О В Н Е Ш Н И Х ... П Е Р И О Д И Ч Е С...

Известия
HAH
Армении.
Математика,
том 46, и. 6, 2011,
О ВНЕШНИХ НОРМАЛЬНЫХ
стр.
3-10.
АВТОМОРФИЗМАХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ГРУПП
В. С. А Т А Б Е К Я Н , A.. JT. Г Е В О Р Г Я Н
Ереванский государственный университет
E-mail: avarujan @ysu. am
АННОТАЦИЯ. Доказано, что в отличие от свободных произведений групп
для произвольного нечётного n > 665 существуют такие группы Gi и Օշ,
n
n-периодическое произведение G i * G2 которых обладает нормальным внешним автоморфизмом.
M S C 2 0 1 0 n u m b e r : 20F05, 20F50, 20Е06.
Ключевые слова: n-периодическое произведение групп; свободная бернсайдова
группа; нормальный автоморфизм; внутренний автоморфизм.
1. В В Е Д Е Н И Е
В работе [1] для каждого нечетного n > 665 была построена новая операция
умножения групп, названная периодическим
произведением
данного
периода
n
n
обладают многими свойствами классических операций свободного и прямого произведений групп, в том числе и свойствами точности, ассоциативности и наследственности по подгруппам. Последнее свойство означает, что для любых подгрупп Hi сомножителей Gi n-периодического произведения ПГе/ Gi семейства
групп {Gi}ieI
вложения Hi ^ Gi продолжаются до вложения n-периодического
произведения YViei ^ с е м е й с т в а гр упп {Hi}iei
в n-периодическое произведение
YYiei G^j т - е - подгруппы сомножителей порождают в ПГе 1 G^ стое n-периодическое
произведение.
Построенные операции периодического произведения групп решают проблему А.
И. Мальцева о существовании в классе всех групп ассоциативной, точной и наследственной по подгруппам операции, отличной как от прямого произведения,
так и свободного произведения (см. также [3], [4]).
n
ческих произведений некоторых классических групп.
3
В. С. А Т А В Е К Я Н , А. Л. Г Е В О Р Г Я Н
О п р е д е л е н и е 1.1. Пусть
физм
группы
G ֊ произвольная
G и H - подгруппа
билъным,
автоморфизмом,
тимой
подгруппой.
группы
группа,
G. Автоморфизм
если p(H) = H. При этом
р G Aut(G)
֊
автомор-
p назовем
H-cma-
H называется
р-допус-
Рассмотрим произвольное семейство Ж подгрупп группы G. Всевозможные
H-ст^ильные автоморфизмы при H G Ж составляют подгруппу группы
Aut(G).
Она называется стабилизатором семейства Ж и обозначается
AutK(G)
Если vg ֊
^ {р G Aut(G)\p(H)
= .Ядля всех H G Ж}.
внутренный автоморфизм, порожденный элементом g G G, т.е. для
любого x G G имеет место vg (x) = g -1xg,
то vg (H) = H для каждой нормальной
подгруппы H < G.
Пусть N = N(G)
֊ множество всех нормальных подгрупп группы G и M С
N . Легко заметить, что тогда выполнены следующие вложения
Inn(G)
где Inn(G)
< AutN(G)
< AutM(G)
<
Aut(G),
֊ группа всех внутренних автоморфизмов группы G.
Каждый автоморфизм из AutN
(G) принято называть н о р м а л ь н ы м автомор-
физмом. В частности, любой внутренний автоморфизм является нормальным
автоморфизмом. Согласно определению, при данном нормальном автоморфизме
р G Aut(G)
любая нормальная подгрупп а группы G р- допустима и наоборот.
Ясно, что если N теть р-допустима нормальная подгруппа группы G, то автоморфизмом р индуцируется некоторый автоморфизм фактор группы ^ / n .
А. Любоцкий в [5] и А. Лю в [6] доказали, что каждый нормальный автоморфизм нециклической абсолютно свободной группы F является внутренним, т.е.
имеет место равенство Inn(F)
= AutN(F).
Соответствующее равенство было до-
казано в разные годы для различных интересных классов групп (см. |7| ֊
[14]).
G
относительно гиперболическая группа без нетривиальных конечных нормальных
подгрупп, то Inn(G)
= AutN
(G).
М. В. Нещадим в [15], усиливая результаты работ [5] и [6], доказал, что каждый нормальный автоморфизм свободного произведения нетривиальных групп
֊ внутренний.
4
О ВНЕШНИХ НОРМАЛЬНЫХ
АВТОМОРФИЗМАХ
n
периодические произведения. Точнее, мы докажем, что для любого нечетного
n > 665 существуют такие группы G 1 и G 2 , n-периодическое произведение которых обладает внешним нормальным автоморфизмом.
n
будем употреблять запись G i * G2.
2. В Н Е Ш Н И Е Н О Р М А Л Ь Н Ы Е
АВТОМОРФИЗМЫ
G
томорфизмом
группа
порядка
G совпадает
2. Тогда если для некоторого
со своей подгруппой
нечетного
G n, то n-периодическое
числа
n > 665
произведение
G* G
Доказательство.
Пусть автоморфизмом ф группы G имеет порядок 2. Это озна-
чает, что для любого элемента х е G выполнено равенство ф 2(х) = x. По условию
n
G = G
G
n
>
665
n
n
G
Рассмотрим пересекающиеся по единичной подгруппе две изоморфные копии
G 1 и G2 группы G и через гф1 : G1 ^ G 1 и ф2 : G2 ^ G2 обозначим соответ-
G1
*
n
2
п
G2
n
является точной операцией, то автоморфизмы фi : Gi ^ G-լ, i = 1, 2, мултипликативным образом расширяются до автоморфизма Ф : G 1 * G2 ^ G1 * G2 группы
G1
*
G2
G1
*
G2
нетривиальная группа называется простой, если она имеет в точности две нормальные подгруппы). Для этого воспользуемся следующим критерием простоты,
доказанным в работах [16] и [2].
n>
6>6>5 и семейство
нетривиальных
i
групп
{Gi}ieI,
где либо \I\ > 2, либо \Gj\ > 2
n
in
i
i
G
n
n
Gi
i
G
=
Gi n
Gi n
порожденная всеми n-ми степенями группы G^ i = 1, 2. Кроме того, так как G1
5
В. С. А Т А В Е К Я Н , А. Л. Г Е В О Р Г Я Н
\ G1
G1
*
\
> 2
G2
Очевидно, каждый автоморфизм простой группы является нормальным автоморфизмом. Докажем, что Ф является внешним автоморфизмом, т.е. не является
внутренним автоморфизмом.
Доказывая от противного, предположим, что Ф - внутренний автоморфизм.
Это означает, что некоторый внутренний автоморфизм vg совпадавт с Ф. Таким
образом, для любого х е G1 *G2
имеет место равенство Ф(х) = vg(х) =
д -1хд.
Если х е G.j, то Ф(х) = фДх), поскольку автоморфизм Ф является продолжением
автоморфизмов фi
= 1, 2. Тем самым, имеем vg(х) = ф^,(х) для любого элемен-
та х е Gi, i = 1, 2. По условию теоремы автоморфизмы Փզ, имеют порядок 2, т.е.
ф 2 = 1Gi, i = 1, 2. Значит, для любого х е Gi имеем
g
2
е
G1
*
х) = д -2хд 2
= 1Gi(х)
= х.
G2
дой из групп Gi, i = 1, 2. Из этого непосредственно следует, что д 2 принадлежит
G1
*
G2
Ф
порядок 2.
Далее нам понадобится следующее утверждение, доказанное в работе [16].
Л е м м а 2.2. (см. [16], теорема 7) Пусть
семейства
групп
некоторому
{Gi}ieI.
элементу
Если
у одной из подгрупп
х
HGiH -1
которой
неединичный
F есть
периодическое
элемент
Gi группы
произведение
х группы
F
F, то всякий
F
перестаноGi
принадлежит
х.
х
ния G * G, то из равенства д хд
-2
g
сопряжен
G1
= х, согласно утверждению леммы 2.2, по-
2
G1
2
образом убедимся, что элемент д также принадлежит множителю G2. Посколь2
G1
G2
G1
*
G2
единичный элемент, то д = 1. Таким образом, элемент д является инволюцией.
2
Поэтому элемент д не сопряжен никакому элементу подгрупп Gi, i = 1,2, поскольку элемент группы, сопряженный инволюции, сам является инволюцией, в
то время как, согласно условию теоремы, в группах Gi, i = 1,2 не содержатся
6
О ВНЕШНИХ НОРМАЛЬНЫХ
АВТОМОРФИЗМАХ
д
ЦИЙ.
Теперь воспользуемся следующим свойством периодических произведений групп.
Л е м м а 2.3. (см. [2, теорема 2J) Если
в группе
Y\nej Gi никакому
двух инволюций,
элемент
элементу
х группы
подгрупп
то в Ոու Gi выполнено
ППе1 Gi не
Gi и не равен
соотношение
х
в F
сопряжен
произведению
= 1.
п
В силу леммы 2.3 в группе П П 1 G i выполнено соотно шение д п = 1. Сопостав-
д2 = 1
д= 1
д = 1
n
Ф
Ф
Ф
Теорема доказана.
•
Следует подчеркнуть, что согласно основному результату работы [17] (см. также
[18], [19]), для любого нечётного числа n > 1003 каждый нормальный автоморфизм свободной периодической группы B(m, n) ранга m > 1 (конечного или
бесконечного) является внутренним автоморфизмом, т.е.
Inn(B(m,
n)) = AutN(B(m,
n)).
По определению, свободная периодическая (или свободная бернсайдова) группа
B(m,
n)
n
m
B(m,
n) = (a,1, օդ, .., am
\
X n = 1),
где X пробегает множество всех слов в алфавите { a f 1 , a f 1 , . . .
Соглас-
i
G
показателя n, то n-периодическое произведение П П 1 Gi также есть свободная
n
n
Gi
занный результат работы [17] можно переформулировать следующим образом:
для любого
периодического
B(m1
нечётного
числа
произведения
,n) и B(m2,n)
рангов
n > 1003 каждый
нормальный
B(m1, n) * B(m2, n) свободных
m1, m2 > 1 является
внутренним
В связи с этим отметим, что из теоремы 2.1 вытекает
7
автоморфизм
периодических
nгрупп
автоморфизмом.
В. С. А Т А В Е К Я Н , А. Л. Г Е В О Р Г Я Н
С л е д с т в и е 2.1. Для любого
простого
с n нечетного
обладает
нормальным
Доказательство.
нечётного
числа
n > 665 и для любого
числа к п-периодическое
автоморфизмом,
который
взаимно
произведение
B(m, к) * B( m, к)
не является
внутренним.
Рассмотрим n-периодическое произведение B(m, к) * B( m, к)
где к и n - нечетные числа, n > 665 и (k,n) = 1. Так как пер иод к группы
B(m,
к)
B(m, к)
взаимной простаты чисел к и n вытекает, что B(m, к) = B(m, к) п. Укажем авто-
B(m, к)
а : B(m,h)
B(m,
^ B(т,к),
заданный на свободных поро^ждаюгцих ai, ..., ат
к) формулами ՝iai( a(ai)
= а- 1).
B(m,
группы
Таким образом, все условия теоремы 2.1
к) * п B(m, к)
автоморфизмом.
•
На самом деле, нетрудно заметить, что рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.1, позволяют получить следующий более общий результат.
G
физмами
порядка
1
G
1
к > 1 и порядок
к
n
n
>
каждого
элемента
групп
G i , G2
взаимно
665
Gi = G՝n, i = 1, 2, то n-периодическое
произведение
G1 * G2 обладает
внешним
нормальным
автоморфизмом.
Доказательство.
Повторив начало доказательства теоремы 2.1, построим авто-
морфизм Ф : G1
к
n
G2 ^ G1 * G2 как продолжение автоморфизмов фi : Gi ^ Gi
Gi i = 1 , 2
Gi
просты с n, то имеет место равенство G = G n. Предположив, что автоморфизм
Ф является внутренним, как и в теореме 2.1, найдем элемент g удовлетворяющий
соотношениям g k = 1 и Ф(х) = gxg -1
для всех x G G. Элемент g не сопряжен
никакому элементу подгрупп Gi, i = 1, 2, поскольку порядки элементов групп
Gi, i = 1,2, взаимно просты с к согласно условию теоремы. Элемент g также не
равняется произведению двух инволюций, поскольку все произведения двух ин-
G1
*
n
G2
gn = 1
для некоторых целых чисел u и v имеет место равенство Խ+nv
8
(к, n) = 1
= 1. Тогда имеем
О ВНЕШНИХ НОРМАЛЬНЫХ
д = g ku+nv
АВТОМОРФИЗМАХ
= 1, и, тем самым, Ф - тривиальный автоморфизм. Это противоречит
тому, что автоморфизм Ф имеет порядок k > 1.
n
стых
с n нечетных
обладает
нормальным
чисел k1} k2 n-периодическое
автоморфизмом,
который
•
>
665
произведение
B(m1, k1)nB(m2,
не является
k2)
внутренним.
В заключение отметим представляющий интерес следующий вопрос:
n
n
A b s t r a c t . The paper proves that, as opposed to free product of groups, for any odd
n > 665 there are дате groups G1 and G2 with n-periodic product G1
n
G2 possessing
a normal outer automorphism.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] С. И. Адяе, "Периодическое произведение групп", Теория чисел, математический анализ
и их приложения, Тр. МИАН , 142, Наука, М., 3 - 21 (1976).
[2] С. И. Адян "Еще раз о периодических произведениях групп и проблеме А. И. Мальцева",
Матем. заметки, 88, по. 6, 803 ֊ 810 (2010).
[3] А. Ю. Ольшанский, "Проблема А. И. Мальцева об операциях над группами", Тр. сем. им.
И. Г. Петровского, 14, 225 ֊ 249 (1989).
[4] S. V. Ivanov, "On periodic products of groups", Internat. J. Algebra Comput., 5, по. 1, 7 ֊ 17
(1995).
[5] A. Lubotzky, "Normal automorphisms of free groups", J. Algebra, 63, no. 2, 494 ֊ 498 (1980).
[6] A. S.-T. Lue, "Normal automorphisms of free groups", J . Algebra, 64, no. 1, 52 ֊ 53 (1980).
[7] M. Jarden, "Normal automorphisms of free profinite groups", J . Algebra, 62, no. 1. 118 123
(1980).
[8] M. Jarden, J . Ritter, "Normal automorphisms of absolute Galois groups of p-adic fields", Duke
Mathematical Journal, 47, no. 1, 47 ֊ 56 (1980).
[9] В. А. Романьков, "Нормальные автоморфизмы дискретных групп", Сибирск. Мат. Ж . , 24,
по. 4, 138 ֊ 149 (1983).
[10] Ч. К. Гупта, Н. С. Романовский, "Нормальные автоморфизмы свободной в многообразии
A про-р-группы", Алгебра и логика, 35, по. 3, 249 - 267 (1996).
[11] Н. С. Романовский, "Нормальные автоморфизмы свободных разрешимых про-р-групп",
Алгебра и логика, 36, по. 4, 441 ֊ 453 (1997).
[12] G. Endimioni, "Pointwise inner automorphisms in a free nilpotent group", Q. J. Math., 53, no.
4, 397 ֊ 402, (2002).
[13] O. Bogopolski, E. Kudryavtseva, H. Zieschang, "Simple curves on surfaces and an analog of a
theorem of Magnus for surface groups", Math. Z., 247, no. 3, 595 ֊ 609 (2004).
[14] A. Minasyan, D. Osin, "Normal automorphisms of relatively hyperbolic groups", Trans. Amer.
Math. Soc., 362, no. 11, 6079 ֊ 6103 (2010).
[15] M. В. Нещадим, "Свободное произведение групп не имеет внешних нормальних автоморфизмов", Алгебра и логика, 35, по. 5, 562 ֊ 566 (1996).
[16] С. И. Адян, "О простоте периодических произведений групп", Докл. АН СССР, 241, по. 4,
745 ֊ 748 (1978).
[17] В. С. Атабекян, "Нормальные автоморфизмы свободных бернсайдовых групп , Изв. РАН.
Сер. матем., 75, по. 2, 3 - 18 (2011).
9
В. С. А Т А В Е К Я Н , А. Л. Г Е В О Р Г Я Н
[18] Е. A. Cherepanov, "Normal automorphisms ol free Burnside groups ol large odd exponents",
Internat. J. Algebra Comput, 16, no. 5, 839 ֊ 847 (2006).
[19] В. С. Атабекян, "He ^-допустимые нормальные подгруппы свободных бернсайдовых
групп", Изв.НАН Армении. Математика, 45, по. 2, 21 - 36 (2010).
Поступила 11 марта 2011
10