возможность проследить развитие волновых процессов над пятном от фотосферы и температурного минимума до высокотемпературной короны. Наблюдение короны Солнца с высоким пространственным и временным разрешением стимулировали развитие нового направления в физике Солнца — корональной сейсмологии. Методы корональной сейсмологии позволяют по свойствам наблюдаемых в короне МГД волн определять физические параметры плазмы Солнца (концентрацию, температуру, магнитное поле, проводимость, вязкость, теплопроводность), которые трудно измерить с помощью других методов. Для исследования атмосферы над солнечными пятнами могут быть использованы трехминутные колебания, представляющие собой медленные МГД волны, распространяющиеся в корону из тени солнечных пятен. Ценность этих колебаний, как естественных природных зондов обусловлена, тем, что они постоянно наблюдаются в большинстве солнечных пятен. Новые наблюдательные инструменты породили и новые проблемы. Поток данных от аппарата SDO достигает полутора терабайт в сутки. В таких условиях поиск интересных событий для исследования становится нетривиальной задачей. Для колебаний ситуация усложняется ещё и тем, что наблюдаемые периодические вариации интенсивности излучения часто имеют малую амплитуду и могут быть не замечены при визуальном исследовании последовательностей изображений. Быстрые и достоверные алгоритмы обнаружения колебаний и определения их параметров становятся необходимыми в сложившихся условиях. Развитие мировой информационной системы задаёт новые требования к представлению данных наблюдений и обработки информации. Все большую популярность приобретают системы удаленной обработки данных. Примерами этого являются вычислительная сеть радиообсерватории в Нобеяме, доступ к которой осуществляется по протоколу SSH, а также информационная система радиотелескопа РАТАН-600. В последней взаимодействие с пользователем реализовано через веб-интерфейс. Преимуществом такого подхода является отсутствие необходимости наличия специфического программного и аппаратного обеспечения со стороны пользователя. Актуальность работы Исследование волн в солнечной плазме необходимо для понимания процессов переноса энергии в атмосфере Солнца. Колебания также могут 5 играть важную роль в процессах энерговыделения, таких, как солнечные вспышки. В этом контексте особое место занимают волновые процессы, осуществляющиеся в активных областях, а именно в солнечных пятнах. Исследования колебаний в солнечных пятнах насчитывают уже более сорока лет [12]. За это время были хорошо изучены параметры этих колебаний. Предложено несколько конкурирующих моделей, которые объясняют наблюдаемые свойства этих процессов [13]. Следует отметить, что исследователи до сих пор не пришли к единому мнению о физических механизмах, объясняющих возникновение и распространение колебаний в солнечных пятнах. Несмотря на долгую историю изучения колебаний в пятнах, их связь с солнечными вспышками не получила должного внимания. Трёхминутные колебания в тени и бегущие волны в полутени, являясь основными динамическим процессами в пятнах на уровне хромосферы, с большой вероятностью могут инициировать солнечную вспышку в близлежащих областях, а возможно и оказывать влияние на ход энерговыделения [14]. Исследование роли волновых процессов в солнечных пятнах и развития солнечных вспышек является актуальным для совершенствования методов выявления предвспышечных состояний активных областей и прогноза начала энерговыделения. Кроме того, волновые процессы привлекают внимание как средство исследования солнечной атмосферы. Дело в том, что волны являются природными зондами и могут быть использованы для измерения параметров плазмы, в которой они распространяются. На этих принципах основано новое направление исследований в физике Солнца — корональная сейсмология [15]. В атмосфере солнечных пятен почти постоянно присутствуют распространяющиеся волны. Это делает трёхминутные волны над солнечными пятнами идеальным средством исследования активных областей методами корональной сейсмологии. Как для статистического исследования возможной связи между волновыми процессами в солнечных пятнах и вспышечной активностью, так и для нужд корональной сейсмологии требуются методы обнаружения колебательных процессов и определения их параметров в автоматическом режиме и в реальном времени. Существующие алгоритмы [16 – 18] не обладают высокой достоверностью, либо их быстродействие недостаточно для обработки 6 больших массивов данных в реальном времени. Поэтому создание методов, которые решают задачу быстрого, достоверного и автоматического детектирования колебаний в солнечной атмосфере является весьма актуальным. Целью настоящей диссертационной работы является изучение пространственных, временных и частотных характеристик колебательных процессов в атмосфере над солнечными пятнами с использованием метода поточечной вейвлет фильтрации [8]. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи: 1. Разработать алгоритм выделения колебательных процессов на последовательности двумерных изображений, обладающего высокой достоверностью и быстродействием, достаточным для обработки массивов данных в реальном времени. 2. Разработать технологию автоматического измерения параметров колебательных и волновых процессов в солнечной атмосфере. 3. Исследовать динамику тонкой пространственной и частотной структуры источников колебаний на разных уровнях атмосферы солнечных пятен. 4. Изучить связи характеристик колебательных процессов в атмосфере солнечных пятен с процессами вспышечного энерговыделения. Научная новизна 1. Разработан новый, достоверный и быстрый алгоритм детектирования колебательных процессов на Солнце. Алгоритм позволяет регистрировать колебания как с неизвестными, так и с заданными периодами. Достоинствами алгоритма являются высокая скорость работы, достоверность детектирования колебаний в присутствии шумов и малая вероятность ложных срабатываний. 2. Разработан веб-ориентированный программно-аппаратный комплекс, предназначенный для удаленной обработки временных рядов двумерных изображений (оптических, ультрафиолетовых, микроволновых и др.). Задача данного комплекса состоит в детектировании и локализации волновых и колебательных явлений в солнечной атмосфере. Адрес вычислительного сервера в сети Интернет — http://pwf.iszf.irk.ru. Применен метод поточечной вейвлет-фильтрации и разработанный автором алгоритм автоматического обнаружения колебаний. 7 3. Получены узкополосные изображения источников трёхминутных колебаний в микроволновом (17 ГГц) и ультрафиолетовом диапазонах (1700, 1600, 304, 171, 193, 211, 335, 94 и 131Å) над солнечными пятнами. Обнаружена тонкая пространственная структура в распределении мощности колебательных процессов. В источниках колебаний выявлены V-образные структуры (волновые следы) и компактные элементы с малыми угловыми размерами порядка 10–20 угловых секунд. Положения волновых следов совпадают с основаниями корональных петель. Распределение мощности трёхминутных колебаний характеризуется изменчивостью на всех уровнях атмосферы. 4. Впервые обнаружены частотные дрейфы трёхминутных колебаний в микроволновом диапазоне. Показано, что дрейфы частоты сопровождаются изменениями пространственной структуры источников колебаний. Скорости дрейфов трёхминутных колебаний растут с высотой (4 – 5 мГц/час в области температурного минимума, 5 – 8 мГц/час на уровне хромосферы и 11 – 13 мГц/час в короне). Для всех высотных уровней превалируют отрицательные частотные дрейфы. Предложено объяснение обнаруженных дрейфов за счет наложения нескольких одновременно развивающихся колебательных откликов с близкими частотами. 5. Выявлена связь между режимами колебательных процессов в атмосфере над солнечными пятнами и вспышечной активностью в близлежащих активных областях. Показано, что медленные МГД волны, распространяющиеся из тени солнечного пятна, могут являться триггером энерговыделения во вспышках. Научная и практическая значимость Разработанные методы анализа серий изображений показали свою эффективность в обнаружении колебательных процессов и достаточный уровень быстродействия для обеспечения обработки данных изображающих инструментов высокого разрешения, например SDO/AIA/HMI в режиме реального времени. Вычисления проводились на персональном компьютере с процессором Intel Core 2 Quad (2.4 ГГц) и 4 гигабайтами оперативной памяти. Быстродействие алгоритма достаточно для того, чтобы обрабатывать серии изображений SDO с разрешением 4096x4096 точек и временным разрешением 12 секунд (~ 1 Тб в сутки). 8 Созданный центр обработки данных может быть использован для автоматической потоковой обработки наблюдений изображающих инструментов высокого разрешения, в том числе строящегося радиогелиографа нового поколения на базе Сибирского солнечного радиотелескопа (ССРТ). Центр позволяет производить автоматическое обнаружение колебаний и волн, определять их параметры и сохранять полученные результаты в базу данных. Следует отметить, что универсальная модульная архитектура разработанного программного обеспечения позволяет регистрировать не только колебания, но и другие явления на Солнце (например, вспышки, выбросы CME, волокна, корональные дыры и т.д). Таким образом, разработанный центр может быть эффективно использован для диагностики активных областей методом корональной сейсмологии. Установление связи между колебательными процессами в солнечных пятнах и вспышками в близлежащих областях создает новые возможности для их кратковременного (~20 – 30 мин) прогноза. В сочетании с созданной системой автоматической обработки данных эти методы могут уточнить ожидаемое время начала вспышек. Результаты, полученные в работе, существенно дополнили и углубили наши знания о волновых процессах в активных областях на Солнце, и создают основу для расширения теоретического представления о генерации и распространении МГД волн в активных областях, а также о роли тонкой пространственной структуры среды в этих процессах. Достоверность полученных результатов Итоговые выводы и научные положения диссертационного исследования сформулированы на основе результатов расчетов, выполненных с помощью разработанных алгоритмов. Корректность методов обнаружения и определения характеристик колебаний подтверждается высокой степенью совпадения результатов расчётов с параметрами тестовых моделей. Результаты анализа колебаний согласуются с исследованиями, проведенными другими авторами [19]. Обнаруженная связь трёхминутных колебаний и вспышечной активности подтвердилась независимыми исследованиями [20]. Основные положения, выносимые на защиту: 1. Создание вычислительного специализированного комплекса, реализующего 9 разработанные автором алгоритмы автоматического обнаружения волновых процессов в солнечной атмосфере и измерения их параметров, с возможностью его использования в удаленном доступе. 2. Обнаружение и объяснение тонкой пространственной структуры источников трёхминутных колебаний микроволнового излучения над солнечными пятнами. 3. Обнаружение дрейфов частоты трёхминутных колебаний в микроволновом диапазоне и объяснение их суперпозицией излучения нескольких одновременно существующих источников колебаний с различной частотной и пространственной локализацией. 4. Выявление связи между колебательными процессами в солнечных пятнах и выделением энергии в солнечных вспышках. Показано, что волновые процессы могут являться триггером вспышек в близлежащих областях и модулировать процессы энерговыделения. Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: 1. Всероссийская конференция «Солнечно-земная физика», посвященная 50летию создания ИСЗФ СО РАН. (Иркутск, 28 июня - 1июля 2010 года); 2. 7th Annual meeting of the Asia Oceania Geosciences Society (Hyderabad International Convention Centre, 5-9 July 2010, India); 3. XI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Иркутск – Старая Ангасолка, 15–21 марта 2010); 4. Всероссийская ежегодная конференция по физике Солнца "Солнечная и солнечно-земная физика-2011" (2-8 октября 2011 года, Санкт-Петербург, ГАО РАН); 5. Физические процессы в космосе и околоземной среде, Байкальская молодежная научная школа по фундаментальной физике (БШФФ), 19-24 сентября 2011, Иркутск. 6. Algorithm comparison and effective implementation, Solar Image Processing Workshop (SIPW IV), October 25- November 02, 2008, Baltimore, USA. 7. Brazilian Decimetric Array (BDA) Workshop, INPE, Sao Jose dos Campos, 2008, Brazil. 10 8. Influence of Solar Variability on Geophysical and Heliospheric Phenomena, ILWS meeting, October 4-9, 2009, Ubatuba, Brazil. 9. 9-я Российско-китайская международная конференция по космической погоде, 23–27 июня 2009 г., Листвянка. 10.Солнечная и солнечно-земная физика, Всероссийская конференция, 3-10 октября, 2010, г. Санкт-Петербург. 11.Astronomy and beyond: Astrophysics, cosmology and gravitation, cosmomicrophysics, radio-astronomy and astrobiology, 10-th International Gamow Summer School, 23-28 August, 2010, Odessa, Ukraine 12.Workshop on MHD waves and seismology of the solar atmosphere, BUKS 2010 Meeting at St Andrews University, 9 - 11 June 2010, St Andrew, Scotland 13.13th European Solar Physics Meeting, 12-16 September 2011, Rhodes, Greece 14.RHESSI Workshop and High Energy Solar Physics Symposium, 17-21 October, 2011, Nanjing, China. Практической апробацией явилось также успешное выполнение проектов РФФИ: 08-02-91860-КО_а «Взаимосвязь слоев солнечной атмосферы с помощью магнитогидродинамических волн»; 10-02-00153 «Термодинамические модели и динамический режим солнечной атмосферы по наблюдениям в сильных спектральных линиях и в радиодиапазоне»; 08-02-92204-ГФЕН_а «Диагностика процессов энерговыделения и ускорения частиц в солнечных вспышках по микроволновому излучению»; 08-02-13633-офи_ц «Создание единой информационной системы анализа и прогноза солнечной активности по данным российских космических исследований»; 05-07-90147-в «Информационная система, ориентированная на анализ солнечной активности по данным радио и ультрафиолетовых гелиографов ИСЗФ и ФИАН». Представленные в диссертации результаты исследования были поддержаны международным грантом 7-й Европейской рамочной программы международного обмена сотрудников научных учреждений (PIRSES-GA-2011). Публикации Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций. 11 Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Алгоритмы, описанные в главе 1, разработаны и реализованы лично автором. Центр обработки данных pwf.iszf.irk.ru (глава 1) создан автором лично, соавторы принимали участие в постановке задачи и тестировании. Исследования, описанные в главах 2, 3 и 4, проводились совместно с соавторами, использовалось разработанное автором программное обеспечение, автор участвовал в постановке задачи, анализе экспериментальных данных, их интерпретации и формулировке основных выводов. Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 113 страниц, из них 102 страниц текста, включая 33 рисунка. Библиография включает 94 наименования на 8 страницах Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость и достоверность полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения и их апробация докладами на ряде конференций и публикациями. Первая глава диссертации посвящена разработанным алгоритмам и методам анализа последовательностей изображений. В разделе 1.1 дан обзор существующих алгоритмов обнаружения колебаний и измерения их параметров. Показаны их достоинства и недостатки. Рассмотрены следующие алгоритмы и методы: карты периодов [21], обнаружение волновых пакетов с помощью вейвлет-анализа [17], кросскогерентность [16], байесовский подход [18]. Алгоритм метода цветовых карт периодов [16] основан на поиске максимума модуля быстрого преобразование Фурье для каждого пикселя изображения. Этот метод обладает высоким быстродействием, но требует 12 участия человека для отсеивания ложных срабатываний и выделения источников колебаний. Алгоритм, предложенный в [17], основан на непрерывном вейвлет-анализе. Он находит значимые волновые пакеты и ранжирует их от одиночных до многократных. Выделение источников колебаний производится в ручном режиме. На практике такой метод оказался медленным и малоэффективным. Алгоритм, представленный в работе [16], основан на анализе когерентности сигнала в соседних точках изображения. Для каждого пикселя вычисляются кросс-спектры между ним и его ближайшим окружением и выявляются области на изображении с большими значениями когерентности. Этот алгоритм имеет большую вычислительную сложность и не является полностью автоматическим. В работе [18] представлен алгоритм, основанный на байесовском спектральном анализе временных серий и фильтрации изображений и позволяет рассчитать критерий достоверности обнаружения колебаний. Метод хорошо себя показал при работе с реальными данными, но имеет большую вычислительную сложность и позволяет детектировать колебания только в ограниченном, заранее заданном диапазоне частот. В разделе 1.2 описывается разработанный автором алгоритм автоматического обнаружения колебаний по сериям двумерных изображений, основанный на применении методов Фурье и вейвлет анализа. Перед началом разработки были сформулированы следующие требования к алгоритму: 1. Уверенное обнаружение колебаний при отношении сигнал/шум порядка единицы. 2. Минимальная вероятность ложных срабатываний. 3. Быстродействие, достаточное для обработки данных с высоким пространственным и временным разрешением в реальном времени. 4. Детектирование колебаний, как с заданными, так и с неизвестными периодами. С целью достижения минимально возможного количества ложных срабатываний алгоритма рассмотрены возможные ситуации, в которых алгоритмы обнаружения колебаний могут работать неправильно: фоновые непериодические вариации сигнала, импульсные помехи (всплески), краевые эффекты. Предложены эффективные методы предварительной обработки, минимизирующие вероятность ложных срабатываний: совмещение 13 изображений друг относительно друга, нормализация сигнала в каждой точке по среднеквадратичному отклонению от среднего (СКО), вычитание медленных трендов, детектирование всплесков в сигнале, подавление краевых эффектов с помощью умножения на оконную функцию, применение фильтра высоких частот. Алгоритм состоит из трёх этапов: предварительная обработка; расчёт критерия присутствия колебаний для каждой точки изображения и построение карты колебательной активности; выделение компактных областей, в которых значение критерия присутствия колебаний больше порогового. В качестве критерия обнаружения колебаний используется максимальное значение мощности преобразования Фурье сигнала в случае, когда период колебаний неизвестен, и узкополосное ПВФ-изображение источника колебаний, когда требуется исследовать колебания с заданным периодом. Проведено тестирование алгоритма на модели, представляющей собой серию изображений, на которых присутствуют следующие объекты: область с синусоидальными колебаниями; область с медленно возрастающей интенсивностью (медленный тренд); область с гауссовым импульсом и добавлением фонового шума с нормальным распределением. Объекты разного типа перекрываются между собой, поэтому в некоторых точках модели присутствуют, как колебания, так и помехи в виде медленного тренда и всплесков. В данной модели с помощью разработанного алгоритма были успешно обнаружены все заданные источники колебаний. Проведены испытания на изображениях Солнца в линиях крайнего ультрафиолета по данным SDO/AIA (29 июня 2010 г., активная область NOAA 11084) и TRACE (4 мая 2005 г., активная область NOAA 10756). В рассмотренных случаях на диске Солнца существовала единственная униполярная активная область с хорошо развитым солнечным пятном в основании. В обеих сериях наблюдений алгоритм выявил источники колебаний над солнечным пятном, совпадающие с основаниями корональных петель. Как при обработке модельных данных, так и при анализе реальных наблюдений ложных срабатываний алгоритма не обнаружено. В разделе 1.3 дано описание метода поточечной вейвлет-фильтрации (ПВФ). Метод предназначен для исследования пространственнораспределённых источников колебаний в солнечной атмосфере и основан на непрерывном вейвлет-преобразовании с материнской функцией Морле. В 14 основе метода лежит непрерывное вейвлет-преобразование серии двумерных изображений Солнца, которое используется для построения двумерных карт источников колебаний в полосе частот. ПВФ метод предоставляет широкие возможности для изучения колебательных и волновых процессов, что позволяет: определить частоты колебаний, присутствующие в сигнале; построить двумерное изображение источника колебаний для заданной полосы частот; выделить из сигнала периодические составляющие (вейвлетфильтрация); построить мгновенные карты характеристик колебательных процессов (периода, мощности, фазы и фазовой скорости) для заданного момента времени и частоты. Возможность исследования динамики пространственного распределения характеристик источников колебаний является отличительной особенностью метода ПВФ. Метод проверен при анализе модельных и реальных данных (SDO/AIA, 211Å). Показана достоверность определения параметров колебаний, в которых содержатся широкополосные фоновые возмущения и шум. Проведено тестирование работы метода на модельном сигнале, содержащем три источника колебаний с разными параметрами и шум с нормальным распределением. Выделены положения всех источников колебаний. Найденные значения параметров совпали с заложенными в модель (см. рис. 1). 1 3 2 а) в) б) д) г) 15 Рис. 1 Тестирование метода ПВФ на модельных данных: один кадр из модельного ряда изображений (а), глобальный вейвлет-спектр (ГВС) (б), узкополосные изображения источников колебаний с периодами 15 (в), 35 (г) и 80 (д) секунд. Цифрами обозначены процессы, заложенные в модель: бегущая волна с периодом 15 секунд (1), бегущая волна с периодом 35 секунд (3), стоячая волна с периодом 80 секунд (2). Работа метода с реальными данными продемонстрирована на примере обработки серии изображений активной области NOAA 11092 (3 августа 2010 г.) в крайнем ультрафиолете (211Å), полученных телескопом AIA на космическом аппарате SDO (см. рис. 2). Выделено изображение источников трёхминутных колебаний в основаниях корональных арок, построены карты фазы колебаний и видимых фазовых скоростей. Полученные данные согласуются с современными теоретическими представлениями о распространении МГД волн в атмосфере солнечных пятен и с результатами, полученными с помощью других методов и инструментов. В разделе 1.4 дано описание разработанного автором автоматизированного программно-аппаратного комплекса обработки солнечных данных. 16 Рис. 2 Результаты обработки серии изображений активной области NOAA 11092 в линии крайнего ультрафиолета (211Å, SDO/AIA). Вверху слева изображён график глобального вейвлет-спектра, вверху справа — узкополосное ПВФ-изображение источников трёхминутных колебаний, внизу — пространственное распределение фазы колебаний (слева) и скорости распространения бегущих волн (справа). В подразделе 1.4.1 описывается система удаленного доступа к программно-аппаратному комплексу обработки данных. Система позволяет удалённому пользователю загрузить свои данные на сервер ИСЗФ и обработать их с помощью метода ПВФ. Интерактивный интерфейс реализован в виде вебприложения и доступен по адресу http://pwf.iszf.irk.ru. В качестве клиентского программного обеспечения может быть использован любой веб-браузер. В подразделе 1.4.2 рассмотрена система автоматического обнаружения и регистрации колебательных процессов на Солнце. Для автоматического обнаружения, классификации и определения параметров колебательных процессов применяются алгоритмы, описанные в разделах 1.2 и 1.3. Вся информация сохраняется в базе данных для дальнейшего использования. Отладка системы осуществлялась на модельных данных с последующим испытанием на серии реальных изображений Солнца. В настоящее время система внедрена в эксплуатацию и используется для автоматического поиска источников трёхминутных колебаний по ежедневным данным SDO/AIA. Результаты первой главы диссертации опубликованы в [1* – 4*]. Вторая глава посвящена исследованию структуры распределения мощности трёхминутных колебаний на разных уровнях атмосферы солнечного пятна. В разделе 2.1 на примере активной области NOAA 10756 исследовано распространение трёхминутных волн в корональных арках, связанных с солнечным пятном.. Использовались наблюдения орбитальной обсерватории TRACE, сделанные 4 мая 2005 года 03:30 – 03:50 UT в линии крайнего ультрафиолета 171 Å (Fe IX). Источник колебаний был обнаружен с помощью разработанного автором алгоритма автоматического детектирования колебаний. Визуальное исследование серии оригинальных изображений подтвердило существование волн, распространяющихся вдоль корональных петель в сторону от пятна. 17 Детальное исследование обнаруженных колебаний проведено с помощью метода ПВФ. Изображение источников трёхминутных колебаний в микроволновом и ультрафиолетовом диапазонах показано на рис. 3. Источники колебаний имеет хорошо различимые продолговатые структуры, вытянутые вдоль направления магнитного поля. С помощью пространственно-временных срезов в этих структурах было обнаружено распространение волновых фронтов вдоль направления корональных арок, а, следовательно, и вдоль магнитного поля. Сделан вывод, что продолговатые детали на узкополосном ПВФизображении источников трёхминутных колебаний, отмечают пути волн, распространяющихся из нижних слоев атмосферы в корону. Рис. 3 Сравнение источников трёхминутных колебаний в микроволновом и крайнем ультрафиолетовом диапазоне. Слева (а) показано изображение активной области NOAA 10756 за 4 мая 2005 г. в белом цвете, полученное орбитальной обсерваторией TRACE. Белыми контурами нанесено изображение источника трёхминутных колебаний в микроволновом диапазоне (17 ГГц) по данным NoRH (03:50 – 04:20 UT). Чёрным пунктиром показаны контуры источника микроволнового радиоизлучения в канале круговой поляризации. Справа (b) белыми контурами показаны источники трёхминутных колебаний в короне (03:30 – 03:50 UT). Чёрными контурами нанесено изображение активной области в крайнем ультрафиолете (TRACE, 171Å) В разделе 2.2 рассмотрена пространственная структура и динамика трёхминутных колебаний в переходной зоне по данным наблюдений в микроволновом диапазоне, выполненных на радиогелиографе Нобеяма. 18 Обнаружено, что большая часть мощности колебаний сосредоточена в нескольких областях вытянутой («волновые следы») или симметричной формы, расположенных над тенью пятна. Показано, что отдельные компоненты источника колебаний связаны с основаниями корональных структур. Проведено исследование стабильности обнаруженных областей с повышенной мощностью колебаний. Для этого непрерывная последовательность радиоизображений длительностью два с половиной часа анализировалась с помощью метода ПВФ. Обнаружено, что «волновые следы» не являются стационарными образованиями. Пространственное распределение мощности колебаний изменяется, одни элементы появляются, другие исчезают. Характерный временной масштаб изменения конфигурации источников колебаний составляет 30–40 минут и по порядку величины совпадает со средним временным интервалом между цугами трёхминутных колебаний. Результаты второй главы диссертации опубликованы в [1*, 2*, 5*, 6*]. В третьей главе исследована связь трёхминутных колебаний в пятнах и энерговыделения во время солнечных вспышек в близлежащих областях. В разделе 3.1 Описаны квазипериодические вариации потока микроволнового излучения в активной области NOAA 10756 во время её прохождения по солнечному диску с 28 апреля по 4 мая 2005 года. Во время наблюдений выбранная активная область оставалась единственной на диске Солнца. В ней произошло несколько вспышек. Анализ корреляционного сигнала NoRH выявил постоянные квазипериодические вариации потока радиоизлучения с периодом около трёх минут на протяжении всего времени наблюдения. Присутствие периодической компоненты, как перед началом вспышек, так и во время высвобождения энергии дало возможность исследовать связь между эволюцией колебательных процессов в пятне и вспышечным энерговыделением. В разделе 3.2 исследована солнечная вспышка 28 апреля 2005 года. Анализ корреляционных кривых показал, что на предвспышечной стадии амплитуда цугов трёхминутных колебаний значительно увеличивается. Цуг с максимальной амплитудой появляется за 15 – 20 минут до начала вспышки. Наблюдаемое явление свидетельствует о наличии связи между трёхминутными колебаниями и процессом вспышечного энерговыделения. Сделано предположение, что медленные МГД волны, двигающиеся вверх вдоль силовых линий магнитного поля, могут быть триггером начала солнечной вспышки. С 19 помощью метода ПВФ было проведено детальное исследование пространственной структуры источников колебаний во время усиления колебательной активности перед вспышкой и непосредственно во время вспышки. Было обнаружено, что источники колебаний перед вспышкой образуют V-образные детали («волновые следы»), вытянутые вдоль корональных структур, видимых в крайнем ультрафиолете. Эти детали интерпретируются как пути распространения волн вдоль силовых линий магнитного поля. Ориентация «следов» в сторону местоположения будущей вспышки указывает на взаимосвязь волнового и вспышечного процессов. Существование трёхминутной периодичности интенсивности вспышечного радиоизлучения является дополнительным аргументов в пользу реальности этой связи. В разделе 3.3 исследована солнечная вспышка 4 мая 2005 года. Как и в событии, рассмотренном в разделе 3.2, трёхминутные колебания наблюдаются на протяжении всех стадий развития солнечной вспышки. За 10–20 минут до начала вспышки амплитуда цуга трёхминутных колебаний значительно превысила средний уровень мощности колебаний. Во время вспышечной стадии, также как и в предыдущем случае, была зарегистрирована трёхминутная периодичность в виде последовательности всплесков микроволнового излучения. С помощью метода ПВФ был проведён анализ пространственной конфигурации источников трёхминутных колебаний в атмосфере пятна. Было обнаружено, что источник колебаний имеет V-образную форму. Эта структура ориентирована по направлению к месту вспышки. Однако, в отличие от вспышки 28 апреля 2005 года, местоположения пятенного и вспышечного радиоисточника существенно разнесены. Это позволило получить одновременные детальные изображения источников 3-мин колебаний в пятне и во вспышке. Возникшая V-образная структура ориентирована поперёк корональных арок, видимых в крайнем ультрафиолете. Возможно, это указывает на наличие низколежащих арок, с температурой, значительно отличающейся от температуры формирования линии 171 Å. Результаты третьей главы диссертации опубликованы в [5*, 8*]. В четвёртой главе исследованы вариации частоты трёхминутных колебаний. 20 В разделе 4.1 исследованы вариации частоты колебаний на разных уровнях атмосферы над солнечными пятнами. Использовались данные наблюдений в микроволновом, ультрафиолетовом и крайнем ультрафиолетовом диапазонах. Вейвлет-анализ показал наличие, как амплитудной, так и частотной модуляции трёхминутных колебаний суммарного потока излучения от активной области. Колебания наблюдаются в виде последовательности цугов волн (амплитудная модуляция). Средняя продолжительность цуга составляет ~13 минут. Динамика частоты колебаний исследована с помощью метода вейвлет-скелетонов [22]. Установлено, что частота колебаний испытывает вариации внутри каждого отдельного цуга. В большинстве случаев наблюдается дрейфы частоты. Встречаются, как дрейфы в сторону высоких частот, так и в сторону низких, причём последние преобладают. В некоторых цугах (менее 10 % от общего числа) наблюдаются вариации частоты колебаний без чётко выраженного тренда. Произведено сравнение параметров частотной модуляции для наблюдений на разных уровнях солнечной атмосферы. Установлена зависимость роста наблюдаемой скорости частотного дрейфа с увеличением высоты (4–5 мГц/час в области температурного минимума, 5 – 8 мГц/час на уровне хромосферы и 11 – 13 мГц/час в короне). В разделе 4.2 рассмотрена эволюция пространственной структуры источников колебаний во время развития дрейфов частоты. Обнаружение амплитудной и частотной модуляции трёхминутных колебаний ставит вопрос о причинах этой модуляции. Исследование изменений в пространственной структуре источников колебаний во время частотных дрейфов может дать указание на природу их частотной модуляции. Узкополосные изображения источников колебаний были построены с использованием метода ПВФ для разных уровней солнечной атмосферы над пятном. Использовались данные наблюдений NoRH на частоте 17 ГГц, а также TRACE (на длине волны 171 Å) и SDO/AIA на 9 длинах волн ультрафиолетового диапазона (1600, 1700, 335, 304, 211, 195, 171, 131 и 94 Å). На всех уровнях солнечной атмосферы обнаружена фрагментация источников трёхминутных колебаний. В нижних слоях солнечной атмосферы (температурный минимум и нижняя хромосфера) источник колебаний состоит из симметричных деталей малого углового размера, почти равномерно заполняющих центральную часть тени пятна. На уровне верхней хромосферы он также фрагментирован и заполняет всю тень пятна. Интересно, что вместе с 21 размером самого источника увеличились и размеры его фрагментов. На корональном уровне источник состоит из двух компонент. Первая заполняет часть полутени, вторая имеет вид продолговатых структур, связанных с основаниями корональных петель. Развитие дрейфа частоты сопровождается значительными структурными изменениями источников колебаний. Появление новых фрагментов совпадает с началом развития очередного цуга волн. В разделе 4.3 предложена интерпретация дрейфов частоты колебаний с учётом наблюдаемой эволюции структуры источников колебаний над солнечным пятном. В качестве возможного механизма, объясняющего наблюдаемые свойства трёхминутных колебаний, был рассмотрен отклик изотермической атмосферы на импульсные возмущения, приходящие из нижних слоев атмосферы солнечного пятна. Эволюция широкополосного импульса приводит к формированию колебательного отклика с частотой близкой к частоте акустической отсечки [6, 18]. В области температурного минимума частота отсечки соответствует периоду три минуты. Каждая активная область обладает тонкой структурой в виде магнитных трубок с разными параметрами плазмы. Это возможно вследствие того, что сильное магнитное поле подавляет теплопроводность в направлении поперёк силовых линий. Поэтому в разных структурах активной области могут возникать колебательные отклики с разными периодами. Наблюдения в радиодиапазоне не позволяют разрешить в полной мере тонкую пространственную структуру колебаний из-за недостаточной разрешающей способности инструментов. Колебания с различными частотами накладываются друг на друга, и наблюдаемые осцилляции имеют сложную частотную структуру. Механизм, объясняющий дрейфы частоты колебаний проиллюстрирован на модели. Показано, что суперпозиция нескольких колебательных откликов с близкими частотами может приводить к дрейфу частоты колебаний интегрального сигнала. Результаты четвертой главы диссертации опубликованы в [6*, 7*]. В Заключении сформулированы основные результаты диссертации. 1. Разработан и реализован алгоритм автоматического обнаружения источников колебаний в атмосфере Солнца. Проведено тестирование алгоритма как на модельных, так и на реальных данных. Результаты тестирования показали высокую скорость работы алгоритма, достоверность 22 2. 3. 4. 5. 6. детектирования колебаний и минимальную вероятность ложных срабатываний. Усовершенствован метод поточечной вейвлет-фильтрации. Разработан новый способ построения узкополосных ПВФ-изображений источников колебаний. Разработан алгоритм получения карт фазовых скоростей распространяющихся волн. Проведена оптимизация программного кода с целью ускорения вычислений. Разработана система автоматического обнаружения и отслеживания колебательных процессов в атмосфере Солнца. Система предусматривает обработку непрерывного потока изображений и накопление информации об источниках колебаний. Проведено тестирование системы на модельной последовательности изображений. Система запущена в эксплуатацию для построения ежедневных изображений и поиска источников 3-х и 5-ти минутных колебаний на диске Солнца по данным наблюдений SDO/AIA. Разработан программно-аппаратный комплекс, реализованный в виде вебсайта http:\\pwf.iszf.irk.ru и предназначенный для удалённой обработки данных в интерактивном режиме. Заинтересованным пользователям предоставлена возможность использования метода поточечной вейвлетфильтрации и вейвлет-анализа одномерных массивов данных для исследования квазипериодических процессов. Пользователь может загрузить на сайт серии изображений для обработки и ознакомиться с возможностями сервиса на демонстрационном примере. Установлено, что источники трёхминутных колебаний характеризуются тонкой пространственной структурой, которая наблюдается на всех уровнях солнечной атмосферы и проявляется в виде отдельных пространственноразнесённых фрагментов. В короне эти фрагменты совпадают с основаниями корональных арок. На хромосферных высотах фрагменты в основном равномерно заполняют пространство над тенью пятна. Пространственная конфигурация источников колебаний не стабильна и изменяется с характерным временем порядка 30 минут. Изменения заключаются в перераспределении мощности колебаний между отдельными элементами. Показано, что за 10–20 минут до начала вспышки наблюдается усиление мощности трёхминутных колебаний в микроволновом диапазоне. Это усиление сопровождается появлением в пространственном распределении мощности колебаний новых V-образных деталей («волновых следов»), 23 направленных в сторону местоположения будущей вспышки. Выдвинута гипотеза о том, что трёхминутные колебания могут служить триггером для возникновения солнечных вспышек, а значительное усиление амплитуды цугов непосредственно перед вспышкой можно рассматривать, как её предвестник. 7. Показано, что колебания наблюдаются в виде последовательных цугов, каждый из которых характеризуется собственной динамикой частоты и амплитуды. Длительность цугов составляет ~ 10 – 20 минут со средним значением ~ 13 минут. Установлено, что частота трёхминутных колебаний в пределах одного цуга не постоянна. В большинстве случаев наблюдаются хорошо выраженные дрейфы частоты колебаний. Обнаружены частотные дрейфы как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения частоты. Дрейфы частоты трёхминутных колебаний наблюдаются на разных уровнях солнечной атмосферы, начиная от температурного минимума до короны. Обнаружен эффект возрастания скорости дрейфа частоты колебаний с высотой. Последовательные цуги и связанные с ними частотные дрейфы перекрываются по времени. 8. Для объяснения наблюдаемых свойств трёхминутных колебаний сделано предположение, что каждый цуг колебаний является откликом изотермической атмосферы на широкополосное возмущение среды. Цуги отличаются друг от друга своей локализацией, периодом и мощностью колебаний. Наличие мелкомасштабных деталей в пространственном распределении параметров плазмы (температуры, плотности, магнитного поля) обуславливает появление тонкой структуры частоты и мощности колебаний. Одновременное развитие нескольких колебательных откликов, в сочетании с ограниченным пространственным разрешением наблюдательных инструментов, может привести к суперпозиции цугов в регистрируемом сигнале. Такое наложение является причиной кажущегося эффекта дрейфов частоты трёхминутных колебаний. Публикации по теме диссертации 1*. Sych R., Nakariakov V., Anfinogentov S., Ofman L. Web-Based Data Processing System for Automated Detection of Oscillations with Applications to the Solar Atmosphere // Solar Physics. 2010. Vol. 266, № 2. P. 349–367. 24 2*. Sych R., Nakariakov V., Anfinogentov S. Interactive remote data processing using Pixelize Wavelet Filtration (PWF-method) and PeriodMap analysis // 37th COSPAR Scientific Assembly. 2008. Vol. 37. P. 3106. 3*. Анфиногентов С.А., Сыч Р.А. Автоматическое детектирование колебаний в атмосфере солнца с помощью метода поточечной вейвлет-фильтрации// Труды XII Конференции молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом». 2011. С. 48–49. (ИСЗФ СО РАН, Иркутск) 4*. Sawant H.S. Gopalswamy N., Rosa R.R., Sych R.A., Anfinogentov S.A., Fernandes F.C.R., Cecatto J.R. Costa J.E.R. The Brazilian decimetric array and space weather // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2011. Vol. 73. P. 1300–1310. 5*. Sych R., Nakariakov V.M., Karlicky M., Anfinogentov S. Relationship between wave processes in sunspots and quasi-periodic pulsations in active region flares // Astronomy & Astrophysics. 2009. Vol. 505. P. 791–799. 6*. Sych R., Zaqarashvili T.V., Nakariakov V.M., Anfinogentov S.A., Shibasaki K., Yan Y. Frequency drifts of 3-min oscillations in microwave and EUV emission above sunspots // Astronomy & Astrophysics. 2012. Vol. 539. P. 10. 7*. Анфиногентов С.А., Сыч Р.А. Исследование частотной стабильности трехминутных колебаний в атмосфере солнечных пятен// Труды XII Конференции молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом». 2011. С. 50–52. (ИСЗФ СО РАН, Иркутск) 8*. Смольков Г.Я., Максимов В.П., Просовецкий Д.В., Уралов А.М., Бакунина И.А., Руденко Г.В., Сыч Р.А., Анфиногентов С.А., Мышьяков И.И. К прогнозам солнечных вспышек: состояние, проблемы и подходы // Солнечно-земная физика. 2011. № 18. С. 74–78. Цитируемая литература 1. Beckers J.M., Tallant P.E. Chromospheric Inhomogeneities in Sunspot Umbrae // Solar Physics. 1969. Vol. 7. P. 351–365. 2. Giovanelli R.G. Oscillations and Waves in a Sunspot // Solar Physics. 1972. Vol. 27. P. 71–79. 3. Zirin H., Stein A. Observations of Running Penumbral Waves // Astrophysical Journal. 1972. Vol. 178. P. L85+. 4. Simon M., Shimabukuro F.I. Observations of the Solar Oscillatory Component at a Wavelength of 3 Millimeters // Astrophysical Journal. 1971. Vol. 168. P. 525. 25 5. Занданов В.Г., Уралов А.М. Стабильные квазипериодические компоненты флуктуаций солнечного микроволнового излучения // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1983. № 65. P. 97–107. 6. Занданов В.Г., Уралов А.М. Реакция микроволнового излучения локальных источников на выход магнитного поля в корону // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1983. № 65. P. 107–120. 7. Zandanov V.G., Uralov A.M. Pulsations of microwave emission as a consequence of oscillatory transients in the solar atmosphere // Solar Physics. 1984. Vol. 93. P. 301–304. 8. Жугжда Ю.Д. Трехминутные колебания в солнечных пятнах: сейсмология атмосферы солнечных пятен // Письма в астрономический журнал. 2007. Vol. 33, № 9. P. 698–720. 9. Nindos A. et al. Spatially resolved microwave oscillations above a sunspot // Astronomy & Astrophysics. 2002. Vol. 386. P. 658–673. 10. Sych R.A., Nakariakov V.M. The Pixelised Wavelet Filtering Method to Study Waves and Oscillations in Time Sequences of Solar Atmospheric Images // Solar Physics. 2008. Vol. 248. P. 395–408. 11. Pesnell W.D., Thompson B.J., Chamberlin P.C. The Solar Dynamics Observatory (SDO) // Solar Physics. 2012. Vol. 275. P. 3–15. 12. Bogdan T.J. Sunspot Oscillations: A Review - (Invited Review) // Solar Physics. 2000. Vol. 192. P. 373–394. 13. Bogdan T.J., Judge P.G. Observational aspects of sunspot oscillations // Royal Society of London Philosophical Transactions Series A. 2006. Vol. 364. P. 313– 331. 14. Nakariakov V.M. et al. Oscillatory processes in solar flares // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2010. Vol. 52, № 12. P. 124009. 15. Nakariakov V.M., Verwichte E. Coronal seismology: Seismology of the corona of the Sun // Astronomy and Geophysics. 2004. Vol. 45, № 4. P. 040000–040004. 16. McIntosh S., De Pontieu B., Tomczyk S. A Coherence-Based Approach for Tracking Waves in the Solar Corona // Solar Physics. 2008. Vol. 252, № 2. P. 321–348. 17. De Moortel I., McAteer R.T.J. Waves and wavelets: An automated detection technique for solar oscillations // Solar Physics. 2004. Vol. 223, № 1. P. 1–11. 18. Ireland J. et al. Automated Detection of Oscillating Regions in the Solar Atmosphere // Solar Physics. 2010. Vol. 264. P. 403–431. 26 19. De Moortel I. Propagating magnetohydrodynamics waves in coronal loops // Royal Society of London Philosophical Transactions Series A. 2006. Vol. 364. P. 461–472. 20. Abramov-Maximov V.E., Gelfreikh G.B., Shibasaki K. Quasi-periodic Oscillations of Solar Active Regions in Connection with Their Flare Activity - NoRH Observations // Solar Physics. 2011. Vol. 273. P. 403–412. 21. Nakariakov V., King D. Coronal Periodmaps // Solar Physics. 2007. Vol. 241, № 2. P. 397–409. 22. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing, Second Edition. San Diego Academic Press, 1999. 620 p. 23. Rae I.C., Roberts B. Pulse propagation in a magnetic flux tube // Astrophysical Journal. 1982. Vol. 256. P. 761–767. 27