Монотонные функции в конкурсных задачах

34
ÊÂÀÍT 2002/¹6
Ìîíîòîííûå
ôóíêöèè
â êîíêóðñíûõ
çàäà÷àõ
À.ÅÃÎÐÎÂ, Æ.ÐÀÁÁÎÒ
Ì
Íàãëÿäíûé ñìûñë òåîðåìû î êîðíå (À) è åå ïåðåôîðìóëèðîâêè (À*) òàêæå ïðîçðà÷åí – ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ ó = à
ìîæåò ïåðåñå÷ü ãðàôèê ìîíîòîííîé ôóíêöèè y = f x íå
áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå (ò.å. ëèáî âîîáùå åãî íå ïåðåñåêàåò,
ëèáî ïåðåñåêàåò â åäèíñòâåííîé òî÷êå).
Íà÷íåì ñ ñîâñåì ïðîñòîé çàäà÷è.
Çàäà÷à 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x 3 + x = 10 .
Ðåøåíèå. Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ – ôóíêöèÿ, âîçðàñòàþùàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ýòî
î÷åíü ëåãêî äîêàçàòü). Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1) èìååò
íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ – òåîðåìà (À*). Íî êîðåíü ëåãêî
óãàäàòü: ïðè õ = 2 ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà
ïðàâîé.
Îòâåò: õ = 2.
Ðåøèì òåïåðü ÷óòü áîëåå òðóäíóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
37x + 12 - 31 - 6x = 2 .
ÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×, ÊÎÒÎÐÛÉ ÌÛ ÐÀÑÑÌÎÒ-
ðèì â ýòîé ñòàòüå, ïðèìåíèì êàê ê îáû÷íûì øêîëüíûì
çàäà÷àì, òàê è ê áîëåå ñëîæíûì, ÷àñòî íàçûâàåìûì íåñòàíäàðòíûìè.
Ïðè èçó÷åíèè øêîëüíîãî êóðñà àëãåáðû è îñîáåííî íà÷àë
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà âàì ÷àñòî ïðèõîäèëîñü âûÿñíÿòü,
âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò òà èëè èíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû ïîñòàðàåìñÿ â ýòîé ñòàòüå ïîêàçàòü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìîíîòîííîñòè
ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî (èíîãäà
âîîáùå íå ôèãóðèðóþùèõ â óñëîâèè, à ïîÿâëÿþùèõñÿ ïî
õîäó ðåøåíèÿ), íåðåäêî ñèëüíî óïðîùàåò òåõíè÷åñêóþ ÷àñòü
ðåøåíèÿ, à ïîðîé áåç íåãî ïðîñòî íåìûñëèìî ðåøèòü çàäà÷ó.
Òåîðåìà î êîðíå
Ñíà÷àëà íàïîìíèì îñíîâíîå îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ y = f x íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé
(ìîíîòîííî óáûâàþùåé) íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, åñëè
äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç ýòîãî ïðîìåæóòêà èç íåðàâåíñòâà
x1 < x2 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî f x1 < f x2 (ñîîòâåòñòâåííî,
f x1 > f x2 ).
Íàãëÿäíûé ñìûñë âîçðàñòàíèÿ èëè óáûâàíèÿ ôóíêöèè
ïðîçðà÷åí – ãðàôèê âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ïðè äâèæåíèè
ïî íåìó ñëåâà íàïðàâî èäåò âñå âûøå è âûøå (à óáûâàþùåé
– âñå íèæå è íèæå). Ìû, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îñè
êîîðäèíàò ðàñïîëîæåíû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì: îñü àáñöèññ
Îõ ãîðèçîíòàëüíà è íàïðàâëåíà ñëåâà íàïðàâî, à îñü îðäèíàò
Îó âåðòèêàëüíà è íàïðàâëåíà ñíèçó ââåðõ.
Åñëè ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ìîíîòîííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå.
Ïåðâûé ôàêò, ÷àñòî èñïîëüçóþùèéñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷,
â òîì èëè èíîì âèäå äîêàçàí â âàøåì øêîëüíîì êóðñå
(íàïðèìåð, â ó÷åáíèêå äëÿ 10—11 êëàññîâ ïîä ðåäàêöèåé
À.Í.Êîëìîãîðîâà îí ïðèâîäèòñÿ ïîä íàçâàíèåì «Òåîðåìà î
êîðíå» ïðè ââåäåíèè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â íà÷àëå 10 êëàññà). Íàïîìíèì åãî.
(À) Ïóñòü ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå I, ÷èñëî à – ëþáîå èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ f íà
ýòîì ïðîìåæóòêå. Òîãäà óðàâíåíèå f x = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå I.
Íàì èíîãäà áóäåò óäîáíåå íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìóëèðîâêà
ýòîãî ôàêòà.
(À*) Ïóñòü y = f x – ìîíîòîííàÿ íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè à óðàâíåíèå
f x = a èìååò íà ýòîì ïðîìåæóòêå íå áîëåå îäíîãî
êîðíÿ.
(1)
(2)
Êîììåíòàðèé. Óðàâíåíèå (2) ìîæíî ðåøèòü ñòàíäàðòíûì
øêîëüíûì ñïîñîáîì, ïî÷ëåííî âîçâåäÿ (äâàæäû) ïðîìåæóòî÷íûå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ â êâàäðàò, íàéäÿ çàòåì
êîðíè ïîëó÷åííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè
êîýôôèöèåíòàìè è ïðîèçâåäÿ ïîñëå ýòîãî îòñåâ âîçìîæíûõ
ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé. Îäíàêî çàäà÷à äîïóñêàåò ðåøåíèå «â
îäíó ñòðî÷êó».
Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) – âîçðàñòàþùàÿ â
ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ (ïåðâûé ðàäèêàë ïðè
óâåëè÷åíèè õ, î÷åâèäíî, óâåëè÷èâàåòñÿ, à âòîðîé – óìåíüøàåòñÿ, íî îí âû÷èòàåòñÿ èç ïåðâîãî, ïîýòîìó èõ ðàçíîñòü
âîçðàñòàåò). Ïî òåîðåìå (À*) óðàâíåíèå (2) èìååò íå áîëåå
îäíîãî ðåøåíèÿ. Åãî ëåãêî ïðåäúÿâèòü: ýòî õ = 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîãî çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî â (2)
ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 7 – 5 = 2.
Îòâåò: õ = 1.
Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòêóäà âçÿëñÿ êîðåíü õ = 1? Ìû åãî ïðîñòî
óãàäàëè! Íåêîòîðûå øêîëüíèêè ñ÷èòàþò ïðèâåäåííîå ðåøåíèå «íåñòðîãèì» – êàê ýòî ìîæíî ÷òî-òî óãàäûâàòü? Íî â
íàøåì ðåøåíèè âñå â ïîðÿäêå – äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèé íå
áîëüøå îäíîãî è ïðåäúÿâëåíî ðåøåíèå (íåâàæíî, îòêóäà ìû
åãî âçÿëè). Êñòàòè, óãàäàòü ðåøåíèå áûëî äîâîëüíî ïðîñòî
– ìû íà÷àëè ïåðåáèðàòü öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ õ
è èñêàòü, ïðè êàêèõ èç íèõ «èçâëåêàåòñÿ» âòîðîé êîðåíü (òàì
ïðîñòî ìåíüøå êîýôôèöèåíòû, ÷åì ïîä çíàêîì ïåðâîãî
êîðíÿ). Ïðè õ = 0 êîðåíü «íå èçâëåêñÿ», à ïðè õ = 1 –
èçâëåêñÿ (ïîä êîðíåì ïîëó÷èëñÿ ïîëíûé êâàäðàò – ÷èñëî
25), òîãäà ìû ïîäñòàâèëè õ = 1 â óðàâíåíèå (2) è ïîëó÷èëè
âåðíîå ðàâåíñòâî. Íà÷èíàëè ìû ñ õ = 0, òàê êàê ïðè
îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ õ ïåðâûé ðàäèêàë íå ñóùåñòâóåò –
ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî. Êîíå÷íî, óãàäàòü
êîðåíü ìîæíî äàëåêî íå âñåãäà, íî ìû è íå ïðåòåíäóåì íà
óíèâåðñàëüíîñòü òàêîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ.
2. Íàñêîëüêî ñòðîãî íàøå äîêàçàòåëüñòâî ìîíîòîííîñòè
ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2)? Íà íàø âçãëÿä, ïðèâåäåííîãî
íàìè ðàññóæäåíèÿ âïîëíå äîñòàòî÷íî, íî ïðè íåîáõîäèìîñòè
åãî ëåãêî ôîðìàëèçîâàòü. Ïóñòü x1 è x2 – ïðîèçâîëüíûå
÷èñëà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2),
ïðè÷åì x1 > x2 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
f x = 37x + 12 , g x = 31 - 6x .
Òîãäà
f x1 - f x2 = 37x1 + 12 - 37x2 + 12 =